等腰直角三角形求面积解题心得

第一篇：等腰直角三角形求面积解题心得

今天，老师在数学课上出了这么一道题：一个等腰直角三角形的斜边长是8厘米，求面积。老师刚说完题目，同学们就议论纷纷，时间一分一秒地过去了，可还是没有一个人举手，我忽然灵机一动，想到了一种解法，我便举起手。老师见了连忙让我回答；我说：“作等腰直角三角形斜边上的高，这个等腰三角形既然有一个角是直角，那么这个角是90度，另外两

个角分别是45度，度数之间的关系是倍数关系。则斜边与斜边上的高也是倍数关系；可知斜边上的高是斜边的一半。即高就是8÷2=4（厘米）。然后再根据三角形的面积公式求等腰直角三角形的面积。算式是8×4÷2=16（平方厘米）。老师听了满意地笑了，忽然我不知哪来的灵感又想了一种解法，于是，我鼓起勇气对老师说还有一种方法，老师听了高兴地说：“说吧”。“把这个等腰直角三角形对折后再打开，沿折痕剪开，将两个小等腰直角三角形拼成一个正方形，边长是原等腰直角三角形斜边的一半，即8÷2=4（厘米）。这个正方形的面积就是原等腰直角三角形的面积”。算式是4×4=16（平方厘米）。我刚说完教室里响起了一片热烈的掌声。

老师听了我说的两种方法神秘地说：“还有什么方法。”大家听后想莫非这道题还有其它解法；正在大家苦思暝想网的时候，班长小红把手举得高高的，老师请她站起来说：“还可以用两个这样的等腰直角三角形拼成一个大等腰直角三角形，这个大等腰直角三角形的直角边就是原等腰直角三角形斜边的长8厘米，原等腰直角三角形的面是拼成大等腰直角三角形面积的一半，算式是:8×8÷2÷2=16（平方厘米）。还可以用四个这样的等腰直角三角形拼成一个正方形，正方形的边长是等腰直角三角形斜边的长8厘米，正方形面积的四分之一就是这个等腰直角三角形的面积，算式是8×8÷4=16（平方厘米）。对这精彩的回答，周围又响起了一阵热烈的掌声。

第二篇：等腰直角三角形的证明范文

已知,在△ABC中,CA=CB,已知O是CA、CB的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，∠MOC=∠A=45°

2012-10-13 09:32 雨妕 | 分类：数学 | 浏览438次

1.若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM 2.若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，∠MNO=30°，MN=4.求AM的长

向左转|向右转

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2012-10-13 09:33 提问者采纳

上题一般会问的是：求证：CN+MN=AM或CN、MN、AM之间的关系。求证方法：连接OC，在AM上截取AQ=CN，连接OQ，∵O为CA、CB的垂直平分线的交点，∴OC=OA=OB，∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，在△AOQ和△CON中，AQ=CN，∠A=∠OCN，OA=OC，∴△AOQ≌△CON，∴OQ=ON，∠AOQ=CON，∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，又∠MON=45°，∴∠QOM=45°，在△QOM和△NOM中，OQ=ON，∠MON=∠QOM，OM=OM，∴△QOM≌△NOM，∴QM=NM，则AM=AQ+QM=CN+MN；

希望可以帮到你，望采纳。。

追问

第二问呢？

提问者评价

谢谢！

第三篇：两个等腰直角三角形共点专题

两个等腰直角三角形共点专题

共锐角顶点直角开口方向相反

基本方法：

△EDB中与△ABC不共顶点B的那条线段DE平行移到另外等腰三角△ABC的底边BC的另一个点C处的CF。

典型例题

同侧型

：

连接DC(不共顶点的两个底角点的连线)，M是中点，求EM,AM的大小关系.方法：平移DE到CF，或倍长EM到MF

思路:证明△AEB≌△AFC

关键:证明∠ABE=∠ACF

方法：∵DE⊥BE

∴CG⊥BG

∴∠ABE=∠ACF

回头看：1.△ABC和△AEF是共直角顶点旋转

2.四边形GBCA是共斜边的两个直角三角形共圆（外垂直）

对侧型：

四边形ABGC对角互补，共圆

推广：两个等腰三角形，顶角互补也可以平移，或中线倍长

提高

．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.（1）FG与DC的位置关系是,FG与DC的数量关系是；

（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立?

请证明你的结论.B

A

C

B

D

A

F

E

G

C

两个方法：已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PN

正方形

逆向

15、请阅读下列材料问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC。探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？

小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案。

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题。

（1）求证：四边形BEFG是矩形；

（2）PG与PC的夹角为多少度时？四边形BEFG是正方形，请说明理由。

14、正方形ABCD和正方形CEFG，M为AF的中点，连接MD、ME．

⑴如图①，B、C、G依次在同一条直线上，求证：△MDE等腰直角三角形；

⑵如图②，将正方形CEFG绕顶点C旋转45°．使B、C、F依次在同一条直线上，则△MDE的形状是

⑶如图③、将正方形CEFG任意旋转，设∠DCE=α°，猜想△MDE的形状？写出你的结论并给予证明．

反开口，两个中点变一个中点再找关系

19.如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。

**反开口，角平分线对角互补模七

直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a-t）2+|b-t|=0（t＞0）．

（1）证明：OB=OC；

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；

（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标

反开口

模六

在直角坐标系中,直线y＝x＋4交x轴于A,交y轴于B,△AEF为等腰Rt△,∠AEF＝90°,连BF,M为BF中点.(1)

连EM、OM,问OM与EM的关系是　　　　　,并证明;

(2)

当△AEF绕A点旋转如图位置时,EM与OM的关系是否变化,画图并说明理由;

(3)

若P为AB中点,G为第三象限内一点,且∠AGO＝90°,求GA+GO/GP的值.反开口模型

把中线位长作出来了（平行四边形，也就隐含了中点）

已知△ABC和△ADE分别是以AB.AE为底的等腰直角三角形，以CE,CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH.(1)如图(1)，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为_____；CH与CD的数量关系是_________，并说明理由，’

(2)将图(1)中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图(2)：则∠DEH的度数为______，CH与CD之间的数量关系为________．

(3)将图(1)中的△ADE绕A点顺时针旋转（O°<<45°）得图(3)，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．

找隐性反开口模型

4、如图，ABCD、DFGE均为正方形，连AG，作AG的中点H，连BH。

（1）求BH：HE的值。

（2）当正方形ABCD绕点D旋转时，上述结论是否改变？画图，直接写出结论。

反开口

例1、如图，以△ABC，AB、AC边构造等腰Rt△ABD、等腰Rt△ACE，M、N、P分别是AD、AE、BC中点，求线段PM、PN的关系。

变式1：若P为DE中点，求线段BP、CP的关系；

变式2：若以△ABC，AB、AC边为直角边构造Rt△ABD、Rt△ACE，且∠DAB=∠CAE=α，P为DE中点，求BP、CP的数量关系；

变式3：若以△ABC，AB、AC边为斜边构造Rt△ABD、Rt△ACE，且∠DAB=∠CAE=α，P为BC中点，求DP、EP的数量关系；

反开口

24．（本题10分）已知正方形AEFG的边AE、AG分别在正方形ABCD的边AB、AD上。点O为正方形AEFG的对称中心，点M为CE的中点，连OB、MB。

（1）如图1，求的值，并证明；

（2）求的值，并证明；

（3）将图1中的正方形AEFG绕点A旋转180°至图2的位置，请直接写出的值。

图1

O

图2

反开口,一中点

1．已知，DE=DA，CA=CB，∠DAE=∠CAB，D、A、B在一条直线上.（1）如图1，P、M、N分别为EB、AD、AC的中点，∠BAE=120°，①求证：BE=2MN；

②求∠PNM的度数.（2）如图2，点P、M、N分别为CD、AE、AB的中点，∠BAE=135°，①求∠MNP的度数；

②求的值.反开口两中点

2．如图，△ACB、△AED都为等腰直角三角形,∠AED＝∠ACB＝90°,点D在AB上,连CE，M、N分别为BD、CE的中点.（1）①求证：MN＝CE;

（提示：将MN构造为某三角形的中位线.）

②求证：MN⊥CE.（2）如图，将△ADE绕A点逆时针旋转一个锐角,（1）中结论①和②是否仍成立,并证明.B

C

反开口,作了平行四边形后

19．如图，△ABC和△ADE分别是以AB、AE为底的等腰直角三角形，点D在AB上，点E在AC上，以CE、CB为边作□CEHB，连DC、BE.（1）求证：HE=AC；

（2）探究：BE与CD之间的数量关系，并证明.反开口和斜边中线，内垂直

2.如图1，正方形ABCD中，点M在AB上，点N在CD上，点P在BC上，MN⊥AP于E.（1）求证：AP=MN；

（2）

如图2，点F在MN上，若EF=EA，连CF，点G为CF的中点，连DG，求证：；

（3）

在（2）的条件下，若DA=DE，且，BM=2，求DG的长.(3)由DA=DE,可得四点AEND共圆(未用)和Rt△AEP,得TN=ND=1.5,边长为5

反开口，求长度

24、(1)

将两块不全等的等腰Rt△ABC和Rt△AED如图1摆放,G为线段DC的中点,连接BG、EG,求证:

BG=EG,BG⊥EG;

(2)

将图1中△AED绕点A顺时针旋转45°,连接EB,再将△AEB绕点E顺时针旋转90°,至△EDH处,连接BD、CH,G为CD中点,连接BG、EG.如图2,四边形BDHC是何种特殊四边形?

写出你的结论,并说明理由;

(3)

图2中，若AE＝1，EG＝3，求BD的长度。

第四篇：初中解题指导巧用平移求面积

巧用平移求面积

湖北省黄石市鹏程中学 陈贵芳

同学们，你会用平移去求图形的面积吗？其实，某些求图形面积的问题，若能想到用平移知识并将部分图形平移后去解，那么你会品尝到方便简捷的滋味！请看几例：

例1 图1是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，则图中阴影部分的面积为_____cm．

解析1：虽然阴影部分是一个梯形，但因其上底CG、下底DF和高都不易求出，故直接用梯形的面积公式去求它的面积很困难．由题意，知△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，所以S＝S，从而S

＝

＝S

＝(AB+GE)BE＝ [8＋（8－3）]×4＝26 cm．

解析2：连AD，由平移知，CF＝BE＝AD＝4 cm，所以S

＝S－S

＝CF×AB－ ×AD×DG＝4×8－×4×3＝26 cm．

例2 如图2，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路（长度单位：m），那么草坪的面积为______ m

解析：将两条小路分别作如图3所示的平移，则草坪的面积就是图3中空白部分（长方形）的面积，即（50－2）×（30－2）＝1344 m．

例3 如图4所示是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区（空白部分）、②号区（阴影部分）、③号区（图下方的空白部分）三块，拟在①号区种花、②号区建房、③号区植树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形（一腰和底相交成直角的梯形叫做直角梯形，这里∠C和∠G都是直角），求种花部分的面积．

解析：显然，因①号区是不规则的图形，不易直接求其面积，考虑到四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形，故可将四边形EFGH看成是四边形ABCD沿AB方向平移得到的，所以①号区面积等于③号区面积，而③号区面积等于×（EM+AD）×MD＝ ×（200－1＋200）×2＝399（m），所以种花部分的面积为399（m）．

例4 如图5，长方形ABCD中，AD＝2AB，EF分别为AD、BC的中点，扇形块P（线段EF左边的阴影部分）和扇形块Q（右边的空白部分）的半径FB、CF的长度都等于acm，求阴影部分的面积．

解析1：如图5，由条件，知四边形ABFE和四边形EFCD是两个完全相同的正方形，扇形块P的面积＝扇形块Q的面积．可将扇形块Q沿CB方向平移至扇形块P的位置，知这两个扇形块会完全重合，因①号区域（空白部分）的面积＝②号区域（线段EF右边的阴影部分）的面积，所以阴影部分的面积等于扇形块P的面积+②号区域面积＝扇形块P的面积+①号区域的面积＝正方形ABFE的面积＝FB＝a（cm）．

解析2：因扇形块P的面积＝扇形块Q的面积，故亦可将②号区域沿DA方向平移至①号区域，显见阴影部分的面积＝正方形ABFE的面积＝a（cm）．

第五篇：八年级上几何模型总结之等腰直角三角形与中线角平分线

等腰直角三角形+角平分线模型

例题：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，求证：BE=2CD。

变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过E作ED⊥BC于D，求证：BC=AC+CD=AB+DE。

变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过E作ED⊥BC于D，求证：△EDC的周长等于BC的长。

变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，延长BA、CD交于点F，求证：AF+CE=AB。

变式4：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。

变式5：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，1 / 11 若点D为△ABC外一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。

变式6：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，BMAM（1）求ABBC的值；（2）求BCAB的值。

变式7：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，1过C作CD⊥BE于D，过A作AT⊥BD于点T，证明：AT+TE=BE。/ 11

1、如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)。点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。（1）求证：BN平分∠OBA；

OMMN（2）求的值；

BN

（3）若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。/ 11

2、如图，直线AB交X轴负半轴于B（m，0），交Y轴负半轴于A（0，m），OC⊥AB于C（-2，-2）。（1）求m的值；

BF（2）直线AD交OC于D，交X轴于E，过B作BF⊥AD于F,若OD=OE，求的AE值；

（3）如图，P为x轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角△APM，其中PA=PM，直线MB交y轴于Q，当P在x轴上运动时，线段OQ长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。/ 11 等腰直角三角形+中线模型

例题：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，过A作AE⊥BD于E，求证：∠1=∠2。

变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点E是线段BD上一点，若∠1=∠2，求证：AE⊥BD。

变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。

变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：∠1=∠2。/ 11 变式4：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接EF，求证：∠1=∠2。

变式5：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F，连接EF交BD于点M，求证：∠1=∠2。/ 11

1、如图，已知：△ABC是等腰直角三角形，直角顶点C在X轴上，一锐角顶点B在Y轴上。

（1）、如图①若点C的坐标是（2，0），点A的坐标为（-2，-2），求AB和BC所在的直线解析式；

（2）、在（1）问的条件下，在图①中设边AB交X轴于点F，边AC交Y轴于点E，连接EF。求证：∠CEB=∠AEF

（3）、如图②所示：直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过点

COADA作Y轴的垂线，垂足为D，在滑动的过程中，两个结论：①为定值；

BOCOAD②为定值；其中只有一个结论是正确的，请判断出正确的结论加以证BO明并求出其定值。/ 11

2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。（1）求B点坐标；

（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；

（3）过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AMFM1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。

OF/ 11

3、已知在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC垂直平分线MN上一动点，直线AP交BC于E，过P点后与AP关于MN成轴对称的直线交AB于D、交BC于F，连CD交PA于G。

（1）如图1，若点P移动到BC上时，E、F重合，若FD=a，CD=b，则AE=（用含a、b的式子表示）

（2）如图2，若点P移动到BC的上方时，其他条件不变，求证：CD⊥AE；

（3）如图3，若点P移动到△ABC的内部时，其他条件不变，线段AE、CD、DF之间是否存在确定的数量关系？请画出图形，并直接写出结论（不需证明）/ 11 正方形与等腰直角三角形 如图：正方形ABCD和正方形CDFG中,BH=EF, 求证：∠AFH=45° 如图：正方形ABCD中,AE+CF=EF，求证：(1)∠EBF=45°(2)BE垂直平分HF 等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。如图:长方形ABCD和正方形BDGH中,AD=BE,GH=EC,连AC和DE并延长DE交AC于点P． 求证∠APD=45° / 11 如图:长方形ADGN和正方形DBMF中,AD=BC,BD=EC,点M,B,C 在直线上, 点F,D,G 在直线上 ,连接CD,AE.求证: ∠APD=45° / 11