让我们一起领略反比例函数的神奇
一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟
1.为何正比例函数的比例系数是比，而反比例函数的比例系数却不是比？
2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至
多探究一下的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究
通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开
多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来
了解数学本质！做到居高临下、解有依据！
5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积
比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇.二、一道曾经困惑我多时的中考题
某年宁波市中考的填空压轴题:
如图，的顶点(，)，双曲线经过
点、，当以、、为顶点的三角形与的相似时，则
.1.常规性解法：
通过设元，例如设(，)，则(，)，再根据条件列方程：
(1)利用、、或列方程；
(2)利用列方程；
(3)利用“一线三等角”模型、和列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具
备了一定的技巧性.但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！
2.挖掘隐含性质，巧解此题
(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：
过点作轴于，连接，直线分别交
坐标轴于点、.则有①∥；
②，；
③，.基于以上这些性质，有如下解法.(2)我的第一种解法（整体思想）：
由，可得，即，于是，……
(3)我一个同事的解法（斜边转直比）：
由，可得，转为横比，因此，……
(4)我一个学生的解法（斜等转直等）：
由得，则，……
(5)我的第二种解法（平行导角度）：
由∥得，于是，……
(6)下面我们要着重解决两件事：
①上述性质是否永远成立？如何证明？
②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质
1.如图，双曲线与矩形边交于点、，直线交坐标轴于点、.①如图1，若，则；
②如图2，若，则；
③如图3，若，则，直线与的位置关系是，与的大小关系
.图1
图2
图3
2.①如图1，双曲线与直线交于点、，轴于点，轴于
点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系.②如图2，双曲线与直线交于点、，轴于，轴于，轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及
线段与的大小关系.图1
图2
四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长
1.如图，直线反比例函数()图象交直线
于点、，且，则的值为
.(1)常规方法（斜长转直长）：，则，可设(，)，则(，)，列方程解决；
(2)口算巧解（斜边转直比）：
由，得，转为横比得，则，……
2.同类变式题：
如图，直线交坐标轴于点、，双曲线交直线于点、.若，则的值为；
3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29）
如图，点(，)，在双曲线上，分别交，轴于，分别交，轴于，.(1)求的面积；
(2)求证：.4.原创清新小题和近年的中考题：
(1)如图1，的面积为，则的值为
.(2)如图2，点，在双曲线上运动，轴，.①在运动过程中，的面积是不是定值？答：；
②若，且是正三角形，则点的坐标为
.(3)如图3，□中，，双曲线经过点和中点，则该双
曲线的解析式为
.(4)如图4，直线与分别与双曲线交于点、，则的值为
.图1
图2
图3
图4
(5)(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，则的值为
.(6)如图6，双曲线与直线交于点、.①(原创、铺垫②)若、，且，则；
②(常州模拟·改编)若，且，则；
③(杭州模拟·改编)若，且，则
.(7)(据上题改编)如图7，为双曲线上的动点，过点作矩形，直线的解析式为，交矩形边于，则
.图5
图6
图7
五、面积比、边比互转
1.①(原创、铺垫)如图1①，直线与双曲线交于点，为双曲线上一点，射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为；
②(成都)如图1②，直线与双曲线交于点、，为双曲线上一点，射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为
.2.(无锡)如图2，轴，∥轴，双曲线过点、，且，已知的面积为，则的值为
.图1①
图1②
图3
3.(宁波)如图3，正的顶点在双曲线上，双曲线与边交于点，连接，则的面积为
.4.(丽水)如图4，双曲线与直线交于点、，轴，设点的横坐标为.①用含的式子表示；
②若与四边形的面积和为，则
.5.如图5，双曲线与直线交于点、.①(常州模拟)若，且，则；
②(改编自①)若、，且，则
.图3
图4
图5
6.如图6，轴，为中点，延长到，延长到，若双曲线恰
好经过点，且，则
.7.如图7，双曲线过点，过点，若，均与轴平行，，且它们之间的距离长为，则
.8.如图8，直线交双曲线于点，若，则
.图6
图7
图8
9.如图，点在双曲线上，轴，延长线交轴于，若的面积为，则的值为
.10.如图，点、在双曲线上，轴，轴，垂足、分别在轴的正半轴和负半轴上，，是的中点，若面积是的倍，则的值为
.六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例
1.如图1，中，，双曲线经过点、，且点的纵坐标为，则的值为
.(1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“”形全
等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得.(2)后感：我们可以发现，矩形恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧
合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究…
(3)探究(2016临沭模拟)：如图3，双曲线与矩形的边交于点，若
设点的坐标为(，)，且有，则
.图1
图2
图3
2.类似题：
①(2015临海模拟·填空压轴题)
如图，，双曲线经过
点，双曲线经过点，已知点的纵坐标
为，则，点的坐标为
.②(个人原创)如图2，中，，双曲线经过点，双曲线经过点，且
点的纵坐标为，则的值为
.3.难题展示（常州·于新华老师原创题）
(1)如图1，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴
垂线，两垂线交于点，垂足分别为，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处.求点的坐标.(2)如图2，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴
垂线，两垂线交于点，垂足分别为，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处.求点的坐标.图1
图2
4.如图，矩形的边的解析式为，顶点，在双曲线上.①若，则点的坐标为；
②连接，若是等边三角形，则
.后感：若能发现，本题将更简单！
拓展：如图，正方形的顶点、在双曲
线上，、在双曲线上，则正方形的面积为
.5.(2013湖州模拟)
如图1，矩形的顶点、在双曲线上，若点(，)，则点的坐标为
.6.如图2，矩形中，点(，)，点，在双曲线上，若为
中点，则的值为
.图1
图2
7.①如图1，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰直角，则点
也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为；
②如图2，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰，则点也
在一条双曲线上运动，若，则该双曲线解析式为；
③如图3，点，在双曲线上运动，以为底作等腰，点在另一
双曲线上运动，若，请用，表示
.图1
图2
图3
七、平行导角度，角度导比例
1.如图，点，在双曲线上，经过原点，过点作∥轴，连接
并延长，交双曲线于点.①求证：；
②求的值.根据本题的发现，改编了一个清新小题：
如图，点，在双曲线上，经过原点，过点的直线交该
双曲线于点，分别交轴，轴于点，若，.求的值.2.如图，直线交在双曲线于点、，经过原点，过作
交轴于点，连接并延长，交双曲线于点.求的值.3.如图，双曲线与过原点的直线交于点、，点在双曲线上，直线、分别交轴于点、.若设，则
.4.如图，双曲线经过点、、，求证：.八、纯面积推导
1.如图，点(，)，在双曲线上，分别交，轴于，分别交，轴于，.求证：.(此方法感谢江苏·于新华老师的指导！)
2.(2016菏泽)如图，均是等腰直角三角形，双曲线经过点，交线
段与点，求与的面积之差.后感：①题中条件“，均是等腰直角三角形”可如何改变？
②写出，的关系：
.3.(十堰)如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，则的值为
.4.(常州)如图1，双曲线经过点、，且，求的值；
5.如图2，双曲线经过点、、，求证：.图1
图2
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