国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案

形考任务6

常微分方程学习活动6

第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1．若A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组，的任一非零解在空间

不能

与x轴相交．

2．方程组的任何一个解的图象是n

+

1维空间中的一条积分曲线．

3．向量函数组Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)线性相关的必要

条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0．

4．线性齐次微分方程组，的一个基本解组的个数不能多于n

+

个．

5．若函数组在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式在区间上恒等于零

．

6．函数组的朗斯基行列式是

．

7．二阶方程的等价方程组是．

8．若和是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们

没有

共同零点．

9．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是

线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

．

10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N个．

11．在方程y″+

p(x)y′+q(x)y

=

0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy平面上可以与x轴横截相交．

12．二阶线性方程的基本解组是．

13．线性方程的基本解组是

．

14．方程的所有解构成一个

维线性空间．

15．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个

n

维线性空间．

二、计算题

1．将下列方程式化为一阶方程组

（1）

（2）

1．（1）

解，（2）解

2．求解下列方程组：

（1）

（2）

（1）

解

方程组的系数阵为

特征方程为：

det(A-E)=

=，其特征根为

.当时,，其中a,b满足

(A-E)=

=

0,则有a

+

b

=

0．

取a

=

1,b

=1,则得一特解

同理,当时，所以方程组的解为

（2）解

方程组的系数阵为

.特征方程为:

det(A-E)=

=

特征根为

.当时,其中a,b满足

(A-E)=

=0,故有

即

.取，于是方程组对应于

=

故特征根所对应的实解为

=,=

所以方程组的解为

=

3．求解下列方程组：

（1）

（2）

（1）解

方程组的系数阵为

.特征方程为:

det(A-E)=

=

特征根为

当时,其中a,b满足（=

0,即

第一个方程有

令，则

于是由

解得通解

=

.（2）

解

系数阵为

特征方程为:

det(A-E)==.特征根为

.通解解为

.4．求解下列方程组：

（1）

（2）

4．解

方程组的系数阵为，其特征方程为：

det(A-E)=

=.特征根为,方程组有如下形式的解:

代入原方程组有

消去得

令,则

令,则

所以方程组的解为

（2）解

首先求出相应齐次线性方程组的通解.对应齐次方程的系数阵为

.其特征方程为：

det(A-E)=

=.特征根为

当时，其中a,b满足(A-E)=

=0,则有ab

=

0

取a

=

b

=1,则得一特解

同理,当时，所以对应齐次线性方程组的通解为

然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.将代入原方程组，得

解得

.原方程组的特解为

所以原方程组的通解为

5．已知方程的一个解，求其通解．

5．解

由通解公式，6．试求下列n阶常系数线性齐次方程的通解

（1）

（2）

6．（1）

解

特征方程为:

特征根为:。它们对应的解为:

方程通解为:.（2）

解

特征方程为:

特征根为:

它们对应的解为:

方程通解为:

.7．试求下述各方程满足给定的初始条件的解：

（1），（2），7．（1）

解

特征方程为:.特征根为:，方程通解为:

由初始条件有:,解得.所以方程的初值解为:.（2）解

特征方程为:.特征根为:，方程通解为:

由初始条件有:,解得.所以方程的初值解为:.8．求下列n阶常系数线性非齐次方程的通解：

（1）

（2）

8．（1）解

由于，故齐次方程的通解为

.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.将它代入原方程，得,，所求通解为.（2）解

由于，.因为不是特征根，故已知方程有形如的特解．将上式代入原方程，可得，所求通解为

.三、证明题

1．设矩阵函数，在（a,b）上连续，试证明，若方程组

与有相同的基本解组，则º．

2．设在方程中，在区间上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间上严格单调函数．

3．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．

1．证明

设为基本解矩阵,因为基本解矩阵是可逆的,故有

于是.2．证明

设w(x)是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式，则且有，.又因为在区间上连续且恒不为零,从而对,或,所以,在上恒正或恒负,即w(x)为严格单调函数.3．证明

设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为，且，所以有.四、应用题

1．一质量为m的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。

解

设液体的反作用与质点速度的比例系数为

则指点的运动满足方程：

即

则(*)所对应的齐次方程的通解为：

又是齐次方程的特征根,故特解形式为：

代入(*)式得：

所以

由得

故