(精华版)国家开放大学电大本科《社会政策》《常微分方程》网络课形考作业及答案(合集)

(精华版)国家开放大学电大本科《社会政策》《常微分方程》网络课形考作业及答案(合集)

《社会政策》网络课形考作业及答案

形考任务1

一、填空题（每小题5分，共25分）

题目1

政策是政府或其他社会组织为实现其目标而制定的、指导人们行动的各种（）。

答：规则体系

题目2

（）年，德国学者成立了“德国社会政策学会”。

答：1873

题目3

（）是社会政策早期形态，起源于1601年英国政府颁布的《济贫法》。

答：社会救助政策

题目4

（）原则是整个封建传统社会、专制王国、乃至转型期社会的社会管理的核心原则。

答：父权主义

题目5

1884年，在英国伦敦，卫伯夫妇发起成立了（）。

答：费边社

二、单项选择题

（每题5分，共30分）

题目6

作为一个概念，社会政策最早是由（）学者提出的。

选择一项：

B.德国

题目7

1601年，英国伊丽莎白女王颁布了（），规定地方教区可以通过征收税收、接受捐赠、罚款等方式，对穷人实行救济。

选择一项：

C.《济贫法》

题目8

1834年，英国政府通过了（），体现了自由主义思潮。

选择一项：

B.新《济贫法》

题目9

在经历了大萧条后，1935年，美国实施了（）。

选择一项：

D.《社会保障法案》

题目10

第二次世界大战后，（）奠定了英国20世纪40年代主要的社会福利模式。

选择一项：

D.《贝弗里奇报告》

题目11

1948年，福利国家首先在（）宣布建立。

选择一项：

A.英国

三、多项选择题

（每题9分，共45分）

题目12

下列关于公共政策的特点，说法正确的是（）。

选择一项或多项：

A.价值选择

B.由政府和权威部门制定

C.公共性

D.权威性

题目13

1563年，英国颁布了《职工法》，它由（）构成。

选择一项或多项：

A.七年的学徒制

B.强迫劳动

D.官员鉴定的工资制度

题目14

1880年代，德国政府颁行了（），标志着德国社会保险制度的建立。

选择一项或多项：

B.疾病保险法

C.养老和残疾保险法

D.工伤保险法

题目15

1834年，新《济贫法》规定了（）原则，奠定了后来社会救助的基本模式。

选择一项或多项：

A.政府统一管理原则

B.劣等处理原则

D.济贫院检查原则

题目16

艾斯平—安德森根据劳动力去商品化的程度，将西方资本主义福利国家体制划分为（）。

选择一项或多项：

A.自由主义的福利国家

B.社会民主主义的福利国家

C.保守主义的福利国家

形考任务2

我国政府关于社会办医方面还出台了哪些政策？此次颁布的《关于促进社会办医加快发展的若干政策措施》都包括那些重要措施？

答：我国政府关于社会办医方面出台的政策：《国务院关于促进健康服务业发展的若干意见》（国发〔2013〕40号）和《国务院办公厅转发发展改革委卫生部等部门关于进一步鼓励和引导社会资本举办医疗机构意见的通知》（国办发〔2010〕58号）

《关于促进社会办医加快发展的若干政策措施》包括的重要措施：

一、进一步放宽准入

（一）清理规范医疗机构设立审批。

明确并向社会公开公布举办医疗机构审批程序、审批主体和审批时限。各级相关行政部门要按照“非禁即入”原则，全面清理、取消不合理的前置审批事项，整合社会办医疗机构设置、执业许可等审批环节，进一步明确并缩短审批时限，不得新设前置审批事项或提高审批条件，不得限制社会办医疗机构的经营性质，鼓励有条件的地方为申办医疗机构相关手续提供一站式服务。完善社会办医疗机构设立审批的属地化管理，进一步促进社会办医，具体床位规模审批权限由各省（区、市）按照《医疗机构管理条例》自行确定。鼓励社会力量举办中医类专科医院和只提供传统中医药服务的中医门诊部、中医诊所，加快社会办中医类机构发展。

（二）公开区域医疗资源规划情况。

各地要定期公开公布区域内医疗机构数量、布局以及床位、大型设备等资源配置情况，并将社会办医纳入相关规划，按照一定比例为社会办医预留床位和大型设备等资源配置空间，在符合规划总量和结构的前提下，取消对社会办医疗机构的具体数量和地点限制。出台或调整区域卫生规划和医疗机构设置规划，须及时向社会公开公布，并详细说明本区域可新增或拟调整的医疗资源的规模和布局。对涉及新增或调整医疗资源的，包括新建城区等，政府必须落实保基本的责任，同时支持由社会力量举办和运营医疗机构。未公开公布规划的，不得以规划为由拒绝社会力量举办医疗机构或配置医疗设备。

（三）减少运行审批限制。

不将社会办医疗机构等级、床位规模等作为确定配置大型设备的必要前置条件，重点考核机构人员资质与技术服务能力等指标。优化大型设备配置使用程序，简化流程。严控公立医院超常配置大型医用设备；社会办医疗机构配置大型医用设备，凡符合规划条件和准入资质的，不得以任何理由加以限制。

（四）控制公立医院规模，规范公立医院改制。

按照总量控制、结构调整、规模适度的原则，合理控制公立医疗机构数量和规模，拓展社会办医发展空间。总结地方实践经验，引导和规范公立医院改制，避免国有资产流失。各地要结合区域卫生规划和医疗机构设置规划制订工作，明确政府办医的范围和数量，落实政府投入责任，严格限制公立医院特需服务规模。在县域内，社会办医要和县级公立医院改革相结合，发挥公立医院主体作用和社会办医补充作用，相辅相成。在此基础上，在公立医疗资源丰富的地区，有序引导和规范包括国有企业办医院在内的部分公立医院改制。推动国有企业办医院分离移交或改制试点，建立现代法人治理结构。积极引入社会力量参与国有企业办医疗机构重组改制。

二、拓宽投融资渠道

（五）加强财政资金扶持。

将提供基本医疗卫生服务的社会办非营利性医疗机构纳入政府补助范围，在临床重点专科建设、人才培养等方面，执行与公立医疗机构同等补助政策。通过政府购买服务方式，支持符合条件的社会办医疗机构承接当地公共卫生和基本医疗服务以及政府下达的相关任务，并逐步扩大购买范围。将符合条件的社会办医疗机构纳入急救网络，执行政府下达的指令性任务，并按与公立医疗机构同等待遇获得政府补偿。鼓励地方探索建立对社会办非营利性医疗机构举办者的激励机制。

（六）丰富筹资渠道。

通过特许经营、公建民营、民办公助等模式，支持社会力量举办非营利性医疗机构，健全法人治理结构，建立现代医院管理制度。鼓励地方通过设立健康产业投资基金等方式，为社会办医疗机构提供建设资金和贴息补助。鼓励社会办医疗机构以股权融资、项目融资等方式筹集开办费和发展资金。支持符合条件的社会办营利性医疗机构上市融资或发行债券，对接多层次资本市场，利用多种融资工具进行融资。

（七）优化融资政策。

鼓励金融机构根据医疗机构特点创新金融产品和服务方式，扩大业务规模。拓宽信贷抵押担保物范围，探索允许社会办医疗机构利用有偿取得的用于非医疗用途的土地使用权和产权明晰的房产等固定资产办理抵押贷款。鼓励社会办医疗机构在银行间债券市场注册发行非金融企业债务融资工具筹集资金，鼓励各类创业投资机构和融资担保机构对医疗领域创新型业态、小微企业开展业务。

三、促进资源流动和共享

（八）促进大型设备共建共享。

探索以公建民营或民办公助等多种方式，建立区域性检验检查中心，面向所有医疗机构开放。大型设备配置饱和的区域不允许包括公立医疗机构在内的所有医疗机构新增大型设备，鼓励地方通过各种方式整合现有大型设备资源，提高使用效率。鼓励公立医疗机构与社会办医疗机构开展合作，在确保医疗安全和满足医疗核心功能前提下，实现医学影像、医学检验等结果互认和医疗机构消毒供应中心（室）等资源共享。

（九）推进医师多点执业。

加快推进和规范医师多点执业，鼓励和规范医师在不同类型、不同层级的医疗机构之间流动，鼓励医师到基层、边远山区、医疗资源稀缺地区和其他有需求的医疗机构多点执业，医务人员在学术地位、职称晋升、职业技能鉴定、专业技术和职业技能培训等方面不因多点执业受影响。各地要根据实际，对开展医师多点执业涉及的人事管理、收入分配、社会保险等工作尽快研究制订试点方案，取得经验后逐步推开。鼓励探索区域注册和多点执业备案管理试点。

（十）加强业务合作。

鼓励地方探索公立医疗机构与社会办医疗机构加强业务合作的有效形式和具体途径。鼓励公立医疗机构为社会办医疗机构培养医务人员，提高技术水平，并探索开展多种形式的人才交流与技术合作。鼓励具备医疗机构管理经验的社会力量通过医院管理集团等多种形式，在明确责权关系的前提下，参与公立医疗机构管理。

四、优化发展环境

（十一）落实医疗机构税收政策。

积极落实社会办医疗机构各项税收政策。对社会办医疗机构提供的医疗服务，免征营业税；对符合规定的社会办非营利性医疗机构自用的房产、土地，免征房产税、城镇土地使用税；对符合规定的社会办营利性医疗机构自用的房产、土地，自其取得执业登记之日起，3年内免征房产税、城镇土地使用税。社会办医疗机构按照企业所得税法规定，经认定为非营利组织的，对其提供的医疗服务等符合条件的收入免征企业所得税。企业、个人通过公益性社会团体或者县级以上人民政府及其部门对社会办非营利性医疗机构的捐赠，按照税法规定予以税前扣除。

（十二）将社会办医纳入医保定点范围。

将符合条件的社会办医疗机构纳入医保定点范围，执行与公立医疗机构同等政策。不得将医疗机构所有制性质作为医保定点的前置性条件，不得以医保定点机构数量已满等非医疗服务能力方面的因素为由，拒绝将社会办医疗机构纳入医保定点。规范各类医疗收费票据，非营利性医疗机构使用统一的医疗收费票据，营利性医疗机构使用符合规定的发票，均可作为医疗保险基金支付凭证，细化不同性质医疗机构收费和票据使用与医保基金的结算办法。

（十三）提升临床水平和学术地位。

鼓励社会办医疗机构引进新技术、开展新项目，提供特色诊疗服务。支持社会办医疗机构积极引进中高端人才，组织开展多方面的科技交流与合作。社会办医在职称评定、科研课题招标和成果评价等方面与公立医疗机构享有同等待遇。鼓励符合条件的社会办医疗机构申报认定住院医师规范化培训基地、医师定期考核机构、医学高（中）等院校临床教学基地等。支持社会办医疗机构参与各医学类行业协会、学术组织、职称评定和医疗机构评审委员会，在符合标准的条件下，不断提高其人员所占比例，进一步保障社会办医疗机构医务人员享有担任与其学术水平和专业能力相适应的职务的机会。

（十四）规范收费政策。

坚决执行国家行政事业收费相关政策，对社会办非营利性医疗机构免征行政事业性收费，对营利性医疗机构减半征收行政事业性收费。进一步清理和取消对社会办医疗机构不合理、不合法的收费项目，在接受政府管理的各类收费项目方面，对社会办非营利性医疗机构执行与公立医疗机构相同的收费政策和标准。

（十五）完善监管机制。

加强对社会办医疗机构负责人及有关管理人员的培训，促进规范管理，提高经营水平。加大医疗机构信息公开力度，各级卫生计生行政部门定期公开公布区域内医疗机构服务情况及日常监督、处罚信息，接受社会监督。加强监管体系和能力建设，严厉打击非法行医，严肃查处租借执业证照开设医疗机构和出租承包科室等行为，严惩经查实的恶性医疗事故、骗取医保资金、虚假广告宣传、过度医疗、推诿患者等行为，探索建立医疗机构及其从业人员退出机制。建立健全医疗机构及其从业人员信用记录，依法推进信息公开并纳入国家统一的信用信息共享交换平台，对严重违规失信者依法采取一定期限内行业禁入等惩戒措施。加强医疗安全管理，引导参加医疗责任险。完善医疗机构分类管理政策，出台非营利性医疗机构管理细则，明确对经营性质、资金结余使用等的监管办法。

（十六）营造良好氛围。

充分利用报纸、广播、电视、网络等媒体，大力宣传各地鼓励、引导社会办医疗机构发展的方针政策，宣传社会办医疗机构在医疗服务体系中的重要地位和作用，宣传和表彰社会办医疗机构中涌现出的先进典型，扩大社会办医疗机构的影响，形成有利于社会办医疗机构发展的良好社会氛围。

各地区、各有关部门要高度重视，把发展社会办医放在重要位置，加强沟通协调，密切协作配合，形成工作合力。各有关部门要根据本通知要求，及时制订或完善配套措施，同时为地方开展差别化、多样化改革探索留出空间。各省级人民政府要结合实际制定具体工作方案，细化政策措施，确保落到实处。各级发展改革委、卫生计生委等部门要对政策落实情况进行监督检查和跟踪分析，建立重点工作跟踪机制和定期督导制度，确保促进社会办医加快发展取得成效。

形考任务3

请同学们浏览学习本网络课程的“热点话题”栏目，选择其中一个话题，发表自己的看法，完成500—800字的小文。

中国新型社会保险体系的特点：

答：与计划经济体制下，国家一单位保险体制相比，新型社会保险体系具有五个基本特点。

第一，确立了责任共担的筹集机制。新型社会保险体系改变了国家单方面负担的局面，建立了以企业和职工个人缴费为主，国家税收优惠和财政补贴为辅助的三方共担机制。这种三方共担的机制，一方面分散了国家财政的压力，扩大了筹资渠道，另一方面建立了个人权利和责任的对等机制，有利于激励个人缴纳保险费和约束个人的社会保险浪费行为。

第二，建立了多层次的保障体系。除了国家社会保险体系这一基本保障外，同时还 规定了企业补充保险，个人储蓄保险等保障层次。在国家、企业和个人之间建立了不同的保障责任划分，既体现了国家基本保障的公平原则，也体现了企业和个人保障的效率原则，有利于中国社会保障的多样化发展。

第三，实现了社会化的管理和经办体系。型社会保险体系运行于企业之外，建立 一套社会化的管理和经办体系，彻底减轻了企业的负担，也切实维护了企业职工的保障权益。

第四，确立了低水平、广覆盖的基本方针。这有助于维护广大人民的基本生活保障权益，也有助于这项制度的推行和可持续发展，避免引起福利刚性和造成福利负担过重。

第五，确立了社会统筹和个人账户相结合的基本模式。社会统筹有利于维护公平原则，保障所有参保职工的基本权益，个人账户体现了效率原则，鼓励个人多缴费、多保障。

形考任务4

城市最低生活保障制度是我国非常重要、推行非常普遍的社会救助政策。试从您所在的社区了解低保制度的运行、效果、存在的问题等问题出发，撰写一份800字左右的调查报告。

答：

关于低保制度运行、效果、存在的问题的调查报告

2020年5月上旬，区民政局联合组织对全区城乡低保的运行进行调查，现将调查情况报告如下：

一、全区社会救助制度运行情况

城乡低保工作。2020年1-5月份，全区累计发放城市低保7975户11884人次433.03万元，累计新增41户74人，停发106户163人，5月份共有低保对象1297户1917人，月发放保障金72.43万元。保障人数占全区城市常住总人口32万人的0.63%。累计发放农村低保6265户10161人次215.27万元，累计新增35户81人，停发55户78人，5月份共有农村低保对象1032户1682人，月发放保障金37.99万元。全区农村困难群众享受社会救助政策人数3337人，占全区农村常住总人口5.2万人的6.41%（含失地农民享受城市低保的192户323人，农村五保429人，区政府兜底救助903人）。全省农村低保人数占农村常住总人口的4.3%，全市农村低保人数占农村常住总人口的4.7%，XX区农村低保人数占农村常住总人口的1%。

医疗救助和临时救助工作。上半年累计医疗救助5853人次（含资助城乡居民医保人数），发放救助金198万元。临时救助累计293人次，发放临时救助金53.27万元。乡镇预拨临时救助资金使用情况：2019年7月先行预拨给乡镇街道（开发区）220万元救助资金，其中XX路街道30万元、XX路街道30万元、XX街道30万元、XX街道30万元，XX乡20万元、XX乡20万元、XX镇20万元、XX镇30万元、XX开发区10万元。各乡镇街道（开发区）可按每户每次1800元以下予以及时救助。截止日前，XX路街道已救助108人次15.69万元、XX路街道30人次4.29万元、XX街道59人次7.68万元、XX街道100人次13.22万元、XX乡89人次8.92万元、XX乡139人次13.02万元、XX镇41人次5.14万元、XX镇194人次20.55万元、XX开发区25人次3.75万元。从2019年7月至今全区共救助777人次91.12万元。

五保供养工作。全区累计发放五保对象2539人次，发放五保供养资金168.65万元，5月份发放429人，月发放资金30.75万元。其中集中供养167人，分散供养262人。集中供养率38.9%。

孤儿救助工作。全区累计发放孤儿救助78人次9.23万元，5月份实有孤儿13人，月发放孤儿救助金1.64万元。

兜底保障工作。2019年上半年对低保对象、五保对象以外的精准扶贫户中的失能半失能老人、重度残疾人、重病患者等三类对象进行兜底，共保障903人，发放兜底保障金170.6万元。

二、走访入户调查情况

低保调查情况。XX街道提供了4户相对比较困难的家庭，调查组逐户深入走访，4户中有1户按家庭收入计算基本符合低保条件，但户主（近日已因病过世）名下有一辆车，不能申报城市低保，待其配偶办完车辆过户手续后，可以申请享受低保，其它3户均不符合现行的低保政策。

三、存在的问题

（一）社会救助对象动态信息掌握不及时，城乡低保覆盖面还有扩大的空间。

调查中发现，由于村、社区一级社会救助对象居住分散，负责民政工作人员不足、交通等软硬件条件不完善、市区两级之间社会救助信息无法及时准确有效进行核对，导致社会救助对象动态管理和信息掌握不及时，新出现的困难户（尤其是农村困难户）情况未及时掌握，给城乡低保扩面工作带来困难，下一步，全区进一步扩大城乡低保覆盖面尚存在空间。

（二）乡镇、村（社区）民政工作人员少且对城乡低保政策研究的还不够透彻，政策把握还不够精准。

（三）社会救助政策性强，部分困难群众无法得到有效救助。

（四）容错机制不健全。

四、建议与对策

（一）对接建立覆盖市、区、乡镇街道、村（社区）的四级社会救助对象动态信息网络。

（二）加大对乡镇街道（村）社区民政干部的培训力度。

（三）探索开展城乡低保工作政府购买服务。

（四）积极主动做好全区农村低保、五保政策与精准扶贫脱贫摘帽政策的衔接工作，确保精准脱贫不落一人。

（五）加大临时救助力度。

（六）积极与区卫计委沟通协调。

（七）积极探索低保审批权委托乡镇审批工作

《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案

形考任务1

题目1

本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．

选择一项：

A.一阶线性微分方程组

题目2

本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．

选择一项：

C.初等积分法中的方程可积类型的判断

题目3

网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．

选择一项：

A.课程公告

D.系统学习

题目4

网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．

选择一项：

D.常数变易法

题目5

网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．

选择一项：

A.18

题目6

网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．

选择一项：

B.复习指导

题目7

请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．

答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。

一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。

在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分

变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。

至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。

由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。

形考任务2

初等积分法中的方程可积类型的判断（1）

题目1

答：（一阶线性非齐次微分）方程.题目2

答：（可降阶的高阶）方程

题目3

答：（克莱洛）方程

题目4

答：（伯努利）方程

题目5

答：（一阶线性非齐次微分）方程

题目6

答：（恰当导数）方程

题目7

答：（变量可分离）方程

题目8

答：（一阶隐式微分）方程

题目9

答：（全微分）方程

题目10

答：

（齐次微分）方程

形考任务3

常微分方程学习活动3

第一章

初等积分法的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1．微分方程是

二

阶微分方程．

2．初值问题的解所满足的积分方程是．

3．微分方程是

一阶线性非齐次微分方程

．（就方程可积类型而言）

4．微分方程是

全微分方程

．（就方程可积类型而言）

5．微分方程是

恰当倒数方程

．（就方程可积类型而言）

6．微分方程的所有常数解是．

7．微分方程的常数解是

．

8．微分方程的通解为．

9．微分方程的通解是.10．一阶微分方程的一个特解的图像是　二

维空间上的一条曲线．

二、计算题

1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：

（1）

答：一阶，非线性

（2）

答：四阶，线性

（3）

答：三阶，非线性

2．用分离变量法求解下列方程：

（1）

（2）

（3）

2．（1）解

通积分为

（2）解

当时，分离变量，两端取积分得

即

通积分为

另外，是常数解，注:

在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。

（3）解

当时,方程可变为，通积分为

或,上式代入初值条件.得.于是初值问题解为

.3．解下列齐次线性微分方程

（1）

（2）

（1）解

显然是方程的解.当时,原方程可化为

.令,则原方程可化为,即

易于看出,是上面方程的解,从而

是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得(C)

将换成,便得到原方程的解,(C).故原方程的通解为（为任意常数）及

.（2）解

显然是方程的解.当时,原方程可化为

.令,则原方程可化为,即

易于看出,是上式的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得

(C).将换成,便得到原方程的解

(C).故原方程的通解为

.4．解下列一阶线性微分方程：

（1）

（2）

（1）解

先解齐次方程

.其通解为

.用常数变易法,令非齐次方程通解为

.代入原方程,化简后可得.积分得到

.代回后即得原方程通解为

.（2）解

先解齐次方程

.其通解为

.用常数变易法,令非齐次方程通解为

.代入原方程,化简后可得

.积分得到

.代回后即得原方程通解为

.5．解下列伯努利方程

（1）

（2）

（1）解

显然是方程解.当时,两端同除,得

.令,代入有

它的解为

于是原方程的解为，及

（2）解

显然是方程解.当时,两端同除,得

.令,代入有

它的解为，于是原方程的解，及

6．解下列全微分方程：

（1）

（2）

（1）解

因为,所以这方程是全微分方程,及

在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即

.（2）解

因为,所以这方程是全微分方程,及

在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即

.7．求下列方程的积分因子和积分：

（1）

（2）

（1）解

因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.由公式（1.58）得积分因子，即

于是方程

为全微分方程.取

.于是方程的通积分为.即

.（2）解

因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.解方程

由公式（1.58）得积分因子，即

于是方程

为全微分方程.取

.于是通积分为.即.8．求解下列一阶隐式微分方程

（1）

（2）

（1）解

将方程改写为

即或

解得通积分为：,又是常数解.（2）解

显然是方程的解.当时,方程可变为,令,则上面的式子可变为

.解出u得,.即

.对上式两端积分得到方程的通解为

9．求解下列方程

（1）

（2）

（1）解

令,则.代入原式得.解出得

.这是克莱洛方程，通解为

.即

.解之得

（为任意常数）.（2）解

化简得，即

求积分得

..三、证明题

1．设函数，在上连续，且，（a,b为常数）．求证：方程的一切解在上有界．

2．设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有．

1．证明

设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0,则

由于，所以对任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞时

有

令，则

于是得到

又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取，则

2．证明

设是方程任一解，满足，该解的表达式为

取极限

=

四、应用题

1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比,已知空气温度为,而物体在15分钟内由

冷却到,求物体冷却到所需的时间.2．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：

（1）物体运动的微分方程；

（2）求5

s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．

1．解

设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题

其中为常数．

解得

设物体冷却到40℃所需时间为，于是由得

解得

52分钟.2．解

取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设

时刻速度为,距离为,由题意满足初值问题

解得

再由解得

于是得到5秒后，,．

形考任务4

常微分方程学习活动4

第二章

基本定理的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1.方程的任一非零

不能

与x轴相交．

2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分条件．

3.方程+

ysinx

=

ex的任一解的存在区间必是(-∞,+∞)

．

4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是开区间

．

5．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　XOY平面．

6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面．

7．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面．

8．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是---，（或不含x

轴的上半平面）．

9．方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面．

10．一个不可延展解的存在在区间一定是开区间．

二、计算题

1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？

（1）

（2）

1．解

（1)

因为及在整个平面上连续,且满足存在唯一性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.（2)

因为及在整个平面上连续,且满足存在唯一性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.2．

讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过的一切解．

2.解

因为方程在整个平面上连续,除轴外,在整个平面上有界,所以除轴外在整个平面上都满足定理2.1的条件.而后分离变量并积分可求出方程的通解为

其中

另外容易验证是方程的特解.因此通过的解有无穷多个,分别是:

3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．

（1）

（2）

3．解

（1)

因为在半平面上连续,当时无界,所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程无奇解.（2)

因为在的区域上连续,当时无界,所以如果方程有奇解,则奇解只能是

显然是方程的解,是否为奇解还需要进一步讨论.为此先求出方程的通解

由此可见对于轴上点

存在通过该点的两个解:

及

故是奇解.三、证明题

1．试证明：对于任意的及满足条件的，方程的解在上存在．

2．设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程的任一解在区间上有定义．

3．设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为．

4．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．

5．假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，则在区间I上必有

<成立．

6．设是方程的非零解，其中在上连续．求证：当时，必有．

7．设在上连续可微，求证：对任意的，方程

满足初值条件的解必在上存在．

8．证明：一阶微分方程的任一解的存在区间必是．

1．证明

首先和是方程在的解.易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件.现在考虑过初值

()的解,根据唯一性,该解不能穿过直线和.因此只有可能向左右两侧延展,从而该初值解应在上存在.2．证明

不妨设过点分别作直线

和

.设过点的初值解为.因为,故在的某一右邻域内,积分曲线位于之下,之上.下证曲线不能与直线相交.若不然,使得且,但由拉格郎日中值定理，使得.矛盾.此矛盾证明曲线不能与直线相交.同理可证,当时,它也不能与相交.故当

时解曲线位于直线,之间.同理可证,当时,解曲线也位于直线,之间.由延展定理,的存在区间为。

3．证明

由已知条件，该方程在整个

平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．

显然

是方程的两个常数解．

任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．

4．证明

由已知条件可知，该方程在整个

平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解

．

对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义．

若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域

内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为．

5．证明

仅证方向，（反之亦然）．

假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾）．

令=-，那么

=-<

0，=->

0

由连续函数介值定理，存在，使得

=-=

0

即

=

这与解惟一矛盾

6．证明

由已知条件知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条件．

设是方程的一个非零解，假如它满足，由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾．

7．证明

该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理．

又

是该方程的两个常数解．

现取，记过点的解为．一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越，否则将破坏解的惟一性．因此，该解只能在区域内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是．

8．证明

方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又是方程的常数解．

对平面上任取的若则对应的是常数解其存在区间显然是

若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是．

四、应用题

1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在轴上的截距之和为1．

2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数．

1．解

首先,由解析几何知识可知,满足的直线

都是所求曲线.设

(x,y)

为所求曲线上的点，(X,Y)为其切线上的点,则过

(x,y)的切线方程为

.显然有

此处

a

与

b

分别为切线在Ox

轴与Oy

轴上的截距.故

.解出y,得到克莱洛方程,通解为

所以,即

为所求曲线方程.2．解

设

(x,y)

为所求曲线上的点,(X,Y)为其切线上的点,则过

(x,y)的切线方程为

.显然有

此处

a

与

b

分别为切线在Ox

轴与Oy

轴上的截距.故,即.解出得

故曲线的方程为

消去即的曲线方程为

.形考任务5

题目1

方程过点（0,0）的积分曲线（）．

选择一项：

A.有无穷多条

题目2

方程在xoy平面上任一点的解都（）．

选择一项：

B.是惟一的题目3

方程的所有常数解是（）．

选择一项：

题目4

方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是（）.选择一项：

C.除去x轴的全平面

题目5

方程过点(0,0)的解为，此解的存在区间是（）.选择一项：

题目6

若A(x),F(x)≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组，的任一非零解

（）

．

选择一项：

D.可以与x轴相交

题目7

n维方程组的任一解的图像是n+1维空间中的（）．

选择一项：

B.一条曲线

题目8

方程的任一非零解在平面上（）零点．

选择一项：

D.有无穷多个

题目9

三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间．

选择一项：

A.3维

题目10

用待定系数法求方程的非齐次特解时，应设为（）．

选择一项：

形考任务6

常微分方程学习活动6

第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1．若A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组，的任一非零解在空间

不能

与x轴相交．

2．方程组的任何一个解的图象是n

+

维空间中的一条积分曲线．

3．向量函数组Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)线性相关的必要

条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0．

4．线性齐次微分方程组，的一个基本解组的个数不能多于n

+

个．

5．若函数组在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式在区间上恒等于零

．

6．函数组的朗斯基行列式是

．

7．二阶方程的等价方程组是

．

8．若和是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们

没有

共同零点．

9．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

．

10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N

个．

11．在方程y″+

p(x)y′+q(x)y

=

0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy平面上

可以

与x轴横截相交．

12．二阶线性方程的基本解组是　　．

13．线性方程的基本解组是

．

14．方程的所有解构成一个

维线性空间．

15．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个

n

维线性空间．

二、计算题

1．将下列方程式化为一阶方程组

（1）

（2）

1．（1）

解，（2）解

2．求解下列方程组：

（1）

（2）

（1）

解

方程组的系数阵为

特征方程为：

det(A-E)=

=，其特征根为

.当时,，其中a,b满足

(A-E)=

=

0,则有a

+

b

=

0．

取a

=

1,b

=1,则得一特解

同理,当时，所以方程组的解为

（2）解

方程组的系数阵为

.特征方程为:

det(A-E)=

=

特征根为

.当时,其中a,b满足

(A-E)=

=0,故有

即

.取，于是方程组对应于

=

故特征根所对应的实解为

=,=

所以方程组的解为

=

3．求解下列方程组：

（1）

（2）

（1）解

方程组的系数阵为

.特征方程为:

det(A-E)=

=

特征根为

当时,其中a,b满足（=

0,即

第一个方程有

令，则

于是由

解得通解

=

.（2）

解

系数阵为

特征方程为:

det(A-E)==.特征根为

.通解解为

.4．求解下列方程组：

（1）

（2）

4．解

方程组的系数阵为，其特征方程为：

det(A-E)=

=.特征根为,方程组有如下形式的解:

代入原方程组有

消去得

令,则

令,则

所以方程组的解为

（2）解

首先求出相应齐次线性方程组的通解.对应齐次方程的系数阵为

.其特征方程为：

det(A-E)=

=.特征根为

当时，其中a,b满足(A-E)=

=0,则有ab

=

0

取a

=

b

=1,则得一特解

同理,当时，所以对应齐次线性方程组的通解为

然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.将代入原方程组，得

解得

.原方程组的特解为

所以原方程组的通解为

5．已知方程的一个解，求其通解．

解：由通解公式，6．试求下列n阶常系数线性齐次方程的通解

（1）

（2）

6．（1）

解

特征方程为:

特征根为:。它们对应的解为:

方程通解为:.（2）

解

特征方程为:

特征根为:

它们对应的解为:

方程通解为:

.7．试求下述各方程满足给定的初始条件的解：

（1），（2），7．（1）

解

特征方程为:.特征根为:，方程通解为:

由初始条件有:,解得.所以方程的初值解为:.（2）解

特征方程为:.特征根为:，方程通解为:

由初始条件有:,解得.所以方程的初值解为:.8．求下列n阶常系数线性非齐次方程的通解：

（1）

（2）

8．（1）解

由于，故齐次方程的通解为

.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.将它代入原方程，得,，所求通解为.（2）解

由于，.因为不是特征根，故已知方程有形如的特解．将上式代入原方程，可得，所求通解为

.三、证明题

1．设矩阵函数，在（a,b）上连续，试证明，若方程组

与有相同的基本解组，则º．

2．设在方程中，在区间上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间上严格单调函数．

3．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．

1．证明

设为基本解矩阵,因为基本解矩阵是可逆的,故有

于是.2．证明

设w(x)是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式，则且有，.又因为在区间上连续且恒不为零,从而对,或,所以,在上恒正或恒负,即w(x)为严格单调函数.3．证明

设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为，且，所以有.四、应用题

1．一质量为m的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。

解

设液体的反作用与质点速度的比例系数为

则指点的运动满足方程：

即

则(*)所对应的齐次方程的通解为：

又是齐次方程的特征根,故特解形式为：

代入(*)式得：

所以

由得

故