国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案

形考任务4

常微分方程学习活动4

第二章

基本定理的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1.方程的任一非零解

不能

与x轴相交．

2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分

条件．

3.方程+

ysinx

=

ex的任一解的存在区间必是(-∞,+∞)

．

4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是

开区间

．

5．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面

．

6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　XOY平面．

7．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面．

8．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是---，（或不含x

轴的上半平面）．

9．方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面．

10．一个不可延展解的存在在区间一定

开

区间．

二、计算题

1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？

（1）

（2）

1．解

（1)

因为及在整个平面上连续,且满足存在唯一性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.（2)

因为及在整个平面上连续,且满足存在唯一性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.2．

讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过的一切解．

2.解

因为方程在整个平面上连续,除轴外,在整个平面上有界,所以除轴外在整个平面上都满足定理2.1的条件.而后分离变量并积分可求出方程的通解为

其中

另外容易验证是方程的特解.因此通过的解有无穷多个,分别是:

3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．

（1）

（2）

3．解

（1)

因为在半平面上连续,当时无界,所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程无奇解.（2)

因为在的区域上连续,当时无界,所以如果方程有奇解,则奇解只能是

显然是方程的解,是否为奇解还需要进一步讨论.为此先求出方程的通解

由此可见对于轴上点

存在通过该点的两个解:

及

故是奇解.三、证明题

1．试证明：对于任意的及满足条件的，方程的解在上存在．

2．设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程的任一解在区间上有定义．

3．设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为．

4．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．

5．假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，则在区间I上必有

<成立．

6．设是方程的非零解，其中在上连续．求证：当时，必有．

7．设在上连续可微，求证：对任意的，方程

满足初值条件的解必在上存在．

8．证明：一阶微分方程的任一解的存在区间必是．

1．证明

首先和是方程在的解.易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件.现在考虑过初值

()的解,根据唯一性,该解不能穿过直线和.因此只有可能向左右两侧延展,从而该初值解应在上存在.2．证明

不妨设过点分别作直线

和

.设过点的初值解为.因为,故在的某一右邻域内,积分曲线位于之下,之上.下证曲线不能与直线相交.若不然,使得且,但由拉格郎日中值定理，使得.矛盾.此矛盾证明曲线不能与直线相交.同理可证,当时,它也不能与相交.故当

时解曲线位于直线,之间.同理可证,当时,解曲线也位于直线,之间.由延展定理,的存在区间为。

3．证明

由已知条件，该方程在整个

平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．

显然

是方程的两个常数解．

任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．

4．证明

由已知条件可知，该方程在整个

平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解

．

对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义．

若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域

内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为．

5．证明

仅证方向，（反之亦然）．

假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾）．

令=-，那么

=-<

0，=->

0

由连续函数介值定理，存在，使得

=-=

0

即

=

这与解惟一矛盾

6．证明

由已知条件知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条件．

设是方程的一个非零解，假如它满足，由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾．

7．证明

该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理．

又

是该方程的两个常数解．

现取，记过点的解为．一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越，否则将破坏解的惟一性．因此，该解只能在区域内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是．

8．证明

方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又是方程的常数解．

对平面上任取的若则对应的是常数解其存在区间显然是

若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是．

四、应用题

1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在轴上的截距之和为1．

2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数．

1．解

首先,由解析几何知识可知,满足的直线

都是所求曲线.设

(x,y)

为所求曲线上的点，(X,Y)为其切线上的点,则过

(x,y)的切线方程为

.显然有

此处

a

与

b

分别为切线在Ox

轴与Oy

轴上的截距.故

.解出y,得到克莱洛方程,通解为

所以,即

为所求曲线方程.2．解

设

(x,y)

为所求曲线上的点,(X,Y)为其切线上的点,则过

(x,y)的切线方程为

.显然有

此处

a

与

b

分别为切线在Ox

轴与Oy

轴上的截距.故,即.解出得

故曲线的方程为

消去即的曲线方程为.