国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案

形考任务3

常微分方程学习活动3

第一章

初等积分法的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1．微分方程是

二

阶微分方程．

2．初值问题的解所满足的积分方程是．

3．微分方程是

一阶线性非齐次微分方程

．（就方程可积类型而言）

4．微分方程是

全微分方程

．（就方程可积类型而言）

5．微分方程是

恰当倒数方程

．（就方程可积类型而言）

6．微分方程的所有常数解是．

7．微分方程的常数解是

．

8．微分方程的通解为．

9．微分方程的通解是.10．一阶微分方程的一个特解的图像是　二

维空间上的一条曲线．

二、计算题

1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：

（1）

答：一阶，非线性

（2）

答：四阶，线性

（3）

答：三阶，非线性

2．用分离变量法求解下列方程：

（1）

（2）

（3）

2．（1）解

通积分为

（2）解

当时，分离变量，两端取积分得

即

通积分为

另外，是常数解，注:

在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。

（3）解

当时,方程可变为，通积分为

或,上式代入初值条件.得.于是初值问题解为

.3．解下列齐次线性微分方程

（1）

（2）

（1）解

显然是方程的解.当时,原方程可化为

.令,则原方程可化为,即

易于看出,是上面方程的解,从而

是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得(C)

将换成,便得到原方程的解,(C).故原方程的通解为（为任意常数）及

.（2）解

显然是方程的解.当时,原方程可化为

.令,则原方程可化为,即

易于看出,是上式的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得

(C).将换成,便得到原方程的解

(C).故原方程的通解为

.4．解下列一阶线性微分方程：

（1）

（2）

（1）解

先解齐次方程

.其通解为

.用常数变易法,令非齐次方程通解为

.代入原方程,化简后可得.积分得到

.代回后即得原方程通解为

.（2）解

先解齐次方程

.其通解为

.用常数变易法,令非齐次方程通解为

.代入原方程,化简后可得

.积分得到

.代回后即得原方程通解为

.5．解下列伯努利方程

（1）

（2）

（1）解

显然是方程解.当时,两端同除,得

.令,代入有

它的解为

于是原方程的解为，及

（2）解

显然是方程解.当时,两端同除,得

.令,代入有

它的解为，于是原方程的解，及

6．解下列全微分方程：

（1）

（2）

（1）解

因为,所以这方程是全微分方程,及

在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即

.（2）解

因为,所以这方程是全微分方程,及

在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即

.7．求下列方程的积分因子和积分：

（1）

（2）

（1）解

因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.由公式（1.58）得积分因子，即

于是方程

为全微分方程.取

.于是方程的通积分为.即

.（2）解

因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.解方程

由公式（1.58）得积分因子，即

于是方程

为全微分方程.取

.于是通积分为.即.8．求解下列一阶隐式微分方程

（1）

（2）

（1）解

将方程改写为

即或

解得通积分为：,又是常数解.（2）解

显然是方程的解.当时,方程可变为,令,则上面的式子可变为

.解出u得,.即

.对上式两端积分得到方程的通解为

9．求解下列方程

（1）

（2）

（1）解

令,则.代入原式得.解出得

.这是克莱洛方程，通解为

.即

.解之得

（为任意常数）.（2）解

化简得，即

求积分得

..三、证明题

1．设函数，在上连续，且，（a,b为常数）．求证：方程的一切解在上有界．

2．设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有．

1．证明

设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0,则

由于，所以对任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞时

有

令，则

于是得到

又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取，则

2．证明

设是方程任一解，满足，该解的表达式为

取极限

=

四、应用题

1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比,已知空气温度为,而物体在15分钟内由

冷却到,求物体冷却到所需的时间.2．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：

（1）物体运动的微分方程；

（2）求5

s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．

1．解

设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题

其中为常数．

解得

设物体冷却到40℃所需时间为，于是由得

解得

52分钟.2．解

取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设

时刻速度为,距离为,由题意满足初值问题

解得

再由解得

于是得到5秒后，,．