第18章
《平行四边形》单元测试
一．选择题（每题3分，共30分）
1．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（）
A．100°
B．160°
C．80°
D．60°
2．中，已知，则等于（）
A．140°
B．40°
C．80°
D．50°
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（1，2），则菱形OABC的面积是（）
A．
B．
C．2+1
D．2﹣1
4．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为点E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为（）
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
5．如图，在矩形中，，则（）
A．6
B．
C．5
D．
6．已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm,则菱形的面积为（）
A．
B．40
C．
D．
7．如图，在中，，垂足为点，点是的中点，若，则的长为（）
A．10
B．12
C．13
D．11
8．如图，已知矩形ABCD中，DE＝AD，则S矩形ABCD＝（）S△EBC．
A．2
B．3
C．4
D．5
9．根据下列条件，能作出平行四边形的是（）
A．两组对边长分别是3cm和7cm
B．相邻两边的边长分别是2cm和4cm，一条对角线长是7cm
C．一条对角线长为6cm，另一条对角线长为10cm，一条边长为8cm
D．一条边长为7cm，两条对角线长为6cm和8cm
10．矩形ABCD中，E在AD上，AE＝ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面积分为1：2，则BF：FC＝（）（BF＜FC）
A．1：3
B．1：4
C．1：5
D．2：9
二．填空题（每题4分，共20分）
11.如图，在平行四边形中，，于，则
．
12.菱形中，、分别是、的中点，且，那么等于
．
13.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于________．
14.如图，正方形中，是对角线的交点，过点作，分别交于，若，则
15.如图，l1∥l2，菱形ABCD的顶点A、B分别在直线l1、l2上，直线l1过CD的中点E，AB⊥l2，AB＝4，则AE＝
．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG；
②BG＝GC；
（2）求△FGC的面积．
17．如图所示，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点且AF＝AD，求证：
①CE平分∠BCF；
②判断△CEF的形状；
③CF＝AF+AB．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
19．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
20．如图，E、F是平行四边形的对角线所在直线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．
21．已知：正方形的对角线交于点，是线段上的一动点，过点作交，交于．
（1）若动点在线段上（不含端点），如图（1），求证：；
（2）若动点在线段的延长线上，如图（2），试判断的形状，并说明理由．
22．如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB＝2．
（1）求证：AD＝AE；
（2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
23．在平行四边形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，若AG＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与CF相等的线段．
参考答案
一．选择题
1．D
2．B
3．B
4．A．
5．A．
6．B．
7．A．
8．A．
9．A．10．C
二．填空题（共5小题）
11.【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形
∴
又∵
∴，∴
又∵，∴
∴．
12..【答案】
13.【答案】 【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝BD＝a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝×a×a＝a2，∴＝＝.14.【答案】
15.2．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）证明：①在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝∠C＝90°，又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G
∴∠AFG＝∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，即有∠B＝∠AFG＝90°，AB＝AF，AG＝AG，在直角△ABG和直角△AFG中，∴△ABG≌△AFG；
②∵AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，∴DE＝FE＝2，CE＝4，不妨设BG＝FG＝x，（x＞0），则CG＝6﹣x，EG＝2+x，在Rt△CEG中，（2+x）2＝42+（6﹣x）2
解得x＝3，于是BG＝GC＝3，（2）∵＝，∴＝，∴S△FGC＝S△EGC＝××4×3＝．
17．①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E是AB的中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2AF，AB＝BC＝CD＝AD＝4AF，设AF＝a，则FD＝3a，DC＝BC＝4a，AE＝EB＝2a，由勾股定理得：EF＝＝a，CE＝＝2a，CF＝＝5a，∵，，∴，∴△CEF∽△CBE，∴∠ECF＝∠BCE，∴CE平分∠BCF；
②解：△CEF是直角三角形；理由如下：
∵EF2+CE2＝25a2，CF2＝25a2，∴EF2+CE2＝CF2，∴△CEF是直角三角形；
③证明：作EM⊥CF于M，如图所示：
则BE＝ME，∠EMC＝90°，在Rt△BCE和Rt△MCE中，∴Rt△BCE≌Rt△MCE（HL），∴BC＝MC，同理：Rt△AEF≌△MEF，∴AF＝FM，∵CF＝FM+MC，∴CF＝AF+AB．
18．证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；
∵在△ADC和△ECD中，∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；
又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代换），∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形．
19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，∴∠EAO＝∠FCO，∵AC的中点是O，∴OA＝OC，在和中，，∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．
20证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．
21．（1）证明：∵四边形为正方形，∴，∴∠OBE+∠OEG＝90°，∵于点，∴，∴∠OAF+∠OEG＝90°，∴，在和中，∴，∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，∴，∴∠OBE+∠OEG＝90°，∵于点，∴，∴∠OAF+∠OEG＝90°，∴，在和中，∴
∴；
又∵，∴是等腰直角三角形．
22．（1）证明：∵tanB＝2，∴AE＝2BE；
∵E是BC中点，∴BC＝2BE，即AE＝BC；
又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD＝BC＝AE；
（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）
∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DPC；
∵∠AEP＝∠EFP＝90°，∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；
又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，∴△AFE≌△AGD，∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；
∴FG＝AF，且DF＝DG+GF＝EF+FG，故DF﹣EF＝AF；
（3）解：如图3，①当EP在线段BC上时，有DF+EF＝AF
②当EP≤2BC时，DF﹣EF＝AF，解法同（2）．
③当EP＞2BC时，EF﹣DF＝AF．
23．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF＝AD，EC＝BC，∴AF＝EC．AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．
（2）与CF相等的线段有：AF，DF，AE，BE．EC．
理由：如图2中，连接AC．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AB＝AG，∴AG＝CD，AG∥CD，∴四边形ACDG是平行四边形，∵∠G＝90°，∴四边形ACDG是矩形，∴∠ACD＝90°，∵AF＝DF，∴AF＝CF＝DF，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，∴CF＝AF＝DF＝AE＝EC＝BE．
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