九年级数学《4.2一元二次方程的解法》导学案（最终版）

第一篇：九年级数学《4.2一元二次方程的解法》导学案（最终版）

班级姓名学号

学习目标

1、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法

2.、经历探究将一般一元二次方程化成（xm)2n(n0)形式的过程，进一步理解配方法的意义

3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想

学习重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

学习难点：把一元二次方程转化为的（x＋h）= k（k≥0）形式

教学过程

一、情境引入：

1.什么是配方法？什么是平方根？什么是完全平方式？

我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法用配方法解一元二次方程的方法的助手:

如果x=a,那么x=

2222a.x就是a的平方根222式子a±2ab+b叫完全平方式,且a±2ab+b =(a±b)

2、用配方法解下列方程：

(1)x-6x-16=0；(2)x+3x-2=0；

3、请你思考方程x-

二、探究学习：

1．尝试：

问题1：如何用配方法解方程2x-5x+2=0呢？

2222 52x+1=0与方程2x-5x+2=0有什么关系？

2解：两边都除以2，得____________________________系数化为

1移项，得__________________移项

配方，得_______________________________________配方

开方，得_____________开方

∴x1=______，x2=______定根

引导学生交流思考与探索（对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以

先将两边都除以二次项系数，再利用配方法求解）

问题2:如何解方程-3x+4x+1=0?

分析：对于二次项系数是负数的一元二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二

次项系数化为1，再求解

解：

2．概括总结．

对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要做什么？

首先要把二次项系数化为1,用配方法解一元二次方程的一般步骤为：系数化为一，移项，配方，开方，求解，定根

3概念巩固

用配方法解下列方程，配方错误的是（）

A.x+2x-99=0化为(x+1)=100B.t-7t-4=0化为(t-27265)= 2

42210222C.x+8x+9=0化为(x+4)=25D.3x-4x-2=0化为(x-)= 39222

4.典型例题：

解下列方程

（1）4x-12x-1=0(2)2x-4x+5=0(3)3-7x=-2x

222

说明：对于二次项系数不为1的一元二次方程化为（x+h）=k的形式后，如果k是非负数，即k≥0，那么就可以用直接开平方法求出方程的解；如果k＜0，那么方程就没有实数解。

5.探究：

一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间t（s）2有如下关系：

h=24t-5t2

经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m

6.巩固练习：

练习1解下列方程

（1）2x2-8x+1=0(2)122

2x+2x-1=0(3)2x+3x=0

(4)3x2-1=6x(5)-2x2+19x=20(6)-2x2-x-1=0

配方法拓展运用

练习2用配方法求2x2-7x+2的最小值

练习3用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0

三、归纳总结：

运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的方法和步骤是什么？（自己写出）

4.2一元二次方程的解法（3）

【课后作业】班级姓名学号

1、填空：

(1)x-21222x+=(x-),(2)2x-3x+=2(x-).322、用配方法解一元二次方程2x-5x-8=0的步骤中第一步是。

3用配方法将方程2x2x1变形为(xh)2k的形式是__________________.4、用配方法解方程2x-4x+3=0，配方正确的是（）

A.2x-4x+4=3+4B.2x-4x+4=-3+

4C.x-2x+1=2222332+1D.x-2x+1=-+1 225、用配方法解下列方程：

2（1）2t7t40；（2）3x16x（3)0.1x0.2x10（4）6x-4x+1=0 22

26．不论x取何值，xx21的值（）

A．大于等于333B．小于等于C．有最小值D．恒大于零 44

427.用配方法说明：无论x取何值，代数式2x-x-3的值恒小于08、一小球以15 m／s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t．小球何时能达到10 m高?

9.用配方法分解因式x4

第二篇：九年级教学案4.2一元二次方程的解法因式分解法

课题：4.2一元二次方程的解法（5）（因式分解法）

班级姓名学号

教学目标：

1．应用因式分解法解一些一元二次方程．

2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．

复习：把下列各式因式分解

（1）2xx（2）x16y

（3）9a24a16（4）(x2)16

（5）x3x10（6）3x10x3

例题讲评：

例1．用因式分解法解一元二次方程

（1）x4x（2）x3x(x3)0

（3）(2x1)x0（4）9y12y40

2(5)x4x120(6)7x13x60 22222222222

2能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件：例2.解下列一元二次方程

2（1）(x1)6(x1)90（2）2x39x 22

(3)x(a1)xa0(a为常数)(4)2x1x45 2

例3．小明解方程(x2)4(x2)时，在方程的两边都除以（x+2），的x+2=4，解得

x=2，你认为对吗？为什么？

用因式分解法解一元二次方程的步骤是

（1）通过移项，将方程右边化为零；

（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积；

（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程；

（4）分别解这两个__________，求得方程的解．

课堂练习：

1.方程x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（）

A．x =-1B．x =3C．x11,x23D．以上答案都不对

2.已知yx2x3，当x时，y的值是-3．

3．解下列一元二次方程

（1）(2y1)(y3)0（2）x3x0

（3）x7x120（4）4x(2x1)3(2x1)

（5）2x20x500（6）9t(t1)0

（7）2x332x340(8)4y(y5)250

(9)2y132y120（10）x2axab0(a、b为常数)222222222222

课后练习：姓名：

1．方程x2 = x的根是2．（1）已知最简二次根式x26与5x是同类二次根式，则x=（2）已知最简二次根式x23x与x是同类二次根式，则x=3．方程（x－1）（x－2）=0的两根为x1，x2且x1＞x2，则x1－2x2

4．已知实数x满足4x2－4x+1=0，则代数式2x+1的值为2x

5．要使分式x25x4的值为0，则x应该等于x4

6．方程2x(5x－3)+2(3－5x)=0的解是x1=_________，x2=_________

7．当x=时，代数式x26x5的值与x1的值相等

8．下列说法正确的是（A．解方程t2 = t，得t =1B．由（x+1）（x－3）=3，可得x+1=3或x－3=3

C．方程(2x1)23(2x1)0，两边都除以2x+1，解得x1=x2=－2

D．方程x26x90的根是x1=x2=3

9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（A．(2x－2)(3x－4)=0∴2－2x=0或3x－4=0

B．(x+3)(x－1)=1∴x+3=0或x－1=1

C．(x－2)(x－3)=2×3∴x－2=2或x－3=3

D．x(x+2)=0∴x+2=0

10．方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是（A．x1=b, x2=aB．x1=b, x2=1

a

C．x1

1=a, x2=bD．x1=a2, x2=b2

11．用因式分解法解下列方程

（1）x22x0（2）(y1)22y(y1)0

（3）49x21210（4）9x212x4(32x)2）））

2（5）x25x50（6）(x2)4(x2)30 2

（7）xx120(8)3x(x2)x2

（9）(x1)40(10)(x2)2(x2)10

2（11）10xx240（12）3xx230 2222

12．用适当的方法解下列方程

（1）（x+3）（x－1）= 5（2）16x(2x1)0 22

2（3）(2x1)3(2x1)（4）x4x10 2

13．已知ab222a2b260，求a2b的值．

14.已知关于x的一元二次方程kx3x2k(k1)(k1)0的一个根为0，求k的值． 2

第三篇：一元二次方程 导学案

一元二次方程

【学习目标】

1.理解一元二次方程及其有关概念；

2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数，一次项系数及常数项；

3.了解根的意义．

【前置学习】

一、基础回顾：

1.多项式是

次

项式，其中最高次项是，二次项系数为，一次项系数为，常数项为

．

2.叫方程，我们学过的方程类型有

．

3.解下列方程或方程组：①

②

③

二、问题引领：

方程是以往学过的吗？通过本节课的学习你将认识这种新的方程．

三、自主学习（自主探究）：

请你认真阅读课本引言及内容，边学边思考下列问题：

1.方程①②③有什么共同特点？

2.一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有

个未知数（一元），并且未知数的最高次数是

（二次）的方程，叫做一元二次方程．

3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中

是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项．

4.下面哪些数是方程的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．

5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的，即：使一元二次方程等号左右两边相等的的值．

四、疑难摘要：

【学习探究】

一、合作交流，解决困惑：

1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决．）

2.班级展示与教师点拨：

【点拨】

①方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a＝0，b≠0时就是

方程了．所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件．

②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号．

展示1：课本第3页例题．

展示2：下列方程是一元二次方程的是有

：

（1）；

（2）（x＋1）（x－1）＝0；

（3）；

（4）；（5）；

（6）．

展示3：课本第4页练习第1题．

展示4：课本第4页练习第2题．

二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？

【自我检测】

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.B.C.D.2.一元二次方程化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：

．

3.关于x的方程，当

时为一元一次方程；当

时为一元二次方程．

4.判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：

（1）

（－7，－6，－5，5，6，7）

（2）

【应用拓展】

5.如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求（a－b）2＋4ab的值．

6.如果2是方程的一个根，那么常数c是多少？求出这个方程的其它根．

第四篇：一元二次方程解法(复习课)导学案

一元二次方程（复习课）导学案

复习目标

1． 了解一元二次方程的有关概念。

2． 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。3． 会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

4． 掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。5． 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会

应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。

重点：能灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。难点：

1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。复习流程 回忆整理

1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________()其中二次项系数是、一次项系数是常数项。

例如： 一元二次方程7x－3=2x2

化成一般形式是___________________其中二

次项系数是、一次项系数是常数项是。2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________________（2）（3）（4）求根公式法，求根公式是 ___________________3．一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是，当时，它有两个不相等的实数根；当时，它有两个相等的实数根；当时，它没有实数根。例如：不解方程，判断下列方程根的情况：

(1)x(5x+21)=20(2)x2

+9=6x(3)x2

—3x = —5

4．设一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2 则x1 +x2=；x1 ·x2= ____________

例如：方程2x2

+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2=；x1 ·x2= _________典例精析

例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2

＋3x＋m2

－4=0有一个解是0，求m的值.例2：解下列方程:

(1)2 x2

＋x－6＝0；(2)x2

＋4x＝2；

(3)5x2

－4x－12＝0；(4)4x2

＋4x＋10＝1－8x.5）（x＋1）（x－1）＝22x（6）

（2x＋1）2

＝2（2x＋1）.温馨提示：解题时应抓住各方程的特点，选择较合适的方法。

例3：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2

—（2m+1）x+m=0,当m取何值时：（1）它没有实数根。

（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。（3）它有两个不相等的实数根。分析：在解题时应注意m—1≠0这个隐含的条件。

巩固练习

1．关于x的方程mx2

－3x=x2

－mx+2是一元二次方程的条件是2．已知关于x的方程x2

－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值

3．m取什么值时，关于x的方程2x2

-(m＋2)x＋2m－2＝0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根.4．解下列方程：（1）x2

＋(＋1)x＝0；（2）

（x＋2）（x－5）＝1 ；

（3）3（x－5）2

＝2（5－x）。

5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2

总有两个不相等的实

数根。

6、已知关于x的方程x2

－6x＋p2

－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.(请用两种方法来解)

7、写一个根为x=1，另一个根满足—1

8、x2

1，x2是方程x+5x —7= 0的两根，在不解方程的情况下，求下列代数式的值：（1）x

21+x2（2）x1

x2

（3）（x1—3）（x2—3）

课堂总结

1、这节课我们复习了什么？

2、通过本节课的学习大家有什么新的感受？

（

第五篇：4.2一元二次方程的解法教学案+课堂作业(南沙初中九年级上)

南沙初中初三数学教学案

教学内容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

课 型：新授课 学生姓名：______ 学习目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；

2、掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程；

3、在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。

教学重点：掌握配方法，解一元二次方程 教学难点：把一元二次方程转化为xhk

2教学过程：

一、复习提问

1、解下列方程，并说明解法的依据：

2（1）32x1（2）x160（3）x210

这三个方程都可以转化为以下两个类型：、。

2、请写出完全平方公式。

（1）__________________________（2）__________________________

二、探索

2如何解方程x6x40？ 点拨：如果能化成xhk的形式就可以求解了

2解： 步骤：（1）移项（2）配方（方法：方程两边同时加上_________________）．．

（3）将方程写成xhk的形式（4）用直接开平方法解方程

小结：由此可见，只要把一个一元二次方程变形为xhk的形式（其中h、k都是常数）如果k______0，可通过直接开平方法求方程的解；如果k______0，则原方程无解。

这种解一元二次方程的方法叫配方法。．．．

三、例题

例

1、解下列方程：

（1）x4x30（2）x3x1（3）x

内容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

22211x0 63口答：

（1）x2x_____(x___)（2）x8x_____(x___)（3）x5x_____(x___)（4）x2板演练习：

（1）x2x30（2）x10x200（3）xx1（4）x22x40

例

2、（1）利用配方法证明：无论x为何值，二次三项式x2x2恒为负；

（2）根据（1）中配方结果，二次三项式x2x2有最大值还是最小值？最值是多少？

练习：求代数式x6x10的最值。

四、拓展提高：

用配方法解方程：(x1)10(x1)90

四、小结收获

利用配方法可以解决三类问题：（1）_______________________（2）________________________（3）_________________________

五、课堂作业：（见作业纸14）22222223x_____(x___)2 22222222内容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

南沙初中初三数学课堂作业（14）

（命题，校对：王

猛）

班级__________姓名___________学号_________得分____________

1、填空：

（1）x10x_____(x___)

（2）x5x_____(x___)；

（3）x222223x_____(x___)2 ；（4）x2bx_____(x___)2。

22、若x2ax4是完全平方式，则a_____。

3、把方程x23mx8的左边配成一个完全平方式，则方程的两边需同时加上的式子是_____。

4、代数式x22x4有最________值，最值是________。

5、已知直角三角形一边长为8，另一边长是方程x8x200的根，则第三边的长为______。

6、用配方法解下列方程：

（1）x2x20

（2）x6x160

（3）x4x（4）x5x507、已知直角三角形的三边a、b、c，且两直角边a、b满足等式22222(a2b2)22(a2b2)150，求斜边c的值。

8、把方程x3xp0配方，得到xm221。2（1）求常数p与m的值；（2）求此方程的解。

内容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）