利用配方法解题举例

第一篇：利用配方法解题举例

利用配方法解题举例

作为一个重要的数学方法，配方法在中学数学中的应用极为广泛，下面举例说明．

一、用于因式分解

例1 分解因式：

(1)x4+4；

(2)a2-4ab+3b2-2bc-c2

解：(1)原式＝x4+4x2+4-4x2

＝(x2+2)2-(2x)2

＝(x2+2x+2)(x2-2x+2)．

(2)原式＝(a2-4ab+4b2)-(b2+2bc+c2)

＝(a-2b)2-(b+c)2

＝(a-b+c)(a-3b-c)．

二、用于求值

例2 已知x2+y2+4x-6y+13＝0，x，y为实数，则xy＝_______．

解：由已知等式配方，得(x+2)2+(y-3)2＝0．

因x，y为实数，故x＝-2，y＝3．

故xy＝(-2)3＝-8．

三、用于化简根式

/ 4

四、用于解方程(组)

例4 解方程(x2+2)(y2+4)(z2+8)＝64xyz(x，y，z均为正实数)．

解：原方程变形，得

x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz＝0．

各自配方，得(xyz-8)2+2(4x-yz)2+4(2y-xz)2+8(z-xy)2＝0．

解：显然，x＝y＝z＝0适合方程组．

当x≠0，y≠0，z≠0时，原方程组可变形为：

/ 4

∴ x＝1，y＝1，z＝1．

五、用于求最值

解：所求式变形配方，得

∴ 当x＝1时，y有最小值1．

六、用于证明恒等式

例7 四边形的四条边长a，b，c，d满足等式a4+b4+c4+d4＝4abcd．求证：a＝b＝c＝d．

证明：已知等式变形，得

a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d2+2a2b2+2c2d2-4abcd＝0．

配方，得(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2＝0．

∴ a2＝b2，c2＝d2，ab＝cd．故a＝b＝c＝d．

七、用于证明不等式

例8 若a，b，c为实数，求证：a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．

证明：∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)

/ 4

＝(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)

＝(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，∴ a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．

八、用于判定几何图形的形状

例9 已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2-ab-bc-ca＝0，试判定△ABC的形状．

解：仿上例，已知等式可化为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＝0．

∴ a-b＝0，b-c＝0，c-a＝0．即 a＝b＝c．

故 △ABC是等边三角形．

/ 4

第二篇：巧用配方法解题 2

春季专题六：巧用配方法解题

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．

配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．

一、用配方法解方程

例1解方程：2x2－3x+1=0．

二、用配方法分解因式

例2把x2+4x—1分解因式．

三、用配方法求代数式的值

例3已知实数a，b满足条件：a2+4b2—a+4b+

四、用配方法求代数式的最大（小）值

例4代数式2x—3x—1有最大值或最小值吗？求出此值．

．

-254=0，求—ab的平方根．

五、用配方比较两个代数式的大小

例5对于任意史实数x，试比较两个代数式3x3—2x2—4x+1与3x3+4x+10的值的大小．

六、用配方法证明等式和不等式

例6已知方程中(a+b)x—2b(a+c)x+b+c=0中字母a，b，c都是实数． 求证：

cb=ba=x.代数几何综合题

1．国家电力总工司为了改善农村用电电费过高的现状，目前，正在全国各地农村进行电网改造，莲花村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：

2＝1．414，3＝1．732，5＝2．236）

图1图2图3图

42．如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。

(0º＜α＜90º)得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明

(△ABC与△A1B1C1全等除外)；

(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α；(3)当α＝60º时，求BD的长．

3、已知Rt△ABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

（1）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

AM

BN；

AM

BN

是否仍然成立？

A M

N 图①

B

M

N F 图②

B4、如图（1），（2），（3）中，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点，一边延长线和另一边反向延线上的点，且BECD,DB延

长线交AE于F。S

AM

F

C C BE

D

（1）

（2）

（3）

（4）

C D

（1）求图（1）中，AFB的度数；

（2）图（2）中，AFB的度数为；图（3）中AFB的度数为。（3）根据前面探索，请你将本题推广到一般的正n边形情况。

5、如图（1），OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

O

N

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题。

C

M

P

F

D

F

D B

C

（1）如图（2），在ABC中，ACB是直角，B60，AD，CE分别是BAC,BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图（3），在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变。

请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？请证明；若不成立，请说明理由。

第三篇：巧用配方法解题

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巧用配方法解题

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．

配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．

一、用配方法解方程

例1 解方程：2x－3x+1=0．

分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1． 将二次项的系数化为1；

2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边； 3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4．将方程化为(x+m)2=n的形式；

5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）． 解：方程两边都除以2，得x—22

231x+=0.2231移项，得x—x=—.223321322配方，得x—x+()=—+()，242431(x—)2=，4163131即x—=或x—=—.44441所以x1=1，x2=.2二、用配方法分解因式 例2 把x2+4x—1分解因式．

分析：在原式中加上4的同时又减去4． 解：原式=x2+4x+4—4—1=x2+4x+4—5 =(x+2)2—(5)2=(x+2+5)(x+2—5).三、用配方法求代数式的值

5例3 已知实数a，b满足条件：a+4b—a+4b+=0，求—ab的平方根．

422-1

www.xiexiebang.com 求证：cb==x.ba分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a，b，c，x．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a，b，c，x之间的关系．

证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a2x2—2abx+b2)+(b2x2—2bcx+c2)=0，∴(ax—b)2+(bx—c)2=0． ∵a，b，c，x都是实数，∴(ax—b)2≥0,(bx—c)2

≥0．∴ax—b=0,bx—c=0． ∴cbb=a=x.-

第四篇：解题方法

一、积累与运用

1、根据拼音写汉字：，正确、准确的抄写，不可多抄，不可漏抄，注意标点符号的规范，若看拼音写的汉字不会写，应写上一个同音字，切不可空着。

2、填词：(以现代文语段积累中的内容为主)

(1)反义词;

(2)递进关系：题目中如果出现有“乃至、甚至、不仅„„而且„„”等词要仔细分析所选词语的表意程度的深浅

(3)修辞手法：比喻、拟人要关注待选词语和比喻、拟人对象的对应关系

3、修改病句

找准主谓宾：确定动词，动词之前发出行为的人或事物为主语，动词之后承受行为的人或事物为宾语，发现是否缺主语、缺宾语或主宾、动宾搭配不当(详细方法见病句强化训练资料)

补充：(1)句中有多个主语，只有一个谓语动词时，考虑主宾搭配不当，方法为为每个主语寻找一个合适的谓语动词

(2)当句中有多个宾语，却只有一个谓语动词时，考虑动宾搭配不当，方法为为每个宾语搭配一个合适的谓语动词

4、排序还原：①主语一致，同一句中的不同分句的主语应是同一个;

②语境一致，主句和备选句所营造的氛围或感情基调应是一致的;

③句子结构一致，当选项中各个分句的结构已经一致的时候，短句前，长句后;

④考虑逻辑顺序，找准中心句(观点句)，区别材料句，按照总分总、总分或分总、时间、空间、思维的顺序排列

5、选题：分析主题，抓住关键词，然后分析主题类型

(1)类似“武汉发展”的主题，则划分小方面，每一个小的方面就是一个选题

(2)已经是个小范畴的主题或是具体的一个活动了，则在关键词的后面加上“意义、目的、原因、益处、弊端”等词构成选题。

6、活动设计题：表现形式为“以„„为内容|主题开展„„”，常见的活动方式有：

(1)亲自体验解决问题：查资料、采访、主题班会

(2)竞赛活动：演讲、诗歌朗诵、作文竞赛、书法比赛、辩论

(3)展览类：书抄报、展板、黑板报

(4)讲座类：知识座谈、讨论会、名家讲座、交流活动

(5)趣味活动类：对联、灯谜、成语接龙

7、口语交际：表态(是否同意观点)，针对矛盾点提出合理解决方法或指出采取正确态度的好处，提出请求要说明目的，礼貌委婉，注意称谓

8、材料分析概括题：找出所有材料的共同点也就是都谈到的问题，一般来说在所有材料中都反复出现的词或短语就是关键词，或所有材料中信息量最小的一则就是所有材料的共同信息。

9、材料选择题：指明每一则材料的主旨内容，符合主题要求的就是合适的材料。

10、图表分析：首先了解图表调查的内容或目的(题目中会告知)，然后横向比较、纵向比较得出各自结论(展现在草稿纸上)，接着结合题目中告诉的图表内容或目的将横纵向结论提炼整合起来为最终结论，将最终结论同横纵向结论相比较进行检查

二、文言文阅读

(1)解释加点字：提倡首选组词法，即首先联系这个词或字在现代汉语中的意思，当组词法无法译出该词时，则选用意译法，尤其关注词类活用、通假字、使动、意动、一词多用等现象。

(2)翻译句子一定做到逐字翻译，表意流畅，语气正确。

(3)分析人物形象时可以根据分值确定要点的个数，从文中找到人物的所有行为，逐一分析，然后进行整合，切不可将同一要点反复陈述。

三、现代文阅读一

(一)常见加点词语品析

答题格式：A.回答可以还是不可以(一般情况不可以，特别是书上的原文时);

B.比较删去前后意义上的差别(删去某词后句子的意思是„„，有这个词句子的意思是„„);

C.删去后语境有何变化(选用：①体现语言的准确、严密、生动;②与事实不符;③太绝对了;④是作者的一种猜测)

加点词类型：

1、表推测，说明结论或说明对象的特点、某方面的作用不确定，体现了说明文语言的准确、严谨。

2、从时间上限制，说明结论或说明对象的特点、某方面的作用在一定的时间段成立，在别的时间段不一定也是如此，在体现了说明文语言的准确、严谨

3、从范围上限制，说明结论或说明对象的特点、某方面的作用在某一范围内成立，在别的范围不一定如此，体现了说明文语言的准确、严谨

4、表信息来源，说明结论或说明对象的特点、某方面的作用是根据某一方面的信息总结得出的，在其他方面不一定也成立，体现了说明文语言的准确严谨。

5、表约数，说明数量无法确切获得，是估计得出的，体现说明文语言的准确严谨。

6、表程度，表明说明对象的作用大小(比如处于首位)

(二)筛选题：从文中确定关键词或中心句作答

(三)选择题：一定将每个选项涉及的内容都还原到文中去，不凭印象作答

(四)分析句子在文中的作用

答题格式：此句用何种方法表明了此句的说明对象的何种特征(说明文常用方法：举例子、列数字、打比方、作比较、引名言等);

此句用何种论证方法表明了何种论点或观点，对中心论点起到了何种作用，在文中起到了总结，总起，过渡、强调，使形象、通俗易懂等作用(议论文)。

四、现代文阅读二

(一)筛选信息：除特殊要求外，一般不能用原文回答。筛选信息的过程其实是概括的过程。

概括的操作思路是：

1、依据中心句进行概述总括。

一篇文章内容的具体化，通常表现为围绕某个中心展开叙述、议论或说明，因此，抓住了中心句，就把握了具体的要旨，一般来说，中心句往往表现为评价性、议论性的语句，还要注意文中的过渡句或过渡段。

2、通过提炼要点、关键词句进行概述总括。

有的文章中，很难找到提示具体内容要旨的中心句，那就需要把有关的要点提炼出来。

3、通过辨认相关性进行概述总括。

任何一篇文章的具体内容，都是由局部构成的一个整体，从局部之间的关系入手，即辨认语句之间或语段之间的相关性，是进行概述总括的重要途径。例如朱自清的《春》，全文共有10个自然段，除了①②自然段为“盼春”，⑧⑨⑩自然段为“送春”，③至⑦自然段为“绘春”。为什么说③至⑦自然段为“绘春”呢?③自然段写春草，④自然段写春花，⑤自然段写春风，⑥自然段写春雨，⑦自然段为写迎春。将其统而摄之，我们不难发现作者从各个侧面描写着春天，所以我们可以将③至⑦自然段内容概括为“绘春”。

4、通过牵头接尾进行概述总括。

牵头，就是抓住具体内容的起始;接尾，就是连接具体内容的终结。通过牵头接尾进行概述总括，其内容的要旨就浮出水面了。

5、若问某一文段大意。

找中心句，注意段首句、段尾句。(如无中心句)归纳段意的答题格式：本段(概括或具体)写了“谁——干什么”。(或“什么——怎么样”)

6、按事情发展的阶段分析。

(1)以写人为主的文章：

①按人物成长的阶段分析;

②按人物所在的不同地点分析;

③按表现人物不同性格特征的不同条件分析;④按人物感情的变化分析。

(2)以写景状物为主的文章：

①按人物观察景物的观察点的变化，即空间变化分析;

②按不同时间的不同景致的变化，即时间变化分析。

(二)题型：回答某个词语的含义或解释文中某个行为产生的原因，方法：既要结合语境答出其字面含义，还要答出精神实质。

(三)分析景物或环境描写作用，方法：指出此句为描写某人或某物的(何种)生长或生活环境，衬托出了某人或某物的何种特点，说明此句起到了铺垫作用。此类题目一定要从内容和结构上分析。具体作用为：

社会环境描写作用：交代时代背景、社会习俗、思想观念和人与人之间的关系。

自然环境(包括人物活动的地点、季节、气候、时间和景物、场景)作用：交代时间背景、渲染气氛、表现人物某性格、烘托人物某心情、推动情节的发展、深化主题。

(四)品味加点词，方法三部曲：解释词义，表现了谁的什么情感或特点，有没有使用修辞手法，如有，其作用是什么(比喻手法则为本体体现了喻体的什么特点，拟人手法则为被比拟事物体现了比拟事物的什么特点，对比、反问、排比等突出或强调该对象的××特征，增强了气势)，若此句为作者的评价型语句还需加上体现了作者的什么感情的分析语句：(联系上下文、主题、作者意图，蕴涵有什么道理、思想、感情等)肯定了/褒扬了/赞美了/歌颂了或批判了/讽刺了/否定了/反驳了，或者给了我们„„的印象、启示，道理等。

(五)点评句子，方法：具体分析使用了什么修辞手法或写作手法，(内容上)怎样表现了某人或某物的什么特点或感情，(语言上)产生了怎样的效果(要从三方面考虑)

(1)结构上，常起(选用A承上启下，过渡;B总领全文，开启下文;C总结上文的作用);

(2)写作手法上，常有(选用A开篇点题;B为后文设伏笔;C作铺垫;D深化中心;E点明主旨(画龙点睛);F、衬托;G、渲染;H呼应、照应;I对比;J象征;K先抑后扬;L预示性作用等特点)。

(3)内容上(语面的象征义、喻指义;表现的人物思想性格;点明全文思想意义)

(六)题干中如出现此类表述时，请一定结合具体的句子进行分析：请具体分析„„、怎样在字里行间体现„„

(七)评价文中人物的行为，方法：先指出这个行为是什么，再说明这种行为的意义(利或弊)或指出正确的行为应是什么，答题格式为：①评价;②由文中××(言或行)表现该人物××的精神(品质、性格、思想、个性)。

(八)说明文章的寓意，方法：联系文本，联系生活，即人生应像文中的某物或某人一样具备什么样的精神，总之要上升到人生价值和意义的高度。

(九)问在文中某一具体情境下你的感受、体验、做法。

A、指出这一具体情境下蕴含着的思想意义，道理;B、结合文中具体的事例谈你的感受、体验、做法，并说明理由;C、总结你的观点。

(十)问阅读后的体会、体验、启示、见解：要注意观点正确、健康，注意言之有理。

按总分总的顺序答题：

A、你从文中得到的收获、体会，明白的道理，可找出文中能表现作者情感的句子和文章主题的句子回答。

B、结合文中和生活中具体的事例、材料加以举例说明，阐明理由

C、所以我们应该怎样怎样。

五、作文

1、作文技巧要牢记，提示变成“为什么”，材料中间找原因，原因排队成文章，事例之后要分析，分析方法很简单，假设、因果都可以，开头、结尾和文中，反复点题很要紧。

2、作文审题是首先将提示语变成“为什么”或“怎么样”的问题，然后分析材料提供了什么原因或条件来回答这个问题，作文中一定要有事例支撑，一定要结合观点分析事例，最后还可以联系实际。

3、作文基本结构：(1)首段点题(2)事例论证(3)例后分析(4)例问过渡(5)事例论证

(6)例后分析(7)联系实际(选用)(8)结尾点题

4、升级技巧：事例写如何，论证写原因

第五篇：数学经典解题方法

1、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。