直觉 证明数学探究性学习的一种有效方法（共五篇）

第一篇：直觉 证明数学探究性学习的一种有效方法

“直觉+证明”数学探究性学习的一种有效方法

朱成杰数学工作室学员

赵

伟

人们认识事物是一个复杂的过程，需要经历若干阶段才能逐渐透过现象认识事物的本质，认识的最初阶段只能根据已有的部分事实及结果，运用某种判断推理的思维方法，对某类现象提出一种推测性看法，这种推测性看法就是直觉。数学直觉就是依据某些已知的事实和数学知识，对未知量及其关系作出的一种似真判断。

直觉思维如同逻辑思维与形象思维一样，是人类的基本思维形式。同时直觉思维也是数学思维的重要内容之一，如欧氏几何的建立就充分体现了“依据直觉建立理论”的古希腊精神，把几何学公理看作是不证自明的事实，是古希腊哲学家、科学家共有的直觉观念。同样，人们正是基于直觉认为欧几里得的第五公设叙述冗长，并且在整个《几何原本》中仅使用一次，因此怀疑第五公设可以从其他命题逻辑地推导出来，但经过无数人的努力都以失败告终。意大利教士、教授萨凯里，凭借直觉考虑图-1中的四边形ABCD，∠A=∠B=900，且AD=BC，对于∠C和∠D的大小，从逻辑上考虑共有三种假设可选择：

(1)∠C和∠D是直角(直角假设)；(2)∠C和∠D是锐角(锐角假设)；(3)∠C和∠D是钝角(钝角假设)。

在直角假设下得到的就是欧氏几何。萨凯里在锐角的假设下曾经推导出一系列有价值的定理(不同于欧氏几何的一种全新的几何定理)，由于萨凯里不敢越“雷池一步”，他失去了发现新的几何的机会。年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基则在锐角假设下大胆地提出了罗氏平行公理，从而创立了罗氏几何。德国数学家黎曼则从钝角假设出发建立了黎曼几何。可见，没有大胆的直觉行为就不会产生罗氏几何和黎曼几何。

同样，直觉思维在数学学习中起着重要的作用。儿童喜欢通过直觉提出问题，并运用已有的知识和判断对问题提出推测性的看法，教师只要及时引导学生进一步寻求严格的逻辑证明，就可以达到进行数学探究性学习之目的。可见，培养儿童的直觉思维能力也是数学教育的一项重要内容，以“直觉＋证明”的形式开展数学探究性学习，对全面提高学生数学思维品质和培养学生的创新精神是极其重要的。

一、直觉是开展数学探究活动的切入点

1、直觉思维符合学生的思维习惯

学生的思维想象丰富、自由度大，他们不受各种已有的条款、框框束缚，敢于向专家、权威人士、教科书提出质疑。具体表现在：一方面，学生对新事物有着强烈的好奇心，喜欢展开无边无际的想象；另一方面，由于学生的知识结构存在缺陷，只具备初步的逻辑思维能力，有时他们能模糊地感觉到数学问题的某种关系，但又说不清道不明。学生思维的这些特点正好与直觉思维的普遍性、模糊性相适应，数学教学就要抓住这个有利时机，对学生进行直觉思维能力的培养，并根据不同的学习材料有意识地诱发其直觉意识，训练其直觉思维的方法，使学生养成“直觉＋证明”的言必有理、言必有据的思维习惯。

2、直觉是开展数学探究活动的切入点

问题是数学的心脏，是数学探究活动的切入点，是数学不断向前发展的原动力。

当代认知心理学理论认为：学习是主体主动的意义建构，是主体在头脑里建立和发展认知结构的过程。直觉思维是在建构活动中，主体的数学认知结构对当前面临的新知识、新问题进行的预测性的重组、整合的过程，它使外部知识与内部创造的不平衡达到暂时的平衡。如果数学探究活动中缺少了直觉，数学材料就不能形成主体的心理意义，从而造成意义建构失败，所以，直觉是开展数学探究活动的切入点。直觉是提出问题的原动力。

二、培养直觉思维就是培养儿童的创新精神

直觉思维和逻辑思维都能获得新知识，但逻辑思维只能在不超出前提知识的条件下得到一系列结论，他往往受到传统思维方式的左右，在遇到需要突破传统观念的课题时，就显得无能为力。而直觉思维具有反常规的独创性，具有突破传统思路的开拓性。直觉思维是一种合情推理。数学教学必须注重知识的发生过程，体现学生的主体性，让学生感受再创造的乐趣，教学中必须渗透“直觉＋证明”的发现问题和解决问题的科学思维。

问题一 直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，请设计一种方法，将所有的整点染色，每一整点染成白色、红色、黑色，使得：(1)每一种颜色的点出现在无穷多条平行于纵轴的直线上；

(2)对于任意的白点A、红点B、黑点C，总可以找到一个黑点D，使ABCD为一个平行四边形，证明你设计的方法符合上述要求。

课堂上气氛活跃，学生们纷纷议论，动手比划，认为染黑色的点应尽可能地分布广些，同时要使任意白、黑、红三点不共线，联系平行四边形具有中心对称的特点，学生从特殊位置入手，设计出了多种符合要求的方案：把在X轴正半轴上的整点(包括原点)染成红色，X轴负半轴上的整点染成白色，其余各点染成黑色。就能满足题意。

问题二 如图-2，BP=CQ，A为线段BC外一动点，且∠BAP=∠CAQ，问△ABC是什么三角形？试证明你的结论。

很多学生凭借直觉就能猜测△ABC是等腰三角形，AB=AC。

在大力培养创新精神的今天，培养学生的直觉思维就显得尤为重要，因为直觉思维可使得学生智力得到发展，尤其是观察力、想象力、创造性思维能力得到迅速提高。但要注意两种现象：(1)直觉不可能完全正确，有可能导致错误结论，因此，由直觉导出的结论要通过逻辑证明才能进一步肯定其正确性；(2)不能以直觉代替严格的逻辑证明。

例如在学习三角形面积公式S=absinC时，让学生探索如下问题(由著名的蝴蝶定理改编)，如图-3一个圆内有三条弦AB、CD、EF交于圆内一点O，DE与CF截AB于G、H，如果O平分AB，试问O点是否平分GH？并证明你的结论。

学生凭借直觉，纷纷猜测点O应是线段 GH的中点。老师进一步设问，能否肯定点O 就是中点，试对你的猜想加以证明？ 经过15分钟的分组讨论以后，奇迹发生 样推出结论：

设△FHO的面积为S1，△DGO的面积为S2，△CHO的面积为S3，△EGO的面积为S4。根据同一圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，又可得出∠FCO=∠DEO(=)，∠CFO=∠EDO(=)，由对顶角相等有∠FOH=∠GOE(=)，∠DOG=∠COH(=)。于是，S11111FHFOsinOHOFsin，S2DODGsinDOOGsin，2222

了，一个小组的同学举手交流，借助面积公式和相交弦定理，可以这1111S3CHCOsinHOCOsin，S4EGEOsinOGOEsin，再2222利用恒等式：1SS2S3S41(对于同一三角形的面积位于分子与分S2S3S4S1母采用不同的表达式)FHFOsinDOGOsinCHCOsinGOOEsin=1

DGDOsinCOHOsinEGEOsinHOFOsinGO2FHCHGO2EGDG1。根据相交弦定理，又有： 22HOEGDGHOFHCHEGDGAGBG，FHCHAHBH；这样：

GO2EGDGAGBG(AOGO)(BOGO)AO2GO2，即 HO2FHCHAHBH(AOHO)(BOHO)AO2HO2GO2AO2GO2GO2AO2HO2AO2GOHO。证毕。

222HOAOHO

当学生凭借直觉观测到问题的某些结论时，要求学生证明其猜想能有效激发学生的求知欲，学生寻求问题的解的过程就是探究的过程，也是学生遇到困难需要展开交流、讨论、归纳总结的过程。

第二篇：浅谈小学数学探究性学习

浅谈小学数学探究性学习

张克信

小学数学探究性学习主要是指学生以自己已有知识经验和生活经验为基础，在教师指导下面对具有一定挑战性的问题或任务通过独立自主学习和合作讨论而获取知识、应用知识、解决问题的学习方式。通过探究活动，学生不仅获取数学知识，达到对知识的深层理解，而且掌握了发现、认识并理解数学的一般方法。在探究的过程中学习研究问题的方法，培养敢于探索、勇于创新的精神

小学数学探究性学习教学模式在具体实施过程中，应该由下面四个阶段进行：

第一阶段：问题导入阶段--创设情境，诱发好奇心，提出探究主题。

第二阶段：尝试探究阶段--选择合理探究形式和方法，组织探究活动，使学生经历学习过程，揭示学习规律。

第三阶段：明理内化阶段--指导将知识转化为能力，培养学生的判断、推理等学习能力，开发创新思维。

第四阶段：评价、实践阶段--反思评价过程，尝试运用知识，获得实践体验，提升数学思想方法。

操作----发现----应用。猜想----验证。观察----归纳-----反思。类比-----联想。

第三篇：小学数学探究性学习方式

小学数学探究性学习方式”的研究实施方案

羊场镇大松树完小

一、课题提出

课堂教学改革的目的：一是要打破传统教学的束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基础知识，要把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。为了实现这个目标，达到培养“会学习、会实践、会创新”人才的目的，特提出小学教学“探究性学习”课题研究。

二、理论依据

1、探究性学习过程是积极的有意义的学习过程。

着重于学生的主体地位，因为真正有意义的学习，不是被动接受现成的书本知识，而是学生以积极的心态，在自己已有知识或经验的基础上，对新问题进行积极探索，主动探究的过程。

2、探究性学习符合小学生的心理特点。小学生对周围的事物充满好奇，可别好问，他们具有创造和探究的潜能。探究性学习本身可以满足学生的这种心理需要，能激发学生学习的兴趣、动机以及求知欲。

3、探究性学习符合学生的认知特点，尊重学生学习的认知规律。因为学生对客观现实的认识来自于对外界常使探索性的活动，而学生用自己的学习方式探究新知，对他们来说是最好的方法，教师在进行“因势利导”，这样更符合学生的认知特点和规律。

4、探究性学习有利于培养学生的创新意识和实践能力。在探究性学习的过程中，会遇到各种问题和困难，学生通过认真踏实地探究，是实事求是地得出结论，培养了不断追求的进取精神，克服困难的意志品质，严谨的科学态度当，提高了学生的创造能力和实践能力，形成积极的人生态度。

5、探究性学习能促进学生主体性的发展。

在这个充满个性化的学习过程中，学生内在的知识、能力、经验、智慧、情感等都得到了锻炼；体验自主探索与许多成功的喜悦，企业和已有的技艺，开启心智的窗户，一种学习的情趣，从而促进了学生主体性的发展。

三、概念界定 探究性学习，主要是指学生从问题和任务出发，通过形式多样的自主探究活动，经过同化、组合、探索，以获得知识、技能和态度发展创新素质，培养情感体验为目的的学习方式，在学习中，教师是组织者、参与者和指导者。

四、目标定位

1、学生处理信息的能力：即发现问题，提出问题、解决问题，归纳整理、检验结论、交流思想的潜力。

2、发展学生独立探究与合作的精神，学会通过同伴之间的积极的相互影响来提高学习的有效性，培养学生合作意识和人际交往能力。

3、强调学生通过亲自参与探索实践活动，亲历问题探究的实践过程，获得科学探究的积极的情感体验。逐步形成一种在日常学习与生活中喜爱质疑，乐于探究，努力求知的心理倾向，激发探索与创新的积极欲望。

4、充分发挥学生学习的自主性、主动性和创造性，促进学生主体性的发展。

五、实施策略我通过学习理论，收集资料，在学习许多优秀经验的基础上构建了“质疑—探究—明理—评价”的探究性学习教学模式。具体做法如下：

1、质疑问难主动学习的核心是探究，而探究活动始于质疑问难。问题老师不要简单地给出，应该让学生在学习实践活动中自己去发现、去提出。我要鼓励学生敢于提出问题和善于提出问题。具体实施如下：

⑴揭题质疑。让学生根据课题提出问题。⑵自学质疑。让学生通过自学教材提出问题。

⑶辨析质疑。让学生对易混淆的知识，共性的难点，对教材中多关键字眼或已有的知识、经验进行辨析在联系中产生问题，提出问题。

⑷常试质疑。让学生在尝试练习中提出问题。

2、组织探究

有了问题，学生也就有了探究的欲望和兴趣，明确了探究的方向和目的，接下来就是组织形式多样的探究活动。

⑴根据需要选用恰当地探究形式。

a、独立探究。让每个学生根据自己的理解和经验，用自己的思维方式自由的、开放的去探究、去发现。独立探究能使学生学到科学探究的方法，从而增加学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新能力。b、小组合作探究。合作能使学生集思广益、思维互补、思路开阔，使获得的新知识更清晰的，结论更准确。c、班级集体探究。集体探究主要是要抓住中心议题和关键性问题。让学生自由发表意见，集中解决难点。小组合作探究还不能解决的问题，就组织全班集中讨论。⑵根据教学内容的不同特点，选择合理的探究方法。组织探究活动，除了选用恰当的形式外，还应根据教学内容的不同特点，选择合理的研究方法，同时使学生熟悉并掌握科学的探究方法，我可以让学生采用下列方法进行探究。

a、实践———发现。b、猜想———验证。c、观察———归纳。d、精思———领悟。e、对比———联想。f、查找———汇总。

3、明理内化 ⑴教师根据教学目标和学生探究情况画龙点睛地进行归纳、概括，使学生对有关知识的重点、情感、态度，滋味方法及学习方法更清楚理解。⑵让学生运用探究获得的知识，举一反三理解教材，掌握关键点，解决了类似相关的问题和进行发散思维训练，深化提高。在练习的过程中，我们要注重形式开放，发掘学生的潜在素质：

a、理解方法的开放：多角度、多方面的理解。b、其其设计的开放：思路开阔、新颖有趣。c、实践应用的开发：走出课堂，走向社会与自然。

d、资源开发的开放：利用网络、活动、人文等各种教育资源，发展能力。

4、激励评价。评价的目的是为了全面了解学生的学习历程，激励学生的探究学习和改进教师的教学。应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。这一阶段主要通过以鼓励为主的多层次、多方位民主评价，对学生探究活动的收获，积极主动参与探究的精神对于充分肯定。其作用是使学生掌握探究方法，养成探究习惯。激励评价主要是组织学生自评，互评及师生互评，教师在评价过程中注重调控评价过程，给学生以成功的情感体验，增强学生主动参与探究的自信心，使学生逐渐把探究学习作为自己学习生活中的第一乐趣，从而具备发展创新素质。

六、研究过程分为三个阶段：

1、建构“小学数学探究性学习方式”研究教学模式。

2、深入研究、努力探索，使课题试验策略更加完善。

3、在灵活运用、总结完善的同时，做好实验材料的收集和整理工作。

七、研究方法

本课题研究主要采用以下四种方法

1、对先进教学理念与理论的学习与研究。

2、在教学中大胆探索与试验。

3、案例分析法。

4、经验积累总结。

第四篇：小学数学探究性学习教案

小学数学探究性学习教案

——平移与旋转

一、教学目标：

1、认知目标：结合学生的生活经验和实例，感知平移和旋转的现象，并会直观地区别这两种常见的现象。

2、情感目标：平移和旋转给生活带来很多乐趣

3、能力目标：能在方格纸上画出一个沿水平方向，竖直方向平移后的图形。

二、教学重难点：直观区别平移、旋转这两种现象。

三、课件设计方案：

四、教学活动

一、创设情境、初步感受平移与旋转

1、师：我知道大家平时都特别喜欢玩，今天咱们一起到游乐场里去看一看好吗？（出示有滑梯、缆车、摩天飞轮等的课件）。你喜欢哪个游戏活动？一提到玩大家都特别高兴，其实玩中也有很多数学问题，如果你能在玩中有所发现，那就更棒了。再来观察这些游戏，仔细想一想它们是怎样运动的，你能用手势表示出来吗？

2、指学生汇报。

3、师：这些项目的运动都一样吗？能按它们不同的运动方式分分类吗？先独立思考，然后在小组内说一说，并说明理由。

根据学生的回答，最后归纳为2类：平移与旋转，今天我们就来研究这2种不同的运动现象。

二、分析归纳、揭示概念

像缆车、滑梯所做的运动叫平移，像转椅、过山车、摩天轮这样所做的运动叫旋转。边说边板书课题。

三、举例

1、师：生活中平移的现象随处可见，像升国旗、扶梯的运动都是平移。

2、学生举平移的例子。

3、小结：看来物体不仅可以上下平移、左右平移，还可以斜者平移。

4、师：瞧，风车在做什么运动？你还见过哪些旋转现象？

5、学生举例。

四、表演

1、用自己喜欢的动作把平移和旋转的现象表现出来。

2、学生表演：转圈、向前走、原地上下跳等。

3小结：我们把这样的直线运动叫平移（手势表示），用“-”表示，把围绕着一个固定点所做的圆周运动叫旋转，用“0”表示。

五、判断练习

1、我们已经认识并亲身体会了平移和旋转的现象，下面有一道题你能快速作出判断吗？

2、出示课件：汽车行驶、钟表、风车等，学生判断。

六、故事激趣感知平移的距离

1、我们已经掌握了生活中平移和旋转的现象，如果把平移的现象表现在纸上，又该怎么办呢？

2、讲故事

下雨了，小蚂蚁的房子要被水浸了，所以两只蚂蚁决定把房子从一个地方平移到另一个更安全的地方。红蚂蚁说它走的路长，绿蚂蚁不服气，于是他们发生争吵，产生矛盾。到底谁走的路长呢？请大家给当判官评评理。

3、出示课件：两只蚂蚁就这样抬着房子一步一步的走到更安全的地方，房子在做什么运动？两只蚂蚁分别走了几个格子？请小组长拿出学具，四人一组动手操作一下，蜻

蜓

红

绿

4、学生汇报，上前演示。

5、学生解疑：一样长。

6、师电脑操作演示红蚂蚁和绿蚂蚁走的路线，他们分别走了几格？（6格）

7、假如当时有只蜻蜓飞在屋顶上，那么蜻蜓又走了几格呢？

学生动手操作后演示。通过动手操作，同学们发现蜻蜓也走了6格。

8、小结：两只蚂蚁都走了6格，蜻蜓也走了6格，所以小房子也走了6格。看一个图形移动了多少格，只要找准一点，看这一点移动了多少格就可以了。

七、填空练习

1、师：你们真是聪明的孩子，会用数格子的方法算出平移的距离，真棒！你能完成下面的填空吗？

2、出示课件，小房子分别向四个方向平移的图形，中间虚线是房子原来的位置，看它向哪个方向分别平移了几格。

八、画图

师：我们既能判断出平移的方向，又能数出平移的距离，那么你们能画出一个图形平移之后的形状吗？

出示一个三角形，把它先向右平移5格，再向下平移3格。学生做后展示学生的作品，然后教师演示电脑操作过程。

九、拓展创新

1、平移和旋转在我们生活中应用十分广泛，请同学们欣赏图片（有舞蹈演员优美的舞姿、体育健儿的风采、古老的上海音乐厅大楼、艺术家设计的美丽图案）。

2、让学生运用平移和旋转的知识，画一画、剪一剪、贴一贴，相信他们的作品会更出色。

十、总结

大家回想一下，这节课咱们主要学习了什么内容？你有什么收获？

小学数学探究性学习教案

——平移与旋转

（2009——2010学）

阿尔乡九年制学校

李军

第五篇：数学课堂中探究性学习的

数学课堂中探究性学习的“五宜”和“五不宜”随着新课程改革的不断深入，数学课堂以崭新的面貌出现在人们面前，自主探究成了数学课堂中一道亮丽的风景线。让学生通过探索，真正理解和掌握数学知识、技能、数学思想和方法，从而学会学习，已经形成了一种共识。然而在教学实践中，尤其是在一些公开教学中，许多教师感叹自己精心设计的探究活动中看不中用，以至于出现了探究活动中存在形式多，实质少等一些问题。有一些探究活动缺少实效，流于形式。下面，我结合本人的教学经验，联系数学课堂中探究性学习的“宜” 与“不宜”，谈几点看法。

一、探究的内容宜少不宜多。

探究性学习的内容是不确定的，开放的，它富有一定时代性、生活性和变化性。也就是说探究的内容来源是广泛的、灵活的、开放的，既可以是课内的，也可以是课外的；可以是校内的，也可以是校外的。只要符合小学生的认知规律和年龄特征，又是从学生已有的知识经验和实际情况出发，都是可以作为学生探究性学习的课程资源。也许是受上述原因影响，我们有的教师片面的认为“探究的内容越多越好，凡事都喜欢让学生进行探究”正因为如此，导致探究的内容太多，再加上如果每个知识点都要探究到位，势必会造成探究时学生非常费时，以至于造成一些探究课上不完，难以达到预期的效果，或者是有些教师为了片面追求完成任务，蜻蜓点水，面面俱到，其学习的效果是可想而知。因此，笔者认为探究的内容宜少不宜多。这就要求我们教师要立足于课本，但不局限于课本，面向全体学生，精心选择一些适合学生的探究内容。

案例：《面积和面积单位》

A教师：把全部的教学内容：（有面积的含义，面积大小比较的一些方法，面积单位的产生、常用的面积单位，以及面积单位的应用等等）按照书本要求，在一个课时内完成，但是由于这堂课的内容都比较多，又比较重要，再加上这些内容又都比较适合作为学生探究的内容。老师把这么多的内容让学生在一堂课中逐一进行探究。结果，探究的效果受时间的影响，目标的达成度不高。教师和学生都被累得心力交瘁，课后又不得不花时间去补。

B教师：根据教学内容，结合学生的实际，大胆地对教材重新划分，把“面积的意义”和“面积单位”分开，用两课时进行教学。由于学生探究的时间比较充分，再加上教师的精心设计，让探究的内容变多为少，为实现人人能探究提供了条件。可以这么说，精选探究的内容是探究性学习得以成功的有效保证。

二、探究的情境宜实不宜俏

探究性学习往往伴随着一定的教学情境。因为在探究性学习中，为了激发学生的自主探究欲望。教师会非常关注学生的生活经验和学习体验，捕捉贴近学生的生活素材，选取学生生活中熟悉的人、事、物，挖掘生活中的数学资源，让学生置身于问题的情境之中。这样做很好地培养了学生运用数学知识来解决日常生活中的实际问题。但是，这样做就导致了部分教师盲目地追求探究情境的花俏、时髦，造成非数学因素太多干扰了学生的正常思维。

案例：《9加几》

A教师：利用多媒体课件出示一幅美丽的画面：小桥、流水、人家，一边有9只鸭子在河里嬉戏，另一边有5只鸭子。一位可爱的小朋友在数鸭子。这时，音乐响起，老师伴随着优美的音乐唱起了《数鸭子》，边唱边舞，学生也跟着摇头晃脑，一曲结束，学生仍然沉醉于优美的歌声和绚丽的画面之中，什么问题也没有发现。

B教师：利用多媒体课件出示一幅画面：一条小河，左边有9只小鸭，右边有5只小鸭。老师提问；根据这幅图，你能提出什么数学问题？根据学生的回答，很快列出算式9+5。

上述教学，A教师是在带着学生“绕圈子”，令他们云里雾里去，虽然说兴趣浓厚，但是这样的探究情境除了有华丽的外表，虚幻的对话外，对于引发学生用数学的眼光去思考问题，激发探究欲望，并没有多大效果。而B教师则是开门见山，直奔主题，学生很快地提出了问题，为学生自主探究寻求解决问题的策略争取了宝贵的时间，效果非常好。

因此，我们创设探究情境时不能只看表面的花俏，更不能让过多的非数学信息干扰和弱化了数学问题的呈现。而是要用务实的眼光去审视教学情境，削枝留干、精兵简政，简化情境中非数学因素，让探究情境由俏变实，只有这样，学生的探究活动才能更加有的放矢，突出主题，省时增效。

三、探究的空间宜大不宜小

探究性学习的过程是情感活动的过程，它强调的是通过学生自主参与探究学习活动获得亲身体验。因此，在教学过程中，教师要留给学生动脑思考、动手操作、动笔尝试，动口表达的时间和空间。能使学生有比较多的独立获取知识的机会，做到学生能独立思考的，教师不提示；学生能独立操作的，教师不替代；学

生能独立解决的，教师不示范。让学生自己提出问题，互相研究讨论解决。让学生自己摆一摆、画一画、剪一剪、拼一拼、割一割、补一补的方法，去观察比较抽象概括，找到解决问题的方法。

案例：《平行四边形的面积计算》

A教师：先在课始讲了一个曹冲称象的故事。然后出示一个长方形，让学生计算面积，接着又出现了另外两个图形（如下），让学生想办法计算出它们的面积。一会儿，不少学生想出了办法。只要用剪刀将多的一部分剪下来，补到另一边就是长方形的面积。然后老师用课件示范，有了这么一个过程，学生似乎就有了一种茅塞顿开的感觉。当学生从信封中拿出一个平行四边形纸片时，几乎每个人都能很快拿起剪刀，沿着平行四边形的一条高，剪下来拼到另一边，成了一个长方形。非常顺利地推导出了平行四边形面积计算方法。

B教师：出示一个平行四边形纸片，让学生想办法去计算它的面积。学生独立探究后进行交流，得出了多种多样的方法。通过交流反馈，学生不但明白了平行四边形的面积怎样计算，而且知道了为什么这样计算。

上述教学过程，单单从知识获取和技能训练而言，A教师很显然是成功的。细细反思，这样无懈可击的教学。却隐隐另人担忧。弗赖登塔尔曾经这样说过：“教师的任务是为学生提供广阔的天地，听任各种不同思维不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现作任何预设的圈套。”我想，这是对学生是数学学习的主人这一新课程理念的最好诠释。老师在教学中为学生提供了好心的帮助，为学生设置了封闭、狭小的思维通道，他们顺利的进入了老师预设的框架中，得到知识学习的省时和高效。成就了“完美课堂”。其实，恰恰是这样的完美课堂断送和阻碍了学生的思维，削弱了探究的能力，长此以往，后果是严重的。而B教师的教学虽说没有这样的严谨和流畅，但由于探究的空间比较大，学习过程却充满挑战，让学生在山穷水尽疑无路的困惑之后，感受到了豁然开朗，最终体验到柳暗花明又一村的喜悦，这样的课堂正是我们期待的精彩课堂。因此，笔者认为学生探究的空间应该是大一点好（至少应该是适度），而不应该太小，只有为学生提供了足够的探究空间，我们的学生才能象一棵茁壮成长的禾苗，充分享受自由空间、阳光和雨露，也经历风吹雨打，最终成为硕果累累的禾苗。

四、探究的路径宜直不宜曲

有些老师认为：小学生的探究活动，应该等同与科学家的原始探究活动。以为只有学生付出了与前人大致相同的探究过程，才能算得上是新课程理念下的探究课。这种认识导致了一些教师在设计探究性问题时，无形之中增加了探究的难

度。使学生探究的路径变得弯曲，学生的探究的过程中的难度可想而知。

五、探究的结论宜宽不宜严。

学生探究性学习的过程从来都不是一帆风顺的。由于学生的生活背景，智力水平存在一定差异，探究的成果也往往不是书本上有的一种或两种，其实探究的成果，也就是得到的结论应该是多样的。从这一点说，探究的过程就好比是从一个端点出发，可以画无数条射线，可能会出现各种情况。而决不可能是从一个端点出发向指定端点的线段。因此，我们对学生探究过程中的结论要求应该宽松些，只要能达到说明探究的目的即可。而没有一个完整的模式去要求和规范。如果对结论要求过严，那么，我们的学生在课堂上表现整齐划一，思维完全预设在老师的框架内。那么，探究性学习对于发展学生的思维，张扬个性，培养创新意识又能有什么作用。因此，我们要以一种宽容的心态，看待学生探究，只要是经过学生的努力得到的探究结论都应该得到老师的肯定和赞同。

案例5：教学《长方形的周长》

A教师：设计围绕着长方形的周长=（长+宽）×2展开，以这个结论作为教学的归宿和目的，由于急功近利的思想，课堂教学难免束手束脚，在当学生说出（长+宽）×2时，教师心中的一口气总算放了下去，也满足于此，不再去追寻方法的多样化。

B教师：在学生理解了周长的含义后，老师先让学猜生想长方形周长的计算方法。然后进行探究，最终得出了以下几种情况。

①长＋宽＋长＋宽②长＋长＋宽＋宽③长×2＋宽＋宽

④长＋长＋宽×2⑤（长＋宽）×2⑥长×2＋宽×2

上面的每一种方法都是学生经过思考得到的。尽管不一定是最好的，但老师应该认真倾听学生的每一种思路。并通过全体同学的讨论，最终优化为书本上的方法：(长＋宽)×2。又比如有一些探究活动，要通过学生进行动手操作，测量、计算才能得到。因此，这其中存在着一些严密的因素，会影响结果的精确度，所以对探究的数据结论也要宽松些。比如圆的周长中圆周率的得出，只要是3倍多一些应该都是可以的。当然，也不能走向另一个极端，无条件、无原则的放宽，应该做到适度。