0Bbddkc《数学分析》8收敛数列的性质（精选五篇）

第一篇：0Bbddkc《数学分析》8收敛数列的性质

七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。

-----啸之记。

§２ 收敛数列的性质

教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。教学方法：讲练结合。教学程序：

 引 言

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证limana的方法，这是极限较基本的内容，要

n求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。

一、收敛数列的性质

性质１（极限唯一性）若数列an收敛，则它只有一个极限。性质２（有界性）若数列an收敛，则an为有界数列。

n注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列(1)有界，但它不收敛。

性质３（保号性）若limana0（或a0），则对任何a(0,a)（或a(a,0)），存在正数nＮ，使得当nN时有ana（或ana）。

性质４（保不等式性）设数列an与bn均收敛，若存在正数N0，使得当nN0时有anbn，则limanlimbn。

nn思考：如果把条件“anbn”换成“anbn”，那么能否把结论换成limanlimbn？

nn保不等式性的一个应用：

例 设an0(n1,2,3,)，证明：若limana，则limannna.思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？

性质５（迫敛性）设收敛数列an、bn都以a为极限，数列cn满足：存在正数N0，当nN0时有ancnbn，则数列cn收敛，且limcna.n注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例： 例 求数列n的极限。n性质６（极限的四则运算法则）若an、bn为收敛数列，则anbn,anbn,anbn也都收敛，且有

lim(anbn)ablimanlimbn;nnnlim(anbn)ablimanlimbn.nnn若再做假设bn0及limbn0，则数列nan也收敛，且有 bnananalimnlim.nbblimbnnn特别地，若bnc，则lim(anc)limanc，limcancliman.nnnn在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；

amnmam1nm1a1na0例 求lim，其中mk,am0,bk0.nbnkbnk1bnbkk110例 求liman，其中a1.na1nn例 求limn(n1n).例 求lim111.22nn2(n1)(2n)二

数列的子列

１． 引言

极限是个有效的分析工具。但当数列an的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道an没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。２． 子列的定义

定义１

设an为数列，nk为正整数集N的无限子集，且n1n2n3nk，则数列

an1,an2,,ank,

称为数列an的一个子列，简记为ank.注1

由定义可见，an的子列ank的各项都来自an且保持这些项在an中的的先后次序。简单地讲，从an中取出无限多项，按照其在an中的顺序排成一个数列，就是an的一个子列（或子列就是从。an中顺次取出无穷多项组成的数列）注2 子列ank中的nk表示ank是an中的第nk项，k表示 ank是ank中的第k项，即ank中的第k项就是an中的第nk项，故总有nkk.特别地，若nkk，则ankan，即ankan.注3 数列an本身以及an去掉有限项以后得到的子列，称为an的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为an的非平凡子列。

如a2k,a2k1都是an的非平凡子列。由上节例知：数列an与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。

那么数列an的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理

数列an收敛an的任何非平凡子列都收敛。

由此定理可见，若数列an的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列an有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列an一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。



第二篇：数列极限的收敛准则

第一讲 数列极限

一、数列极限的收敛准则

1.数列极限的夹逼准则

a)数列{xn}，{yn}，{zn}满足：

i.yn＃xnzn(n N0)

ii.nlimyn=nlimzn=a

则数列{xn}的极限存在，且nlimxn=a

b)例

1、求极限n!

nlimnn=0 注：n!=1鬃23Ln

1例

2、求极限lim1+2n+nnn

n(3)注：nlima=1(a>0)

骣1n

练习：

1、1n

nlimç? çç桫1+n+

1n÷÷

2÷÷ 注：运用重要极限nlim(1+n)=e2、求n?lim(其中 a1,a2,L,ak为正常数, kÎZ+.)

2.单调数列的收敛准则

a)单调增加有上界的数列必收敛；

b)单调递减有下界的数列必收敛；

通常说成：单调有界的数列必收敛。

例1． 证明lim(1

1n)n

n+=e 注：补充二项式定理

例2．

设x1=10，xn+1={xn}极限存在，并求其极限。例3．

设x1=xn+1={xn}极限存在，并求其极限。注：补充数学归纳法例

1、证明1+3+L+(2n-1)=n2 例

2、证明1+++L+<思考：

1、有界数列是否收敛？

2、数列{xn}收敛是否可推出数列xn}收敛？反之是否成立？

13、数列xn为有界数列，且limyn=0，数列数列xnyn是否收敛？ n{}{}

二、收敛数列的性质

1.极限的唯一性。

2.有界性。问题：有界数列是否收敛？

3.保号性。问题：若xn>0("n N)，且limxn=a，是否一定有a>0？ n

4.收敛数列的子数列必收敛。

思考：（1）数列xn与yn都发散，是否数列xnyn与xn+yn也都发散？

（2）若子列x2n-1与x2n均收敛，则数列xn是否收敛？

（3）设x1>0，xn+1{}{}{}{}{}{}{}1骣1÷÷=çx+，证明数列{xn}极限存在，并求其极限。ç÷nç÷2çxn桫

nn（4）求lim2+3+4n(nn

骣12n÷÷（5）求lim ++L+÷222n÷n+n+1n+n+2n+n+n桫

（6）设数列xn满足：0ìïn2+ïï当n为奇数ïn（7）数列xn=í，则当nï1ï当n为偶数ïïnïî时，xn是

A无穷小量B无穷大量C有界变量D无界变量2

第三篇：第一讲 数列极限(数学分析)

第一讲 数列极限

一、上、下确界

1、定义：

1）设SR，若MR:xS,xM，则称M是数集S的一个上界，这时称S上有界；若LR:xS,xL，则称L是数集S的一个下界，这时称S下有界；当S既有上界又有下界时就称S为有界数集。

2）设SR，若MR:xS,xM，且0,xS:xM，则称M是数集S的上确界，记MsupS；若LR:xS,xL，且0,xS:xL，则称L是数集S的下确界，记LinfS。

2、性质：

1）（确界原理）设SR，S，若S有上界，则S有上确界；若S有下界，则S有下确界。

2）当S无上界时，记supS；当S无下界时，记infS。

3）sup(AB)max{supA,supB};inf(AB)min{infA,infB}。

4）supSinf(S);infSsup(S)。

5）sup(AB)supAsupB;inf(AB)infAinfB。

6）sup(AB)supAinfB。（武大93）

7）设f(x),g(x)是D上的有界函数，则

inff(D)infg(D)inf{f(x)g(x)}supf(D)infg(D)xD

sup{f(x)g(x)}supf(D)supg(D)

xD3、应用研究

1）设{xn}为一个正无穷大数列，E为{xn}的一切项组成的数集，试证必存在自然数p，使得xpinfE。（武大94）

二、数列极限

1、定义：

1）limana0,NN():nN,|ana|，称{an}为收敛数列； n

2）limanM0,N:nN,anM，称{an}为数列； n

3）limanM0,N:nN,anM，称{an}为数列； n

4）limanM0,N:nN,|an|M，称{an}为数列；

n

5）liman0，称{an}为无穷小数列；

n

2、性质

1）唯一性：若limana,limanbab。

n

n

2）有界性：若{an}为收敛数列，则{an}为有界数列。3）保号性：limana0N,nN,an0.n

4）保不等式性：若limana,limbnb,anbn(nN0)ab.n

n

5）迫敛性：若ancnbn(nN0),limanlimbnclimcnc.n

n

n

6）四则运算：若limana,limbnb,则

n

n

lim(anbn)ab;lim(anbn)ab;lim

n

n

bnb

(a0)。

naan

xnxn1xxxn

1存在，则limnlimn。

nnynyn1ynynyn1

7）Stolz定理：设{yn}为严格增的数列，若lim

n

证明：（1）Sn明）

aaaana1a

2（用归纳法证，,nbk0,k1,2,,n，则minSn12maxSn。

b1b2bnb1b2bn

acaacc

,b0,d0a(bd)b(ac),(ac)d(bd)c，bdbbdd

minSn1minSn

an1a1anan1a1anan1

； 

bn1b1bnbn1b1bnbn1an1a1anan1a1anan1

。

bn1b1bnbn1b1bnbn1

maxSn1maxSn

（2）设lim

n

xnxn1xxxx

r0,k,nk:|nn1r|，由（1）得|nkr|，又

ynyn1ynyn12ynyk2

xk

y

rkyxx

nrk，又|因为ynyk

xnxrykyxxkx

rk(1knr)，所以|nr|ynynynynykynlim

n

xkrykxrykx

0Nk,nN:|k|，从而|nr|(nN)

nynyn2yn3、极限存在条件：

1）（Cauchy收敛准则）{an}收敛的充要条件是0,N:n,mN|anam|；

2）（单调有界收敛原理）若{an}单调增上有界，则{an}收敛，且limansupan；若{an}单调减下有界，n

n

则{an}收敛，且limaninfan；

n

n

3）（致密性定理）有界数列必有收敛子列。4）{an}收敛的充要条件是limsup(amak)0

nm.kn4、子列：n1n2,{ank}称为{an}的子列： 1）{an}收敛的充要条件是{an}的任何子列都收敛；

2）liman存在lima2n,lima2n1都存在，且lima2nlima2n1；

n

n

n

n

n

3）limanA0,满足anA至多有限项，满足anA有无穷多项，称A为{an}的上极

n

限；limanB0,满足anB至多有限项，满足anA有无穷多项，称B为{an}的下极

n

限；liman存在limanliman。

n

n

n

（1）limanlimsupxk;limanlimsupxk；

n

nkn

n

nkn

（2）anbn(nn0)limanlimbnanbn；

n

n

n

n

（3）limanlim(an)；

n

n

（4）n

anbnanbn)anlimbn

n

n

n

n

lim(anbn)limanlimbn

n

n

n

三、应用研究

11lnn，证明liman存在。

n2n

1n1dn111nxdx

b1ln,nln(1证：令n

nn2n12n1x1、设an1从而liman．

n

nd11x), an1an,bn1bn，nnn

ccxn,n1,2,，证明limxn存在并求其值。２、c[3,0),x1,xn1

n22

2c|c||c|2cxnc|c|2,xn|c|,xn10，证明：显然xn，x10。若xn0，则|xn|

224222

x2k1x2k1l

xi2k

121222

(x2kx2),xx(x2k1x2k22k22kk1)x2k1x2k1,x2k2x2k22，从而

k

cx2cx2cb2ca2nn

1maxkb,，由xl2n1i,x2n,n1,2,得a,b，1k22222222

从而ab

(ba2),(ab)(ab2)0，2

ca22

若ab20，由b，得a2a4c0，则c3，总之有ab1，即limxn1.n223、yn1yn(2yn),0y01，求证： limyn1。（武大00）

n

证明：若y0yn1，则1yn1yny0，f(x)x(2x)1(0x1)，y0y1y0(2y0)1，从而limyn(a)存在，在yn1yn(2yn)取极限，得aa(2a),0y0a1，所以a1。

n

4、设a13,a23述极限。（武大99）证明：由an13

4,a3,，如果数列{an}收敛，计算其极限，并证明数列{an} 收敛于上

3333

11111，a2n1a2n14(),a2n2a2n4()，可归纳证得：ana2na2n2a2n1a2n

1n

n

n

n

a2n,liam3an5,a2n1a2n1,a2n2a2n,从而lim2n1都存在，令lima2na,lima2n1b，由

a2n13

1,aa2n

n2

23

1a2n，取极限得a3

11ab,b3,3a,b5,abab，baab

所以数列{an} 收敛，且liman4

n

5、设数列{an}有一子列{ank}收敛，且{ank}{a2n}及{ank}{a2n1}都有无穷个元，而{a2n}及{a2n1}都为单调数列，问{an}上否收敛？为什么？（武大98）证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛：

2）由1）知{a2n}及{a2n1}都收敛，又因为lima2nlimanklima2n1，故{an}收敛。

n

k

n

6、设an0，且an（武大97），证明数列{an}中存在一子序列{ank}是收敛的子序列。



7、设ana(n)，令anmax{an,0},amax{a,0}，证明an（武大96）a(n)。





8、设{an}无上界，证明存在子序列{ank}，使得ank(k)。（武大95）9、设a0,x1

xn1n1,2,,证明极限limxn存在并求极限.（北大02）

n

xn2a，当x1a时，{xn}单调增；当x1a时，{xn}单调减，从而极限limxn存

n

在，令limxn

x，在xn1

n

x22xx2x1，xn2a得

limxn2。

n

a2n10、求极限lim.（北大01）

n1a2n

a2na2na2n1222n

a1(a)0lim0lim解：当a1时，0，；当时，；当a12n2n2nn1an1a1a

2a2n

1lim1。时，lim

n1a2nn1

12n

a

1f(a)11、设f(x)在点a右导，f(a)0，求极限lim.（北大01）n

f(a)

解：

12、a0).（北大98）

nn13、证明：（1）

11nn1n

（用ba[(n1)bna],ba0）(1)为递减数列：

n

1ln(1),n1,2（华东师大00）n1nn

（2）

14、设R中数列{an}，{bn}满足an1bnqan,n1,2,其中0q1,证明：

（1）若{bn}有界，则{an}有界；

（2）若{bn}收敛，则{an}收敛。（清华01）

证明：（1）设|bn|M,|a1|M，由于an1bnqanbnqbn1qan1从而|an1|



n

1kn

(q)b(q)a1，nkk0

k0qkMqnM

n1

M。1q

（2）设limbnb，|an1

n

bn1

||k0(q)kbnk(q)na1k0(q)kb| 1q



|k0(q)k(bnkb)(q)n(a1b)||kn1(q)kb|

n1

|k0(q)(bnkb)||km1(q)(bnk

k

k

mn1

qn

b)(q)(a1b)||b|

1q

n

|knm(q)

n

nk

qmqn

(bkb)|2M|b|

1q1q

1。x1x15、（1）用语言证明：lim

（2）设函数f在点a可导，且f(a)0。求：

f(a)

n。lim

nf(a)

n

（3）求极限

1p2pnp

lim，其中p0。（清华00）

nn1p16、求极限lim[n(e1)]（清华99）

n

1n

n17、设limana，证明 lim

n

a12a2nana

。（上海交大04）

nn2

2证明 由Stolz公式lim

a12a2nan(n1)an1a

lim。

nn(n1)2n2n2218、设xn1

3(1xn),(x10为已知)求limxn.（南京大学00）

n3xn

19、求limsin(。（浙大01）

n

20、试证：单调数列{xn}收敛到a的充要条件是存在子列{xnk}收敛到a。（武汉所00）

第四篇：数列经典例题8

1错误！未指定书签。．已知数列an的首项为a15,前n项和为Sn,且

Sn12Snn5(nN*)

(Ⅰ)证明数列an1是等比数列

(Ⅱ)令fxa1xa2x2anxn,求函数f(x)在点x1处的导数f1,并比较2f1与23n213n的大小.''

2.错误！未指定书签。设数列an的前为Tn,且Tn22an(nN).．n项积．．

(Ⅰ)求证数列1是等差数列;

Tn

(Ⅱ)设bn(1an)(1an1),求数列bn的前n项和Sn.例3错误！未指定书签。设数列an的前n项和为Sn,已知a18,an1Sn3n15,nN.(Ⅰ)设bnan23n,证明:数列bn是等比数列;

222232n

(Ⅱ)证明:1.a1a2a3an

第五篇：第2课数列的性质（模版）

第2课数列的性质

(时间：90分钟满分：100分)

题型示例

三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数.分析三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个

数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解好问题的关键.解由已知，可设这三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=6,∴a=2,这三个数可表示为2-d,2,2+d,(1)若2-d为等比中项，则有(2-d)2=2(2+d),解之得d=6或d=0(舍去).此时三个数为：-4,2,8.(2)若2+d是等比中项，则有(2+d)2=2(2-d),解之得d=-6或d=0(舍去)，此时三个数为：8，2，-4.(3)若2为等比中项，则22=(2+d)·(2-d),∴d=0(舍去).综上可求得此三数为-4,2,8.点评此题给我们的启示是：数学解题既要精炼又要全面.一、选择题(8×3′＝24′)

1．下列各命题中，真命题是()

A．若｛an｝成等差数列，则｛|an|｝也成等差数列

B．若｛|an|｝成等差数列，则｛an｝也成等差数列

C．若存在自然数n,使得2an+1=an+an+2，则｛an｝一定是等差数列

D．若｛an｝是等差数列，对任何自然数n都有2an+1=an+an+

22．从{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任选3个不同的数使它们成等差数列，则这样的等差数列最多有

()

A.20个B.40个C.60个D.80个

3．若正数a、b、c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax、logbx、logcx()

A.依次成等差数列B.依次成等比数列

C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列

4．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首项为1，公比为1的等比数列，则an等于(n

3∈N)（）3131)B.(1n1)A.(12233n

2121(1)D.(1n1)3333n

15．等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99的值为()

2145A.60B.85C.D.75 2

6．已知数列前n项和Sn=2n-1(n∈N*)，则此数列奇数项的前n项和为()

11A.(2n11)B.(2n12)33

11C.(22n1)D.(22n2)33

7．正项等比数列｛an｝的首项a1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的几何平均

数仍是25,则抽去一项的项数为()

A.6B.7C.9D.11 C.1(a1a2)2

8．已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值范围是b1b

2()

A.RB.(0,4C.［4,+D.(-∞,0］∪［4,+∞)

二、填空题(4×3′＝12′)

9．等差数列｛an｝最初五项之和与其次五项之和的比为3∶4(n∈N*),则首项a1与公差d的比为.10．已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn(n∈N)，若a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q的值是11．12-22+32-42+52-62+…+992-100212．若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这个数

列有项.三、解答题(3×10′＋12′＋10′＝52′)

13．已知数列{an}的首项a1=a(a是常数且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N*,n≥2).(1){an}是否是等差数列？若是，求出{an}的通项公式；若不是，说明理由;

(2)设bn=an+c(n∈N*,c是常数)，若{bn}是等比数列，求实数c的值，并求出{bn}的通项公式.14．设实数a≠0,且函数f(x)=a(x2+1)-(2x+

(1)求a的值;

(2)设数列｛an｝的前n项和Sn=f(n),令bn=

列.1)有最小值-1.aa2a4a2n,n=1，2,3…，证明数列｛bn｝是等差数n

3n217n15．若数列｛an｝的前n项和Sn=-(n∈N*)，求数列｛|an|｝的前n项和Tn.2

216．在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等

比数列.(1)求证:2a≥b+c;

(2)求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1).1171317．已知数列{an}的通项公式an=n2n(n∈N*)4126

1(1)是否存在等于的项?为什么? 2

(2)此数列是否有相等的连续两项?若有，它们分别是哪两项;若没有，说明理由;

(3)此数列是否有值最小的项?为什么?

四、思考与讨论(12′)

18．在xOy平面上有点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，对每个自然数n，点Pn位于函数

ay=2000()x(0

(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；

(2)若对每个自然数n，以bn、bn+

1、bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设cn=lgbn(n∈N)．若a取(2)中确定的范围的最小整数，问数列{cn}前多少项的和最大?试说明理由．

参考答案

1．DA错，例如数列-3,-1,1，这样B也错，C应是对任意自然数n;D正是等差中项的性质.2．B由等差数列的概念知an-1+an+1=2an,所选的三个数只要首末两数之和为偶数，则该三数即可构成等差数列.因此，把所给的10个数分为1,3,5,7,9;2,4,6,8,10两组,分别任取两数，另一数自然确定，共有22A5=5×4×2=40个.故选B.3．Cb2=ac2lgblgalgc2lgblgalgc211.lgxlgxlgxlogbxlogaxlogcx

11()n=3(11)． 4．Aan=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)= n1231

35．AS100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=145,又(a2+a4+…+a100)-(a1+a3+a5+…+a99)=50d

S奇S偶145则解得S奇=a1+a3+a5+…+a99=60.SS25偶奇

1(14n)12n(21).6．Can=2，奇数项构成公比为4的等比数列.∴Sn143n-

17．A(a11

1·q11+2+…+1011)=25q55=2110q=4.=25qx=2100x=50.1x1010抽取一项后，(a1·q)

抽出的项的q的指数为5，故是第6项.2(a1a2)2(xy)2(2xy)4xy8．C4.b1b2xyxyxy

9．13∶1a1a2a55a3a3a12d3a1∶d=13∶1.a6a7a105a8a8a17d

4①

② a33S2210．4 a3S234

②-①:a4-a3＝3（33－32）＝3a3，∴a4=4a3.11．-5050两项结合，利用平方差公式.a1a2a33412．13，∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，anan1an2146

∴34+146=3(a1+an),a1+an=60．∴390=n·60，∴n=13.213．解（1）∵a1=a(a≠-1),a2=2a+1,a3=2a2+1=2(2a+1)+1=4a+3,a1+a3=5a+3,2a2=4a+2.∵a≠-1,∴5a+3≠4a+2,即a1+a3≠2a2,故{an}不是等差数列.2(2)由{bn}是等比数列，得b1b3=b2

2,即(a+c)(4a+3+c)=(2a+1+c),化简得a-c-ac+1=0,即(a+1)(1-c)=0.∵a≠-1,∴c=1,∴b1=a+1,q=

∴bn=b1qn-1=(a+1)·2n-1.14．(1)解∵f(x)=a(x-b2=2.b1122)+a-有最小值-1.aa

12∴a>0,且f()=a-=-1.∴a=1或a=-2(舍)，∴a=1.aa

(2)证明由(1)知f(x)=x2-2x,∴Sn=n2-2n.∴n=1时，a1=S1=-1；n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-2n)-［(n-1)2-2(n-1)］=2n-3.且a1=-1满足上式.∴an=2n-3,即｛an｝是首项为-1,公差为2的等差数列.∴bn=1241n(a2a2n)1n(14n3)(a+a+…+a2n)=·=·=2n-1.nnn22

∴bn+1-bn＝［2(n+1)-1］-(2n-1)=2.∴｛bn｝是等差数列.15．解n≥2时，an=Sn-Sn-1=10-3n..n=1时，a1=S1＝7满足上式，∴对n∈N*，an=10-3n.令10-3n>0,则n<10,∴a1>0,a2>0，a3>0,a4<0，… 3

3n217n(n3)22∴T（n）＝2.3n17n24(n4)22

mn2a① 216．证明(1)设原两数为m,n(m,n>0),则mcb ② 2③ nbc

由①知a>0,由②，③知b,c>0, b2c2

∴=m+n=2a2abc=b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)(2bc-bc)=(b+c)bc,∴2a≥b+c.cb

mn(2)由①得a=≥mn=a2≥bc 2

a2bca2+2a≥bc+b+c(a+1)2≥bc+b+c+1=(b+1)(c+1).2abc

17．解(1)若数列中有等于11171312的项，则有an=n2-n+=,3n-17n+20=0 246212

51解得n=4或n=又n∈N则n=4,故数列的第4项等于.32

1113171317(2)an=n2-n+,an+1=(n+1)2-(n+1)+.46461212

若数列中有连续两项相等，则121713113717n-n+=(n+1)2-(n+1)+解得n=.464631212

由于n∈N,故不存在相等的连续两项.(3)an=117223(n-)+,故当n=3时an取最小值.46144

点评本题反映了数列的通项公式是关于项与它的序号的关系的式子，因此可运用方程思想，通过通项公式求出数列的各项或某一项所对应的项数.另外，运用函数观点理解数列，其通项公式亦可视为定义域为正整数集的函数解析式，于是可运用有关函数知识解决一些数列问题.18．解(1)由题意，可知an=11(n+n+1)=n+.22

1aan2∴bn=2000()an=2000()． 1010

ax)在(-∞,+∞)上为减函数，∴对每个正整数n，有bn>bn+1>bn+2． 10

aa∴以bn、bn+

1、bn+2为边能构成三角形的充要条件是bn+1+bn+2>bn，即+()2>1.1010(2)∵函数y=2000（解得a<-5(1+5)或a>5(-1).∵0

7n(3)易知a=7，则bn=2000()2.10

于是cn=lgbn=3+lg2+(n+11)lg0.7，且为递减数列． 2

由,解得n≤20.8∴n=20.因此，{cn}的前20项和最大．