2.4《弦切角的性质》（5篇范例）

第一篇：2.4《弦切角的性质》

弦切角的性质

学习目标:

1.理解弦切角的概念；

2.掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题； 3.理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法.教学重点和难点

弦切角定理及其应用是重点；

弦切角定理的证明是难点.教学过程：

一、创设情境，以旧探新 1.提问：什么样的角是圆周角? 2.圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.(图7-132)

思考：这时∠BAE还是圆周角吗?为什么? 归纳总结出弦切角的特点：

(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.3.弦切角定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.4.判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：(图7-133)

/ 5

由此发现，弦切角可分为三类：

(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；

(3)圆心在角的内部.二、观察联想、发现规律

1.当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135)(1)弦切角∠CAB是多少度?为什么?(2)∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度?为什么?(3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系? 观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角.2.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，猜想：弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.(图7-134)

三、类比联想，尝试论证

1.回忆联想：

(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢? 2.前面证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。如图7-136(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.2 / 5

如图7-136(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.你能写出完整的证明过程吗？

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.3.看书并思考：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同?

四、巩固知识、初步应用

例1（课本p33）如图7-139，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D.求证：AC平分∠BAD.思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B.(图7-139)证明：(学生自己完成证明)思路二:连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论.(图7-140)

思路三:过C作CF⊥AB，交⊙O于F，连结AF.由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，进而可证明结论成立.(图7-141)[课堂练习]: 1.如图7-142，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝

度.(口答)2.AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝

.3 / 5

3.已知：经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：∠ATC＝∠TBC.② CT2＝CBCA

五、归纳小结

① 在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从

而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.②学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦

切角进行分类和如何进行分类.③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.六．反馈练习

练习1 直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧.(图7-137)

/ 5

练习2 如图7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB＝AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么? 分析，由于AB和AC分别是两个弦切角∠DAB和∠EAC所夹的弧，而AB和AC.连结B，C，易证∠B＝∠C.于是得到∠DAB＝∠EAC.推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.5 / 5

第二篇：弦切角的性质学案

弦切角的性质学案

班级姓名等级

学习目标:

1.理解弦切角的概念；

2.掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；

3.理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法.学习重点和难点

弦切角定理及其应用是重点；弦切角定理的证明是难点.学习过程：

一、创设情境，以旧探新

1.提问：什么样的角是圆周角?

2.圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.(图7-132)

思考：这时∠BAE还是圆周角吗?为什么?

归纳总结出弦切角的特点：(1)；(2)；(3).3.弦切角定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.4.判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：(图7-133)

由此发现，弦切角可分为三类：

(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；

(3)圆心在角的内部.二、观察联想、发现规律

1.当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135)。

(1)弦切角∠CAB是多少度?为什么?

(2)∠CAB所夹弧所对的圆周角是多少度?为什么?

(3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?

观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角.2.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关

系，猜想：弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.(图7-134)

让学生完成弦切角为直角的证明过程

三、类比联想，尝试论证

1.回忆联想：

(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?

(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?

2.前面证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.讨论：

怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。如图7-136(1)，圆

心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.证明：

如图7-136(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.证明：

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.3.看书并思考：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方

法有何异同?

四、巩固知识、初步应用

例1（课本p33）如图7-139，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D.求证：AC平分∠BAD.思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相

似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B.(图7-139)

证明：(学生自己完成证明)

思路二:连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证

得结论.(图

7-140)

思路三:过C作CF⊥AB，交⊙O于F，连结AF.由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定

理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，进而可证明结论成立.(图7-141)

[课堂练习]:

1.如图7-142，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝度.(口答)

2.AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角

∠BAC＝.3.已知：经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：∠ATC＝∠TBC.② CT＝CBCA

五、归纳小结

① 在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从

而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.②学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦

切角进行分类和如何进行分类.③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.六：课后小结与反思：

预习提示：相交弦定理

割线定理

切割线定理及切线长定理

第三篇：2.4 弦切角的性质

2.4、弦切角的性质

教学目标：

1、使学生知道弦切角的定义，会在图形中识别弦切角；

2、会叙述弦切角定理及其推论；

3、能运用弦切角定理及其推论证明有关几何问题；

4、培养学生分类讨论的思想方法和辩证唯物主义的观点。教学的重点、难点：

教学重点：探索弦切角定理的证明方法；运用弦切角定理证明有关的几何问题。

教学难点：用分类的思想方法证明弦切角定理。

教学方法

探究、讨论、讲授

教学准备

课件多媒体

教学过程：

一、创设情境，以旧探新

1、复习：什么样的角是圆周角?

2、弦切角的概念：

圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，得∠BAE．提问：∠EAC有何特点？

C

B

A(B)

IE

I

弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.注意引导学生发现弦切角的三个要点，使学生在形象、直观的学习活动中掌握新的概念。

练习1右面各图中，哪一个角是弦切角？

练习2：图3中有几个弦切角？（）

二、观察、猜想 观察图形，提问:

(1)、图7(1)中，∠A与∠P有何关系？为什么？(2)、图7(2)中，∠EAC与∠P有何共同点？

B

图

3分析比较：既然图7(1)中∠A＝∠P，那么图7(2)中，∠EAC=∠P吗？

B

E

A(B)

图7

这一结论是否能成立呢？我们不妨从最特殊的情形考虑一下.圆心O在弦切角∠BAC的边AC上，此时显然有∠BAC=∠P=90°.由此我们完全有信心提出一个猜想：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.三、类比联想、论证

1、已经证明了最特殊的情形，下面考虑圆心在角内与角外两种情形.2、圆心在角外，作⊙O的直径AQ，连接PQ（如图9），则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.3、圆心在角内，作⊙O的直径AQ，连接PQ（如图10），P

A

B

BB

图9图9

图10

图10

则∠BAC=∠BAQ+∠1=∠APQ+∠2=∠APC.4、回顾证明的方法：将情形（2）、（3）都归至情形（1），利用角的合成，对三种情形进行完全归纳，从而证明了上述的猜想，我们把所证得的结果取名为

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.【设计意图】弦切角定理是这节课的重点也是难点，通过创设问题情境，引导学生在解决问题的过程中学习新的知识。利用问题激发学生探索弦切角定理证明的其他情况。学生进行思考和探索，锻炼学生的动手能力，激发学生学习的积极性。在总结弦切角定理量要注意对“所夹”与“所对”两个关键词的理解。

三、例题分析

例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.求证:AC平分∠BAD.证明：略

课堂练习课后小结

1、弦切角-------顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角。

2、弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.作业布置

教科书习题2.4 第1、2题 课后反思

第四篇：弦切角学案

弦切角学习学案

教学目标：使学生了解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推理，进一步使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法

教学难点、重点：弦切角定理的证明 教学过程：

一、复习引入

1、前面学习过有关于圆的角度有__________、_____________。

2、当圆周角的一边BC绕着点B旋转，使得BC为圆O 的切线，这个时候就形成了一个新的角，我们称之为弦切角。

BB

C

OO CAA

二、新知学习

1、弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

2、观察下图，你能发现弦切角和弦切角所夹的弧所对的圆周角的关系吗？

C

O P ABE

猜想：______________________ 证明：

CPEOCOPABEAB

弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角

三、典型例题

例题1, 如图，已知AB是圆O的直径，AC是弦，直线CE和圆O切于点C，AD⊥CE，垂直为D，求证：AC平分∠BAD

B

O

A

CED

练习

1、如图，AB是圆O的弦，CD是经过圆O上一点M 的切线，求证：（！）AB∥CD时，AM=MB（2）AM=MB时，AB∥CD

练习

2、在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，圆O过点A且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F，求证：EF∥BC

A

O

j EF

B C D

CMDAOB相交弦定理和切割线定理学案

教学目标：能结合具体图形，准确地表述相交弦定理、切割线定理及其推论。教学难点、重点：相交弦定理和切割线定理的证明 教学过程：

1、相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

数学表达式：___________________________

A证明：

D

O P B

C

练习：

已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12和16两段，第二条弦的长为32，求第二条弦被交点分成的两段的长

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这个点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。数学表达式： PT2=PA•PB

A证明：

B

O P

T3、切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

C数学表达式：PA•PB=PC•PD

D

P BA

练习

1、如图：圆O的割线PAB交圆O于点A和B。PA=6，AB=8，PO=10.9，求圆O的半径

BAPCO

2、如图：两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于BAC切小圆与C，交大圆于D、E，AB=12，AO=15，AD=8。求两圆的半径

B

O

A

D

C

E

思考题：如图，点I是三角形ABC的内心，AI交边BC于点D，交三角形ABC外接圆于点E，求证：IE2=AE*DE

A

IBEDC

第五篇：怎样证明弦切角

怎样证明弦切角

设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

2接OBOC过O做OE⊥BC

所以∠A=1/

2又因为∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3温馨提示

设切点为A切线AB弦AC圆心为O过A作直径AD连OC

角CAB等于90度减角DAC

因为OA等于OC所以角AOC等于180度减去二倍的角DAC

即可证明角AOC等于二倍的角CAB

参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半

4线段AD与线段EF互相垂直平分。

证明:设AD交EF于点G.因为Ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pAC=∠B，又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，从而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD，∠B+∠BAD=∠pDA，所以

∠pAD=∠pDA，则△pAD为等腰三角形，因pM平分∠ApD，所以pM垂直平分AD，则EF垂直平分AD，从而AD垂直EF，则∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，从而EG=FG，从而AD也垂直平分EF。

5(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC