2018年考研数学导数的复习重点及应用

第一篇：2018年考研数学导数的复习重点及应用

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【导数定义和求导要注意的】

第一，理解并牢记导数定义。导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要同学们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：

1)在某点的领域范围内。

2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。

3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了。

4)掌握导数定义的不同书写形式。

第二，导数定义相关计算。这里有几种题型：1)已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。

第三，导数、可微与连续的关系。函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导。这也常常应用在做题中。

第四，导数的计算。导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同类型题，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：1)基本的求导公式。指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到什么形式的时候就可以直接代公式，也为后面学习不定积分和定积分打基础。2)求导法则。求导法则这里无非是四则运算，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式;复合函数要会写出它的复合过程，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了，也是通过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数;反函数求导法则为我们开辟了一条新路，建立函数与其反函数之间的导数关系，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过，请同学们注意。3)常见考试类型的求导。通常在考研中出现四种类型：幂指函数、隐函数、参数方程和抽象函数。这四种类型的求导方法要熟悉，并且可以解决他们之间的综合题，有时候也会与变现积分求导结合，94年，96年，08年和10年都查了参数方程和变现积分综合的题目。

第五，高阶导数计算。高阶导数的计算在历年考试出现过，比如03年，07年，10年，都以填空题考查的，00年是一道解答题。需要同学们记住几个常见的高阶导数公式，将其他函数都转化成我们这几种常见的函数，代入公式就可以了，也有通过求一阶导数，二阶，三阶的方法来找出他们之间关系的。这里还有一种题型就是结合莱布尼茨公式求高阶导数的，00年出的题目就是考察的这两个知识点。

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【导数的应用】

导数的应用主要有以下几种：(1)切线和法线;(2)单调性;(3)极值;(4)凹凸性;(5)拐点;(6)渐近线;(7)(曲率)(只有数一和数二的考);(8)经济应用(只有数三的考)。我们一一说明每个应用在考研中有哪些注意的。

▶切线和法线

主要是依据导数的几何意义，得出曲线在一点处的切线方程和法线方程。

▶单调性

在考研中单调性主要以四种题型考查，第一：求已知函数的单调区间;第二：证明某函数在给定区间单调;第三：不等式证明;第四：方程根的讨论。这些题型都离不开导数的计算，只要按照步骤计算即可。做题过程中要仔细分析每种的处理方法，多加练习。

▶极值

需要掌握极值的定义、必要条件和充分条件即可。

▶凹凸性和拐点

考查的内容也是其定义、必要条件、充分条件和判别法。对于这块内容所涉及到的定义定理比较多，使很多同学弄糊涂了，所以希望同学们可以列表对比学习记忆。

▶渐近线

当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。

考研中会考察给一曲线计算渐近线条数，计算顺序为垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。

▶条数计算

垂直渐近线就直接算就可以了，有几条算几条，而水平渐近线和斜渐近线要分别x趋于正无穷计算一次，和x趋于负无穷计算一次，当趋于正无穷和负无穷的水平渐近线或者斜渐近线相同则计为一条渐近线，若是不同，则计为两条渐近线。另外，在趋于正无穷或者负无穷时，有水平渐近线就不会有斜渐近线。

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▶曲率

这块属于导数的物理应用，这块是数一数二的同学考的，需要掌握曲率、曲率半径、曲率圆。理解并记清楚公式。

▶导数的经济应用

导数的经济学应用是数三特考的，这个主要是考察弹性，边际利润，边际收益等。记住公式会计算即可。

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第二篇：导数应用复习

班级第小组，姓名学号

高二数学导数复习题

8、偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求1．求下列函数的导数：

（1）y(2x23)(x24)（2）yexxlnx

（3）y1x2

sinx

（4）y1234xx2x32、已知f(x)xsinxx

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲线yx过点(4,2)的切线方程。

4、设曲线y

x1

x1

在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，求a的值。

5、函数yx3

3x的单调减区间是

6、已知函数f(x)x3

12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则Mm=。

7、当x[1,2]时，x3

12

x2

2xm恒成立，则实数m的取值范围是。

高二数学下导学案

函数yf(x)的解析式。

9.已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)，若f/(1)0，求函数yf(x)在R上极值。

10、（2007全国I）设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2处取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f(x)c2

成立，求c的取值范围。

11、已知函数f(x)

a3

x3

bx24cx是奇函数，函数f(x)的图像在(1,f(1))处的切线斜率为6，且当x2函数f(x)有极值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的单调区间。

第三篇：导数的应用一复习

本节主要问题：

1、利用导数判断函数单调性的法则：

如果在(a,b)内，f'(x)0，则f(x)在此区间内是增函数，(a,b)为f(x)的单调增区间； 如果在(a,b)内，f'(x)0，则f(x)在此区间内是减函数，(a,b)为f(x)的单调减区间；

2、如何利用导数判断函数单调性（求单调区间）：

①先求定义域；②求导—分解因式 ；③解不等式；④下结论（注意单调区间的写法，不能写集合，也不能用并集）。

3、如何利用导数证明不等式f(x)g(x)？

构造函数(x)f(x)g(x)，利用(x)的单调性证明(x)0即可。

4、已知函数的单调性求参数范围

找出函数yx34x2x1的单调区间。

例

3、当x1时，证明不等式xln(x1)。

例

4、若函数f(x)axxx5在(,)上单调递增，求a的取值范围。

第四篇：2015考研数学方向导数

2015考研数学方向导数

方向导数是数一的考点，记公式并会做题就可以，本知识点在历年考研出题不是多，但也是大纲规定的考点，普明考研数学崔老师给学员梳理下这部分知识点。

定义如果P沿射线l趋向于P0(t0)时，极限 f(xtcos,ytcos)f(x,y)0000t0t

存在，则称此极限值为函数f(x,y)在P记为0(x0,y0)点沿射线l方向的方向导数，f

l，即

(x0,y0)f(xtcos,ytcos)f(x,y)0000 t0t(x,y)00

如果函数f(x,y)在P0(x0,y0)点可微分，那么函数在该点沿任何方向l的方向导数存在，而且有,其中cos，cosf(x,y)cosf(x,y)cosx00y00(x,y)00

是方向l的方向余弦。

对于三元函数uf(xyz，)有类似的定义

(x,y,z)点可微分，则函数在该点沿方向可以证明：如果f(x,y,z)在P0000

e(cos,cos,cos)的方向导数为 l

f(x,y,z)cosf(x,y,z)cosf(x,y,z)cosx000y000z000(x,y,z)000

第五篇：教辅：高考数学二轮复习考点-导数及其应用1

考点七　导数及其应用(一)

一、选择题

1．(2020·山东滨州三模)函数y＝ln

x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线方程为()

A．x＋ey－1＋e＝0

B．x－ey＋1－e＝0

C．x＋ey＝0

D．x－ey＝0

答案　D

解析　因为y＝ln

x，所以y′＝，所以y′|x＝e＝，又当x＝e时，y＝ln

e＝1，所以切线方程为y－1＝(x－e)，整理得x－ey＝0.故选D.2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()

A．1

B．2

C．3

D．4

答案　A

解析　如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.3．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()

A．y＝－2x－1

B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3

D．y＝2x＋1

答案　B

解析　∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，∴所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()

A．0

B．－5

C．－10

D．－37

答案　D

解析　由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0

x＋f′(x)的零点所在的区间是()

A.B．

C．(1,2)

D．(2,3)

答案　B

解析　∵f(x)＝x2－bx＋a，∴二次函数的对称轴为x＝，结合函数的图象可知，0

x＋f′(x)＝aln

x＋2x－b在(0，＋∞)上单调递增．又g＝aln

＋1－b<0，g(1)＝aln

1＋2－b>0，∴函数g(x)的零点所在的区间是.故选B.6．(2020·山东泰安二轮复习质量检测)已知函数f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax只有一个极值点，则实数a的取值范围是()

A．a≤0或a≥

B．a≤0或a≥

C．a≤0

D．a≥0或a≤－

答案　A

解析　f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax，令f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0，故x－aex＋＝0，当a＝0时，f′(x)＝xex，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f′(0)＝0，故函数有唯一极小值点，满足条件；当a≠0时，即＝ex－e－x，设g(x)＝ex－e－x，则g′(x)＝ex＋e－x≥2恒成立，且g′(0)＝2，画出函数g(x)和y＝的图象，如图所示．根据图象知，当≤2，即a<0或a≥时，满足条件．综上所述，a≤0或a≥.故选A.7．(多选)若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是()

A．直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3

B．直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln

x

C．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinx

D．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tanx

答案　ACD

解析　A项，因为y′＝3x2，当x＝0时，y′＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线．当x<0时，y＝x3<0；当x>0时，y＝x3>0，所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确；B项，y′＝，当x＝1时，y′＝1，在P(1,0)处的切线为l：y＝x－1.令h(x)＝x－1－ln

x，则h′(x)＝1－＝(x>0)，当x>1时，h′(x)>0；当0

x，即当x>0时，曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外)，结论错误；C项，y′＝cosx，当x＝0时，y′＝1，在P(0,0)处的切线为l：y＝x，由正弦函数图象可知，曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确；D项，y′＝，当x＝0时，y′＝1，在P(0,0)处的切线为l：y＝x，由正切函数图象可知，曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确．故选ACD.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln

x，且f＝，则()

A．f′＝0

B．f(x)在x＝处取得极大值

C．0

D．f(x)在(0，＋∞)上单调递增

答案　ACD

解析　∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln

x，即满足＝，∵′＝，∴′＝，∴可设＝ln2

x＋b(b为常数)，∴f(x)＝xln2

x＋bx，∵f＝·ln2

＋＝，解得b＝.∴f(x)＝xln2

x＋x，∴f(1)＝，满足0

x＋ln

x＋＝(ln

x＋1)2≥0，且仅有f′＝0，∴B错误，A，D正确．故选ACD.二、填空题

9．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.答案　1

解析　f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)曲线f(x)＝asinx＋2(a∈R)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋2，则a＝________.答案　－1

解析　f(x)＝asinx＋2(a∈R)，则f′(x)＝acosx，故当x＝0时，f′(0)＝a，又函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋2，所以a＝－1.11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20

cm，要使体积最大，则高为________

cm.答案

解析　设高为h

cm，则底面半径r＝

cm，所以体积V＝r2h＝h(400－h2)，则V′＝(400－3h2)．令V′＝(400－3h2)＝0，解得h＝.即当高为

cm时，圆锥的体积最大．

12．(2020·吉林第四次调研测试)若函数f(x)＝mx2－ex＋1(e为自然对数的底数)在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是________．

答案

解析　因为f(x)＝mx2－ex＋1，所以f′(x)＝2mx－ex，又函数f(x)在x＝x1和x＝x2两处取得极值，所以x1，x2是方程2mx－ex＝0的两不等实根，且x2≥2x1，即m＝(x≠0)有两不等实根x1，x2，且x2≥2x1.令h(x)＝(x≠0)，则直线y＝m与曲线h(x)＝有两交点，且交点横坐标满足x2≥2x1，又h′(x)＝＝，由h′(x)＝0，得x＝1，所以，当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)＝在(1，＋∞)上单调递增；

当x<0和0

当x2＝2x1时，由＝，得x1＝ln

2，此时m＝＝，因此，由x2≥2x1，得m≥.三、解答题

13．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．

解(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，则φ′(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

(2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；

②当x＞0时，分离参数a得a≥－，记g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1，则H′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故当x∈(0,2)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；

当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．

因此，g(x)max＝g(2)＝，综上可得，实数a的取值范围是.14．(2020·山东济南6月仿真模拟)已知函数f(x)＝aln

(x＋b)－.(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；

(2)当b>0时，讨论f(x)极值点的个数．

解(1)当a＝1，b＝0时，f(x)＝ln

x－，此时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，由f′(x)>0得04.所以f(x)在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．

所以f(x)max＝f(4)＝2ln

2－2.(2)当b>0时，函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝－＝，①当a≤0时，f′(x)<0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0；

②当a>0时，设h(x)＝－x＋2a－b，(ⅰ)当4a2－4b≤0，即0

时，f′(x)≤0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0；

(ⅱ)当4a2－4b>0，即a>时，令t＝(t≥0)，则h(t)＝－t2＋2at－b，t1＋t2＝2a>0，t1t2＝b>0，所以t1，t2都大于0，即f′(x)在(0，＋∞)上有2个左右异号的零点，所以此时f(x)极值点的个数为2.综上所述，当a≤时，f(x)极值点的个数为0；当a>时，f(x)极值点的个数为2.一、选择题

1．(2020·山东省实验中学4月高考预测)已知函数f(x)＝3x＋2cosx，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是()

A．a

B．c

C．b

D．b

答案　D

解析　根据题意，函数f(x)＝3x＋2cosx，其导函数f′(x)＝3－2sinx，则有f′(x)＝3－2sinx>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数．又由2＝log24

A．有3个极大值点

B．有3个极小值点

C．有1个极大值点和2个极小值点

D．有2个极大值点和1个极小值点

答案　D

解析　结合函数图象可知，当x0，函数y＝g(x)－f(x)单调递增；当ag′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)<0，函数y＝g(x)－f(x)单调递减；当00,函数y＝g(x)－f(x)单调递增；当x>b时，f′(x)>g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)<0，函数y＝g(x)－f(x)单调递减，故函数在x＝a，x＝b处取得极大值，在x＝0处取得极小值．故选D.3．(2020·株洲市第二中学4月模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则()

A．4f(－2)<9f(3)

B．4f(－2)>9f(3)

C．2f(3)>3f(－2)

D．3f(－3)<2f(－2)

答案　A

解析　首先令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，当x>0时，g′(x)>0，g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(x)是偶函数，所以4f(－2)＝g(－2)＝g(2)

A．y＝2x＋1

B．y＝2x＋

C．y＝x＋1

D．y＝x＋

答案　D

解析　设直线l与曲线y＝的切点为(x0，)，x0＞0，函数y＝的导数为y′＝，则直线l的斜率k＝，直线l的方程为y－＝·(x－x0)，即x－2y＋x0＝0.由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，两边平方并整理得5x－4x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.故选D.5．(2020·山东青岛一模)已知函数f(x)＝(e＝2.718为自然对数的底数)，若f(x)的零点为α，极值点为β，则α＋β＝()

A．－1

B．0

C．1

D．2

答案　C

解析　∵f(x)＝∴当x≥0时，令f(x)＝0，即3x－9＝0，解得x＝2；当x<0时，f(x)＝xex<0恒成立，∴f(x)的零点为α＝2.又当x≥0时，f(x)＝3x－9为增函数，故在[0，＋∞)上无极值点；当x<0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(1＋x)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，∴当x＝－1时，f(x)取到极小值，即f(x)的极值点β＝－1，∴α＋β＝2－1＝1.故选C.6．(2020·山西太原高三模拟)点M在曲线G：y＝3ln

x上，过M作x轴的垂线l，设l与曲线y＝交于点N，＝，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为()

A．0

B．1

C．2

D．3

答案　C

解析　设M(t,3ln

t)，则N，所以＝＝，依题意可得ln

t＋＝0，设g(t)＝ln

t＋，则g′(t)＝－＝，当0时，g′(t)>0，则g(t)单调递增，所以g(t)min＝g＝1－ln

3<0，且g＝－2＋>0，g(1)＝>0，所以g(t)＝ln

t＋＝0有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.故选C.7．(多选)(2020·山东济宁邹城市第一中学高三下五模)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b，其中a，b∈R，则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有()

A．a

B．a＝ln

(b2＋1)

C．a＝－3，b2－4≥0

D．a＝－1，b＝1

答案　BD

解析　由题知f′(x)＝3x2＋a.对于A，由f(x)是奇函数，知b＝0，因为a<0，所以f(x)存在两个极值点，由f(0)＝0知，f(x)有三个零点，A错误；对于B，因为b2＋1≥1，所以a≥0，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，则f(x)仅有一个零点，B正确；对于C，若取b＝2，f′(x)＝3x2－3，则f(x)的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，此时f(x)有两个零点，C错误；对于D，f(x)＝x3－x＋1，f′(x)＝3x2－1，易得f(x)的极大值为f＝＋1>0，极小值为f＝－＋1>0，可知f(x)仅有一个零点，D正确．故选BD.8．(多选)(2020·山东省实验中学4月高考预测)关于函数f(x)＝＋ln

x，下列判断正确的是()

A．x＝2是f(x)的极大值点

B．函数y＝f(x)－x有且只有1个零点

C．存在正实数k，使得f(x)>kx成立

D．对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>4

答案　BD

解析　函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数f′(x)＝－＋＝，∴在(0,2)上，f′(x)＜0，函数单调递减，在(2，＋∞)上，f′(x)＞0，函数单调递增，∴x＝2是f(x)的极小值点，故A错误；y＝f(x)－x＝＋ln

x－x，∴y′＝－＋－1＝<0，函数在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)－1＝2＋ln

1－1＝1>0，f(2)－2＝1＋ln

2－2＝ln

2－1<0，∴函数y＝f(x)－x有且只有1个零点，故B正确；若f(x)＞kx，可得k<＋，令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令h(x)＝－4＋x－xln

x，则h′(x)＝－ln

x，∴在(0,1)上，函数h(x)单调递增，在(1，＋∞)上，函数h(x)单调递减，∴h(x)≤h(1)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)＝＋在(0，＋∞)上单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f(x)＞kx恒成立，故C错误；令t∈(0,2)，则2－t∈(0,2)，2＋t＞2，令g(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln

(2＋t)－－ln

(2－t)＝＋ln，则g′(t)＝＋·＝＋＝<0，∴g(t)在(0,2)上单调递减，则g(t)＜g(0)＝0，令x1＝2－t，由f(x1)＝f(x2)，得x2＞2＋t，则x1＋x2＞2－t＋2＋t＝4，当x2≥4时，x1＋x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞4，故D正确．故选BD.二、填空题

9．(2020·山东高考实战演练仿真四)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋f′x2－x，则f′(1)＝________.答案　0

解析　因为f(x)＝x3＋f′x2－x，所以f′(x)＝3x2＋2f′x－1.所以f′＝3×2＋2f′×－1，则f′＝－1，所以f(x)＝x3－x2－x，则f′(x)＝3x2－2x－1，故f′(1)＝0.10．若f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1对x∈R恒成立，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．

答案　10x＋4y－5＝0

解析　∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，①

∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，②

联立①②，得f(x)＝－x3－x＋，则f′(x)＝－x2－1，∴f′(1)＝－－1＝－，又f(1)＝－－1＋＝－，∴切线方程为y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0.11．(2020·广东湛江模拟)若x1，x2是函数f(x)＝x2－7x＋4ln

x的两个极值点，则x1x2＝________，f(x1)＋f(x2)＝________.答案　2　4ln

2－

解析　f′(x)＝2x－7＋＝0⇒2x2－7x＋4＝0⇒x1＋x2＝，x1x2＝2，f(x1)＋f(x2)＝x－7x1＋4ln

x1＋x－7x2＋4ln

x2＝(x1＋x2)2－2x1x2－7(x1＋x2)＋4ln

(x1x2)＝4ln

2－.12．(2020·山东济宁嘉祥县高三考前训练二)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)＝－f(x)(e是自然对数的底数)，且f(0)＝1，若关于x的不等式f(x)－m<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________．

答案(－e,0]

解析　∵f′(x)＝－f(x)，∴[f′(x)＋f(x)]ex＝2x＋3，即[f(x)ex]′＝2x＋3.设f(x)ex＝x2＋3x＋c，∴f(x)＝.∵f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝，∴f′(x)＝＝－.由f′(x)>0，得－2

由f′(x)<0，得x>1或x<－2，∴函数f(x)在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)和(1，＋∞)上单调递减，如图所示．

当x＝－2时，f(x)min＝－e2.又f(－1)＝－e，f(－3)＝e3，且x>0时，f(x)>0，由图象可知，要使不等式f(x)

三、解答题

13．(2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．

(1)求桥AB的长度；

(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)．问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？

解(1)由题意，得|O′A|2＝－×403＋6×40，∴|O′A|＝80.∴|AB|＝|O′A|＋|O′B|＝80＋40＝120.答：桥AB的长度为120米．

(2)设|O′E|＝x，总造价为f(x)万元，|O′O|＝×802＝160，f(x)＝k＋k

＝k(0＜x＜40)，∴f′(x)＝k.令f′(x)＝0，得x＝20(x＝0舍去)．

当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜40时，f′(x)＞0，因此当x＝20时，f(x)取最小值．

答：当O′E＝20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.14.(2020·四川成都石室中学一诊)设函数f(x)＝x－sinx，x∈，g(x)＝＋cosx＋2，m∈R.(1)证明：f(x)≤0；

(2)当x∈时，不等式g(x)≥恒成立，求m的取值范围．

解(1)证明：因为f′(x)＝－cosx在x∈上单调递增，所以f′(x)∈，所以存在唯一x0∈，使得f′(x0)＝0.当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以f(x)max＝max＝0，所以f(x)≤0.(2)因为g′(x)＝－sinx＋m，令h(x)＝－sinx＋m，则h′(x)＝－cosx＋m.当m≥0时，m≤0，由(1)中的结论可知，－sinx≤0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在x∈上单调递减，所以g(x)min＝g＝，满足题意．

当－0，所以存在唯一x1∈，使得h′(x1)＝0.当x∈(0，x1)时，h′(x)<0，g′(x)单调递减；

当x∈时，h′(x)>0，g′(x)单调递增．

而g′(0)＝－m>0，g′＝0，所以存在唯一x2∈，使得g′(x2)＝0.当x∈(0，x2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减．

要使当0≤x≤时，g(x)≥恒成立，即⇒m≥，所以≤m<0.当m≤－，x∈时，h′(x)≤0，所以当x∈时，g′(x)单调递减，又g′＝0，所以g′(x)≥0，所以g(x)在x∈上单调递增，所以g(x)≤g＝，与题意矛盾．

综上，m的取值范围为.