高中数学第三章推理与证明3.2数学证明同步测控北师大选修1-2讲解

第一篇：高中数学第三章推理与证明3.2数学证明同步测控北师大选修1-2讲解

高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明同步测控 北师大版选

修1-2

我夯基 我达标

1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°

B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质

C.某校高三共有10个班,一班有51人,二班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人

D.在数列{an}中,a1=1,an=

11(an-1+)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2an1解析:演绎推理的一般形式是三段论.A符合三段论形式,B、C、D都是猜测不符合三段论,故选A.答案:A 2.下列说法中正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理一般模式是“三段论”形式

④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:演绎推理在大前提和小前提都正确的情况下结论正确.(2)不对;(4)对;(1)(3)对.答案:C 3.“因对数函数y=logax是增函数(大前提），而y=log1x是对数函数(小前提），所以y=log1x

33是增函数（结论）.”上面推理的错误是()A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 解析:对数函数y=logax不一定是增函数, 当a>1时,y=logax是增函数;当0

B.因为正方形的对角线互相平分且相等,所以对角线互相平分且相等的四边形是正方形 C.因为a>b,ab,c>d,所以a-d>b-c 解析:A中不是三段论,B中对角线互相平分且相等是矩形,而正方形是特殊情况,C中a>b,则a-b>0.ad,∴-d>-c.∵a>b,∴a-d>b-c.答案:D 1001007._____________,(2+1)是奇数,所以(2+1)不能被2整除.将此三段论补充完整.解析:本三段论缺少大前提:奇数不能被2整除.答案:奇数不能被2整除

8._____________,木星是太阳系的大行星,因此木星以椭圆轨道绕太阳运行.将此三段论补充完整.解析:本三段论缺少大前提:太阳系的大行星以椭圆轨道绕太阳运行.答案:太阳系的大行星以椭圆轨道绕太阳运行

我综合 我发展

9.指出三段论“自然数中没有最大的数字（大前提），9是最大的数字（小前提）,所以9不是自然数（结论）”中错误的是___________.解析:大前提出错.自然数中没有最大的数,“数”与“数字”是不同的概念,本题概念混淆.答案:大前提

10.“平面内到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提).平面内动点M到两定点F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M点的轨迹是椭圆(结论)中错误的是__________.解析:大前提中到两定点距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.答案:大前提

11.在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、AD、BC、DC的中点.用三段论证明EF∥GH.解析:按三段论形式写出.证明:平行于同一直线的两直线平行,(大前提)在△ABD中,E、F为AB、AD的中点, ∴EF∥BD.同理GH∥BD,(小前提)∴EF∥GH.(结论)12.已知空间四边形ABCD中,点E、F分别是AB、AD的中点,如图所示.2

求证:EF∥平面BCD(指出大前提和小前提).解析:根据线面平行的判定定理判定,用三段论的形式写出.证明:连结BD.三角形中位线与第三边平行,„„大前提

点E、F分别是AB、CD的中点,EF是△ABD的中位线,„„小前提 ∴EF∥BD.平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平面平行,„„大前提 EF平面BCD,BD平面BCD,EF∥BD,„„小前提

∴EF∥平面BCD.13.数列{an2n}的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=nSn.求证:(1)数列{Snn}是等比数列;(2)Sn+1=4an.解析:已知an+1与Sn之间的关系,研究Sn需将an+1换成Sn+1-Sn表示,从而解答.证明:(1)∵a2n+1=Sn+1-Sn=nnSn, ∴S2(n1)n+1=S,即Sn1Snn1=2·nnn.∴{Snn}是等比数列,公比为2.(2)由(1)知Snn=S11·2n-1=an-1n-

11·2=2, ∴S=n·2n-1n, Snn+1=(n+1)·2.由an2n2n-1n+1=nSn-1n=n·n·2=(n+2)·2, 知当n≥2时,an-2n=(n+1)·2, 当n=1时,a1=1适合上式.∴an-2n=(n+1)·2.∴Sn+1=4an成立.14.已知函数f(x)=(m-1)x

2+2mx+3是R上的偶函数,求f(x)的单调区间.解析:由f(x)是偶函数可确定m的值,即确定f(x)的解析式,从而求出单调区间.解:∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数, ∴f(-x)=f(x), 即(m-1)x2-2mx+3=(m-1)x2

+2mx+3.∴m=0.∴f(x)=-x2+3, f(x)的单调增区间为(-∞,0］,单调减区间为［0,+∞).我创新 我超越

15.求证:f(x)=x4-x3+x2+1的图像都在x轴上方.解析:当x<0时,易证f(x)>0, 当x>0时,可将f(x)变形、合并或分解因式加以判断.证明:当x<0时,∵x4+x2+1>0,-x3

>0, ∴f(x)=x4-x3+x2+1>0.当x=0时,f(x)=1>0;当0≤x≤1时,f(x)=x4+x2

(1-x)+1.∵x4≥0,1-x≥0,∴f(x)>0.当x>1时,f(x)=x3(x-1)+x2

+1>0.综上f(x)>0恒成立.∴f(x)的图像恒在x轴的上方.16.设a>0,b>0,a+b=1.求证:

11a+b+1ab≥8.解析:本题为带有条件的不等式证明, 由已知条件易知ab的范围.而所证不等式左边11ababa+b可变形为a+b=2+ba+ab,由均值不等式转化为常数4.证明:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1=a+b≥2ab.∴ab≤12.∴1ab≥4.又∵1a+1b=aba+abb=2+ba+ab≥2+2baab=4, ∴1a+1b+1ab≥4+4=8成立.

第二篇：高中数学第三章推理与证明3.2数学证明知识导航北师大版选修1-2讲义

§2 数学证明

自主整理

1.合情推理的结论有时不正确,对于数学命题,需要通过___________严格证明.2.___________是最常见的一种演绎推理形式.第一段讲的是一般性道理,称为___________;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为_____________;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为_____________.高手笔记

1.三段论是演绎推理的一般模式,可表示为: 大前提:M是P, 小前提:S是M, 结论:S是P.2.在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提被人们熟知了,所以书写时往往省略大前提.3.合情推理是认识世界、发现问题的基础.结论不一定正确.演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础,二者相辅相成,在数学中证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来,只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论就正确.名师解惑 三段论推理

剖析:三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之:“全体概括个体.”

三段论中大前提是一个一般性结论,都具有的结论是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论,要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中一个有错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错了.再如所有的能被2整除的数是偶数.合数是偶数所以合数能被2整除.错误的原因是小前提错了.讲练互动

【例1】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AD,AC和BD是它的对角线.求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA.分析：本题可由三段论逐步推理论证.证明：(1)等腰三角形两底角相等,(大前提)△DAC是等腰三角形,DA、DC为两腰,(小前提)∴∠1=∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等,(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角,(小前提)∴∠1=∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等,(大前提)∠2和∠3都等于∠1,(小前提)∴∠2=∠3,(结论)即AC平分∠BCD.(4)同理DB平分∠CBA.绿色通道

命题的推理证明为多个三段论,称为复合三段论.事实上,每一次三段论的大前提可不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也可不再写出,即过程可简写.变式训练

1.如图所示,D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA.求证:ED=AF.证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)∴DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)∴四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)∴ED=AF.(结论)【例2】在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD(如图).求证:ABCD为平行四边形.写出三段论形式的演绎推理.分析：原题可用符号表示为(AB=CD)且(BC=AD)ABCD.用演绎推理来证明论题的方法,也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在此题中的个别特殊事实.为了证明这个命题为真,我们只需在假设前提(AB=CD且BC=AD)为真的情况下,以已知公理、已知定义、已知定理为依据,根据推理规则,导出结论ABCD为真.证明：(1)连结AC,(公理)(2)(AB=CD)且(BC=AD),(已知)AC=AC,(公理)(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC).(3)平面几何中的边边边定理是:有三边对应相等的两个三角形全等.这一定理相当于: 对于任意两个三角形,如果它们的三边对应相等,则这两个三角形全等.(大前提)如果△ABC和△CDA的三边对应相等.(小前提)则这两个三角形全等.(结论)符号表示:(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC)△ABC≌△CDA.(4)由全等形的定义,可知全等三角形的对应角相等.这一性质相当于: 对于任意两个三角形,如果它们全等,则它们对应角相等.(大前提)如果△ABC和△CDA全等,(小前提)则它们的对应角相等.(结论)用符号表示,就是

△ABC≌△CDA(∠1=∠2)且(∠3=∠4)且(∠B=∠D).(5)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.(平行线判定定理)(大前提)直线AB、DC被直线AC所截,若内错角∠1=∠2, ∠1=∠2.(小前提)(已证)AB∥DC,BC∥AD.(AB∥DC)且(BC∥AD).(结论)(同理)(6)如果四边形的两组对边分别平行,那么这个四边形是平行四边形.(平行四边形定义)(大前提)在四边形ABCD中,两组对边分别平行,(小前提)四边形ABCD为平行四边形.(结论)符号表示为AB∥DC,且AD∥BC四边形ABCD为平行四边形.绿色通道

像上面这样详细地分析一个证明的步骤,对于养成严谨的推理习惯,发展抽象思维能力,是有一定的积极作用,但书写起来非常烦琐,一般可以从实际出发省略大前提或小前提,采用简略的符号化写法,比如,本例题的证明,通常可以这样给出: 证明:连结AC.ABCD12AB//DCBCDA△ABC≌△CDA四边形ABCD为平行四边形.34BC//ADCAAC变式训练

2.如图所示为三个拼在一起的正方形,求证:α+β=

.4

,0<β<, 2211∴0<α+β<π.又tanα=,tanβ=，2311tantan23=1.∴tan(α+β)=111tantan123证明:根据题意0<α<∵0<α+β<π, ∴在(0,π)内正切值等于1的角只有一个∴α+β=

.4.4【例3】如图所示,A、B、C、D四点不共面,M、N分别是△ABD和△BCD的重心.求证:MN∥平面ACD.分析：证明线面平行,关键是在面内找到一条直线与已知直线平行即可,本题是三段论证明的应用.证明：连结BM、BN并延长分别交AD、DC于P、Q两点,连结PQ.∵M、N分别是△ABD和△BCD的重心, ∴P、Q分别为AD、DC的中点.又∵BMBN=2=,∴MN∥PQ.MPNQ又∵MN平面ADC,PQ平面ADC, ∴MN∥平面ACD.绿色通道

本题为一个三段论推理的问题,可以简写,遵循的原则是:如果ab,bc,则ac.变式训练

3.如图所示,P是ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ.证明:连结AC交BD于O, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=OC.连结OQ, 又OQ是△APC的中位线,∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外,OQ平面BDQ, ∴PC∥平面BDQ.632【例4】证明函数f(x)=x-x+x-x+1的值恒为正数.分析：可对x的所有不同取值逐一给出证明,即完全归纳推理.证明：当x<0时,f(x)各项都是正数, ∴当x<0时,f(x)为正数;62当0≤x≤1时,f(x)=x+x(1-x)+(1-x)>0;33当x>1时,f(x)=x(x-1)+x(x-1)+1>0.综上所述,f(x)的值恒为正数.绿色通道

有关代数运算推理,也可用三段论表述,注意大前提和小前提必须明确.变式训练 4.证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函数.证明:任取x1、x2∈(-∞,1］,且x10.∵x1、x2≤1,x1≠x2, ∴x2+x1-2<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

2+2x在(-∞,1］上是增函数.教材链接

教材第59页例2中的推理依据是什么? 大前提:a、b∈R,(a-6)2≥0.小前提:a21、a2、b1、b2为实数,(a1b2-a2b1)≥0.结论:a22221b2-2a1b2a2b1+a2b1≥0.大前提:a-c≥b,则a≥b+c.小前提:a2b22b212-2a1b2a2b1+a21≥0.结论:2ab222b212a2b1≤a1b2+a21.大前提:a≤b,则a+c≤b+c.小前提:2a22+a221b2a2b1≤a1b22b1.结论:a2222222222+b221a2+2a1b2a2b1+b1b2≤a1b2+a1a2+a2b11b2, 即(a222221a2+b1b2)≤(a1+b1)(a2+b2).大前提:a2≤b2,即a≤|b|.小前提:(aa2222212+b1b2)≤(a1+b1)(a2+b2).结论:a1a2+b1b2222≤a1b1·a2b22.

第三篇：2014高中数学选修1-2推理与证明(文科班)

2014高考数学复习选修1-2推理与证明专题讲义（文科班）知识点：

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质；

； 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）



2、类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。

3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括

⑴大前提-----已知的一般原理；

⑵小前提-----所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

5、直接证明与间接证明 ⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；

(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；

(4)（结论）肯定原命题的结论成立.考题荟萃

1.下面使用类比推理正确的是A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab” B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

abcab

cc

（c≠0）

” D.“（ab）nanbn” 类推出“（ab）n

anbn”

2．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，1 根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）

A．2B．41331C．6D．8

14a

411510105 3.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax

2bxc0(a0)有有理数根，那么

a,b,c中至少有一个是偶数时”下列条件假设中正确的是（）

A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数

C.假设a,b,c中至多有一个偶数D.假设a,b,c中至多有两个偶数 4.若a,b,c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是（）A.abac

B.c(ba)0

C.cb2

ca2

D.ac(ac)0

5．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行 则正确的结论是（）A．①②B．②③

C．③④

D．①④

6、当n1，2，3，4，5，6时，比较2n

和n

2的大小并猜想（）A.n1时，2n

n2

B.n3时，2n

n2

C.n4时，2nD.n5时，2n

7、已知x,yR,则“xy1”是“xy1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8、对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：

n2n

222

①(ab)(bc)(ca)0；②ab,bc,ca不能同时成立，下列说法正确的是（）

A．①对②错 C．①对②对

B．①错②对

D．①错②错

'

''

9.设f0(x)sinx,f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x),,fn1(x)fn(x)，n∈N，则f2007(x)

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx 10.下面几种推理是类比推理的是（）

同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+A.两条直线平行，∠B=1800

B.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D.一切偶数都能被2整除，2100是偶数，所以2100能被2整除.11．如果f(ab)f(a)f(b)且f(1)2,则

A．

f(2)f(4)f(6)

()． f(1)f(3)f(5)

5B．

5

C．6 D．8

2f(x)，猜想f(x）的表达式为,f(1)1（xN*）

f(x)24212

A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x)

22x1x12x

113.已知f(x1)

14．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是()

11bb＋1A．a＋b．

baaa＋1112a＋baC．a＋b．aba＋2bb

16.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：

“是乙或是丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖了。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

17．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有个小正方形

.18．观察下列式子：

1121341

523，34，45，56，，归纳得出一

2411233

4般规律为．

19、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是。

20.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：ABACBC。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系

为.21.在数列an中，a11,an1是．

2an

nN*,猜想这个数列的通项公式an2

22，平面内2条相交直线最多有1个交点；3条相交直线最多有3个交点；试猜想：n条相交直线最多把有____________个交点

23，.从11，可得到一般规律为(用2343，3+4+5+6+7=5中，数学表达式表示),24．将全体正整数排成一个三角形数阵：23 456 78910 ． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n3）从左向右的第3个数为．

25．若0a1,0b1，且ab，则在ab,2ab,ab,2ab中最大的是________．

26．已知：sin230sin290sin2150

222

sin25sin265sin2125

27．已知a,b,c均为实数，且ax2y求证：a,b,c中至少有一个大于0.2

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.,by22z

,cz22x



6，

第四篇：高中数学选修1-2第二章推理与证明练习题[范文模版]

）

心之所愿，无事不成。

高二文科數學選修1--2編寫：校審： 【江西文5】观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为(B)

A.76B.80C.86D.92 【福建文20】20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

高二文科数学选修1-2（）心之所愿，无事不成。

【上海文18】若Snsin）

A、16B、72C、86D、100 【天津理】对实数a和b，定义运算“”：ab

7sin

...sinnN），则在S1,S2,...,S100中，正数的个数是（C 77

a,ab1,设函数

b,ab1.f(x)x22xx2,xR.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

A．,21,

32

B．,21,

34

C．1,,D．1,,

11443144

（山东理15）设函数f(x)

x

(x0),观察: x

2f1(x)f(x)

x,x2

f2(x)f(f1(x))f3(x)f(f2(x))

f4(x)f(f3(x))

x,3x4 x,7x8

x,15x16



根据以上事实，由归纳推理可得：

当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x))（陕西理13）观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，）心之所愿，无事不成。

高二文科數學選修1--2編寫：校審： 则(r2)＝2r○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子：○2

（太原模拟）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为()

1458912„

【湖北理】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，„，99．3位回文数有90个：101，111，121，„，191，202，„，999．则

（Ⅰ）4位回文数有个；

（Ⅱ）2n1(nN)位回文数有90910n 【江西理6】观察下列各式：

A.B.C.ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10（C）

A．28B．76C．123D．199

【必修五P32、斐波那契数列】1、1、2、3、5、8、（）13、21、34、55

[·福建卷] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①∈[1]； ②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4

[·江西卷] 观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，„，则7的末两位数字为()

A．01B．43C．07D．49

高二文科数学选修1-2（）心之所愿，无事不成。

第五篇：高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解

§2 综合法和分析法

在数学中,常用推理和证明来证明一个命题,证明是引用一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式,在过去的学习中,我们曾经用直接证明或间接证明两类方法证明过许多命题.本节的内容就是学习直接证明的两种方法:综合法和分析法.高手支招1细品教材

一、演绎推理

1.概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.2.演绎推理的特点

(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.状元笔记

演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.【示例】判断下列推理,哪些为合情推理,哪些不是合情推理。

(1)a//b,b//c,则a//c;（2)a⊥b,b⊥c,则a⊥c;（3)三角形的内角和为180°,四边形的内角和为360°,五边形的内角和为540°, „„,所以n边形的内角和为(n-2)×180°;(4)今天是星期日,7天之后也是星期日.思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理.答案：合情推理为(1)(3)(4),不是合情推理的是(2).二、直接证明 1.概念

直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.2.答案：直接证明的一般形式

本题条件已知定义本题结论

已知公理已知定理

三、综合法

1.定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种思维方法叫做综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因导果的证明方法.2.综合法的证明步骤用符号表示为:P0(已知)P1P2„Pn(结论).状元笔记

用综合法证明问题时因果关系要清晰,逻辑表达要明确.综合法所说的“由已知推结论”这里已知是已知的条件和某些数学定义、公理、定理.【示例】设a、b、c＞0,求证：

bcacab++≥a+b+c.abc1 思路分析：从不等式的形式看,具有字母轮换性,而且又是齐次式,可考虑用分合思想加以证明,由三个二项式相加而得出.证明：因为bcacbcac+≥2=2c, ababacababbcacababbc≥2≥2=2a,=2b,将以上三个不等式左、右分别相加,bccabcca得:2(bcacabbcacab)≥2a+2b+2c,即≥a+b+c.abcabc

四、分析法

1.定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止.分析法也是数学证明中的一种常用直接方法,它先假设所要求证明命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断,而当这些判断恰恰都是已知的命题(定义、公理、法则、公式等)时,命题得证.2.分析法的证明步骤用符号表示为:B(结论)B1B2„BA(已知).状元笔记

分析法就是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归纳为一个明显成立的条件.使用分析法证明不等式,在分析推理时,要学会正确使用连接有关步骤的关键词,如:“为了证明”“只需证明”等.【示例】如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证:AF⊥SC.思路分析：本题所给的已知条件中,垂直关系较多,不容易确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.在立体几何中,通常可以把证明两条直线互相垂直的问题转化为证明直线与平面垂直的问题.证明：要证AF⊥SC, 只需证SC⊥平面AEF, 只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC), 只需证AE⊥平面SBC, 只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB), 只需证BC⊥平面SAB, 只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).由SA⊥平面ABC可知,上式成立.所以AF⊥SC.1.区别:由于分析法是执果索因,立足于寻找欲证结论的合适的充分条件,利于思考;分析法确定解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,证明思路条理清晰,适宜于表述.分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步向“已知”靠拢,其实际上是找寻它的充 分条件.综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法各有特点.有些具体的待证命题,用分析法或综合法都可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种.2.联系:对于一个新的问题,多半采取先用分析法寻求思路、解法,后用综合法有条理地表述解题过程,实际证题过程,分析与综合是统一运用的,把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合;没有综合也就没有分析.高手支招2基础整理

本节讲的是直接证明的两种方法:综合法和分析法.掌握并应用这两种证明方法就是本节的主要内容.本节的知识结构如下: