第一篇：向量叉乘的分配率的证明
三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为： a × b = |a|·|b|·Sin
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性： a × b =(a×b + a×c))= 0 这说明矢量a×(b + c)(a×b + a×c)= 0 所以有
a×(b + c)= a×b + a×c.证毕。
第二篇：证明向量共面
证明向量共面
已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?
写详细点怎么做谢谢了~明白后加分！!
我假定你的O-A表示向量OA。
由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。
(证明：设O在该平面上的投影为p，那么对平面上任何一点X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较Op分量即可。)
你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。
2充分不必要条件。
如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。
而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。
“三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”。因此是充分不必要条件
任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面;如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。
3已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?
写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。
由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。
(证明：设O在该平面上的投影为p，那么对平面上任何一点X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较Op分量即可。)
你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。
4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0
∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)
由共面判定定理知它们共面。
简单的说一个向量能够用另外两个向量表示，它们就共面。详细的看高中课本
41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是
λe1+μe2-e3=0.即存在三个不全为零的实数λ，μ，υ=-1，使得
λe1+μe2+υe3=0”。
(ii)若e1,e2,e3都共线，则其中至少有一个不为0，不妨设e1≠0，则存在实数λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨设λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。
第三篇：向量空间证明
向量空间证明解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题
证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：
因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
第四篇：向量证明重心
向量证明重心三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2 设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 证明：用归一法
不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b 因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关，所以-y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1 所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’ 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 证毕!4 设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3 设:AB的中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3 5 如图。
第五篇：向量空间证明
向量空间证明
解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中
2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;
3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;
4)求解给定问题
证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可
只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法
解：
因为x+y+z=0
x=-y-z
y=y+0*z
z=0*y+z
(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z
y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)
步骤1
记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC
步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!
设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形
则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c
平方(1)
向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d
平方(2)
(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方
c平方=1/2(a+b)-d平方
AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2
已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理
过A做AG‖DC交EF于p点
由三角形中位线定理有：
向量Ep=½向量BG
又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)
∴向量pF=½(向量AD+向量GC)
∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)
∴向量EF=½(向量AD+向量BC)
∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)
得证
先假设两条中线AD,BE交与p点
连接Cp,取AB中点F连接pF
pA+pC=2pE=Bp
pB+pC=2pD=Ap
pA+pB=2pF
三式相加
2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF
3pA+3pB+2pC=2pF
6pF+2pC=2pF
pC=-2pF
所以pC,pF共线，pF就是中线
所以ABC的三条中线交于一点p
连接OD,OE,OF
OA+OB=2OF
OC+OB=2OD
OC+OC=2OE
三式相加
OA+OB+OC=OD+OE+OF
OD=Op+pD
OE=Op+pE
OF=Op+pF
OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp
由第一问结论
2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp
2pA+2pB+2pC=0
1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp
所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op
向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)
点击咨询 