2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解3月考试测试题

第一篇：2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解3月考试测试题

2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解3月考试测试题

数学 2018.3

本试卷共5页，120分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题 共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列方程有实数解的是（）

A．

B．

C．

D．

2．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，连接CE.有下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③AB=AC+CD；④D为BC的中点；⑤AD被CE垂直

平

分

.其

中

正

确的个

数

为

（）

A．

2B．

3C．

4D． 5

3．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，Q是OB上任一点，则

（）A． PQ≥4

B． PQ＞4

C． PQ≤4

D． PQ＜4

4．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中

等

腰

三

角

形的个

数

是

（）

A． 3个

B． 4个

C． 5个

D． 6个

5．到三角形三个顶点的距离都相等的点是三角形

（）A． 三条角平分线的交点

B． 三边中线的交点 C． 三条高的交点

D． 三边垂直平分线的交点

6．下列图形中不是轴对称图形的是

（）

试卷第1页，总5页 A．

B．

C．

D．

7．计算﹣（﹣2x3y4）4的结果是（）

A． 16x12y16

B． ﹣16x12y16

C． 16x7y8

D． ﹣16x7y8 8．计算x5m3n1÷（xn）2•（﹣xm）2的结果是（）++A． ﹣x7mn

1B． x7mn1

C． x7m﹣n1

D． x3mn1 ++

++

+

++9．如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE.若∠B＝80°，∠BAE＝26°，则∠EAD的度数为（）

A． 36°

B． 37°

C． 38°

D． 45°

10．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的（）

A． CB=CD

A． BCA=DCA

B． B=D=900

二、填空题 共10小题，每小题3分，共30分。

11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，△ABC的面积是___________．

12．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD=AE，则∠EDC=________．

试卷第2页，总5页

13．已知等腰三角形的一个内角等于80°，则它的顶角度数为__________.14．若a，b，c，d均为有理数，现规定一种新的运算：

=ad﹣bc，例：

=2×5﹣3×4．已知=2，则的值为_____．

15．现有两张铁片：长方形铁皮长为x+2y，宽为x﹣2y（其中x﹣2y＞0）；正方形铁皮的边长为2（x﹣y），根据需要把两张铁皮裁剪后焊接成一张长方形的铁片，铁皮一边长为6x，则新铁片的另一边长为_____（不计损失）

16．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（a﹣2018）=_____ 17．计算（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3=_____．

18．一个三角形的底边长为（2a+6b），高是（3a﹣5b），则这个三角形的面积是_____． 19．计算：2008×2010﹣20092=_____． 20．如图，在四边形形的面积为________

中，．，如果，则四边

三、解答题 共10小题，每小题6分，共60分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

21．（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由.（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，则

试卷第3页，总5页 刚才的结论还成立吗？请说明理由.22．（本题8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD．取BE中点F，连接DF.（1）求证：BD=DE；

（2）延长ED交边AB于点G，试说明：DG=DF

23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D为BC边上一点，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度数；（2）求证：AB=CD．

24．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）（1）求t=1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；

（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示）

（4）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值．

25．计算：

（1）﹣42×+|﹣2|3×

（2）3a2b﹣[2ab2﹣2（ab﹣26．计算：a•a2+a5÷a2﹣3a3．）+ab]+3ab2．

试卷第4页，总5页 27．已知长方形的长是（a+3b）米，宽是（a+2b）米．求它的周长和面积． 28．计算：（﹣2x2y3）2﹣x3y4•3xy2．

29．说明代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关． 30．如图，拉机沿、为相交成度角的两条公路，在上距点

米有一所小学，拖方向以每小时千米的速度行驶，在小学周围米范围内会受到拖拉机噪音的影响．试问小学是否会受到拖拉机噪音的影响？若受到影响，影响时间有多长？

试卷第5页，总5页

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

选项任何一个实数的算术平方根不可能是负数，因而方程一定没有实数解；

选项任何一个数的绝对值一定大于或等于零，再加上正数肯定要大于零，因而方程一定没有实数解；

选项是解分式方程，去分母得到：选项中，【详解】、、，因而，对任何实数都不能成立，即方程没有实数解；

一定成立，因而方程没有实数解；，经检验是方程的解；，则方程无实数解.，因而对任意实数、下列方程有实数解的是、故选：.【点睛】，去分母得到：，经检验是方程的解；，则方程无实数解.本题重点考查了二次根式，绝对值都是非负数，以及一元二次方程的根的判断，分式方程的解法，是一道较为基础的题目.2．B 【解析】 【分析】

利用角平分线的性质求解即可.【详解】

AD是角平分线，所以CD=DE，①正确.△ACD≌△AED，所以DA平分∠CDE，②正确.又因为AC=BC，所以AB=AC+CD，③正确.CDBD，④错误.CE被AD垂直平分，⑤错误.所以，正确的个数有三个.答案第1页，总14页

【点睛】

掌握角平分线的性质是解题的关键.3．A 【解析】 【分析】

点到直线的距离垂线段最短.【详解】

因为P到OA的距离为4，所以P到OA的最短距离为4，又因为P是角平分线上的点，所以PQ.【点睛】

掌握点到直线的距离垂线段最短是解题的关键.4．D 【解析】 【分析】

找出相等的角即可.【详解】

如图易知，△ABE，△ADE，△ADC，△AEC，△ADE，△ABC是等腰三角形，所以共有六个.【点睛】

画出图形是解题的关键.5．D

答案第2页，总14页

【解析】 【分析】

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.【详解】

根据题意易知，到端点距离相等，容易联想到垂直平分线，由垂直平分线的性质易知D选项正确.【点睛】

掌握垂直平分线的性质是解题的关键.6．C 【解析】 【分析】

轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】

根据轴对称图形的定义可知，C选项不是轴对称图形，所以选C.【点睛】

掌握轴对称图形的定义是解题的关键.7．B 【解析】 【分析】

根据积的乘方法则计算:等于把积中的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘.【详解】

﹣（﹣2x3y4）4=-(-1)4*x3*4y4*4=﹣16x12y16 【点睛】

本题考查了积的乘方运算法则，掌握对应积乘方运算法则是解题关键.8．B 【解析】 【分析】

根据同底数的除法原则和同底数幂乘法原则可计算出.【详解】

答案第3页，总14页

【点睛】

本题考查了学生对同底数幂乘除运算法则，熟练掌握法则是本题结题的关键.9．B 【解析】 【分析】

利用三角形的内角和等于180°,求出∠AEB，再根据翻折变换的性质可得AE=CE，根据等边对等角可得∠EAD=∠C，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠EAD+∠C，最后计算即可得解． 【详解】 ∵∴∵将△ABC折叠点C与点A重合，∴AE=CE，∴∠EAD=∠C，由三角形的外角性质得，∠AEB=∠EAD+∠C，∴∴故选:B.【点睛】

考查折叠的性质以及三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.10．C 【解析】 【分析】

本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．

答案第4页，总14页

【详解】

A.添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意； B.添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意； C.添加∠BCA=∠DCA时,不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意； D.添加故选：C.【点睛】

考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的5种判定方法是解题的关键.11．21 【解析】 【分析】

可把三角形ABC分成三个面积求解.【详解】 ,根据HL,能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；

易知O是角平分线的交点，且△OBC与△OAB和△OAC的面积分别为BCOD，ABOD，ACOD，所以，三角形ABC的面积为OD(AB+BC+AC)=21.【点睛】

熟记角平分线的性质及面积的转化是解题的关键.12．15° 【解析】 【分析】

∠EDC=90°–∠ADE.【详解】

因为AD=AE，所以，∠ADE=75°，所以，∠EDC=90°–∠ADE=15°.【点睛】

知道等腰三角形的性质是解题的关键.13．80°或20° 【解析】

答案第5页，总14页

【分析】

分清内角是顶角还是底角即可.【详解】

当顶角是80°时，符合题意；当底角是80°是，顶角是20°，也成立；所以顶角度数为80°或20°.【点睛】

学会分类讨论是解题的关键.14．-6 【解析】 【分析】

根据新运算列出方程，求出x，再根据新运算列出算式，求出后代入即可求出答案． 【详解】

解：∵，∴解得：x=3，∴，=-4x-3（1-x）=-x-3=-3-3=-6．

故答案为：-6． 【点睛】

本题为一个小型的材料分析题，需要同学们有一定的阅读分析能力，将其转化为关于x的一元一次方程．

15．【解析】 【分析】

根据两张铁皮的面积与焊接后的新长方形的面积相等列式，再利用平方差公式和完全平方公式、多项式除单项式的运算法则计算即可． 【详解】

答案第6页，总14页

解：原来两张铁皮的面积为：（x+2y）（x﹣2y）+[2（x﹣y）]2，=x2-4y2+4x2-8xy+4y2，=5x2-8xy，新铁皮的宽=面积÷长=（5x2-8xy）÷6x=

．

故答案为：【点睛】 ．

本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，多项式除单项式的法则，根据铁皮的面积的等量关系列式比较关键． 16．﹣2 【解析】 【分析】

先发现完全平方式（a﹣2017）2+（2018﹣a）2+2（a﹣2017）（a﹣2018）=1，进而由给出的式子求出答案.【详解】（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5

①，（a﹣2017）2+（2018﹣a）2+2（a﹣2017）（a﹣2018）=1

②，②—①=2（a﹣2017）（a﹣2018）=—4，（a﹣2017）（a﹣2018）=—2 【点睛】

本题考查多项式求解，解题的关键应用完全平方公式.17．﹣216 【解析】 【分析】

根据乘方的定义运算可计算出结果.【详解】

【点睛】

答案第7页，总14页

本题考查了乘方的运算性质，转化同指数幂相乘是解题的关键.18．3a2+4ab﹣15b2 【解析】 【分析】

根据三角形的面积公式和多项式的乘法法则计算.【详解】

S=0.5*（2a+6b）*（3a﹣5b）=3a2+4ab﹣15b2 【点睛】

本题主要考查学生对多项式乘法的掌握情况，三角形面积公式是解本题关键.19．﹣1 【解析】 【分析】

根据平方差公式可以先将本题化简计算.【详解】

2008×2010﹣20092=(2009-1)*(2009+1)=20092-1-20092=-1 【点睛】

本题考查了学生对平方差公式的运用，将题目进行平方差公式化简是解本题的关键.20．6 【解析】 【分析】

如图，作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题． 【详解】

如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；

答案第8页，总14页

∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN； 在△ABM与△ADN中，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积； 由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝2∴2λ2＝12，λ2＝6，故答案为：6． 【点睛】

该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形． 21．见解析 【解析】 【分析】

利用边角关系求解即可.【详解】

(1)因为OB，OC分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，所以∠EOB=∠EBO=∠OBC，∠FOC=∠FCO=∠OCB，所以BE=EO，OF=FC，所以EF=BE+CF.(2)不成立.因为FO=CF,BE=EO，此时，BE=EF+CF.【点睛】

利用边角关系是解题的关键.22．见解析 【解析】 【分析】

利用边角关系求解即可.【详解】

；

答案第9页，总14页

(1)由题意可知2∠DBC=∠DCB，又因为DC=CE，所以，∠DCB=2∠E，所以∠E=∠DBC，所以BD=DE.(2)因为BD=DE，∠GBD=∠E，∠GDB=∠EDF，所以△EDF≌△BGD，所以DG=DF.【点睛】

利用边角关系是解题的关键.23．（1）75°（2）见解析 【解析】 【分析】

利用边相等求解即可.【详解】

（1）因为AB=AC，∠B=30°，所以，∠BAC=120°，又因为∠DAB=45°，所以∠DAC=75°.（2）因为∠DAC=75°，∠B=∠C=30°，所以∠ADC=75°，所以DC=AC=AB.【点睛】

利用角相等求边相等是解题的关键.24．（1）点P 所表示的有理数是﹣3；（2）4（3）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，t值的值为1秒或3秒或5秒或7秒 【解析】 【分析】

(1)根据P点的速度，有理数的加法，可得答案；

(2)根据两点间的距离公式，可得AB的长度，根据路程除以速度，可得时间；(3)根据分类讨论：0≤t≤4，4≤t≤8，速度乘以时间等于路程，可得答案；

(4)根据绝对值的意义，可得P点表示的数，根据速度与时间的关系，可得答案． 【详解】

（1）﹣6+3×1=﹣3，当t=1时，点P所表示的有理数是﹣3；（2）当点P与点B重合时，点P所运动的路程为|6﹣（﹣6）|=12，由路程除以速度得：t=12÷3=4；

（3）点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，点P与点A的距离分为两种情况：

当点P到达点B前，即0≤t≤4时，点P与点A的距离是3t；

当点P到达点B再回到点A的运动过程中，即4≤t≤8时，点P与点A的距离是：

答案第10页，总14页

12-3（t-4）=24﹣3t；

（4）当点P表示的有理数与原点（设原点为O）的距离是3个单位长度时，P点表示的数是-3或3，则有以下四种情况：

当点P由点A到点O时：OP=AO﹣3t，即：6﹣3t=3，t=1； 当点P由点O到点B时：OP=3t﹣AO，即：3t﹣6=3，t=3； 当点P由点B到点O时：OP=18﹣3t，即：18﹣3t=3，t=5； 当点P由点O到A时：OP=3t﹣18，即：3t﹣18=3，t=7，即：当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，t值的值为1秒或3秒或5秒或7秒． 【点睛】

本题考查了数轴，利用了速度与时间的关系，分类讨论是解题的关键． 25．（1）-2（2）ab2+ab 【解析】 【分析】

（1）利用有理数的运算法则进行计算，要注意运算顺序．其中：-42=-16；|-2|3=8．（2）将原式去括号后合并同类项得到最简结果即可． 【详解】

（1）原式=﹣16×+8×（=﹣1﹣1 =﹣2．）

（2）原式=3a2b﹣（2ab2﹣2ab+3a2b+ab）+3ab2 =3a2b﹣（2ab2﹣ab+3a2b）+3ab2 =3a2b﹣2ab2+ab﹣3a2b+3ab2 =ab2+ab． 【点睛】

本题考查的是有理数的运算能力以及整式的加减—化简．在有理数的运算中，要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算；在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．整式的加减，其实质就是去括号和

答案第11页，总14页

合并同类项，其一般步骤为：如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项。注意：整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止． 26．﹣a3 【解析】 【分析】

根据四则运算法则进行计算即可.【详解】 a•a2+a5÷a2﹣3a3 =a3+a3﹣3a3 =﹣a3． 【点睛】

本题考查整式的加减和多项式乘多项式，解题的关键是细心.27．a2+5ab+6b2 【解析】 【分析】

根据长方形的周长=2（长+宽），长方形的面积=长×宽，据此列式计算.【详解】

周长=[（a+3b）+（a+2b）]×2 =（2a+5b）×2 =（4a+10b）； 面积=（a+3b）（a+2b）=a2+2ab+3ab+6b2 =a2+5ab+6b2． 【点睛】

本题考查整式的加减和多项式乘多项式，解题的关键是读懂题意.28．x4y6 【解析】 【分析】

根据幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式的运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】

答案第12页，总14页

（﹣2x2y3）2﹣x3y4•3xy2=4x4y6﹣3x4y6=x4y6． 【点睛】

本题考查幂的乘方与积的乘方和单项式乘单项式，解题的关键细心去括号.29．见解析 【解析】 【分析】

原式中括号中第一項利用完全平方公式展幵,第二項利用平方差公式化筒,去括号合并后利用多項式除以単項式法則計算,合并得到結果,即可做出判断.【详解】

原式=（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（﹣2y）+y =（﹣2xy+2y2）÷（﹣2y）+y =x﹣y+y =x，所以该式的值与y无关． 【点睛】

本题考查代数式运算，解题的关键是明白整式的混合运算顺序和法则则将原式化简.30．受影响，受影响的时间为【解析】 【分析】

要判断是否会受影响，只需求得点A到ON的最小距离AD，和100比较，即可判断；如果受影响，则在AD的两侧一定存在两点B，C，使AB=AC=100；根据勾股定理即可求得受影响的路程，进一步求得受影响的时间． 【详解】

作AD⊥ON于D．

秒．

根据30°所对的直角边是斜边的一半，得AD=OA=80＜100，所以受影响； 设在点D的两侧各有一点B，C．

且AB=AC=100，根据勾股定理得BD=CD=60，则BC=120． ∵18千米/时=5米/秒，∴受影响的时间=120÷5=24（秒）．

答案第13页，总14页

【点睛】

本题要根据点到直线的最短距离，进行分析判断是否受噪音的影响；根据勾股定理求得受噪音影响的路程，然后根据时间=路程÷速度进行计算．注意：18千米/时=5米/秒．

答案第14页，总14页

第二篇：2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解中考模拟考试测试题

2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解中考模拟考试测试题

数学 2018.3

本试卷共5页，120分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题 共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列各式中，计算正确的是（）A． 2x+3y=5xy

B． x÷x=x

C．（﹣2xy）=﹣8xy

D． xy•xy=xy

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）3

393

23A．

B．

C．

D．

3．下列运算正确的是（）A． 3a-2a=

1B． 2a﹣2=

C．（a-b）2= a2﹣b2

D． 6ab2÷(-2ab)=-3b

4．下列几何图形中，一定是轴对称图形的是（）A． 三角形

B． 四边形

C．平行四边形

D． 圆 5．分解因式x+4x的结果是（）

A． x（x+4）

B． x（x+2）（x﹣2）

C． x（x+2）

D． x（x﹣2）6．下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）2

23A．

B．

C．

D．

7．下列运算正确的是（）

试卷第1页，总5页 A． a6÷a2=a3

B． 3a2b﹣a2b=2

C．（﹣2a3）2=4a6

D． 8．有一条直的宽纸带折叠成如图所示，则∠1的度数为（）

A． 50°

B． 65°

C． 70°

D． 75° 9．下列计算正确的是（）

A． a2+a3=a

5B． a2•a3=a5

C．（2a）2=4a

D．（a2）3=a5

10．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（）

A． 120°

B． 30°

C． 150°

D． 60°

二、填空题 共10小题，每小题3分，共30分。

11．下列分式化简运算中，每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是______．（只填写序号）

计算：+

解：原式=①同分母分式的加减法法则

=②合并同类项法则

=③提公因式法

=4④等式的基本性质

12．如图，已知▱ABCD的顶点A是直线l上一定点，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，AM=1，MN=3，则对角线AC长的最小值为_____．

试卷第2页，总5页

13．已知一个正多边形有一个内角是144°，那么这个正多边形是正_____边形． 14．如图，将直尺与含

角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是___.15．分解因式：

____________.16．如图，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3，EF=2，G为DE上一动点，把三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中，B，G两点的最小距离为_____．

17．八边形内角和度数为_____．

18．等腰三角形的两边长为10，12，则顶角的正弦值是_____．

19．如图，□ABCD中，点E、F在直线BD上，连接AF、CE，不添加任何辅助线，请添加一个条件_____，使AF=CE（填一个即可）

20．分解因式：4x2﹣25=_____．

三、解答题 共10小题，每小题6分，共60分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

21．化简：22．如图，抛物线且.经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，（1）求抛物线的解析式；

试卷第3页，总5页（2）点在轴上，且，求点的坐标；

（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.23．如图，在正方形ABCD中，CE=CF，求证：△AEF是等腰三角形．

24．（1）解方程：；

（2）解不等式：2x+1≤（x﹣1）25．计算：（1）（）+|﹣3|﹣（π+2）；

20（2）（x+2）﹣4（x﹣1）

26．天猫网的新时代书店准备购进甲、乙两种图书，已知甲种图书进价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若甲种图书每本售价30元，乙种图书每本售价25元，书店欲同时购进两种图书共100本，请写出所获利润y（单位：元）关于甲种图书x（单位：本）的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若书店计划用不超过1800元购进两种图书，且甲种图书至少购进40本，并将所购图书全部销售，共有多少种购进方案？哪一种方案利润最大？ 27．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C

试卷第4页，总5页 作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

28．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO=OC=3AO．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

29．先化简，再求值：，其中a=．

30．长春市绿园区环卫处在西安大路清扫上安排了A、B两辆清扫车．A车比B车每小时多清扫路面6km，若A车清扫路面42km与B车清扫路面 3 5km所用的时间相同，求B车每小时清扫路面的长度．

试卷第5页，总5页

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

各选项一一计算即可.【详解】

2x+3y= 2x+3y≠5xy，故A错误.x6÷x2=x4，故B错误，x2y•x3y=x5y2，故D错误.选C.【点睛】

本题考查代数式的计算，解题的关键是掌握整式运算的法则.2．D 【解析】 【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断即可得答案.【详解】

A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意，B选项是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意，C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意，D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意，故选D.【点睛】

本题考查轴对称和中心对称，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180∘，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键.3．D 【解析】 【分析】

利用合并同类项的法则、负指数幂、整式除法、完全平方公式的知识求解即可求得答案.【详解】

3a-2a=a，故A选项错误，答案第1页，总21页

2a﹣2=，故B选项错误，（a-b）2= a2﹣2ab+b2，故C选项错误，6ab2÷(-2ab)=-3b，计算正确，故选D.【点睛】

本题考查合并同类项、完全平方公式、负指数幂及整式除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键.4．D 【解析】 【分析】

根据轴对称图形的定义分析即可.一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】

三角形、四边形、平行四边形不一定是轴对称图形，圆是轴对称图形，故选D.【点睛】

本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.5．A 【解析】 【分析】

提取公因式x即可.【详解】 x3+4x= x（x2+4）.故选A.【点睛】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.6．C

答案第2页，总21页

【解析】 【分析】

根据轴对称图形和中心对称的图形即可解出该题.【详解】

A.不是轴对称图形，故该选项错误；B.是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项错误；C.是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项正确；D.不是轴对称图形，故该选项错误.故选C.【点睛】

本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是本题解题的关键.7．C 【解析】 【分析】

A、根据同底数幂的除法法则计算； B、根据合并同类项法则进行计算； C、根据积的乘方法则进行计算； D、不是同类二次根式，不能合并.【详解】 A、B、C、.此选项错误．

此选项错误； 此选项正确；

D、不是同类二次根式，不能合并.此选项错误； 故选:C． 【点睛】

此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算和二次根式加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 8．D 【解析】 【分析】

如图，根据平行线的性质得出∠EDC=∠EFA=30°，∠1+∠BDC=180°，根据折叠求出

答案第3页，总21页

∠EDB=75°，代入求出即可． 【详解】 ∵AB∥CD，∴

根据折叠得出∵∴故选:D.【点睛】

本题考查了翻折变换，平行线的性质的应用，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键． 9．B 【解析】 【分析】

按照合并同类项、同底数幂的乘除法运算、幂的乘方的性质进行判断即可.【详解】

a2和a3不是同类项，不能合并，A项错误；a2∙a3＝a2＋3＝a5，B项正确；(2a)2＝4a2，C项错误；(a2)3＝a2×3＝a6，D项错误.故选B.【点睛】

本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方的性质，需熟练掌握并区分清楚，才不容易出错.10．C 【解析】 【分析】

答案第4页，总21页

利用基本作图可判断AH为∠CAB的平分线，即∠BAH=∠CAH，再根据平行线的性质得到∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH，计算出∠CAB的度数，后得到∠BAH的度数，即可得出答案． 【详解】

解：由基本作图可得AH为∠CAB的平分线，即∠BAH=∠CAH，∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH，∴∠BAC=180°-∠C=180°-120°=60°，∴∠BAH=∠BAC=30°，∴∠AHC=30°，∴∠AHD=180°-30°=150°． 故答案为：C． 【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的作法，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的做法． 11．④ 【解析】 【分析】

根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】

①：同分母分式的加减法法则，正确； ②：合并同类项法则，正确； ③：提公因式法，正确，④：分式的基本性质，故错误； 故答案为：④.【点睛】

考查分式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.12．5 【解析】

答案第5页，总21页

【分析】

当C在l上时，AC长为最短，即AC与l重合时，AC长为最短，然后求出此时AC的长.【详解】

由分析可知，AC与l重合时，AC长为最短，再求AC的长，有题意可知，∠DNC＝∠AMB＝90°，而DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，而DC＝AB，故△CDN≌△ABM，故AM＝CN＝1,而AC＝AM＋MN＋NC＝1＋3＋1＝5，故答案为5.【点睛】

本题主要考查了全等三角形的条件，解本题的关键在于了解到何时对角线AC长为最短，当AC最短时，求AC的步骤就只需证明全等三角形.13．十 【解析】 【分析】

需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出答案即可.【详解】

设这个正多边形的正n边形，根据题意得：（n－2）×180°÷n＝144°，解得：n＝10，故答案为10.【点睛】

本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键.14．50 【解析】 【分析】

根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，根据平行线的性质得到∠2的度数即可.【详解】 如图：

∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，∴∠BEF=∠1+∠F=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50°，答案第6页，总21页

故答案为：50° 【点睛】

本题主要考查平行线的性质及三角形外角性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线性质是解题关键.15．—2m(m+2)(m-2)【解析】 【分析】

提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解即可.【详解】 2m3-8m =2m（m2-4）

=2m（m+2）（m-2）． 故答案为：2m（m+2）（m-2）【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，熟练掌握并灵活运用适当的因式分解的方法是解题关键.16．0． 【解析】 【分析】

由∠D=30°，EF=2，可知DE=4，从而在三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B，从而可求出B，G两点的最小距离为0.【详解】

∵∠D=30°，EF=2，∴DE=4，∴在三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B，答案第7页，总21页

∴B，G两点的最小距离为0.故答案为：0.【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，判断出三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B是解答本题的关键.17．1080°． 【解析】 【分析】

根据多边形的内角和计算即可.【详解】

（8-2）×180°=1080°.故答案为：1080°.【点睛】

本题主要考查多边形的内角和公式，n边形的内角和为：(n-2)×180°,熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.18．或．

【解析】 【分析】

分两种情况：腰长为4，底边为6；腰长为6，底边为4.运用三角函数定义求解.【详解】

腰长为10，底边为12.设AD＝x，则CD＝10－x，由勾股定理可知：

102－x2＝122－（10－x）2，解得x＝，∴BD＝＝，答案第8页，总21页

∴sinA＝＝；

（2）

腰长为12，底边为10.同理求得AD＝，∴BD＝＝

∴sinA＝＝.故答案为或【点睛】.本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，熟练掌握三角形性质和解直角三角形是本题解题的关键.19．DF=BE（答案不唯一）【解析】 【分析】

根据平行四边形的性质并结合全等三角形的判断方法即可求出本题答案.【详解】

DF＝BE，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ADE和△CBE中，AD＝DC，∠ADB＝∠CBE，DF＝BE，∴△ADF≌△CBE(SAS), ∴AF＝CE.故答案为DF＝BE.【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的答案第9页，总21页

关键.20．（2x+5）（2x﹣5）【解析】 【分析】

本题没有公因式，直接应用平方差公式进行因式分解． 【详解】 原式故答案为：【点睛】

本题考查因式分解．分解因式时多项式有两项时要考虑提公因式法和平方差公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．

21．-

【解析】 【分析】

原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母的减法法则计算，即可得到结果.【详解】 解：原式===﹣ •﹣

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.22．(1)抛物线解析式为【解析】 【分析】（1）根据当时，可知C（0，-3）根据，可知B（-1，0）利用待定系数

；（2）

或

；（3），.答案第10页，总21页

法求出抛物线的解析式即可.（2）如图：连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（-1，-3），可知∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|根据∠BDO=∠BAC=45°，即可得到结论；（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图：过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论.【详解】（1）当时，，.抛物线解析式为

.，（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，-3），C（0，-3），∴AF∥x轴，∴F（-1，-3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1（0，1），D2（0，-1）；

答案第11页，总21页

（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a-1|=3，∴a=4或a=-2，∴M（4，5）或（-2，5）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，-3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 23．见解析 【解析】

答案第12页，总21页

【分析】

根据正方形的性质以及CE=CF可证明△ABE≌△ADF，根据全等三角形的对应边相等可求出AE=AF.【详解】 证明：

∵正方形ABCD中，∴AB=AD=BC=DC，∠B=∠D，∵CE=CF，∴BE=DF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形． 【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质.正方形的边长相等，四个角是直角；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

24．(1)x=8;(2)x≤﹣.【解析】 【分析】

（1）两边都乘以x(x-2)，化为整式方程求解即可，求出x的值后要检验；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可.【详解】

解：（1）去分母得：4x﹣8=3x，解得：x=8，经检验x=8是分式方程的解；

答案第13页，总21页

（2）去分母得：6x+3≤x﹣1，去括号得：3(2x+1)≤x﹣1，移项合并得：5x≤﹣4，解得：x≤﹣． 【点睛】

本题考查了分式方程和一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解题步骤是解答本题的关键.25．(1)4;(2)x+8.【解析】 【分析】

（1）根据算术平方根的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义计算即可；

（2）先根据完全平方公式和单项式与多项式的乘法法则计算乘法，然后合并同类项即可.【详解】

解：（1）（）+|﹣3|﹣（π+2）=2+3﹣1 =4；

（2）（x+2）﹣4（x﹣1）=x+4x+4﹣4x+4 =x+8． 【点睛】

本题考查了实数和整式的混合运算，熟练掌握实数和整式的运算法则是解答本题的关键.解（2）时注意，括号前是“-”号时，把括号去掉后括号内各项的符号都要改变.26．（1）甲图书的单价为20元/本，乙图书的单价为16元/本；（2）y=x+900；（3）购买方案有11种．利润最大的方案是：购买甲种图书50本，购买乙种图书50本． 【解析】 【分析】

(1)设甲图书的单价为x元／本，则乙图书的单价为（x－4）元／本，根据用3000元购进甲种图书的数量＝用2400元购进乙种图书的数量列出方程求解即可.(2)因为购买甲种图书x本，则购买乙种图书（100－x）本，根据：总利润＝甲种图书的总

答案第14页，总21页 222

202

利润＋乙种图书的总利润可列函数关系式.(3)根据用不超过1800元购进两种图书，且甲种图书至少购进40本列出不等式组，解不等式组求出解集从而确定方案，进而求出利润最大的方案． 【详解】

（1）设甲图书的单价为x元/本，则乙图书的单价为（x﹣4）元/本，根据题意，得： =，解得：x=20，经检验x=20是原方程的根，则x﹣4=16，答：甲图书的单价为20元/本，乙图书的单价为16元/本；（2）根据题意，有：

y=（30﹣20）x+（25﹣16）（100﹣x）=x+900；

（3）根据题意，得：解得：40≤x≤50，∵x需取整数，∴x的值可以是：40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，故购买方案有11种． ∵y=x+900，k=1＞0，∴y随x的增大而增大，∴x取最大值50时，y有最大值，故购买方案有11种．利润最大的方案是：购买甲种图书50本，购买乙种图书50本． 【点睛】

本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用。27．证明AF=CF+BF．

BF．理由见解析；②如图③中，结论：CF+AF=

BF．理由见解如图②中，结论：CF﹣AF=析.【解析】 【分析】

答案第15页，总21页

如图①中，作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH△BCF，即可解决问题.①如图②中，结论：CF－AF＝可解決问題.②如图③中，结论：CF＋AF＝【详解】

证明：如图①中，作BH⊥BF交AF于H．

BF，只要证明△BAH△BCF，即可解決问题.BF．作BH⊥BF交사F于H．只要证明△BAH△BCF，即

∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠EFC=∠EBA=90°，∠CEF=∠AEB，∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AF﹣AH=AF﹣CF，∴AF﹣CF=∴AF=CF+BF，BF．

答案第16页，总21页

①如图②中，结论：CF﹣AF=BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H． ∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90° ∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH﹣AF=CF﹣AF，∴CF﹣AF=BF．

BF． ②如图③中，结论：CF+AF=

答案第17页，总21页

理由：作BH⊥BF交AF于H． ∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180° ∴∠BCF=∠BAH，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH+AF=CF+AF，∴CF+AF=【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质的综合，熟悉掌握是关键.28．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由见解析；符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣【解析】 【分析】

（1）先求出点C的坐标，在由BO＝OC＝3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式.2）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况利用两边相等建立方程求解即可.【详解】

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，答案第18页，总21页 BF．）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．

∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵该抛物线与x轴交于A、B两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，（2）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①当PB=PC时，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB=BC时，∴3=，）或P（1，﹣），∴m=±∴P（1，③当PC=BC时，∴3=，答案第19页，总21页

∴m=﹣3±∴P（1，﹣3+，）或P（1，﹣3﹣），）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，或P（1，﹣3﹣【点睛】）．

此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质.29．【解析】 【分析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】

原式=+•

==+，当a=1+【点睛】 时，原式===．

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先化简再代入计算.30．B车每小时清扫路面的长度为30（km）【解析】 【分析】

首先设B车每小时清扫路面的长度为xkm，则A车每小时清扫路面的长度为(x+6)km，根据“A车清扫路面42km与B车清扫路面 35km所用的时间相同”列出方程，从而得出答案． 【详解】

答案第20页，总21页

设B车每小时清扫路面的长度为x（km），则A车每小时清扫路面的长度为x+6（km），依题意，得：，解得：x=30，经检验x=30符合题意

所以B车每小时清扫路面的长度为30（km）

【点睛】

本题主要考查的是分式方程的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．

答案第21页，总21页

第三篇：初中数学证明三角形全等找角

初中数学证明三角形全等找角、边相等的方法

【摘要】“全等三角形的证明”是初中平面几何的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中时有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。证明三角形全等找角、边相等是最关键的步骤。如何找对应角、对应边相等，做如下总结。

【关键词】全等三角形相等角相等边

我们在初中课本上学过的三角形全等的证明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，对于直角三角形还有“HL”。在做题的过程中我们时常发现，全等的条件往往隐藏在复杂的图形中，要找的条件就是相等的角、相等的边，初中阶段找相等的角、相等的边有以下几种情况。

一、相等的角

1、利用平行直线性质

两直线平行的性质定理：1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

例、如图一所示，直线AD、BE相交于点C，AB∥DE，AB=DE

求证：△ABC≌△DBC

此题知道AB∥DE，根据平行线的性质可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(两直线平行，内错角相等)

由ASA可证全等。图一

2、巧用公共角

要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角。

例、如图二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：△ABE≌△ADC

此题∠A是公共角，利用ASA可证全等。

3、利用等边对等角图二 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利

用等边对等角

例.、如图三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线

求证：△ABD≌△ACD

此题已知AB=AC，由等边对等角可得

∠B=∠C.4、利用对顶角相等图三 例、已知：如图四，四边形ABCD中, AC、BD交于O点,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．

求证：AB=CD图四 此题利用对顶角相当可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根据全等三角形对应边相等得到

AB=CD5、利用等量代换关系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如图五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．

由图形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC图五

利用SAS可证△EAD≌△CAB

例

2、已知:如图六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

由图形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可证△BAD≌△CAE图六

(2)同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如图,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直线BF上．

求证:∠A=∠D

由图形可知：图七 B

由等角的补角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如图八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作

B图八 ECF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于

D.求证:AE=CD;

由图形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、结合旋转和对称图形的性质。

例1．如图九，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD•交于点F．图九

求证：△ABF≌△EDF；

根据对称的性质我们可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以证明△ABF≌△EDF。

二、相等的边

1、利用等角对等边 ADAC

3CB

（注意：必须在同一个三角形中才能考虑）

例、如图十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

已知∠3=∠4，根据等角对等边可得OB=OC

利用AAS证明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共边相等图十 A

（若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边）

D例、如图十一，已知AB=AC，DB=DC，求证：∠BAD=∠CAD CB由图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代换

图十一 F

AB+公共边=DE+公共边

例，如图十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C

E图中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可证△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用线段中点或三角形中线定理，或者等边三角形的性质

例、如图十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

图十二

分别为E、F，M是BC的中点。求证：ME=MF

M是BC的中点，则可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例题、如图十四，△ABE和△ACF是等边三角形，求证：CE=BF图十三 F △ABE和△ACF是等边三角形，则AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.则∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,则可得CE=BF

C

图十四

5、利用三角形角平分线定理

（三角形角平分线上的点到角两边的距离相等）

注意、必须是角平分线上的点

例题、如图十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分别为E、F。求证：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,则根据角平分线

性质可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

则可得到AE=AF

图十五 例题、已知：如图十六，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD

于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

A由题意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分线，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分线的性质

可得PM=PN

全等三角形的证明是初中数学几何证明中最重要的一部分，是证明线段相等和角相等最常用的方法。结合全等三角形的判定，全等的条件一般隐藏在已知当中，以上是证明全等隐藏条件的方法总结。

第四篇：[初中数学]三角形全等的条件教案5 浙教版

课题：11．2 三角形全等的条件(1)

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点

三角形全等条件的探索过程．

一、复习过程，引入新知

多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．

二、创设情境，提出问题

根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．

三、建立模型，探索发现

出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形．(1)三角形的两个角分别是30°、50°．(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．

(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗? 让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．

四、应用新知，体验成功

实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的． 鼓励学生举出生活中的实例．

给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．

ABDC

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．

例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：

①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；

②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D； ③画射线AD．

AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗? 例3 如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．

ABDC

五、巩固练习

教科书的思考及练习．

六、反思小结

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．

七、布置作业

1．必做题：教科书习题11．2中的第1、2题． 2．选做题：教科书第9题．

第五篇：全等三角形在初中数学中的应用论文

曲靖师范学院

本科生毕业论文

论文题目: 全等三角形的证明在初中数学中的应用

作者、学号：李发蝌 2011111233 学院、年级：数学与信息科学学院 2011级 学科、专业：数学

数学与应用数学 指 导 教 师：罗红英

完 成 日 期：2015年5月20日

曲靖师范学院教务处 全等三角形的证明在初中数学中的应用

摘 要

“全等三角形的证明”是在初中数学平面几何中占重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大．论文整理和归纳了全等三角形证明的步骤及其注意事项，分别列举了几种常用的全等三角形的证明方法，让每一种方法兼有理论与实践性．旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．

关键词：全等三角形；初中数学；方法；应用

Prove congruent triangles used in in junior high school

mathematics

Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous.The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality.Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference.Key word: Entire and so on triangles;Junior middle school mathematics;Method;Using

目 录

1引言 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2文献综述 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.1国内研究现状 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.2国内研究现状评价 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 2.3提出问题 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3证明全等三角形的知识梳理及注意事项 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3.1全等三角形的知识梳理 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3.2证明全等三角形的步骤及注意事项„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 4证明全等三角形的构造法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 4.1构造全等三角形的常用方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 4.1.1截长补短法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 4.1.2平行线法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 4.1.3旋转法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 4.1.4倍长中线法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7 4.1.5翻折法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 4.2由角平分线构造全等三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 4.3添加辅助线构造全等三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 4.3.1直接证明线段（角）相等„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 4.3.2转移线段到一个三角形中证明线段相等„„„„„„„„„„„„„„„„„10 4.3.3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系„„„„„„„„„„„„„„„13 5全等三角形的证明在初中数学中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 6总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„18 6.1主要发现„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.2启示„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.3局限性„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.4努力方向„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 参考文献 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„20

1引言

“全等三角形”是初中数学阶段的“图形与几何”中的重要内容之一，它不仅是研究平面几何相关问题的重要工具,而且还是中学数学的基础知识.然而，全等三角形的性质是推理线段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考题中都会有“全等三角形”的内容,考试题目常以直角三角形、等腰三角形、等边三角形、特殊四边形为背景,主要考查线段相等、角相等的证明、线段长度的计算、面积的计算等.常考的题型有填空题、选择题和解答题.这部分试题的难度通常不大,多以中低档题为主，约占总分值的4%至11%.《数学课程标准》对全等三角形的要求是让学生掌握基本的推理技能，从图形变换中建立空间观念，尝试用不同角度的方法来解决问题，发展几何直觉，通过观察、实践、归纳、类比、推断、验证获得数学思想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的抽象性和严谨性.对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形之间联系研究的第一步，它是两三角形间最简单、最常见的关系.“全等三角形的证明”条件是学生在认识三角形的基础上，在了解全等图形和全等三角形以后进行学习的.它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似三角形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据.因此，它具有承上启下的作用,同时，人教版教材里叙述了证明全等三角形的四种方法，分别是“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”，还有一种特殊的方法是在直角三角形中“斜边和一条直角边”，它们用特定的字母表示为“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要将“边角边”这一识别方法作为五个基本判定之一，对全等三角形证明的学习有基础作用.2 文献综述

2．1国内研究现状

国内许多专家、学者研究过全等三角形的证明方法.全等三角形的证明一直在初中数学平面几何中占重要位置，然而，近几年它获得了广大人民群众的关注.刘建东在文[1]中编著了以构造全等三角形来探究不等式的证明，形象的写出了全等三角形的作用及其应用.同年，好未来研发中心在文[2]研发了添加了辅助线的添加方法，全等三角形的用处多，并配合人教社教材八年级数学叙述了不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数

学思想.同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣.杨晓军在文[3]中精选了有关全等三角形的中考题进行解析，让同学们找到中考复习方向，引领学生成功中考.林伟杰在文[4]全析了全等三角形的性质、判定及其应用.刘申强在文[5]中编著了全等三角形在生活中的应用，从生活中的不同角度研究了全等三角形，发现数学在现实生活中的美.黎强在文[6]提出了《全等三角形》的教学构想，指出了如何确定教学目标，教学重难点.喻俊鹏在文[7]中，编著了全等三角形的易错题，并结合实例列举了初中数学中全等三角形的若干案例，分析出了学生在有关全等三角形的证明解题过程中存在的各种问题.刘玉东、董云霞、查贵宾在文[8]、[9]、[10]中探讨了构造全等三角形的方法与技巧.张文国在文[11]中总结了全等三角形的创新题，让读者以创新思维思考全等三角形的证明.保明华在文[12]中讨论了全等三角形中考探索题，让学生感受证明全等三角形的探索性和创新性，并且辅导学生掌握全等三角形的证明的方法.李怀奎在文[13]中指出如何对基本图形的认识来找全等三角形，从基本的图形认识开始发现全等三角形.解广义在文[14]中进行了全等三角形的教学设计，生动形象的设计了全等三角形证明的教学过程.姜彰全,吴颖二人在文[15]中讲解了如何巧证全等三角形，淋漓尽致地写出了全等三角形的证明技巧.2．2国内研究评价

从查到的国内文献来看，国内研究者对全等三角形的证明方法介绍了很多，文献[1-15]分别全等三角形的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种全等三角形的证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如构造法在形式上都是根据三角形的性质来进行分解求解的，但不同的图形有不同的构造方法，所以，有必要重新整理和归纳全等三角形证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性.2．3提出问题

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，而且全等三角形的证明历来是中学特别是初中数学教学的一个重点和难点.因此，在前人研究全等三角形的证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法.证明全等三角形的知识梳理及注意事项

3．1全等三角形知识梳理

定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形（注：相似三角形的特殊情况是全等三角形）.当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.所以，可以得出：全等三角形的对应角相等，对应边相等.(1)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(2)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，公共角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 三角形全等的判定公理及推论

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“SSS”)，这一条说明了三角形具有稳定性.2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边” 或“SAS”).3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角” 或“ASA”).4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边” 或“AAS”).5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边，直角边” 或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状.【A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)】

全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等.2、全等三角形的对应边上的高对应相等.3、全等三角形的对应角平分线相等.4、全等三角形的对应中线相等.5、全等三角形面积相等.6、全等三角形周长相等 [1].3．2证明全等三角形的步骤及注意事项

如何学好全等三角形的证明呢？这就要小步走，勤思考，进行由易到难的训练，实现由实（题目已有现成图形）到虚（要自己画图形或需要添加辅助线）、由模仿证明到独立推理的升华.具体可分为三步走： 第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿.这期间要注意课本例题证明的模仿，使自己的证明语言准确，格式标准，过程简练.证明两个三角形全等，一定要写出在哪两个三角形，这既为以后在复杂图形中有意识去寻找需要的全等三角形打下基础，更方便批阅者；同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错；证全等所需的三个条件，条件不明显的要先证明，最后用大括号括起来；每一步要填注理由，训练思维的严密性.通过训练一段时间，对证明方向明确、内容变化少的题目，要能熟练地独立思考证明，切实迈出坚实的第一步.第二步，能在一个题目中用两次全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析.在学习等腰三角形全等、直角三角形时逐步加深难度，学会一个题目中证两次全等，特别要学会用分析法有条不紊地寻找证题途径，分析法目的性强，条理清楚，结合综合法，能有效解决较复杂的题目.同时，这时的题目一般都不只一种解法，要求一题多解，比较优劣，总结规律.第三步，学会命题的证明，掌握添加辅助线的常用方法.命题的证明可全面培养数学语言（包括图形语言）的运用能力，则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁就要用到辅助线，这都有一定的难度，切勿前功尽弃，放松努力.同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平分线＋垂直＝全等三角形”.证明全等不外乎要边等、角等的条件，因此在平时学习中就要积累存在或可推出边等（或线段等）、角等的情况.应用起来自然会得心应手.4 证明全等三角形的构造法

所谓构造法，就是指通过分析条件和结论充分细致，抓住问题的特征，恰当地构造辅助元素，联想熟知的数学模型，然后变换命题，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学思考方法.构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出精巧、简捷、明快、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性.4．1构造全等三角形的常用方法

截长补短法、平行线法（或平移法）、旋转法、倍长中线法、翻折法.4．1．1 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）

“截长法”即根据已知条件把结论中最大的线段分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.例1 如图（1）已知：正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，求证：

ABBEAC.简析：图中没有直接给出与问题有关的全等三角形，所以要延长一条直线，构造出全等三角形，根据角相等证明出三角形是等腰三角形，然后利用转换思想BEBF，就可以证明出结果.证明:延长AB至F使AFAC ∵AE是CAB的平分线 ∴FAECAE 在FAE和CAE中 ∵AFAC ∵FAECAE ∵AEAE

∴FAECAE(SAS)

∴EFAECA45 ∴BFE是等腰直角三角形 ∴BEBF

∴AFABBFABBE ∴ABBEAC

小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两 5

条（或几条）线段转化到同一直线上．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：延长其中一条短线段，在上面上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法就是这两种．

4．1．2平行线法（或平移法）

若题目中含有中点可以试过中点作平行线或中位线（平行且等于第三边的一半），对直角三角形,有时可作出斜边的中线．

例2 如图，在ABC中，BAC60，C40,AP平分BAC交BC于点P，BQ平分ABC交AC于Q，求证:ABBPBQAQ

图（3）

说明:(1)本题可以在AB截取ADAQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法"．

(2)本题利用“平行线法”的解法较多，举例如下：

① 如图（2），过O作OD//BC交AC于D，则证明ADOABO解决． ② 如图（3），过O作DE//BC交AB于D，交AC于E，则证明ADOAQO和ABOAEO解决．

③ 如图（4），过P作PD//BQ交AB的延长线于D，则需证明APDAPC解决． ④ 如图（5），过P作PD//BQ交AC于点D，则只需证明ABPADP解决． 4．1．3旋转法

对题目中出现相等的线段有一个公共端点时，可尝试用旋转法来构造全等三角形 例3 如图，设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PBPC的大小．

图（6）

简析：题目虽然短，但涉及到的知识点很多．由于ABC是等边三角形，所以可以将ABP绕点A旋转60到ACP的位置（用到等量代换），连结PP，则ACPABP(SAS)，所以APAP，CPBP，则APP是等边三角形，即PPPA，在CPP中，因为PPPCPC，所以PAPBPC．

说明：由于图形旋转的前后，只是变化了位置，而大小和形状都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形解题． 4．1．4倍长中线法

题目中若条件有中线，可将其延长一倍，以构造新的全等三角形，从而使分散条件集中在一个三角形内．

例4 如图，在ABC中，AD是它的中线，作BE交AD于点F，使AEEF． 说明线段AC与BF相等的理由．

图（7）

简析： 由于AD是ABC中线，于是可延长中线AD到G，使DGAD，连结BG，则 在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，所以ACDGBD(SAS)，则ACGB，BFGG，而AEEF，所以CADAFE，又因为AFEBFG，所以BFGG，BFBG，即ACBF．

说明 ：要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而 7

遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 4．1．5翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例5 如图，已知：在ABC中，A45，ADBC，如果BD4，DC3，求ABC的面积．

图（8）

解：以AB为轴将ABD翻转180º，得到与它全等的ABE，以AC为轴将ADC翻转180º，得到 与它全等的AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方

tBGC形，设它的边长为，则BG4，CG3，在R中，(4)2(3)252,解得8，则AD6，所以SABC5820． 2说明：当从题目已知中不能直接明确的求出问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特殊的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步．

4．2由角平分线构造全等三角形

不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．

例6 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，DBC45，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD4，BC10．求BE的长．

图（9）

图（10）

解：由题意得

根据翻折重合，得BFEDFE，∴ DEBE

在BDE中，DEEB，且EBD45∴ EDBEBD45

∴ BED90，即BCDE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，过A作BCAG，交BC于G，如图（10），四边形AGED是矩形∴ GEAD

4在RtABG和RtRtDCE中，DCAB，DEAG

∴RtABGRtDCE(HL)，∴ BGCG∴CE∴BE6．

说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的，可以根据角平分线上的点到两边的距离相等，就构造出直角三角形，进而对称轴就是公共边，就可以用HL证明全等三角形.1BCAD4 24．3添加辅助线构造全等三角形

在证明几何图形题目的过程中，通常需要先通过证明全等三角形来研究转移线段或角，或者两条线段或角的相等关系。但有些时候，这样要证明的全等三角形在题设中，并不是十分明显。针对这样的题型我们需要通过添加辅助线，构造出全等三角形，进而就可以证明所需的结论.在这里，我尝试通过几个典型例题让大家了解添加辅助线构造全等三角形的方法.当然这些例题体现了添加辅助线的方法是从简单到复杂，从特殊到一般，研究线段的长短关系是体现了从不相等到相等的递进关系[2].注意：添加的辅助线都是用虚线表示.4．3．1直接证明线段（角）相等

例7 如图，已知ABAD，CBCD，(1)求证：BD；(2)若AEAF，试猜想CE与CF的大小关系.如图（11）

简析：第（1）小问考虑到在没有学习等腰三角形的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题要证明BD．在题目的已知条件中明显缺少全等的三角形，我们就要想到添加辅助线连结AC后，以AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看出ABCADC，进而就证明BD.如果在学习等腰三角形的知识后还可以连结BD，通过说明等边对等角，再用角的等量代换关系得到BD更加简单.第（2）小问猜想CFCE，在连结AC证明ABCADC后，得到CAECAF，再证明CAECAF，进而证明ECFC.如何添加辅助线：方法1添加辅助线，连结AC，证明ABCADC，进而BD.BDCDB方法2添加辅助线连接BD，因为ABAD，所以，ABDADB．即C，ABDCBDADBCDB，即BD.又因为BEDF，CBCD,故BCECDF，进而CECF.小结：通过例7我们初步体会添加辅助线的必要性，例7的两个小问的简析，从添加辅助线证明一次全等三角形得角相等，然后到添加辅助线证明二次全等三角形得线段相等，我们可以感觉到问题层次的递进.特别是例7(1)中如果B、C、D共线的时候可以得到等边对等角的结论，为第（2）问做铺垫.4．3．2转移线段到一个三角形中证明线段相等

例8 如图，已知AD是ABC的中线，且BE交AC于点E，交AD于点F，且EAEF.求证：ACBF.图（12）

简析：要证ACBF，我们可以把线段AC、BF转移到它们所在的三角形中，然后证明这两个三角形全等，显然图中没有直观的给出含有AC、BF的两个全等三角形图形，但我们可以根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不是太容易，这时我们就要重新思考一条出路，想到在同一个三角形中等角对等边，这时能够把两条线段转移到同一个三角形中，我们只要说明转移在同一个三角形后的这两条线段

所对的角相等就可以了.BF，简析：思路1 以ACD为基础三角形，来转移线段AC、使这两条线段在BFH中.法一：延长AD到H，使HDAD，连结BH，再证明ACD和HBD全等，可得ACBH.通过证明DHBHFB，就可得到BFBH.图（13）

证明：添加辅助线延长AD到H，使HDAD，连结BH

∵ D是BC中点

∴ BDCD

在△ACD和BDH中

DHADB DH

ADCBDCD

∴ ACDBDH(SAS)

∴ ACBH，DHBHFB

∵ AEEF

∴ EAHEFA

又∵BFHAFE

∴ BHBF

∴ ACBF

法二：可以过点B作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明ACD和BDH全等.小结：对于含有中线的全等三角形问题，可以通过“倍长中线”法得到两个全等三 11

角形.但是过一点作己知直线的平行线，可起到转移角的作用，也起到构造全等三角形的作用.思路2 以BFD为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在两个全等三角形中.法三：添加辅助线延长FD至H，使HDFD，然后连结HC，证明HDC和FDB全等.图（14）

证明：延长FD至H，使HDFD，连结HC

∵D是BC中点

∴ BDCD

在HDC和FDB中

FDHDADBHDC BDCD

∴ HDCCHD(SAS)

∴ HCAH

∵ AEFE

∴ HACAFE

又∵AFEBFH

∴ HHAC

∴ CHCA

∴ ACBF

法四：过点C作CH平行FB与AD的延长线相交于点H，证明△HDC和△FDB全等.小结：通过添加辅助线的方法一题多解，我们可以体会到添加辅助线目的在于构造 12

全等三角形.而从不同途径来可以有不同的添加方法，实际是实现线段的转移体会构造全等三角形在线段转移中的地位.从变换的观念可以看到，不论是作平行线法还是倍长中线法，实质都是一个以中点为旋转中心的三角形旋转变换构造了全等.熟悉法

一、法三“倍长中线”法的辅助线所用到的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本添加辅助线方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段的证明全等三角形的方法有技巧可寻.图（15）

4．3．3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系

例9如图，已知AD是ABC的中线，求证：ABAC2AD.简析：用例8的辅助线的添加方法，学会识别基本图形，并利用它们去解决不等关系的问题.AB、AC、2AD不在同一个三角形中，如果能将中线倍长，转移AC就可在同一个三角形找出与AB、AC、2AD相关的线段，再利用三角形两边之和大于第三边可以很简单的解决。

图（16）

证明：添加辅助线延长AD至E，使EDAD，连接BE．

∵ AD是ABC的中线，在ACD和EBD中，ADED

∵ADCEDB

CDBD 13

∴ ACDEBD（SAS）

∴ ACBE

在ABE中，ABBEAE，∴ ABAC2AD.5全等三角形的证明在初中数学中的应用

例10（2014年云南省中考题）如图，在ABC和ABD中，AC与BD相交于点E，ADBC，BADABC，求证：ACBD．

图（17）

简析:可以根据“SAS”证明三角形ABD和三角形BCA全等，这里要用到化归思想，要证明线段相等可以化归为证明三角形全等，由全等三角形的性质可证明ACBD． 证明：在ABD和BCA中，ADBCBADABC ABBA∴ADBBAC（SAS）∴ACBD

说明：本题考查了证线段相等化归为证全等三角形，而全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

例 11（2014年曲靖市中考题)如图，ACD90，ACBC，ADCE于点D，BECE于点E.（1）求证：ACDCBE；（2）已知AD6，DE2，求EF的长.图（18）

简析：第（1）问在ACD和CBE中，已知有ACBC，还有一组直角相等，现在我们可以找一条对应边用“SAS”证明全等三角形或者是找一个对应角用“AAS”证明，这时就要根据已知条件去找，哪个方便就用哪个，由已知条件可以根据同角的余角相等来证明.证明：如图，∵ADCE

∴2390

又∵1290

∴13

又∵ADCE，BECE

∴EADC90

在ACD和CBE中

EADC 13

ACBC ∴ACDCBE（AAS）

简析：第（2）问本题求的长，从直观上看不能用简便的方法求，可以把放到两个相似的三角形中，可以通过证两个相似三角形来求.解：∵ACDCBE

∴CEAD6

∴CDCEED62

4∵EADF，BFEAFD

∴BEF~ADF

∴BEEF ADDF 设EF，则DF2

∴4 624 515 ∴

即EF4 5说明：这个题把全等三角形和相似三角形有机的结合在一起考学生，对学生有意识的进行选拔，也对学生高要求，它着重强调全等三角形和相似三角形的相同点和不同点，让学生能区分开，这类题型在中考中也算是中难度的题了.例 12（2013年上海市中考题）如图，在△ABC中，ACD90，BA，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．求证：

ADEEF.B

DEFC图（19）

简析：要证DEEF，从题目中我们不能直观的证明它们相等，要先转化证明平行四边形再证全等三角形，通过两对边分别平行的性质证明四边形BCFD是平行四边形BCFD，然后把边DE和EF放在CED和CEF中，证明这两个三角形全等，进而就可以证明DEEF.证明：∵DE∥BC，CF∥AB

∴四边形BCFD是平行四边形BCFD ∴BDCF,DFAC ∴CED和CEF是直角三角形

又∵ABC是直角三角形，且D为AB的中点 ∴CDBD ∴CDCF

在RtCED和RtCEF中

CECE CFCD 16

∴RtCEDRtCEF(HL)∴DEEF

说明：几何图形之间线段与角的关系是有联系的，但是要对每个图形的性质掌握，才能搭起桥梁，建立关系.例13(2012年云南省中考题)如图，在ABC中，C90，点D是AB边上的一点，DMAB，且DMAC，过点M作ME//BC交AB于点E.求证ABCMED.图（20）

简析：题目中给得每个已知条件都是关键，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知条件中没有明确给出斜边ABME，所以我们要另谋出路，根据ME//BC，MEDABC，用“AAS”来证明ABCMED.证明：∵DMAB

∴MDEC90 又∵ME//BC ∴CBADEM 在ABC和MED中

CMDEABCMED MDAC∴ABCMED(AAS)说明：证明全等三角形的方法有多种，关键是要根据已知条件去找边与边、角与角之间的对应关系.例 14（2011福建福州中考题）如图，ABBD于点B,EDBD于点D,AE交BD

于点C,且BCDC.求证ABED.ABCD

E

图（21）

简析：题目中给得每个已知条件都是关键，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知条件中没有明确给出斜边ACEC，题目中还有一个隐含的条件对顶角ACBECD,所以我们可以选择用“ASA”来证明ABC和EDC全等.证明:∵ADBD，EDBD

∴ABCD90 在ABC和EDC中

ABCD BCDCACBECD∴ABCEDB(ASA)∴ABED

说明：在做几何图形的题目时，即要抓住它给的每个已知条件，又要从题目或图形中挖掘出隐含的条件，这锻炼我们的发现思维和综合应用能力.6 结论

6．1主要发现

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且全等三角形证明历来是中学、特别是初中数学教学的一个重点和难点．本文系统地归纳整理了几类全等三角形的证明方法．如若学生在掌握全等三角形的基础知识以后，能够灵活应用文中几类方法和思想，以其为指导，全等三角形问题将能够迎刃而解，使得解决全等三角形问题时思路清晰，运算简便．尤其是应用构造法，架起一座连接条件和结论的桥梁，在解决一些全等三角形问题时作用很大．

6．2 启示

从文中可以看出在处理全等三角形问题时，若能灵活运用这些思想与方法，则会取得事半功倍的效果．教师在讲解具体数学内容和方法时，应该高度重视全等三角形方法的挖掘和渗透，重视理论和实践的结合，让学生切实领悟其价值，滋生应用的意识．同时学生在解题和学习的过程中也应认真思考，发现和归纳证明全等三角形的数学思想方法．

6．3局限性

本文把理论和实践相结合，归纳了几类全等三角形证明的方法在解题中的应用，其中主要工作属归结概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知识体系间寻求“交汇”跨度大、难度高，不易发现其中的本质联系；二是由于本文整理归纳了较多全等三角形的证明方法和数学思想，多则不精，广而不深．

6．4努力方向

全等三角形的证明方法种类繁多，不同知识体系间的跨度大、难度高．在教学实践中，并不是短时间可以全部学习掌握的，需要长期学习并积累，而对于全等三角形的证明方法新的研究与发展，则要在大量的实践中不断摸索．

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致

谢

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索，是我的励志名言.转言眼间，我的大学生涯就结束了，我已经在美丽的师院度尝到各种酸甜苦辣，有喜有悲，但我从不后悔选择来这里上学.四年里，这是我人生中非常重要的时光，我有幸能够接触到这些不仅传授我知识、学问，而且使我坚定人生的方向，获得了追求的动力，留下了大学生活的美好回忆.在此，我真诚地向我尊敬的老师们和母校表达我深深的谢意.本篇论文是在我的导师罗红英老师的多次指导下完成的.从论文的选题到结构安排，都凝聚了她大量的心血.在这篇论文的写作过程中，罗红英老师不辞辛劳，多次与我就论文中许多核心问题作深入细致地探讨，给我提出切实可行的指导性建议，并细心全面地修改了我的论文.罗老师这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.更重要的是罗老师扎实的学术功底和严谨的治学态度对我将来的人生道路产生了深远的影响.21