函数极限存在的条件(精)

第一篇：函数极限存在的条件(精)

§3 函数极限存在的条件

教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的归结原则和柯西准则并能加以应用解决函数极限的相关问题。

教学方式：讲授。教学过程：

我们首先介绍xx0这种函数极限的归结原则（也称Heine定理）。

定理3.8（归结原则）。limf(x)A存在的充要条件是：对任何含于Uo(x0;')且以

xx0x0为极限的数列{xn}，极限limf(xn)都存在且等于A。

n证：[必要性] 由于limf(x)A，则对任给的0，存在正数(')，使得当

xx00|xx0|时，有。

另一方面，设数列{xn}Uo(x0;')且以x0为极限，则对上述的0，存在N0，当nN时有0|xnx0|，从而有|f(x)A|。这就证明了limf(xn)A。

n[充分性] 设对任何数列{xn}Uo(x0;')且以x0为极限，有limf(xn)A。现用

n反证法推出limf(x)A。事实上，倘若当xx0时f不以A为极限，则存在某00，xx0对任何0（无论多么小），总存在一点x，尽管0|xx0|，但有|f(x)A|0。现依次取',2,,n,，则存在相应的点x1,x2,,xn,，使得

0|xnx0|n，而|f(xn)A|0,n1,2,

显然数列{xn}Uo(x0;')且以x0为极限，但当n时f(xn)不趋于A。这与假设相矛盾，故必有limf(x)A。

xx0'''注：（1）归结原则可简述为：

limf(x)A对任何xnx0(n)且xnx0都有limf(xn)A。

xx0n（2）归结原则也是证明函数极限不存在的有用工具之一：若可找到一个以x0为极限

'“的数列{xn}，使limf(xn)不存在，或找到两个都以x0为极限的数列{xn}，{xn}，使得n'”limf(xn)，limf(xn)都存在而不相等，则limf(x)不存在。nnxx0

（3）对于xx0,xx0,x,x,x这几种类型的函数极限的归

结原则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）

例1设f(x)sin1，x0，证明极限limf(x)不存在。xx0'证：设xn1n，xn“'”，则显然有（n1,2,)x0,x0(n)，但 nn2n12'“f(xn)00,f(xn)11(n)。故由归结原则即得结论。

对于xx0,xx0,x,x这几种类型的函数极限，除有类似于定理3.8的归结原则外，还可以表述为更强的形式。

0f(x)A的充要条件是：对任何含定理 3.9 设函数f在U(x0;')内有定义。limxx00于U(x0;')且以x0为极限的递减数列{xn}，极限limf(xn)都存在且等于A。

n证：仿照定理3.8的证明，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要适当的修改。

相应于数列极限的单调有界定理，关于函数的单侧极限也有相应的定理。现以xx0这种类型为例阐述如下：

0f(x)存定理 3.10 设函数f是定义在U(x0;')上的单调有界函数，则右极限limxx0在。

证：具体证明见教材。主要应用确界原理，确界的定义和单侧极限的定义加以证明。

最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。

limf(x)A存在的充要条件是：定理3.1

1设函数f是定义在Uo(x0;')内有定义，xx0'任给0，存在正数()，使得对任何x',x”Uo(x0,)有|f(x')f(x“)|。

证明：[必要性] 设limf(x)A，则对任给0，存在正数(')，使得对任何

xx0。于是对任何x',x”Uo(x0,)有 xUo(x0,)有|f(x)A|2|f(x')f(x“)||f(x')A||f(x”)A|。

'[充分性] 设数列{xn}且以x0为极限。按假设，对任给的0，存在正数()，使得对任何x',x“Uo(x0,)有|f(x')f(x”)|。由于，对上述的0，存在N0，o当n,mN时有xn,xmU(x0;)，从而有

|f(xn)f(xm)|。

于是，按数列的柯西收敛准则，{f(xn)}数列的极限存在，记为 A，即limf(xn)A。

n设另一数列{yn}Uo(x0;)且limynx0，则如上所证，记为B。limf(yn)存在，nn现证明BA，为此，考虑数列

{zn}:x1,y1,,xn,yn,

易见{zn}Uo(x0;)且limznx0。故如上所证，{f(zn)}也收敛。于是，作为{f(zn)}n的两个子列，{f(xn)}，{f(yn)}必有相同的极限，故由归结原则推得limf(x)A

xx0注：（1）对于xx0,xx0,x,x,x这几种类型的函数极限的柯西准则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）



（2）对于xx0,xx0,xx0,x,x,x这几种类型的函数极限的柯西准则的否命题，学生也必须掌握。比如例1就可以应用柯西准则的否命题解决。

课后作业：习题2、3、5、7。

第二篇：函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件

教学目的与要求：

掌握函数极限存在的判定方法，能熟练运用各种判定方法讨论函数极限的存在性。教学重点，难点：

各种判定方法的证明和理解，单调有界性定理Cauchy准则的证明

教学内容：

一、归结原则

定理3.8(归结原则)设f在U0x0;内有定义.limfx存在的充要条件是: 对xx0

任何含于U0x0;且以x0为极限的数列xn, 极限limfxn都存在且相等.n

分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列xn,且limxnx0,xnx0,有n

limfxnA,则limfxA.因为在已知条件中,具有这种性质的数列xn是任意的nxx0

(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设limfxA,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列 xx0

{xn},limxnx0,xnx0,但是limfxnA,与已知条件相矛盾.于是充分性得到nn

证明.注1 归结原则也可简述为

limfxA对任何xnx0n有limfxnA.xx0n

注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

limf(x)f(x)xx0若limf(x)A,limg(x)B(B0), 则lim.xx0xx0xx0g(x)limg(x)

xx0

证已知limf(x)A与limg(x)B,根据海涅定理的必要性,对任意数列xn,且xx0xx0

limxnx0,xnx0,有limfxnA,limgxnB.由数列极限的四则运算,对任意nnn

数列xn,且limxnx0,xnx0,有limnnf(xn)A.再根据海涅定理的充分性,由g(xn)B

limf(x)f(xn)Axf(x)x0注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为limlimxx0g(x)ng(x)Blimg(x)nxx0

证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以x0为极限的数列xn,使limfxn不存在,或找到两个都以x0为极限的数列xn与xn,使limf(x'n)与

n

n

)都存在而不相等,则limf(x)不存在.limf(xn

n

xx0

例1证明极限limsin

x0

不存在.x

函数ysin的图象如图3-4所示,由图象可见,当x0时,其x

函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.

对于xx0,xx0,x和x为四种类型的单侧极

限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以xx0这种类型为例

阐述如下：

定理3.9 设函数f在点x0的某空心右邻域U(x0)有定



f(x)A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列xnU义.lim(x0),有

xx0

limf(xn)A.n

注5定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取



nmin{,xn1x0},以保证所找到的数列xn能递减的趋于x0.n

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以



这种类型为例叙述如下： xx0

f(x)存在.定理3.10设f为定义在U(x0)上的单调有界函数,则右极限lim

xx0

注6(1)设f为定义在U(x0)上的有界函数.若f递增,则f(x00)inf0

若f递减,则f(x00)sup

(2)设f为定义在U

xU(x0)

f(x);

f(x).xU(x0)

(x0)上的递增函数,则

xU(x0)

f(x00)supf(x), f(x00)inf0

xU(x0)

f(x)

三函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则)设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x)存在的充要条件是：

xx0

任给0,存在正数('),使得对任何x',xU(x0;)有f(x')f(x).[分析]充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以x0为极限的数列xnU(x0;), 数列f(xn)的极限都存在;2)证明对任何以x0为极限的数列xnU(x0;),数列f(xn)的极限都相等.注7 可以利用柯西准则证明函数极限limf(x)的不存在:

xx0

设函数f在U(x0;')内有定义.limf(x)不存在的充要条件是：存在 00,对任

xx0

意正数('),存在x',xU(x0;), 有f(x')f(x)0.如在例1中我们可取0

1,对任何0,设正整数n,令



211, x',x

nn2

则有x',xU(0;),而sin

sin10于是按柯西准则,极限limsin不存在.x0xx'x

小结

1.证明函数极限存在或求函数极限的方法.(1)用定义证明函数极限的方法且limf(x)A,尤其是分段函数的分段点.(2)用柯西收敛准则证明函数极限存在.(3)用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.(4)用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值.(5)用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.(6)对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在.2.证明函数极限不存在的主要方法:

(1)利用函数极限的定义证明函数极限不存在,(2)利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.(3)利用海涅归结原理证明函数极限不存在.(4)利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.复习思考题、作业题： 1，2，3，5

第三篇：函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70；

a2xa3x68x5.（a>0）;(8)lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限：(1)lim

x

xcosxxsinx

;(2)lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时)g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

;(4)lim

x0

tanx

;x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

;(4)lim

1x

;

x01x

(5)lim（x

3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x)(x→x0)，证明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

总 练习题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim（x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1)limf(x)f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f(x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2)lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f(x0－0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x

第四篇：函数极限

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

第三章 函数极限

教学目的：

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限

和，并能熟练运用；

4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数：16学时

§ 1 函数极限概念（3学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的定义及其应用。

一、复习：数列极限的概念、性质等

二、讲授新课：

（一）时函数的极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证(类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th 4 若使，证 设

和都有 =

(现证对 都存在, 且存在点 的空心邻域)，有

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.以

迫敛性:

”为“ 举例说明.”, 未必

四则运算性质:(只证“+”和“ ”)

（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th 1 设函数在,对任何在点

且的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.(证)

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．

（证）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.证 对

有

例6

特别当 等.例7

例8

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

三． 等价无穷小：

Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)

几组常用等价无穷小:（见[2]）

例3 时, 无穷小

与

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习题 课（2学时）

一、理论概述：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7.求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.例8 求是否存在.和.并说明极限

解;

可见极限 不存在.--32

第五篇：函数极限

数学之美2006年7月第1期

函数极限的综合分析与理解

经济学院 财政学 任银涛 0511666

数学不仅仅是工具，更是一种能力。一些数学的方法被其它学科广泛地运用。例如，经济学中的边际分析、弹性分析等方法。函数极限是高等数学中的一个重要问题。极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，欢迎批评指正。

一、函数极限的定义和基本性质

函数极限可以分成x→x0，x→∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知

极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以xx0的极限为例，fx在点x0以A极限的定义是：0,0,使当0xx0时，有f(x)A(A为常数).问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。

函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若lim存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明xx0

''即如果fxnA，fxn，fx在x0处的极限不存在。B（n,xn和xnx0）

则fx在x0处的极限不存在。

运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式fxPxPx,Qx均为多项式，Qx0）。设Px的次数为n,Qx的Qx次数为m，当x时，若nm，则fx0;若nm，则fxPx与Qx的最高次项系数之比；若nm，则fx。当xx0时,f(x)P(x0)(Q(x0)0)。Q(x0)

二、运用函数极限的判别定理

最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数gx与

hx，并且要满足gxfxhx，从而证明或求得函数fx的极限值。

三、应用等价无穷小代换求极限

掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。

x0时，sinx与x，tanx与x，arcsinx与x，arctanx与x，1cosx与x2，xa，ax1与xlna，1a与ax（a0）等等可ln1x与x，loga1x与lna

以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积

sinxx

因子，而对于加减法运算则不能运用。例如lim，不能直接把sinx替换

x0x

3sinxx

1成x，得出极限值为0，实际上lim。

x0x36

四、运用洛必达法则求函数极限

设函数fx，gx在点a的某空心邻域可导，且g'(x)0。当xa时，fxf'x，fx和gx的极限同时为0或时才适用'A（A为常数或）

gxgx洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数

0、00、1、0等类型则需要问题。这使得求解思路简单程序化。而对于、0

对式子进行转化，或通分或取倒数或取对数等转化为型，再使用洛必达法

0

则求极限。例如fx

gx的极限转化为求egxlnfx的极限等等。然而，对于数列，则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n的函数时，它的定义域是一系列孤立的点，不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。参见附例3。

五、泰勒公式的运用

对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式，可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子，这时就变成了求多项式的极限值（接着求值见上文所述方法），使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初

等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln1x等等。至于展开式展开多少，则要与题干中的自变量x最高次项保持一致。如

cosxelimx0x4x4)。

x

2利用泰勒公式展开cosx,e



x22，展开到x4即可(原式x最高次项为

六、利用微分中值定理来求极限

f(x)在a,b上连续，在a,b上可导，则至少存在一点a,b，使

f'()

f(b)f(a)'f(b)f(a),f()即可看成特殊的极限，用来求解。一般需

baba

要函数式可以看成同一函数的区间端点的差，这样可以使用微分中值定理。参见附例4。

另外，一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用，例如

lim(1x)e，lim

x0

1x

sinx



1，

1，1等等。

x0nnx

求极限的方法和技巧更多的在于实践中的摸索和探讨，上述方法只是笔者在高等数学学习和练习的一些心得，求极限的方法还有很多。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，敬请批评指正。

南开大学张阳和张效成老师的课堂教学给了笔者很大的启发，在此向两位老师表示感谢。

附：例1：对任意给定的0,1，总存在正整数N,使得当nN时，恒有。xna2，是数列xn收敛于a的（）

A 充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件

解析：这道题是1999年全国考研试卷(二)的数学选择题，这道题直接考察了对极限定义的掌握和理解。

例2：若x1a，y1b（ba0），xn1xnyn，yn1明数列xn,yn有相同的极限。（见习题册1 Page.18）

解析：由已知条件易知，by1y2……yn1xn1……x1a，数列

xn1yn

1，试证

2文中习题册是指南开大学薛运华，赵志勇主编的《高等数学习题课讲义（上册）》，为学生用数学练习册。

xyn

limyn1linxn，yn单调有界，可以推出xn，yn收敛。nn

n

。设

limynA，limxnB，则A

n

AB,AB。2

例3：求lim(ntan)n的值。（见课本2 Page.153）

nn

1

解析：这是数列。设fxxtan，则对limfx可以运用洛必达法则，xx且原式=limfx。

x

x2

aa

arctan),a0

nnn1

arctan解析：如例题3，设fxa，则在x,x1上fx连续，在x,x1内

x

例4：求limn2(arctan

可导。于是，x,x1,f'()arctan

aaaarctan2（使用微分中x1xa2

a)a。22

a

值定理可得）。x,则,原式=lim2（

参考书目

[1] 张效成主编，《经济类数学分析（上册）》，天津大学出版社，2005年7月 [2] 薛运华，赵志勇主编，《高等数学习题课讲义（上册）》，南开大学 [3] 张友贵等，《掌握高等数学（理工类、经济类）》，大连理工出版社，2004年11月

[4]《硕士研究生入学考试试题》，1984—2005

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文中课本是指笔者使用的天津大学出版社05年7月版的《经济类数学分析（上册）》张效成主编