工程问题是小学数学应用题教学中的重点

第一篇：工程问题是小学数学应用题教学中的重点

工程问题

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程问题也是教材的难点。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

因此，在教学中，如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。

联系实际谈话引入。引入设悬，渗透概念。目的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。初步的复习再次强化工程问题的概念。

通过比较，建立概念。在教学中充分发挥学生的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解决合作问题。

合理运用强化概念。学生在感知的基础上，于头脑中初步形成了概念的表象，具备概念的原型。一部分学生只是接受了概念，还没有完全消化概念。所以我编拟了练习题，目的在于通过学生运用，来帮助学生认识、理解、消化概念，使学生更加熟练的找到了工程问题的解题方法。在学生大量练习后，引出含有数量的工作问题，让学生自己找到问题的答案。从而又一次突出工程问题概念的核心。

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作量=工作效率×时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子.：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到

所需时间=工作量÷工作效率

=6（天）•

两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是

30÷（3+ 2）= 6（天）

数计算，就方便些.∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也

需时间是

因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.一、两个人的问题

标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成份.乙完成余下工作所需时间是

（18-2 × 3）÷ 3= 4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是

6∶ 9= 2∶ 3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

解：共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率

如果乙独做，所需时间是

如果甲独做，所需时间是

答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

解：先对比如下：

甲做63天，乙做28天；

甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做

因此，乙还要做

28+28= 56（天）.答：乙还需要做 56天.例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

2+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作

（30-3 × 8-1× 2）÷（3+1）= 1（天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做 8天后，还余下（甲队）10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

由于两队休息期间未做的工作量是

乙队休息期间未做的工作量是

乙队休息的天数是

答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是

（3+2）×16-60= 20（份）.因此乙休息天数是

（20-3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要

（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：这两项工作都完成最少需要12天.例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他

要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？

解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作，共完成

3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是

（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快

如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

解：乙6小时单独工作完成的工作量是

乙每小时完成的工作量是

两人合作6小时，甲完成的工作量是

甲单独做时每小时完成的工作量

甲单独做这件工作需要的时间是

答：甲单独完成这件工作需要33小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每有一点方便，但好处不大.不必多此一举.二、多人的工程问题

我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

解：设这件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成

减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要90天完成.例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？

例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了

2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了20天.本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

答：甲独做需要26天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

解一：设这项工作的工作量是1.甲组每人每天能完成

乙组每人每天能完成

甲组2人和乙组7人每天能完成答：合作3天能完成这项工作.解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化为：

甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？

小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？

解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成

因此这批零件的总数是

丙车间制作的零件数目是

答：丙车间制作了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.已知

甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

12∶8∶7.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

2400÷（12-8）× 7= 4200（个）.例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.三人共同搬完，需要

× 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运

（60-6× 8）÷ 4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运

（60-5× 8）÷4= 5（小时）.三、水管问题

从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

解：甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9× 3）÷10=1/15

乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45

因此水池容积是：0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米）

答：水池容积是27立方米.例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？

分析：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4，那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1+4）=1/5。

10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30

要注满水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根）

解：前后两段时间的注水量之比为：1：[（1-1/3）÷1/3×2]=1：4

前段时间注水量是：1÷（1+4）=1/5

每根水管在预定1/3的时间注水量为：1÷10×1/3=1/30

开始时打开水管根数：1/5÷1/30=6（根）

答：开始时打开6根水管。

例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要 4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

分析：，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.以后（20小时），池中的水已有

此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？

看起来它每小时只往上爬3-2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.因此，答案是28小时，而不是30小时.例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水× 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是

240 ÷（5× 150-8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是× 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要

5400 ÷（8 × 13-4）=54（分钟）.答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？

解：设满水池的水量为1.A管每小时排出

A管4小时排出

因此，B，C两管齐开，每小时排水量是

B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是

答： B，C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24.17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一

草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？

解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.原有草+4星期新长的草=12×4.原有草+9星期新长的草=7×9.由此可得出，每星期新长的草是

（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是

7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是

这些草能让

90×7.2÷18=36（头）

牛吃18个星期.答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？

“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？

解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.从9点至9点9分进入观众是3×9，从9点至9点5分进入观众是5×5.因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是

（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.9点前来的观众是

5×5-0.5×5=22.5.这些观众来到需要

22.5÷0.5=45（分钟）.答：第一个观众到达时间是8点15分.挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？

分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30

2÷(3/10-1/6)

=2÷4/30

=15(天)

1÷(1/6-1/15)=10(天)

答:甲单独做要15天,乙单独做要10天..一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？

解设:规定时间为X天.(甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天)

1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1

X=12

规定要12天完成 1÷[1/(12-2)+1/(12+3)] =1÷(1/6)=6天

答:两人合作完成要6天.例：一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为x,乙的工效为y

63x+28y=1

48x+48y=1

x=1/84

y=1/112

乙还要做（1-42/84）÷（1/112）=56（天）

第二篇：小学数学工程类应用题

１、一件工作，单独一个人做，张师傅有8小时完成，李师傅要12小时完成。现在两个人合做，多少小时完成？

２、修一条的路，甲队单独修要20天，乙队单独修要30天。两队同时修，要多少天完成？

３、运一批货物，大卡车单独运20次运完，小卡车单独运要40次运完。两辆卡车同时运，多少次可以运?

４、一项工程，A队要40天完成，B队要60天完成，两队合做20天，完成了全工程的几分之几？还剩几分之几？

５、从A地到B 地，客车8小时行完全程，货车要10小时行完全程。现在两车同时从两地相向出发，多少小时两车相遇？

６、一件工作，张师傅要8天完成，李师傅3天完成了，两位师傅合做，多少天可以完成？

7、加工一批零件，黄师傅完成，洪师傅天完成。两人合作多少天完成？

8、挖一条水渠，甲组要12天挖完，乙组要15天挖完。现在甲组先挖4天，然后两组合挖，还有多少天完成？

9、一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要25天完成。现在两队先合做2天，如果由甲对单独做，还要多少天完成？

10、甲、乙两个工程队修一条铁路，两队合修12天完成，甲队单独修要20天完成。乙队单独修要多少天完成？

11、加工一批服装，甲车间要20天完成，乙车间要30天完成，两个车间同时做多少天可以完成一半？

12、一件工作，甲、乙合做１２天完成，已知甲、乙工作效率的比是１：３。两人单独做各要多少天？

工程问题

1、有一批书，小明9天可装订3/4，小丽20天可装订5/6。小明和小丽两个人合作几天可以装完？

2、有一件工程，甲独做20天可以完成这件工程的1/9，乙独做9天可以完成这件工程的1/10，甲、乙两人合做，需要几天可以完成这件工程的一半？

3、师徒两人共同加工一批零件，2天后已加工总数的1/3，这批零件如果全部由师傅单独加工，需要10天完成，如果全部由徒弟加工需几天完成？

4、一件工作，甲独做10小时完成，乙独做12小时完成，丙独做15小时完成。三人合做几小时可以完成工作的一半的一半？

5、从甲地到乙地，慢车要行15小时，快车要行10小时，慢车从乙地开出5小时后，快车从甲地开出，再经过几小时两车相遇？

6、一件工程，甲乙两人合作8天可以完成；乙丙两人合作6天可以完成；丙丁两人合作12天可以完成。那么甲丁合作几天可以完成？

7、有一批机器零件，甲单独制作需要八又二分之一天，比乙单独制作多用了1/2天，两人合作4天后，剩下210个零件，由甲单独去做，自始至终甲共制作了多少个零件？

8、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？

9、一件工程，乙队先独做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队又独做9天才完成。已知乙队完成的是甲队完成的1/3，丙队完成的是乙队完成的2倍。甲、乙、丙三队独做各需几天完成？

10、一个水池有甲、乙两个进水管，单开甲管，1/6小时能注满水池；单开乙管，1/7小时能注满水池。如果甲、乙两管同时开启，多少时间水池还有1/4尚未注水？

11、某村挖一条水渠，若甲乙两个队各单独挖，甲队要12天挖完，乙队要15天挖完。现在甲、乙两队合挖2天后，丙队也来参加，自丙队加入后3天便完工。若丙队单独挖，需几天完工？

12、一个蓄水池装了一根进水管和三根放水速度一样的出水管。单开一根进水管20分钟可注满空池，单开一根出水管，45分钟可以放完满池的水。现有2/3池水，如果四管齐开，多少分钟后池水还剩下2/5？

第三篇：浅谈小学数学应用题教学

浅谈小学数学应用题教学

单位：普宁市高埔镇新圩小学

姓名：郑麟古 电话：2713818

浅谈小学数学应用题教学

在小学数学教学中，应用题教学既是重点，又是难点，历来是各个学校比较重视的课题。大部分学生一到做应用题就觉得头疼，常常束手无策。由于应用题的数量关系一般都具有抽象性与隐蔽性的特点，给学生解题造成一定的困难。针对这种情况，在提高学生解答应用题的能力方面，我的做法是：

一、培养学生认真审题的习惯

做应用题时，一些简单的应用题对于一部分学生来说，他并不是不会做，而是不认真读题、审题，出现了一些不该出现的错误，所以我们平时一定要让学生养成认真读题、审题的习惯，而且审题必须认真仔细。通过审题来理解题意，掌握题中讲的是一件什么事？经过怎样？结果如何？通过审题弄清题中给了哪些条件？要求的问题是什么？有些学生不会做应用题，往往缘于不理解题意。一旦理解了题意，其数量关系也将明了。因此，从这个角度上讲理解了题意就等于题目做出了一半。

二、重视应用题数量关系的分析

数量关系是指应用题中已知量与未知量之间的关系。只有搞清楚数量关系才能根据四则运算的意义恰当地选择算法，把数学问题转化成数学式子，通过计算进行解答。分析数量关系是解答应用题的关键，是应用题教学过程的中心环节。在应用题教学中要特别注意训练学生分析应用题中已知量与未知量，已知量与未知量之间存在的相依关系，把数量关系从应用题中抽象出来。如：两列火车同时从相距525千米的两地相对开出，3小时后相遇。一列火车每小时行驶90千米，另一列火车每小时行使多少千米？这道题存在两个数量关系：（1）两地路程÷相遇时间＝两列火车速度和；（2）两列火车速度和－一列火车速度＝另一列火车速度。找出这两个数量关系，对号入座，题目就很容易解答了。

三、加强解题思路训练，提高解题能力

进行解题思路训练是学生学好应用题的重要方法。通过审题，找出已知量和未知量之间的联系，使已知量和未知量这对矛盾得到统一，这种构想就叫思路。应用题教学中要以指导思考方法为重点，让学生掌握解答应用题的基本规律，形成正确的解题思路。如：福田小学五年级学生分三个组去工厂做胶袋，第一组

第四篇：浅谈小学数学应用题教学

浅谈小学数学应用题教学

【内容摘要】小学阶段的应用题是培养学生应用已学知识解决实际问题的基础教育，是整个数学教学的重点，也是难点。针对小学生的思维特点，结合小学数学应用题的知识结构，对应用题教学提出一些方法与见解，供广大教师参考。

【关键词】简单应用题

复合应用题

归类训练

发散思维

小学数学是实施基础教育的主要学科，主要是以培养学生掌握知识，形成数学技能，发展数学能力的基础教学。小学阶段的应用题，其综合性、逻辑性、应用性之强，形成了小学数学教学中的一大难点，也在学生心中产生了一种“望题色变”的恐惧心理。因此，导致考试中频频失分。应用题教学已成为许多教师研究的重点对象。但现实中许多教师为此付出了劳动却收不到好的效果。那么，怎样才能使学生轻松的掌握好应用题呢？现在我简谈几点自己浅陋的看法。

一、重视对简单应用题的教学

小学应用题的知识结构是多方位的。总体上按简繁来分有两种，一种是简单应用题，一种是复合应用题。而简单应用题是复合应用题的组成部分，也是复合应用题的教学基础。任何一道复合应用题都是由两个或两个以上的简单应用题构成的，只是它们隐蔽了题中的问题，没有形成独立的简单应用题。因此，必须抓好简单应用题这个教学基础。抓好简单应用题可以进行以下几方面的训练：

1、从最简单的应用题入手。简单应用题按实际数量关系情况来划分大体有11种，主要集合为“加、减、乘、除”四类。加强对这四类基本应用题的训练，有利于学生掌握小学应用题最基本的数量关系，培养基本的解题思维形式，为复合应用题奠定基础。

2、补充条件或问题训练。这种训练可以增强学生了解条件和问题之间的联系，懂得什么条件可以解决什么问题，什么问题需要哪些条件来解答。如：“树上有30只黑鸟，飞来的灰鸟有多少只？” 这 种训练模式形而有效地增强学生对应用题结构的认识，加强对应用题条件和问题搭配的合理性。

3、题意不变，改变叙述方式的训练。如：在教学简单分数加减法应用题时，我选用了这样一道题：“有一堆黄土，上午运走了2/5吨，下午比上午多运走了1/5吨，下午运走了多少吨？”然后改述为：“上午比下午少运了1/5吨。”这样比多、比少就清楚地表示出两个量之间的联系，加深了学生对应用题中名词、术语、概念的理解，提高理解应用题的能力。

4、线段图的训练。用线段图表示数量之间的关系直观、形象、具体，它是学生解答应用题的好帮手。它可以帮助学生更好地理解题意，确定计算方法。在简单应用题中应加强这部分的训练，为今后学习用线段图分析复杂应用题打下基础。

5、自编应用题的训练。可分为看图编题目、看式子编题、交换条件问题编题等。使学生从不同的角度熟练掌握简单应用题的结构和数量关系，提高学生的思维能力。

二、加强复合应用题的归类训练

小学复合应用题是在简单应用题中增添条件或转变问题演变而来的，因此，应当在简单应用题的基础上循序渐进地对复合应用题进行归类训练。

1、做好由简单应用题向复合应用题的过渡训练。也就是教学两步计算的应用题。为了能使整个过渡的教学过程容易些，在教学一步计算应用题的适当机会，可以出现多一个问题的应用训练。例如：“百货商场原有电视 机有270台，又运来150台，一共有电视机多少台？卖出180台后，还剩多少台？”这种连续两个问题的应用题，去掉一个问题就变成两步计算应用题。这样可以为两步应用题做孕伏，使学生懂得两步计算应用题应先算什么，后算什么。从而为以后学习三步、四步应用题打下扎实的基础。

2、加强一般复合应用题的解答训练。一般复合应用题的训练方法可以根据简单应用题的方法进行训练，只是所设计的题目要有所加深，同时加强对分析法和综合法的联合训练，促使学生灵活地选用解答方法，提高解答应用题的能力。

3、加强对典型复合应用题的教学。小学的典型应用题必须在一般复合应用题的教学基础上进行，但典型应用题又是某些一般复合应用题的组成部分，所以，加强典型应用题训练，又可以扩大和加深学生对一般复合应用题的理解和应用。小学典型应用题主要有：求平均数应用题、归一应用题、行程问题、工程问题、分数百分数应用题、按比例分配问题等。教师在教学过程中应着重于分类和归纳每种典型应用题的数量关系，进而有效地帮助学生掌握它们的解答方法。

三、进行发散思维的训练

发散思维的训练是培养学生举一反三，触类旁通，灵活解答应用题的重要途径，有利于学生培养数学能力，形成良好思想品质。所以在教学实践中应注意利用多种途径对学生进行发散思维的训练。

1、“一题多变”训练法。一题多变就是根据相同的条件提出几个不同的问题。如：“树上有30只黑鸟，40只白鸟。”可以启发学生从不同的角度去思考提出问题：（1）求和或求差，（2）求倍数关系，（3）求比等。这样不仅锻练了学生的思维能力，还从不同的角度使学生理解掌握数量之间 的联系和变化。

2、“一题多解”训练法，一题多解是学生思维反映能力强弱的体现，也是打破学生思维惯性的方法。如：“农具厂原来制造1台农具用钢0.36吨，技术革新后，制造一台农具可节约用钢0.04吨，原来制造240台农具的钢材现在可多做多少台？”大部分同学列式为240×0.36÷(0.36－0.04)－240，而一些思维灵活的学生则列式为：240×0.04÷(0.36－0.04)，对比两种方法第二种更灵活，简单，快捷，而学习应用题更需要这种能力。所以，在平时的应用题教学中教师应引导学生充分发挥他们思维的灵活性，肯定他们的独特解法，鼓励他们从多个角度去灵活思考问题，寻求最佳的解答方法。

3、“同题扩件”训练法，就是已知同一问题，扩散已知条件，例如：“一个平行四边形，底是8分米，是高的2倍，求它的面积。”这样让学生知道一道题中，解决问题的直接条件不足时，应从已知条件中寻找解决问题的间接条件，从而解答问题。

通过发散思维的培养，使学生更准确更快捷地分析应用题，大大提高了解题的准确性，培养了他们思考、分析和计算能力。

总而言之，小学应用题教学是学生巩固和应用数学知识，发展数学能力的一个重要手段。在教学的过程中，教师应着重于对应用题整体结构，教学方法的研究，针对学生的实际，精心设计教学内容，循序渐进地培养学生独立动手、动脑、讨论和实践的能力，充分调动学生思维活动的积极性，多层次地培养学生，从而达到事半功倍的效果。

第五篇：浅析应用题教学中相遇问题和工程问题

浅析应用题教学中相遇问题和工程问题

摘 要：应用题教学是小学数学教学中的重要内容之一，调查发现，现在的小学应用题教学当中存在着很多的问题，影响学生数学的学习，也给数学老师造成了很大的困扰。本文通过对复合应用题中相遇问题、工程问题的浅析，希望对小学数学应用题教学有所帮助，使小学数学教学取得更好的成绩。关键词：小学数学 应用题 相遇问题 工程问题 浅析

数学应用题是来源于日常生活和生产实际中具有一定数量关系，用文字或语言（包括图画或表格）表述出实际问题。它包括着某项问题和解决问题的已知条件两部分。只有已知条件充分，才能得出一个确定的答案。如果已知条件不足，就不能得出一个确定的答案。小学应用题教学是小学数学教学中重要的组成部分，是小学数学考试的重点之一，也是小学数学教学中的一大难点。从老师到学生都认为应用题教学是一个比较棘手的问题。因此，解决好应用题教学是搞好小学数学教学的一个关键。下面就学生在学习当中出现问题比较多的相遇问题、工程问题复合应用题，在教学过程中所发现的一些问题进行总结探讨。通过小学数学应用题教学把学生课堂上学到的知识与具体生活实践联系起来，用课本上学到的知识解决实际问题。

小学应用题按结构可分为：简单应用题就是经过一步计算就能得到答案的应用题。复合应用题就是两步或者两步以上计算才能得到答案的应用题。简单应用题一般可以分为以下几种：求总数、求比一个数多几的数、求剩余、求两数相差多少、求一个数的几倍是多少、把一个数平均分成若干份，求每份是多少、求一个数量是另一个数量的几倍等等。简单应用题求解比较容易，学生基本上都能解答的很好，存在的问题也不多。而复合应用题解题比较复杂，教学中存在的问题也比较多。复合应用题一般包括行程问题、工程问题、流水问题、归总问题、盈亏问题、还原问题、年龄问题等等。复合应用题学生出现问题比较多，在这里我们仅对复合应用题中比较具有代表性的行程问题中的相遇问题、工程问题在教学中常出现的问题进行探讨。

一、相遇问题

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。相遇问题的基本关系是：相遇时间=相隔距离÷速度和；相隔距离=速度和×相遇时间；甲速=相隔距离÷相遇时间－乙速。下面我们通过具体的例子分析相遇问题：

例1：两地相距500米，小红和小明同时从两地相向而行，小红每分钟行60米，小明每分钟行65米，几分钟相遇？

解决相遇问题首先我们应该审好题目：

1、审题。① 在小学数学教学中，许多数学专业的名词、术语，小学生还是头一次听到，头一次接触，学习过程中对这些名词、术语的认识理解还要有一个适应的过程。如例1中的相向而行、相距、相遇各指的是什么意思，相向而行指的就是两个物体面对面走来，相距指的是两物体之间相隔的路程，相遇指的是两物体一起走完了整个路程，我们这里的路程都是直线。②审题就是要审清题目的情节内容和数量关系，通过对文字描述的理解，能清楚地知道题目讲的是什么事、事情的经过如何、提出的条件和问题是什么等。③为了使题目的条件、问题及数量关系在头脑中建立起完整的表象，或者还可以画一些示意图帮助理解题目。为正确解题创造良好的前提条件。读懂题目，弄清题目中显露、隐含的条件，理清题目中距离、速度、时间之间的关系。

题目分析：“两地相距500米”在这里指的就是路程是500米。已知小红、小明的速度分别是60米、65米，问他们几分钟相遇也就是问他们几分钟能走完500米，我们可以画示意图来分析题目：

通过示意图我们可以更清楚的了解题目的数量关系和变化过程，我们根据，相遇时间=相隔距离÷速度和 500÷（60+65）=4（分钟）从而求出相遇时间是4分钟，算式当中的括号一定不能少，它表示的是速度和，少了括号就没有意义了。而对于上面的例题我们还可以改变条件来求其它的量如： 小红和小明同时从两地相向而行，小红每分钟行60米，小明每分钟行65米，4分钟后两人相遇，求两地相距多少米？

题目分析：已知小红、小明每分钟分别行60米、65米，4分钟后两人相遇，也就是说4分钟他们走完了全程，即两地距离。解法一:我们可以分别计算出小红、小明4分钟各自走的路程，然后把他们各自走的路程加起来，就得到两地的距离。可列算式：60×4+65×4=500（米）。

解法二：先计算小红、小明的速度和，也就是一分钟走的路程，然后用速度和乘以4分钟，也就是4分钟走的路程，就是两地的距离。我们根据：相隔距离=速度和×相遇时间，可列算式：（60+65）×4=500（米）。两种解题方法都可以计算出两地距离，我们通过比较可以看出来第二种方法明显优于第一种方法。

通过以上具体的例子我们分析了相遇问题的一般题目类型。即是对相遇时间=相隔距离÷速度和；相隔距离=速度和×相遇时间公式的理解和应用，下面我们再列举一个例题，进一步巩固和加深我们对相遇问题的理解。

例2：甲乙两人同时从相距3300米的两地出发，相向而行，甲每分钟走50米，30分钟后两人相遇，问甲每分钟走多少米？

题目分析：已知甲乙两地相距3300米，甲每分钟走50米，30分钟后，甲乙走完了全程。解法一：我们可以先计算出甲30分钟走的路程，50×30=1500（米），然后用总路程减去甲走的路程，就是乙走的路程，3300-1500=1800（米），最后再用乙的路程除以相遇时间就得到了乙的速度，1800÷30=60（米）。

解法二：已知甲乙两地相距3300米，30分钟后两人相遇，我们可以用总路程除以相遇时间得到甲乙的速度和，3300÷30=110（米）再用速度和减去甲的速度就得到乙的速度，110-50=60（米）。两种方法比较，第二种方法优于第一种方法。通过例1和例2的分析，我们已经了解了一般的相遇问题。解决应用题最关键的就是审题，审好题目后接下来我们就是解题：

2、解题。复合应用题的重点是使学生弄清题目中的数量关系。我们可以根据题目的含义把题目适当地分为几个层次来理解，或者直接把题目分解成几个最简单、最基本的简单应用题，通过解答简单应用题来理解题意。理解了每个基本应用题之后，我们再按照一定的顺序和规律把各个基本应用题组合起来，得到原来的题目。这样，学生就能理解题目的层次结构，进而列出数学关系式。

3、答案。小学应用题写答案是把我们所列的数学算式，中得出的数字，还原到实际问题中赋予数字一定的意义，也使得应用题的答题更加完整。

解决相遇问题最关键是审题，审题首先是读题，读懂题目是解题的基础。读懂题目在讲什么事情，已知条件是什么，需要我们求的是什么，然后理清楚题目中的数量关系。简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。列数量关系式时一定要看清楚条件，谁的速度对应谁的时间，谁的时间对应谁的路程，谁的速度对应谁的路程，切记不可不分青红皂白的胡乱搭配。计算时注意不要出错，最后得出结果，写上答案，使应用题答题结构更完整。

二、工程问题

研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。根据题目中工作量是否已知，可以分为整数应用题和分数应用题，工作量是已知的具体的数时，为整数应用题，我们可以按照公式进行很好的解答。但这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总，即为分数应用题。

1、审题。①就是认真读题，初步了解题意。然后就是仔细推敲字、词、句，准确理解题意。让学生明白工作量指的是所要完成的任务，工作效率指的是单位时间内完成的工作量。②对应用题中工作量、工作效率和工作时间三者之间数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。理清题目中的数量关系，为正确解题铺平道路。③解答工作量未知的工程问题关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数，它表示单位时间内完成工作总量的几分之几，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系：工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率 工作效率＝总工作量÷工作时间，根据三者的数量关系列出相应的算式。下面我们通过具体的例子对工程问题进行分析：

例3： 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天? 题目分析：已知总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。我们先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率，甲车队每天运的吨数：(甲车队工作效率)1200÷15=80(吨)，乙车队每天运的吨数：(乙车队工作效率)1200÷10=120(吨)。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。两个车队一天共运的吨数：80+120=200(吨)两个车队合运需用的天数：1200÷ 200=6(天)。在对例3理解的基础上，我们还可以对例3进行改编，变成求工作量的题目： 一建筑工地需要一批水泥，要甲乙两个车队运输，甲车队每天运80吨，乙车队每天运120吨，6天可以运完，问建筑工地需要多少吨水泥？

题目分析：已知甲车队每天运80吨，乙车队每天运120吨，6天可以运完，解法一：我们可以分别求甲、乙两车队6天的工作量，甲6天的工作量：80×6=480（吨）乙6天的工作量120×6=720（吨），然后再把甲、乙两车队6天的工作量相加，480+720=1200（吨）就是所要求的总工作量。

解法二：我们可以先求甲乙两车队一天的工作效率80+120=200（吨），再求甲乙6天的工作总量200×6=1200(吨).通过比较解法二优于解法一。

例4：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

题目分析 ： 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

例5： 生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时? 题目分析：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。李师傅1小时可完成：350÷14=25(个)。由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：350÷10=35(个)小王单独工作一小时可完成：35-25=10(个)小王单独做这批零件需要：350÷10=35(小时)。通过以上例题的分析我们已经了解了一般工程问题的审题过程，下面进行解题：

2、解题。对于题目中没有明确说出工作总量的工程应用题。即把工作总量看成“1”，利用分数来解答工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的应用题。它的解题思路与整数应用题基本相同，仍然是工作总量除以工作效率等于工作时间。只是题中没有给出具体的工作总量，解答时要把工作总量作为单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率。在解题时要注意三种量的对应关系。即求谁的工作时间，就要找到与它对应的工作总量和与它对应的工作效率。根据题意，然后列出相应的数学关系式，得出结果。

3、答案。工程问题应用题写答案是把我们所列的数学算式中得出的结果，还原到工程问题中赋予结果实际意义，使数学和实际生产、生活联系起来。把数学应用到生活中去。工程问题应用题一般都是围绕寻找工作效率的问题进行，解决工程问题最关键的就是掌握基本数量关系工作总量=工作效率×工作世时间，抓住这一关系，并能灵活的应用。以工作效率为突破口，工作效率是解答工程问题的要点。抓住完成工作的几个过程或几种变化，工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析是一定要对应工作的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率，注意题目中隐蔽条件的发掘和利用。此外还应注意，求谁的工作时间，就要找到与它对应的工作总量和与它对应的工作效率。对应关系一定要找对，不能对应错误。根据量与里量之间的对应关系列出相应的算式，然后进行解答，最终得出要求的结果。

以上便是我对行程问题中的相遇问题和工程问题复合应用题教学问题的初步探讨，希望可以对小学数学应用题教学有所帮助，使得小学数学教学取得更好的成绩。

参考文献：

1．【美】波利亚：《怎样解题——数学教学法的新面貌》，上海科技教育出版社，2002年版。

2．朱小蔓：《对策与建议：2004-2005教育热点、难点问题分析》，教育科学出版社，2005年10月。

3．《数学课程标准》（实验稿），北京师范大学出版社，2001年7月。