小学数学中遇到的典型的工程和行程应用题1

第一篇：小学数学中遇到的典型的工程和行程应用题1

广平育英培训中心 常老师数学课堂

小学经常遇到的行程问题

一、相遇问题

1、一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七分

5、甲乙两车同时分别从两地相对开出，5小时正好行了全程的2/3，甲乙两车的速度比是5：3。余下的路程由乙车单独走完，还要多少小时？ 之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七。

甲乙两地相距多少千米？

2、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前行，当甲车到达B地时，乙车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:2。求甲乙两车的速度。

3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城，每小时行8千米，当甲车距A城260千米时，乙车距B地320千米。A、B两成之间的路程有多少千米？

4、一客车和一货车同时从甲乙两地相对开出,经过3小时相遇,相遇后仍以原速继续行驶，客车行驶2小时到达乙地，此时货车距离甲地150千米，求甲乙两地距离？

6、甲，乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶4.5小时到达西站后没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米和乙车相遇。

甲车每小时行多少千米？

7、从甲地去乙地，如车速比原来提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，再将车速比原来提高1/3，就比预定时间提前30分钟赶到。甲，乙两地相距多少千米？

8、清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙车因故停

在中途C地，甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60千米的速度向A地开去。问：乙车几点才能到达A地？ 广平育英培训中心 常老师数学课堂

9、AB两地相距60千米，甲车比乙车先行1小时从A13、甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，甲与乙地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B地，甲乙两车的速度比是2:5，求乙车的速度。

10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处相遇。若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小刚和小明两人的家相距多少米？

解：

11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全程的80%，问货车行完全程用多少小时 ？

12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，这时甲车与乙车所行的路程之比是2：3.求甲乙两车的速度各是多少？ 的速度比是4：5。两车第一次相遇后，甲的速度提高了

4分之一，乙的速度提高了3分之一，两车分别到达BA

两地后立即返回。这样，第二次相遇点距第一次相遇点48KM，AB两地相距多少千米？

14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同

时出发。甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。问AB两地距离、15、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有500米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。

16、汽车从A地到B地，如果速度比预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多1/8，如果速度比预定的增加1/3，到达时间将比预定的早1小时。求A,B两地间的路程？

广平育英培训中心 常老师数学课堂

17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？

二、追及问题

1、已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时，两船同时到达目的地A，问两地距离？

2、某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1米，队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用10秒,求队伍的长度是多少米?、3、在一个圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过8分钟两人再次相遇,甲、乙环形一周各需多少分钟？

4、甲乙两人环湖同向竞走,环湖一周是400米,乙每分钟走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，问甲什么时候追上乙？

5、猎犬发现距它8米远的地方优质本报的野兔子，立刻追。猎犬包6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的时间猎犬只能奔跑3步。猎犬至少要跑多少米才能追上野兔？

6、一只野兔跑出85步猎犬才开始追它，兔子跑8步的路程猎犬只需跑3步，猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。问猎犬至少要跑多少步才能追上兔子？

三、特殊的追及问题

我们在日常做题的过程中，经常会遇到求几点几分时针和分针所称的角度，还有时针和分针所成多少度角时，是几点几分。解此类题，似乎与追及问题格格不入，但是我们恰恰可以看作是追及问题的一个变形。首先我们对钟面熟悉以后，知道钟面被分作60个小格，每个小格所对的圆心角的度数=360/60=6度，分针每分钟走广平育英培训中心 常老师数学课堂

格，时针每分钟走5/60=1/12格，由此我们在解题之前就知道了这些隐含条件，就可以把钟面看作是环形跑道，时针速度慢，分针速度快，在解题之前，大致画一个图形，就知道大概角度，然后判断路程差为多少，因为速度差我们已经知道了，是1-1/12=11/12格，将来我们学会了相对运动，就可以把时针看作参照物，分针的速度变为11/12格/分，问题变得更加简单。看下面的例题： 1、7点与8点之间,时针与分针成30度角的时刻?

2、张华出去办事两个多小时，出门时他看了看钟，到家时又看了看钟，发现时针和分针互相换了位置，他离家多长时间？

小学比较典型的工程问题

工程问题是我们在小学学习过程中必不可少的，这里通过实践总结出了一些工程实际问题和变形的工程问题，解此类问题的关键在于设好单位1，其次要把握住最基本的运算公式工程总量=工作效率×工作时间，万变不离其宗。

1、王师傅加工一批零件，计划在六月份每天都能超额完成当天任务的15%，后来因机器维修，最后的5天每天只完成当天任务的八成，就这样，六月份共超额加工660个零件，王师傅原来的任务是每天加工多少个零件？

2、一堆饲料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃几天

3、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比独做时提高了十分之一，乙的工作效率比独做时提高了五分之一，甲、乙两人合作4小时，完成全部工作的五分之二。第二天乙又独做了4小时，还剩下这件工作的三十分之十三没完成。这项工作甲独做需要几个小时才能完成？

4、一项工程A、B两人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接着做7天，可以完成，B单独完成这项

工程需要多少天？

广平育英培训中心 常老师数学课堂

5、某工程，由甲乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙两队承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙两队承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？

6、甲、乙二人同时开始加工一批零件，加单独做要20小时，乙单独做30小时。现在两人合作，工作了15小时后完成任务。已知甲休息了4小时，则乙休息了几小时？

7、一间教室如果让甲打扫需要10分钟，乙打扫需要12分钟。丙打扫需要15分钟。有同样的两间教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同时开始打扫，丙先帮助甲打扫，中途又去帮助乙打扫教室，最后两个教室同时打扫完，丙帮助甲打扫了多长时间？（中途丙去乙教室的时间不计）

8、装配自行车3个工人2小时装配车架10个，4个工人3小时装配车轮21个。现有工人244人，为使车架和车轮装配成整车出厂怎安排244名工人最合适？

9、光明村计划修一条公路，有甲、乙两个工程队共同承包，甲工程队先修完公路的1/2后，乙工程队再接着修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程队每天比甲工程队多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程队共修路多少天？

10、张师傅计划加工一批零件，如果每小时比计划少加工2个，那么所用的时间是原来的3分之4；如果每小时比计划多加工10个，那么所用的时间比原来少1小时，这批零件共有多少个？

附：解答应用题的一点心得：

1、读懂题意，把不相关的语言精简掉，现在应用题考得不是数学，而是语文的阅读能力，还要有转化问题的能力。

2、巧设未知数。一道应用题中可以把几个量都设为未知数，但是哪一个更为简便，要仔细斟酌。例如：甲乙二人速度之比为3：2，在求甲乙的速度时，我们可以设甲的速度为a千米/小时，乙为b千米/小时，这就是二元一次方程组；或者设甲的速度为a千米/小时，则乙为2/3a千米/小时，这样虽然是一元一次方程，但是有分数；或者设甲的速度为3a千米/小时，乙的速度为2a千米/小时

可见最后的设法最好。根据不同的题目设出未知数。

3、根据等量关系列出方程

4、解方程。此时我们可能会遇到二个未知数，而只能列出一个方程，我们就要看看是不是还有隐含条件，比如人数、物体的个数，都要是正整数，这就是隐含条件，尤其在不等式方程中要用到。还有就是分式方程要验根

5、写清单位和答话。这一步往往被忽视，其实这一步恰恰反映出你是否读懂了题目，是否知道题目要求的是什么，在考试中是要站分数的。

6、勤加练习，熟能生巧。触类旁通，举一反三。

第二篇：小学数学中遇到的典型的应用题

一些不等式应用题

关于不等式应用题的一些解法，往往这类题目会包含2个变量，但是2个变量之间有一定的联系，我们可以根据自己目前学习的情况，列一元一次不等式或者二元一次不等式组，解出关于变量的范围，然后根据隐含条件确定未知数的值。比如人、物不能为小数、分数，需要取正整数，这样就求出未知数的值了。

在实际意义是一样的，例如下题，可以设A型为a间，B型为80--a间，或者A型a间，B型b间，根据a+b=80把两个变量联系一起来，我个人认为要根据自己在实际学习中和个人的能力实际情况而有所区别。

一、某水产品市场管理部门规划建造面积为2400平方米的大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28平方米，月租费为400元，每间B种类型的店面的平均面积为20平方米，月租费为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的85%。

（1）试确定A种类型店面的数量？

（2）该大棚管理部门通过了解，A种类型店面的出租率为75%，B种类型店面的出租率为90%，为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？ 解：设A种类型店面为a间，B种为80-a间 根据题意

28a+20（80-a）≥2400×85% 28a+1600-20a≥2040 8a≥440 a≥55

A型店面至少55间 设月租费为y元

y=75%a×400+90%（80-a）×360 =300a+25920-324a =25920-24a 很明显，a≥55，所以当a=55时，可以获得最大月租费为25920-24x55=24600元

二、水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到情况：

1、每亩地水面组建为500元。

2、每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；

3、每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可或1400元收益；

4、每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；

问题：

1、水产养殖的成本包括水面年租金，苗种费用和饲养费用，求每亩水面虾蟹混合养殖的年利润（利润=收益—成本）；

2、李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷款不超过25000元，用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利率为10％，试问李大爷应租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润达到36600元？ 解：

1、水面年租金=500元

苗种费用=75x4+15x20=300+300=600元 饲养费=525x4+85x20=2100+1700=3800元 成本=500+600+3800=4900元

收益1400x4+160x20=5600+3200=8800元 利润（每亩的年利润）=8800-4900=3900元

2、设租a亩水面，贷款为4900a-25000元 那么收益为8800a 成本=4900a≤25000+25000 4900a≤50000

a≤50000/4900≈10.20亩

利润=3900a-（4900a-25000）×10% 3900a-（4900a-25000）×10%=36600 3900a-490a+2500=36600 3410a=34100 所以a=10亩

贷款（4900x10-25000）=49000-25000=24000元

三、某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆?

解：设还需要B型车a辆，由题意得 20×5+15a≥300 15a≥200 a≥40/3 解得a≥13又1/3 ．

由于a是车的数量，应为正整数，所以x的最小值为14． 答：至少需要14台B型车．

四、某城市平均每天产生生活垃圾700吨，全部由甲，乙两个垃圾厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时处理垃圾45吨，需费用495元。如果规定该城市处理垃圾的费用每天不超过7370元，甲厂每天至少需要处理垃圾多少小时?

解：设甲场应至少处理垃圾a小时

550a+（700-55a）÷45×495≤7370 550a+（700-55a）×11≤7370 550a+7700-605a≤7370 330≤55a a≥6

甲场应至少处理垃圾6小时

五、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处可住；若每个房间住8人，则空出一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少名女生？

解：设有宿舍a间，则女生人数为5a+5人 根据题意 a>0(1)0<5a+5<35（2）0<5a+5-[8（a-2）]<8(3)由（2）得-5<5a<30-1

0<5a+5-8a+16<8-21<-3a<-13 13/3

六、某手机生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每部2000元出售的一款彩屏手机进行调价，并按新单价的八折优惠出售，结果每部手机仍可获得实际销售价的20%的利润（利润=销售价—成本价）.已知该款手机每部成本价是原销售单价的60%。

（1）求调整后这款彩屏手机的新单价是每部多少元？让利后的实际销售价是每部多少元？

解：手机原来的售价=2000元/部

每部手机的成本=2000×60%=1200元 设每部手机的新单价为a元 a×80%-1200=a×80%×20% 0.8a-1200=0.16a 0.64a=1200 a=1875元

让利后的实际销售价是每部1875×80%=1500元

（2）为使今年按新单价让利销售的利润不低于20万元，今年至少应销售这款彩屏手机多少部？ 20万元=200000元 设至少销售b部

利润=1500×20%=300元 根据题意

300b≥200000 b≥2000/3≈667部

至少生产这种手机667部。

七、我市某村计划建造A,B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号的沼气池的占地面积，使用农户数以及造价如下表： 型号

占地面积（平方米/个）

使用农户数（户/个）

造价（万元/个）A

B

已知可供建造的沼气池占地面积不超过365平方米，该村共有492户.（1）.满足条件的方法有几种？写出解答过程.（2）.通过计算判断哪种建造方案最省钱？ 解:(1)设建造A型沼气池 x 个，则建造B 型沼气池(20－x)个 18x+30(20-x)≥492 18x+600-30x≥492 12x≤108 x≤9

15x+20(20-x)≤365

15x+400-20x≤365 5x≥35 x≤7

解得：7≤ x ≤ 9

∵ x为整数 ∴ x = 7，8，9，∴满足条件的方案有三种．(2)设建造A型沼气池 x 个时，总费用为y万元，则： y = 2x + 3(20－x)= －x+ 60 ∵－1< 0，∴y 随x 增大而减小，当x=9 时，y的值最小，此时y= 51(万元)

∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个 解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：

方案一: 建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，总费用为:7×2 + 13×3 = 53(万元)

方案二: 建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个，总费用为:8×2 + 12×3 = 52(万元)

方案三: 建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个，总费用为:9×2 + 11×3 = 51(万元)∴方案三最省钱.八、把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本?学生有多少个? 解：设学生有a人 根据题意

3a+8-5(a-1)<3(1)3a+8-5(a-1)>0(2)由（1）

3a+8-5a+5<3 2a>10 a>5 由（2）

3a+8-5a+5>0 2a<13 a<6.5 那么a的取值范围为5

九、某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m²的集贸大棚。大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间。每间A种类型的店面的平均面积为28m²月租费为400元；每间B种类型的店面的平均面积为20m²月租费为360元。全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80％，又不能超过大棚总面积的85％。试确定有几种建造A,B两种类型店面的方案。解：设A种类型店面为a间，B种为80-a间 根据题意

28a+20（80-a）≥2400×80%(1)28a+20（80-a）≤2400×85%(2)由（1）

28a+1600-20a≥1920 8a≥320 a≥40 由（2）

28a+1600-20a≤2040 8a≤440 a≤55 40≤a≤55

方案：

A

B

……

一共是55-40+1=16种方案

十、某家具店出售桌子和椅子，单价分别为300元一张和60元一把，该家具店制定了两种优惠方案：（1）买一张桌子赠送两把椅子；（2）按总价的87.5%付款。某单位需购买5张桌子和若干把椅子（不少于10把）。如果已知要购买X把椅子，讨论该单位购买同样多的椅子时，选择哪一种方案更省钱？ 设需要买x（x≥10）把椅子，需要花费的总前数为y 第一种方案：

y=300x5+60×（x-10）=1500+60x-600=900+60x 第二种方案：

y=（300x5+60x）×87.5%=1312.5+52.5x 若两种方案花钱数相等时 900+60x=1312.5+52.5x 7.5x=412.5 x=55 当买55把椅子时，两种方案花钱数相等 大于55把时，选择第二种方案 小于55把时，选择第一种方案

十一、某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：

甲

乙 A

20G 40G B

30G 20G（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；

（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？

解：（1）设生产A型饮料需要x瓶，则B型饮料需要100-x瓶 根据题意

20x+30（100-x）≤2800（1）40x+20（100-x）≤2800（2）由（1）

20x+3000-30x≤2800 10x≥200 x≥20 由（2）

40x+2000-20x≤2800 20x≤800 x≤40

所以x的取值范围为20≤x≤40 因此方案有

生产

A

B

……

一共是40-20+1=21种方案

（2）y=2.6x+2.8×（100-x）=2.6x+280-2.8x=280-0.2x 此时y为一次函数，因为20≤x≤40

那么当x=40时，成本最低，此时成本y=272元

小学中经常遇到的行程问题

行程问题是小学数学中经常遇到的，解决起来往往有些困难，因为还没有学习方程，所以有些题目很不好理解，利用单位1解决问题，这里举一些例子，由浅入深，结合方程的解法，同学们自己比较一下。我们先来了解一下，关于行程问题的公式：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

基本公式：路程＝速度×时间；

路程÷时间＝速度；

路程÷速度＝时间

关键问题：确定行程过程中的位置

相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程

相遇路程÷速度和=相遇时间

相遇路程÷相遇时间= 速度和

相遇问题：（直线）：甲的路程+乙的路程=总路程

相遇问题：（环形）：甲的路程 +乙的路程=环形周长

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

追及时间×速度差＝路程差

追及问题：（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间

追及问题：（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长

流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间

顺水速度=船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

流水速度＋流水速度÷2 水速：流水速度－流水速度÷2

关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

列车过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。我们由浅入深看一些题目：

一、相遇问题

1、一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七分之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七。甲乙两地相距多少千米？ 解：

把全部路程看作单位1 那么客车到达终点行了全程，也就是单位1 当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七 相同的时间，路程比就是速度比

由此我们可以知道客车货车的速度比=1：7/8=8：7 所以客车行的路程是货车的8/7倍 所以当客车行了全程的4/7时

货车行了全程的（4/7）/（8/7）=1/2 那么甲乙两地相距180/（1/2）=360千米

1/2就是180千米的对应分率

分析：此题中运用了单位1，用到了比例问题，我们要熟练掌握比例，对于路程、速度和时间之间的关系，一定要清楚，在速度或时间一定时，路程都和另外一个量成正比例，当路程一定时，速度和时间成反比例，这个是基本常识。

2、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前行，当甲车到达B地时，乙车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:2。求甲乙两车的速度。

解：将全部路程看作单位1 速度比=路程比=3：2，也就是说乙行的路程是甲的2/3 那么甲到达B地时，行了全部路程，乙行了1×2/3=2/3 此时距离终点A还有1-2/3=1/3 那么全程=60/（1/3）=180千米 速度和=180/2=90千米/小时

甲的速度=90×3/（3+2）=54千米/小时 乙的速度=90-54=36千米/小时

3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城，每小时行8千米，当甲车距A城260千米时，乙车距B地320千米。A、B两成之间的路程有多少千米？ 解：这个问题可以看作相遇问题，因为是相向而行 乙车还要行驶320/8=4小时

4个小时甲车行驶全程的10%×4=40%=2/5 那么甲车还要行驶全程的2/5，也就是剩下的260千米 AB距离=260/（2/5）=650千米

4、一客车和一货车同时从甲乙两地相对开出,经过3小时相遇,相遇后仍以原速继续行驶，客车行驶2小时到达乙地，此时货车距离甲地150千米，求甲乙两地距离？

解：解此题的关键是把甲乙看成一个整体，问题就迎刃而解了。甲乙每小时行驶全程的1/3 那么2小时行驶2x1/3=2/3 甲乙相距=150/（1-2/3）=450千米

5、甲乙两车同时分别从两地相对开出，5小时正好行了全程的2/3，甲乙两车的速度比是5：3。余下的路程由乙车单独走完，还要多少小时？ 解：将全部路程看作单位1 那么每小时甲乙行驶全程的（2/3）/5=2/15 乙车的速度=（2/15）×（3/8）=1/20 乙5小时行驶1/20×5=1/4 还剩下1-1/4=3/4没有行驶

那么乙还要（3/4）/（1/20）=15个小时到达终点

分析：此题和上一例题有异曲同工之处，都是把甲乙每小时行的路程看作一个整体，然后根据比例分别求出甲乙的速度（用份数表示），从而解决问题，关键之处就是把甲乙看作一个整体，这和工作问题，甲乙的工作效率和是一个道理。

6、甲，乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶4.5小时到达西站后没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米和乙车相遇。甲车每小时行多少千米？

解：设甲车速度为a小时/千米。则乙的速度为a-12千米/小时 甲车比乙车多行31.5x2=63千米 用的时间=63/12=5.25小时 所以

（a-12）×5.25+31.5=4.5a 0.75a=31.5 a=42千米/小时 或者

a（5.25-4.5）=31.5 a=42千米/小时

算术法：

相遇时甲比乙多行了31.5×2=63（千米）相遇时走了 63/12=5.25小时

走31.5千米的路程用了 5.25-4.5=0.75小时 甲每小时行31.5/0.75=42千米

7、从甲地去乙地，如车速比原来提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，再将车速比原来提高1/3，就比预定时间提前30分钟赶到。甲，乙两地相距多少千米？ 解：20分钟=1/3小时。30分钟=1/2小时 因为路程一定，时间和速度成反比

那么原来的车速和提高1/9后的车速之比为1：（1+1/9）=9：10 那么时间比为10：9 将原来的时间看作单位1，那么提速1/9后的时间为1x9/10=9/10 所以原来需要的时间为（1/3）/（1-9/10）=10/3小时

第二次行驶完72千米后，原来的速度和提高后的速度比为1：（1+1/3）=3：4 那么时间比为4：3 将行驶完72千米后的时间看作单位1，那么这一段用的时间为（1/2）/（1-3/4）=2小时

那么原来行驶72千米用的时间=10/3-2=4/3小时 原来的速度=72/（4/3）=54千米/小时 甲乙两地相距=54×10/3=180千米

8、清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙车因故停在中途C地，甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60千米的速度向A地开去。问：乙车几点才能到达A地？

解：原来的相遇时间=10-4=6小时 乙的速度=60千米/小时

BC距离=60×2.5=150千米（从凌晨4时到6时30分是2.5小时）原来相遇时乙应该走的距离=60×6=360千米 甲比原来夺走360-150-210千米

那么甲行驶6-2.5=3.5小时应该行驶的距离=350-210=140千米 所以甲的速度=140/3.5=40千米/小时 那么AB距离=（40+60）×6=600千米 AC距离=600-150=450千米 实际相遇的时间=450/40=11.25小时=11小时15分钟 那么相遇时的时间是15小时15分

乙到达A地需要的时间=450/60=7.5小时=7小时30分

所以乙到达A地时间为15小时15分+7小时30分=22时45分

9、AB两地相距60千米，甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B地，甲乙两车的速度比是2:5，求乙车的速度。

如果甲不比乙车先行1小时，那么乙车要比甲车早1+30/60=1.5小时到达B地 甲乙的速度比=2：5 那么他们用的时间比为5：2 将甲用的时间看作单位1 那么乙用的时间是甲的2/5 甲比乙多用1-2/5=3/5 所以甲行完全程用的时间为1.5/（3/5）=2.5小时 乙行完全程用的时间=2.5-1.5=1小时 那么乙车的速度=60/1=60千米/小时

10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处相遇。若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小刚和小明两人的家相距多少米？

解：

两次相遇小明走的路程一样，那么两次相遇小明的速度比=70：90=7：9 时间比就是速度比的反比，所以两次相遇的时间比为9：7 将第一次相遇的时间看做单位1 那么第二次相遇小明用的时间为7/9 第一次比第二次多用的时间为1-7/9=2/9 那么第一次用的时间为4/（2/9）=18分钟

所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米

方程：设第一次相遇时间为t分 90×[（52t-52x4）/52]=70a t=18分钟（过程从略）

所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米

11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全程的80%，问货车行完全程用多少小时 ？ 解：将全部路程看作单位1 那么相距196千米时，客车行驶了全程的1×2/3=2/3，距离目的地还有1-2/3=1/3 货车行驶了全程的1×80%=4/5 那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420千米 客车和货车的速度比=2/3：4/5=5：6 客车和货车的速度和=420/5=84千米/小时 货车的速度=84×6/11=504/11千米/小时

那么货车行完全程需要420/（504/11）=55/6小时=9小时10分钟 客货两车分别从甲乙两地相对开出，相遇后两车继续到达对方终点后，两车立即返回，又在途中相遇，两次相遇的地点相距3000米。已知货车的速度是客车速度三分之二，求甲乙两地距离是多少米？（要算式和解题过程）

解：将全部的路程看作单位1 货车和客车的速度比=2：3 第一次相遇货车行了全程的2/5，客车行了全程的3/5 因为是2次相遇，所以两车走的路程一共是3倍甲乙两地距离，也就是1x3=3 货车行了整个过程的3x2/5=6/5 因此第二次相遇是在距离甲地6/5-1=1/5处 第一次相遇是在距离甲地3/5处 那么两处相距3/5-1/5=2/5 甲乙两地距离3000/（2/5）=7500米

12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，这时甲车与乙车所行的路程之比是2：3.求甲乙两车的速度各是多少？

设甲的速度为2a千米/小时，乙的速度为3a千米/小时 总路程=（2a+3a）×3=15a千米 甲行的路程=15a×2/5=6a 15a/2-6a=18 15a-12a=36 3a=36 a=12 甲的速度=12x2=24千米/小时 乙的速度=12x3=36千米/小时 或者

将全部路程看作单位1 那么相遇时甲行了2/5 乙行了1-2/5=3/5 全程=（1/2-2/5）=1/10 全程=18/（1/10）=180千米

甲乙的速度和=180/3=60千米/小时 甲的速度=60x2/5=24千米/小时

乙的速度=60-24=36千米/小时

13、甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，甲与乙的速度比是4：5。两车第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，两车分别到达BA两地后立即返回。这样，第二次相遇点距第一次相遇点48KM，AB两地相距多少千米？ 解： 将全部的路程看作单位1 因为时间一样，路程比就是速度比

所以相遇时，甲行了全程的1x4/（5+4）=4/9 乙行了1-4/9=5/9 此时甲乙提速，速度比由4：5变为4（1+1/4）：5（1+1/3）=5：10/3=3:4 甲乙再次相遇路程和是两倍的AB距离，也就是2 此时第二次相遇，乙行了全程的2x4/（3+4）=8/7 第二次相遇点的距离占全部路程的8/7-4/9=44/63 距离第一次相遇点44/63-4/9=16/63

AB距离=48/（16/63）=189千米

14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同时出发。甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。问AB两地距离、解：乙丙的速度差=60-50=10米/分

那么甲乙相遇时，距离丙的距离=（70+50）×15=1800米 那么甲乙相遇时用的时间=1800/10=180分钟 那么AB距离=（70+60）×180=23400米

15、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有500米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。解：下山速度是上山的2倍，那就假设一下，把下山路也看做上山路，长度为上山路的1/2 速度都是上山的速度。

那么，原来上山的路程，占总路程的2/3，下山路程占总路程的1/3

甲返回山脚，乙一共行了全程的： 2/3+1/3×1/2=5/6 乙的速度是甲的5/6

甲到达山顶，即行了全程的2/3，乙应该行了全程的：2/3×5/6=5/9 实际上乙行了全程的2/3减去500米 所以全程为：500÷（2/3-5/9）=4500米 从山脚到山顶的距离为：4500×2/3=3000米

16、汽车从A地到B地，如果速度比预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多1/8，如果速度比预定的增加1/3，到达时间将比预定的早1小时。求A,B两地间的路程？

解：将原来的时间看到单位1 那么每小时慢5千米，用的时间是1×（1+1/8）=9/8 那么实际用的时间和原来的时间之比为9/8：1=9：8 那么原来速度和实际速度之比为8：9 那么实际速度是原来速度的8/9 那么原来的速度=5/（1-8/9）=45千米/小时 第二次速度增加1/3，实际速度与原来的速度之比为为（1+1/3）：1=4：3 实际用的时间和原来的时间之比为3：4 那么实际用的时间是原来的3/4 原来所用的时间为1/（1-3/4）=4小时 AB距离=45×4=180千米

简析：此题反复利用路程一定，时间和速度成反比，这一点在学习中要注意。

17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？ 解：我们拿从东站出来的车考虑

在整个相遇过程中，两车一共走了3个全程 第一次相遇时，从东站出来的车走了45千米 那么整个过程走了45×3=135千米

此时这辆车走了1.5倍的全程还多9千米 所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84千米

将全部路程看作单位1，第二次相遇时这辆车走了1又1/2还多9千米

18、一只小船顺流航行56千米，逆流航行20千米用12小时；第二次顺流航行40千米，逆流航行28千米也用时12小时，求水流速度？ 解：

顺水速度=船速+水流速度 逆水速度=船速-水流速度

水流速度=（顺水速度-逆水速度）/2 船速=（顺水速度+逆水速度）/2

设顺流速度为a千米/小时，逆水速度=b千米/小时 56/a+20/b=40/a+28/b 16/a=8/b a：b=2：1 a=2b 那么

根据题意

56/2b+20/b=12 56+40=24b 24b=96 b=4千米/小时

a=4×2=8千米/小时

水流速度=（8-4）/2=2千米/小时

算术法： 根据题意

第一次：顺流行驶56千米，逆水20千米 第二次：顺流行驶40千米，逆水28千米

那么顺流行驶16千米和逆水8千米用的时间一样，及顺水速度和逆水速度之比为16：8=2：1 第一次逆水20千米用的时间相当于顺水行驶20×2=40千米的时间 那么顺水速度=（56+40）/12=8千米/小时 逆水速度=8/2=4千米/小时

水流速度=（8-4）/2=2千米/小时

二、追及问题

1、已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时，两船同时到达目的地A，问两地距离？ 解：距离差=20×1=20千米 速度差24-20=4千米/小时 甲追上乙需要20÷4=5小时 两地距离=24×5=120千米

2、某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1米，队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用10秒,求队伍的长度是多少米?、解：速度差=2.5-1=1.5米/秒 速度和=1+2.5=3.5米/秒 设队伍长度为a米 a/1.5+a/3.5=10 5a=3.5x1.5x10 a=10.5米

或者这样做

第一次追及问题，第二次相遇问题 速度比=1.5：3.5=3：7 我们知道，路程一样，速度比=时间的反比 因此整个过程，追及用的时间=10x7/10=7秒

那么队伍长度=1.5x7=10.5米

3、在一个圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过8分钟两人再次相遇,甲、乙环形一周各需多少分钟？ 解：解：

将全部路程看作单位1 第一次相遇后，再一次相遇，行驶的路程是1 那么相遇时间=4+8=12分钟 甲乙的速度和=1/12 也就是每分钟甲乙行驶全程的1/12 6分钟行驶全程的1/12×6=1/2 也就是说AB的距离是1/2 那么6+4=10分钟甲到达B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20 甲环形一周需要1/（1/20）=20分钟 乙的速度=1/12-1/20=1/30 乙行驶全程需要1/（1/30）=30分钟

4、甲乙两人环湖同向竞走,环湖一周是400米,乙每分钟走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，问甲什么时候追上乙？ 解：设甲用a分钟追上乙（80×5/4-80）×a=400（100-80）×a=400 a=400/20 a=20分 算术法

速度差=80×（5/4-1）=20米/分 追及时间=400/20=20分 甲用20分钟追上乙

5、猎犬发现距它8米远的地方有只奔跑的野兔，立刻追。猎犬跑6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的时间猎犬只能奔跑3步。猎犬至少要跑多少米才能追上野兔？

解：将猎犬跑一步的距离看作单位1（或者设一步的距离为a米）那么野兔跑一步的距离为6/11 根据题意

兔子跑4步的距离=4×6/11=24/11 猎犬跑3步的距离=1×3=3 那么猎犬和野兔的速度比=3：24/11=33：24=11：8 兔子在相同时间内跑的距离是猎犬的8/11 所以猎犬追上野兔要多跑的距离=8/（1-8/11）=88/3米

6、一只野兔跑出85步猎犬才开始追它，兔子跑8步的路程猎犬只需跑3步，猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。问猎犬至少要跑多少步才能追上兔子？ 解：将猎犬一步的距离看作单位1（或者设猎犬一步距离为a）那么兔子一步的距离=3/8（3/8a）

二者的速度速度比=1×4：3/8×9=4：27/8=32：27 兔子在相同时间内跑的距离是猎犬的27/32 那么猎犬需要跑(85×3/8)/（1-27/32）= 204步

7、AC两站相距10千米,AB两站相距2千米,甲车从A站,乙车从B站同时向C站开去,当甲车到达C站时，乙车距C站还有0.5千米，甲车是在离C站多远的地方追上乙的？

解：将全部路程看作单位1 那么甲到达C站时，行驶10千米 乙行驶10-2-0.5=7.5千米

那么甲乙两车的速度比=10：7.5=4：3 在相同时间内，乙行驶的距离是甲的3/4 那么甲车行驶2/（1-3/4）=2/（1/4)=8千米

那么甲是在离C站10-8=2千米的地方追上乙的。

三、特殊的追及问题

我们在日常做题的过程中，经常会遇到求几点几分时针和分针所称的角度，还有时针和分针所成多少度角时，是几点几分。解此类题，似乎与追及问题格格不入，但是我们恰恰可以看作是追及问题的一个变形。首先我们对钟面熟悉以后，知道钟面被分作60个小格，每个小格所对的圆心角的度数=360/60=6度，分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格，由此我们在解题之前就知道了这些隐含条件，就可以把钟面看作是环形跑道，时针速度慢，分针速度快，在解题之前，大致画一个图形，就知道大概角度，然后判断路程差为多少，因为速度差我们已经知道了，是1-1/12=11/12格，将来我们学会了相对运动，就可以把时针看作参照物，分针的速度变为11/12格/分，问题变得更加简单。看下面的例题： 1、7点与8点之间,时针与分针成30度角的时刻? 钟面一共60格，一定要对钟面熟悉 每一格对应的度数360/60=5度

分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格 此时我们就把分针和时针的运动看作追及问题

分针的速度快，是1格/分，时针的速度慢是1/12格/分 速度差=1-1/12=11/12格/分

此时如果看作相对运动，时针静止，那么分针的速度就是11/12格/分

此题中，7点时，分针和时针相差35格，题目要求成30度角及相差30/6=5格时钟表的时间，那就是分针以11/12格/分的速度追赶时针，相差5格，也就是路程上追上了30格，求的就是分针以11/12格/分走30格的时间，第二次成30度就是分针超过时针5格即分针以11/12格/分的速度走的35+5=40格的时间 算术式如下：

第一次成30度时，时针和分针的路程差=60×30/360=5格 7点时时针和分针的距离是35格

第一次（35-5）/（1-1/12）=30x12/11=360/11分≈32分44秒 第二次（35+5）/（1-1/12）=40x12/11=480/11分≈43分38秒

方程：举一例

设a分钟分针和时针第一次成30度 分针a分走a格，时针a分走a/12格 开始时的路程差=35格 那么

a/12+35=a+5 a=360/11分≈32分44秒 第二次成30度的时候 分针走a格

时针走a/12格，加上开始的路程差=35格 那么此时时针的位置是a/12+35格 分针此时超过时针5格 那么

a-5=a/12+35 a=480/11分≈43分38秒

也就是在7点32分44秒和7点43分38秒的时候分针和时针成30度

2、张华出去办事两个多小时，出门时他看了看钟，到家时又看了看钟，发现时针和分针互相换了位置，他离家多长时间？

此问题关键在于求具体多少分钟，因为肯定是超过2个小时

我们把表盘看作一个环形路，那么每一格就是距离单位，一圈是60格 分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格 钟表按照顺时针转动，此题出门时时针在分针之后 时针和分针的路程差不变 整个过程分针走的路程是2x60+60-路程差，时针走的路程是路程差 所以时针和分针走过的路程和=3x60=180格 二者的速度和=1+1/12=13/12格/分

那么经过的时间=180/（13/12）=2160/13分=36/13小时≈2小时46分 离家时间为2小时46分

或者列方程

我们设时针和分针之间距离为a格（120+60-a）/1=a/（1/12）13a=180 a=180/13格

那么离家时间=（180/13）/（1/12）=2160/13分=36/13小时≈2小时46分

小学比较典型的工程问题

工程问题是我们在小学学习过程中必不可少的，这里通过实践总结出了一些工程实际问题和变形的工程问题，解此类问题的关键在于设好单位1，其次要把握住最基本的运算公式工程总量=工作效率×工作时间，万变不离其宗。

1、王师傅加工一批零件，计划在六月份每天都能超额完成当天任务的15%，后来因机器维修，最后的5天每天只完成当天任务的八成，就这样，六月份共超额加工660个零件，王师傅原来的任务是每天加工多少个零件？ 解：首先我们知道6月有30天 将额定每天完成的任务看作单位1 每天超额15%，一共工作30-5=25（天）

每天超额完成15%，25天共超额 25×15%＝375% 每天完成八成，5天少完成 5×(1-80%)=100% 这个月共超额完成 375%-100%=275% 660÷275%=240(个）

2、一堆饲料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃几天

解：将这堆饲料的总量看作单位1 那么

3牛和5羊可以吃15天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/15 5牛和6羊可以吃10天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/10 我们此时把3牛5羊看作一个整体，5牛6羊看作1个整体，每天吃饲料的 1/15+1/10=1/6 那么这堆饲料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天

分析：此题看作是和工程问题无关，可是当我们把3牛和5羊看作1个整体，5牛和6羊看作1个整体以后，就相当于把题目变为甲乙完成1项工程，甲单独做需要15天，乙单独做需要10天，甲乙合作需要多少天？是不是这个意思。如果我们把此题认为8牛和11羊吃25天吃的是2倍的饲料，然后除以2，得出12.5天，就不对了，这一点要在学习中注意。

3、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比独做时提高了十分之一，乙的工作效率比独做时提高了五分之一，甲、乙两人合作4小时，完成全部工作的五分之二。第二天乙又独做了4小时，还剩下这件工作的三十分之十三没完成。这项工作甲独做需要几个小时才能完成？

解：乙独做4小时完成全部工程的1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6 乙的工作效率=（1/6）/4==1/24 乙独做需要1/（1/24）=24小时

乙工作效率提高1/5后为（1/24）x（1+1/5）=1/20 甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10 那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20 甲原来的工作效率=（1/20）/（1+1/10）=1/22 甲单独做需要1/（1/22）=22小时

4、一项工程A、B两人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接着做7天，可以完成，B单独完成这项工程需要多少天？ AB合作，每天可以完成1/6 A先做3天，B再做7天，可以看做AB合作3天，B再单独做7-3=4天 AB合作3天，可以完成：1/6×3=1/2 B单独做4天，完成了1-1/2=1/2 B单独做，每天完成：1/2÷4=1/8 B单独完成，需要：1÷1/8=8天

5、某工程，由甲乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙两队承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙两队承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？

甲乙工效和：1/(2又5分之2)=5/12 乙丙工效和：1/(3又4分之3）=4/15 甲丙工效和：1/(2又7分之6）=7/20 甲乙丙工效和：(5/12+4/15+7/20)/2=31/60 甲工效：31/60-4/15=1/4 乙工效：31/60-7/20=1/6 丙工效：31/60-5/12=1/10 能在一星期内完成的为甲和乙

甲乙每天工程款：1800/（2又5分之2）=750元 乙丙每天工程款：1500/（3又4分之3）=400元 甲丙每天工程款：1600/（2又7分之6）=560元 甲乙丙每天工程款：（750+400+560）/2=855元 甲每天工程款：855-400=455元 乙每天工程款：855-560=295元 甲总费用：455×4=1820元 乙总费用：295×6=1770元 所以应将工程承包给乙。

6、甲、乙二人同时开始加工一批零件，加单独做要20小时，乙单独做30小时。现在两人合作，工作了15小时后完成任务。已知甲休息了4小时，则乙休息了几小时？

总的工作量为单位1 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=1/30 甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12 甲休息4小时，那么甲工作15-4=11小时，甲完成1/20×11=11/20 乙完成1-11/20=9/20 完成这些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2小时

那么乙休息15-27/2=3/2小时=1.5小时

7、一间教室如果让甲打扫需要10分钟，乙打扫需要12分钟。丙打扫需要15分钟。有同样的两间教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同时开始打扫，丙先帮助甲打扫，中途又去帮助乙打扫教室，最后两个教室同时打扫完，丙帮助甲打扫了多长时间？（中途丙去乙教室的时间不计）将工作量看作单位1 甲的工作效率=1/10 乙的工作效率=1/12 丙的工作效率=1/15 甲乙丙合干完成1间教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分钟 设丙帮甲a分钟

a分钟甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6 那么剩下的1-a/6需要甲独自完成 乙a分钟完成a/12 那么剩下的1-a/12需要乙丙完成

需要的时间=（1-a/12）/（1/12+1/15）=（1-a/12）/（3/20）根据题意

（a/6）/（1/10）=（1-a/12）/（3/20）10a/6=20/3-5/9a 30a=120-10a 40a=120 a=3分钟

丙帮乙3分钟

算术法解

两间教室都是一样的工作量，那么实际就是甲乙丙三人共同完成，上面已经解出完成1间需要4分钟，那么完成2间需要4×2=8分钟，甲8分钟完成1/10×8=4/5，那么丙需要完成1-4/5=1/5 所以丙帮甲（1/5）/（1/15）=3分钟 那么丙帮乙8-3=5分钟

8、装配自行车3个工人2小时装配车架10个，4个工人3小时装配车轮21个。现有工人244人，为使车架和车轮装配成整车出厂怎安排244名工人最合适？ 解：

装配车架的工作效率=10/（3×2）=5/3个/人×小时 装配车轮的工作效率=21/（4×3）=7/4个/人×小时 设a个工人装配车架，则有244-a人装配车轮 a×5/3：（244-a）×7/4=1：2 427-7/4a=10a/3 40a/12+21/12a=427 61a/12=427 a=84人

装配车架84人

装配车轮244-84=160人

简析：我们要知道在实际生活中，一辆自行车需要一个车架和二个车轮，那么车架和车轮比为1：2，可以称为隐含条件，大家要注意。

9、光明村计划修一条公路，有甲、乙两个工程队共同承包，甲工程队先修完公路的1/2后，乙工程队再接着修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程队每天比甲工程队多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程队共修路多少天？

解：因为乙的工作效率高于甲，所以前20天里乙没有修 实际乙工作了120/8=15天

此题问题不难，但是关键在于处理前20天内是否有乙工作，如果乙在前20天工作，那么工期肯定少于40天，所以借助画图会更好的理解。

10、张师傅计划加工一批零件，如果每小时比计划少加工2个，那么所用的时间是原来的3分之4；如果每小时比计划多加工10个，那么所用的时间比原来少1小时，这批零件共有多少个？

解：张师傅比计划少加工2个，那么所用的时间是原来的3分之4，也就是原计划用的时间和实际用的时间之比为1：4/3=3：4 那么原来的工作效率和实际的工作效率之比为4：3 实际工作效率是原来的3/4 那么原计划每小时加工2/（1-3/4）=8个

如果每小时多加工10个，那么实际每小时加工8+10=18个 原计划的工作效率和实际工作效率之比=8：18=4：9 那么原计划与实际所用时间之比为9：4 实际用的时间是原来的4/9 那么原计划用的时间=1/（1-4/9）=9/5=1.8小时 那么这批零件有8×1.8=14.4个

11、一项工程，乙先独做4天，继而甲、丙合作6天，剩下工程甲又独做9天才全部完成。已知乙完成的是甲的三分之一，丙完成的是乙的2倍。如果甲乙丙单独做，各需多少天？

甲工作了6+9=15天，乙工作了4天。丙工作了6天

乙完成的是甲的1/3，也就是相当于甲工作了15×1/3=5天 丙完成的是乙的2倍，相当于甲工作了5×2=10天 所以甲完成全部工作需要15+5+10=30天 甲15天完成全部的1/30×15=1/2 那么乙4天完成全部的1/2×1/3=1/6 乙完成全部需要4/（1/6）=24天 丙6天完成全部的1/6×2=1/3 丙完成全部需要6/（1/3）=18天

12、甲、乙两人每小时打印文件的页数比是3:4，两人同时和打一份文件，和打一段时间后，乙因故停打，余下的文件甲单独打完。这时甲、乙各自打印的文件页数之比是11:10。甲单独打印的页数和两人合作时共打印的页数比是多少？ 解：将全部文件的页数看作单位1 那么结束后，甲乙打印的页数分别为 甲打印了1×11/（11+10）=11/21 乙打印了1-11/21=10/21 因为甲乙每小时打印的页数比为3：4 也就是说每小时甲打印的页数是乙打印的3/4 那么乙打印了10/21这段时间内，甲打印了10/21×3/4=5/14 甲单独打印的页数=11/21-5/14=22/42-15/42=1/6 甲乙合作打印的页数=1-1/6=5/6 那么甲单独打印的页数和甲乙合作共打印的页数之比为1/6：5/6=1：5

13、一项工程,甲、乙两队合作,需12天完成;乙、丙两队合作,需15天合作.现在甲、乙、丙合作4天后,余下的工程再由乙独做16天完成.问乙单独完成这项工程需要多少天? 解：将全部工程看作单位1 根据题意

整个工程甲乙合作4天，乙丙合作4天，乙独做16-4=12天 要把整个过程拆开

所以乙独做的部分是1-1/12×4-1/15×4=1-1/3-4/15=2/3-4/15=6/15=2/5 乙单独完成需要12/（2/5）=30天

14、例如：一项工程，乙队先独做6天，然后甲、丙两队合作8天，剩下的工程由甲队又单独做了12天才完成。已知乙队完成的是甲队的1/3，丙队完成的是乙队完成的2倍，如果甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？ 解：此处我们把甲完成的工程量看作单位1 那么乙完成1×1/3=1/3 丙完成1/3×2=2/3 全部工程的数量为1+1/3+2/3=2 甲一共做了8+12=20天 乙一共做了6天 丙一共做了8天 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=（1/3）/6=1/18 丙的工作效率=（2/3）/8=1/12 甲单独做需要2/（1/20）=40天 乙单独做需要2/（1/18）=36天 丙单独做需要2/（1/12）=24天 附：解答应用题的一点心得：

1、读懂题意，把不相关的语言精简掉，现在应用题考得不是数学，而是语文的阅读能力，还要有转化问题的能力。

2、巧设未知数。一道应用题中可以把几个量都设为未知数，但是哪一个更为简便，要仔细斟酌。例如：甲乙二人速度之比为3：2，在求甲乙的速度时，我们可以设甲的速度为a千米/小时，乙为b千米/小时，这就是二元一次方程组；或者设甲的速度为a千米/小时，则乙为2/3a千米/小时，这样虽然是一元一次方程，但是有分数；或者设甲的速度为3a千米/小时，乙的速度为2a千米/小时 可见最后的设法最好。根据不同的题目设出未知数。

3、根据等量关系列出方程

4、解方程。此时我们可能会遇到二个未知数，而只能列出一个方程，我们就要看看是不是还有隐含条件，比如人数、物体的个数，都要是正整数，这就是隐含条件，尤其在不等式方程中要用到。还有就是分式方程要验根

5、写清单位和答话。这一步往往被忽视，其实这一步恰恰反映出你是否读懂了题目，是否知道题目要求的是什么，在考试中是要站分数的。

6、勤加练习，熟能生巧。触类旁通，举一反三。

这是我个人对接应用题的一点心得，希望对你有所帮助。一点心得

此问题多见于平日练习之中，比较有代表性，总结给大家，希望有所帮助，时间紧迫，难免有纰漏之处，还望批评指正。

第三篇：小学六年级数学行程应用题

小学六年级数学应用题：行程问题

1.两列火车从相距640千米的两地同时相对开出，5小时相遇，客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米?

甲乙两地相距560千米，一辆客车和一列货车同时从两地相对开出，5.6小时相遇，客车每小时行55千米，货车每小时行多少千米？

2.两辆摩托车同时从相距329千米的两地相对开出，经过3 小时相遇，其中一辆摩托车的速度是每小时44千米，另一辆摩托车的速度是多少？

3.大小两辆汽车，同时从两地相对开出，4小时后大车比小车少行84千米，小车行到了这条路的中点。又知大车行完全程用12小时，求这条公路全长多少千米?

4.甲乙两车同时从相距405千米的两城相对开出，如果甲车每小时行45千米，甲的速度是乙的1 倍，问多少小时两车相遇？

甲乙两地相距484千米，一辆汽车从甲地开往乙地，1.5小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，4小时与迎面开来的汽车相遇。已知汽车每小时行40千米，摩托车每小时行多少千米？

7.甲乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，乙队从西往东挖，甲队每天挖75米，比乙队每天多挖2.5米。两队合作8天后还差52米，这条水渠全长多少吗？

8.一辆汽车从甲地开往乙地，速度是每小时50千米，从乙地返回甲地时，由于速度提高了，结果只用了2小时就到达了甲地，甲乙两地相距多少千米？

9.快车从甲地到乙地需要10小时，慢车从乙地到甲地需要1513.一列货车以每小时50千米的速度由甲站开往乙站，2小时后，小时。两车同时从两地相对开出，相遇时慢车距甲城还有288千米，甲乙两城间相距多少千米？

10.甲乙两人分别从东西两村同时出发，相对而行，甲在途中停3分钟，经过15分钟相遇。已知甲行全程需30分钟，乙每分钟走80米。求东西两村相距多少米？

11.客车和货车同时从两地出发，相向而行，客车行完全程需14小时，货车行完全程需21小时，相遇时客车比货车多行了126千米。两地间的距离有多少千米？

12.从甲地到乙地客车需12小时，货车需15 小时，两车同时从甲乙两地相对开出，相遇时，客车比货车多行98千米，甲乙两地相距多少千米？

一列客车以每小时55千米的速度由乙站驶向甲站，客车行了4小时与货车相遇，甲乙两站的距离是多少千米？

14.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，8小时到达，从乙地返回甲地，每小时比去时少行8千米，返回时需要多少小时？

15.甲乙两地相距1134千米，客车与货车同时从两站相向开出，10小时30分钟后相遇。货车速度是客车速度，客车每小时行多少千米？

16.甲从东村去西村需要10分钟，乙从西村去东村需要15分钟，两个人同时动身，在离两村的中点150米处相遇，两村相距多少米?

第四篇：小学数学行程问题应用题范文

例题1 甲乙两地相距800千米，一辆客车以每小时40千米的速度从甲地开出3小时后，一辆摩托车以每小时60千米的速度从乙地开出，开出后几小时与客车相遇？

1、甲、乙两地相距1160千米，小明以每分钟30米的速度从甲地从发6分钟后，小华以每分钟40米的速度从乙地出发，几分钟后与小明相遇？

2、甲、乙两地相距1080千米，一辆货车以每小时60千米的速度从甲地从发4小时后，一辆摩托车以每小时80千米的速度从乙地出发，开出后几小时与货车相遇？

3、客车以每小时70千米的速度从甲地开出3小时后，一辆货车以每小时60千米的速度从乙地开出5小时后与客车相遇，甲、乙两地相距多少千米？

4、小红一人去14千米远的叔叔家，她每小时行6千米。从家出发1小时后，叔叔闻讯立即以每小时10千米的速度前来接她，几小时后可以接到小红？

例题2 六（1）班同学徒步去狼山看日出。去时每小时行8千米，按原路返回时每小时行6千米。他们往返的平均速度是多少？

1、一艘船从A地开往B地。去时每小时行20千米，按原路返回时每小时行25千米。这艘船往返的平均速度是多少？

2、一辆客车从甲地开往乙地。去时每小时行40千米，按原路返回时每小时行35千米。这辆客车往返的平均速度是多少？

3、一艘轮船，静水速度是每小时18千米，现在从下游开往上游，水流速度是每小时2千米，请问他往返一次的平均速度是多少？

4、一列火车从甲站开往乙站。去时每小时行120千米，按原路返回每小时行150千米。这列火车往返的平均速度是多少？

例题3 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，几小时后在距中点40千米出相遇。已知甲车行完全程要8小时，乙车行完要10小时，求A、B两地相距多少？

1、甲、乙两车同时从A、B两地出发，相对而行，在距离中点6千米处相遇。已知甲车速度是乙车速度的5/6，求两地相距多少千米？

2、快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出，几小时后在距离中点55千米处相遇。已知快车行完全程要5小时，慢车行完全程要6小时，求甲、乙两地相距多少千米？

3、快、慢两车同时从相距1110千米的甲、乙两地相对开出，已知快车行完全程要7小时，慢车行完全程要8小时，两车相遇时距离中点多少千米？

4、小明、小华两人同时从A、B两地相对而行，几小时后在距离中点75米处相遇。已知小明行完全程要20分钟，小华行完全程要25分钟，A、B两地相距多少米？

例题4 一对老年夫妇沿着周长为200米的圆形花坛散步，他们从同一地点出发，相背而行，老太太每分钟走45米，老先生每分钟走55米，多长时间后，他们第三次相遇？

1、一条环形跑道，甲走完一圈要4分钟，乙走完一圈要5分钟，甲乙从同一地点出发相背而行，多少时间两人再次相遇？

2、兄弟俩骑车沿着18千米的环城公路相背而行，哥哥每分钟骑250米，弟弟每分钟骑200米，当他们再次相遇时，兄弟俩各骑了多少米？

3、母子俩沿着圆形花坛散步，他们从同一地点出发，相背而行，母亲每分钟走70米，儿子每分钟走60米，10分钟偶，他们第三次相遇，求花坛周长是多少米？

4、甲乙两人在一环形跑道上赛跑，甲跑完一圈要5分钟，乙跑完一圈要6分钟，经过多少时间，他们再次相遇？

例题5 甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米，现甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发。丙和乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少米？

1、有甲乙丙三人，甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行75米，甲乙从A地去B地，丙从B地去A地，从人同时出发。丙遇到甲8分钟后，再遇到乙。AB两地相距多少千米？

2、甲在100米赛跑中领先冲过终点时，比乙领先10米，比丙领先20米，如果乙、丙保持原速度不变，那么当乙草虫冲过终点时，丙离终点还有多少米？

3、林林、兵兵和聪聪赛跑。林林第一个到达终点，此时聪聪还有20米到终点，兵兵还有30米到终点。之后兵兵和聪聪的速度都不变，当聪聪到达终点时，兵兵离终点还有12米。那么他们比赛的全程是多少米？

4、甲乙两人从A地往B地，丙从B地往A地，三人同时出发，丙首先在途中与乙相遇，之后20分钟又与甲相遇，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，丙每分钟走70米，AB两地相距多少米？

例题6 甲乙两车同时从A地去B地，甲车行了全程的一版时，乙车离B地还有54千米，当甲车到达B地时，乙车行了全程的80%。AB两地的路程是多少千米？

1、甲乙两人同时去A地去B地，甲行了全程的一半时，乙离B地还有78米，当甲到达B地时，乙行了全程的70%。AB两地的路程是多少米？

2、快慢两车同时从甲地开往乙地，快车行了全程的2/3时，慢车离乙地还有50千米，当快车到达乙地时，慢车行了全程的2/3。甲乙两地的路程是多少千米？

3、甲车、乙车同时从A地开往B地。甲车行了全程的1/4时，乙车行了96千米，当甲车到达B地时，乙车行了全程的2/3。AB两地的路程是多少千米？

4、两辆汽车同时从A地开往B地，甲骑车每小时行80千米，乙骑车每小时行120千米。当乙骑车比甲骑车多走200千米时，甲骑车正好行了全程的40%，A地到B地的路程是多少千米？

例题7 甲乙两人分别从AB两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3:2。他们第一次相遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么AB两地间的距离是多少千米？

1、甲乙同时从AB两地相向而行，到达对方出发地后，立即返回。在离A地60千米处第二次相遇，甲乙速度比为2：3，AB两地全长为多少？

2、甲乙两人步行的速度比是11：9，他们分别由AB两地同时出发相向而行，2分钟后相遇。如果他们同向而行，那么，甲追上乙需要几分钟？

3、甲乙两车分别从AB两地出发，相向而行。出发时，甲乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么AB两地相距多少千米？

4、小明从A地去B地，以每分钟60米的速度前进了12分钟，后改为以每分钟100米的速度行驶，这样从出发时算起经过半小时到达B地。AB两地的距离是多少米？

达标测试

1、甲每小时行9千米，乙每小时行11千米。两人同时同地相背而行。6小时后两人相距多少千米？

2、甲乙两列火车同时从AB两站对开，甲车每小时行330千米，乙每小时行220千米。两车相遇后，乙车继续行驶，3小时才到达A站，AB两站相距多少千米？

3、甲乙二人绕一环形跑道顺时针跑步，圆形跑到的长是600米，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米，现在甲在乙后面40米，甲第二次追上乙需要多少分钟？

4、甲乙两人同时从同一出发点出发，绕周长为990米的圆形场地跑步，甲每分钟跑90米，乙每分钟跑110米，这两人最少用多少分钟在原来的出发点相遇？

5、一辆骑车以每小时40千米的速度从东站开往西站，1.5小时后，剩下的路程比全程的一半少6千米。照这样的速度，这辆骑车从东站到西站共需要多少时间？

6、甲乙两列火车同时从AB两个城市出发相向而行，6小时相遇，相遇后乙车继续开往A城。已知两列火车速度比为2：3，乙车还要几小时才能达到A城？

7、行完甲乙两地的路程，乘汽车需1.4小时，骑车要4小时，王叔叔从甲地出发，骑车1.5小时后改乘骑车，又用几小时到达乙地？

8、甲乙两人同时从AB两地出发相向而行，甲每分钟行120米，比乙每分钟快40米，行了50分钟，两人相遇后又相距30米，求AB两地相距多少米？

9、货车从A城到B城。去时每小时行50千米，4小时到达；沿原路返回时比去时多用了1小时，返回时每小时比去时慢了多少千米？

10、甲乙两人同时骑车由相距60千米的A地到B地，甲每小时比乙慢4千米，乙先到B地后立即返回，在距B地12千米处与甲相遇，甲的速度是多少？

11、甲乙分别从AB两地同时出发，甲乙两人步行的速度比是7：5。如果相向而行，0.5小时后相遇，如果按从A到B的方向同向而行，那么，甲追上乙需要多少时间？

12、客车、货车从相距350千米的两地同时相向而行；客车每小时行40千米，货车每小时行30千米，客车距货车出发点多远的地方与货车相遇？

13、甲乙两辆汽车同时从AB两地相向而行，经过12小时两车相遇，相遇后甲车继续行驶15小时到达B地，相遇后，乙车经过多少小时到达A地？

14、甲乙两架飞机分别从两个机场同时起飞相对飞行，甲飞机每小时飞行650千米，比乙飞机每小时慢70千米，经过10小时两机相遇，求两个机场相距多少千米？

15、解放军某部进行军事演习。“敌军”每小时行12千米，出发5小时后，“我军”奉命追击，每小时行20千米。几小时后可以围歼“敌军”？

16、甲乙两车同时同地出发去货场运货，甲车每小时行64千米，乙车每小时行48千米，途中甲车因出故障，停车修理3小时，结果乙车比甲车早1小时到达货场，出发地离货场的路程是多少千米？

17、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向而行，4小时后相遇。如果客车行了3小时，货车行2小时，两车还会相距全程的11/30，客车行完全程需多少小时？

18、甲乙两辆汽车同时从南站开往北站，甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶4各半小时达到北站后，没有停留，立即从原路返回，在距离北站30千米的地方和乙车相遇。求两站之间的距离。

19、甲乙两车从A地开往B地，甲车要8小时到达，乙车要12小时到达。现在两车分别从AB两地相向而行，甲车先行3小时，然后乙车才出发，还要多少小时两车才能相遇？相遇时甲车行驶了多少小时？

20、小明、小华两人同时从AB两地相对而行，几小时后在距离中心75米处相遇。已知小时行完全程要20分钟，小华行完全程要25分钟，AB两地相距多少米？

21、小黄和小林同时从学校去电影院，小华每分钟比小林多走20米，30分钟后，小华刚到电影院立即返回，在距离电影院350米处遇到小林，小黄每分钟走多少米？

22、甲乙两地之间的距离是360千米，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行40千米，第二辆汽车每小时行50千米，第二辆汽车到达乙地立即返回，两辆车从开出到相遇共用了多少小时？

23、小红和小玲绕一环形跑道骑自行车，她们从同一地点背向绕水池行进。小红每分钟行200米，小玲每分钟行160米。已知环形跑道一周的长为1080米。他们第8次相遇时小红走了多少米？

24、甲乙两地相距540千米，一辆客车从甲地去乙地，开始以每小时120千米的速度前进，后改为以每小时90千米的速度行驶，这样从出发时算起经过5小时到达乙地。客车离甲地多少千米的地方才改变速度？

25、AB两地相距135千米，刘叔叔骑自行车行完全程要13.5小时。他从A地出发，骑摩托车行了1.5小时后，由于摩托车发生了故障，他改骑自行车，又用了9小时到达B地。刘叔叔骑摩托车每小时行多少千米？

26、甲车每小时行67千米，乙车每小时行55千米。两车同时同地向某地行进，但甲车行30千米后因有物忘带，再回原地，结果甲乙两车同时到达某地。为原地到某地有多少千米？

27、客车、货车两车从相距840千米的两城同时出发相向而行，课程每小时行72千米。货车每小时68千米。相遇时谁行的路程多？多多少千米？

28、小明和小军分别从甲乙两地同时出发，相向而行。如果两人按原定速度前进，则4小时相遇，如果两人各自都比原定速度每小时多走1千米，则3小时相遇。甲乙两地相距多少千米？

29、兄弟二人准备同时汽车去旅游，出发2小时后哥哥在弟弟前方6千米处，这时，哥哥因事又重返家，行30分钟后和弟弟相遇。哥哥回家后立即去追弟弟，结果同时到达目的地。求家与目的地相距多少千米？

30、AB两地相距1170米，小明从A地，小华从B地同时出发，相向而行，小明每分钟走40米，小华每分钟走50米，两人第一次相遇后继续向前走，小明到达B地，小华到达A地后都立即返回，两人从开始出发到第二次相遇共走了多少分钟？

第五篇：小学数学典型应用题

小学数学典型应用题

01归一问题

【含义】

在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】

总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

02解题思路和方法

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1：3头牛4天吃了24千克的草料，照这样计算5头牛6天吃草

_____

千克。

解:

1.根据题意先算出1头牛1天吃草料的质量：24÷3÷4=2(千克)。

2.那么5头牛一天吃2×5=10(千克)的草料。

3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。

例2：5名同学8分钟制作了240张正方形纸片。如果每人每分钟制作的数量相同，并且又来了2位同学，那么再过15分钟他们又能做

_____

张正方形纸片？

解：

1.可以先算出5名同学1分钟能制作正方形纸片的数量，240÷8=30(张)。

2.再算出1名同学1分钟制作的数量，30÷5=6(张)。

3.现在有5+2=7(名)同学，每人每分钟做6张，要做15分钟，那么他们能做7×6×15=630(张)正方形纸片。

例3：某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样计算，增加3台同样的车床后，如果要生产6300个零件，需要

_____

小时完成？

解：

1.4台车床5小时生产零件600个，则每台车床每小时生产零件600÷4÷5=30（个）。

2.增加3台同样的车床，也就是4+3=7（台）车床，7台车床每小时生产零件7×30=210（个）。

3.如果生产6300个零件，需要6300÷210=30（小时）完成。

02归总问题

【含义】

解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价.几小时（几天）的总工作量.几公亩地上的总产量.几小时走的总路程等。

【数量关系】

1份数量×份数＝总量

总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量

解题思路和方法

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1:王大伯家的干草够8只牛吃一个星期的，照这样计算，这些草够4只牛吃（）天？

解：

1.可以算出这些草够1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。

2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。

例2小青家有个书架共5层，每层放36本书。现在要空出一层放碟片，把这层书平均放入其它4层中，每层比原来多放

（）本书。

解：

方法一：

1.根据题意可以算出书架上有5×36=180(本)书。

2.现在还剩下5-1=4(层)书架。

3.所以每层书架上有180÷4=45(本)书。比原来多45-36=9(本)书。

方法二：

也可以这样考虑，就是要把其中一层的36本书平均分到其他4层，所以每层比原来多放36÷4=9（本）书。

例3一个长方形的水槽可容水480吨，水槽装有一个进水管和一个排水管。单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可以把满水池排空，两管齐开需要多少小时把满池水排空？

解：

1.要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度，进水每小时480÷8=60（吨）；排水每小时480÷6=80（吨）。

2.当两管齐开，排水速度大于进水速度，即每小时排80-60=20（吨）。

3.再根据总水量就可以求出排空满池水所需的时间。480÷20=24（小时）。

03和差问题

【含义】

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】

大数＝(和＋差)÷2小数＝(和－差)÷2

解题思路和方法

简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1:两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重

_____

千克，第二筐水果重

_____

千克。

解：

因为第一筐比第二筐重

1.根据大大数＝(和＋差)÷2的数量关系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。

2.根据小数＝(和－差)÷2的数量关系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。

例2:登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家120名，原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，那么原来第二组有（）名专家。

解：

1.原来从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，说明原来第一组比第二组多20+20=40（人）

2.根据小数＝(和－差)÷2的数量关系，第二组人数应该为(120-40)÷2=40（人）。

例3:某工厂第一.二.三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有多少人？

解：

1.第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人；

那么第一车间就比第三车间多25人，因此第三车间的人数是（280-25-15）÷3=80（人）。

据此可得出第一.二车间的人数。

04和倍问题

【含义】

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

总和÷（几倍＋１）＝较小的数

总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

解题思路和方法

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例１：甲、乙两仓库共存粮２６４吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的１０倍。甲仓库存粮吨，乙仓库存粮＿＿＿＿＿吨。

解：

１.根据“甲仓库存粮是乙仓库存粮的１０倍”，把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”。

２.根据和倍公式总和－（几倍＋１）＝较小的数，即可求乙仓库存粮２６４＝（１０＋１）＝２４（吨）。

３.根据和倍公式较小的数×几倍＝较大的数，即可求甲仓库存粮２４×１０＝２４０（吨）。

例２：已知苹果.梨.桃子的总质量为４０千克，苹果的质量是桃子的４倍，梨的质量是桃子的３倍，求苹果.梨.桃子的质量。

解：

１.根据“苹果的质量是桃子的４倍，梨的质量是桃子的３倍”；

把桃子看成１倍数，则苹果是４倍数，梨是３倍数。

２.根据“苹果、梨、桃子的总质量为４０千克”和和倍公式：

总和＝（几倍＋１）＝较小的数

可求出桃子的质量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）

３.根据桃子质量可以求出苹果和梨的质量。

例３：欢欢、乐乐和多多一共带了1４８元去公园。

已知欢欢带的钱数比乐乐的２倍多１元，多多带的钱数比欢欢多２倍，那么多多带了（）元。

解：

１.在三个量的和倍问题中，我们可以选择其中一个标准量，然后通过三个量之间的和倍关系进行计算即可。

需要注意，多２倍就是３倍。

２.由题可知，三人里乐乐的钱数最少。

我们可以把乐乐看成标准量，那么欢欢就是２份标准量再加１元。

３.多多比欢欢多两倍，就是２×３＝６份标准量再加１×３＝３（元）。

４.那么他们三个合起来就是１＋２＋６＝９

份标准量再加１＋３＝４（元）。

５.所以标准量是

（１４８－４）÷９＝１６（元），即乐乐带了１６元。

６.根据乐乐的钱数可以求出欢欢带了

１６×２＋１＝３３（元），所以多多带了

３３×３＝９９（元）。

05差倍问题

【含义】

已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少；

这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】

两个数的差÷（几倍－1）

=较小的数较小的数×几倍

=较大的数

解题思路和方法

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1：莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有科技书（）本。

A.8

B.12

C.16

D.24

解：

1.解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。

2.把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出故事书有16÷2=8本。

3.根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出科技书有8×3=24本。

例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，则原来甲桶有油

____

千克，乙桶有油

____

千克。

解：

1.根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，说明原来甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2.根据差倍公式两个数的差÷（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3.根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例3：每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。

开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工

_____

个成品。

解：

1.加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（个）。

根据“加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90个。

2.把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多1倍，对应90个，求出乙原来有90÷（2-1）=90（个）

3.那么甲原来有90×2=180（个）零件。

4.每件成品需要5个甲零件，2个乙零件，那么加工30个成品，甲零件用了5×30=150（个），乙零件用了2×30=60（个），所以甲零件还剩180-150=30（个），乙零件还剩90-60=30（个）。

剩下的甲零件还能做30÷5=6（个）成品，剩下的乙零件还能做30÷2=15（个）成品。

因为每件成品需要甲.乙两种零件共同完成，所以剩下的零件数还可以加工6个成品。

06和倍问题

【含义】

已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄关系，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

大数＝(和＋差)÷2小数

＝(和－差)÷2总和÷(几倍+1)

＝较小的数

总和-较小的数＝较大的数较小的数×几倍

＝较大的数两个数的差÷（几倍－1）

=较小的数较小的数×几倍

=较大的数

解题思路和方法

年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。

年龄问题都可以转化为和差.和倍.差倍问题。

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1：爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，当爸爸42岁时，妈妈

_____

岁。

解：

1.本题考查的年龄差不变（简单），不管过了多少年年龄差是不变的。

2.爸爸比妈妈大2岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的，当爸爸42岁时，妈妈是40岁。

例2：姐姐今年15岁，妹妹今年12岁，当她们的年龄和是39岁时，那时妹妹

_____

岁。

解：

方法一：

1.利用年龄同增同减的思路。

2.姐妹俩今年的年龄之和是：

15+12=27（岁），年龄之和到达39岁时需要的年限是：

（39-27）÷2=6（年）。

3.那是妹妹的年龄是12+6=18（岁）。

方法二：

1.利用年龄差不变的思路。

2.两姐妹的年龄差为15-12=3（岁），再根据小数＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年龄为（39-3）÷2=18（岁）。

例3：爸爸今年50岁，哥哥今年14岁，_____

年前，爸爸的年龄是哥哥的5倍。

解：

1.不管过了多少年，年龄差是不变的，当爸爸的年龄是哥哥的5倍时，年龄差仍是50-14=36（岁）。

2.问什么时候爸爸的年龄是哥哥的5倍，实际上年龄差就是哥哥的5-1=4倍。

3.根据两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出哥哥当时的年龄是（50-14）÷4=9（岁）。

4.再根据题意可求出14-9=5（年）前。

例4：今年姐妹两人的年龄和是50岁，曾经有一年，姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，且那时姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍。

那么姐姐今年

_____

岁。

解：

1.当姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍时，我们设那时妹妹的年龄是1份，那么姐姐的年龄就是2份，那么姐姐与妹妹的年龄差就是1份。

2.因为那时姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，所有妹妹今年的年龄也是2份。

因为年龄差不变，所以今年姐姐的年龄应该是2+1=3份。

3.今年姐妹两人的年龄和是50岁，对应2+3=5份，求出1份是50÷5=10（岁），那么姐姐今年是10×3=30（岁）。

07相遇问题

【含义】

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】

相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程

＝（甲速＋乙速）×相遇时间

解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行60米，乐乐每分钟行80米，他们同时出发5分钟后相遇。这条马路长（）。

解：

根据公式总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间，可以求出这条马路长（60＋80）×5

=700（米）。

例2：甲乙两车分别以不变的速度从AB两地同时出发，相向而行。到达目的地后立即返回。

已知第一次相遇地点距离A地50千米，第二次相遇地点距离B地60千米，AB两地相距

_____

千米。

解：

1.本题考查的是二次相遇问题，灵活的运用画线段图的方法来分析是解决这类问题的关键。

2.画线段图

3.从图中可以看出，第一次相遇时甲行了50千米。甲乙合行了一个全程的路程。

从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。

由于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能50×2=100(千米)。

4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，从图中看甲所行路程刚好比AB两地相距路程还多出60千米。

所以AB两地相距150-60=90(千米)。

例3：欢欢和乐乐在相距80米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是每秒3米，欢欢的速度是每秒2米。

如果他们同时分别从跑道两端出发，当他们跑了10分钟时，在这段时间里共相遇过

_____

次。

解：

1.根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第二次开始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的两倍。（线段图参考例2。）

2.根据“相遇时间=总路程÷速度和”得到，欢欢和乐乐首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

3.因为从第一次相遇结束到第二次相遇，欢欢和乐乐要走两个全程，所以从第二次开始每相遇一次需要的时间是16秒的2倍，也就是32秒，则经过第一次相遇后，剩下的时间是600-16=584（秒），还要相遇584÷32=18.25（次），所以在这段时间里共相遇过18+1=19（次）。

追及问题（含解析）

01追及问题

【含义】

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）

作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

★

追及时间＝

追及路程÷（快速－慢速）

★

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图

分析可以让解题事半功倍。

例1：某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官赶紧以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上这个匪徒。

解：

1.从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。

根据公式：路程差÷速度差=追及时间。

2.路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差为1米/秒。

所以追及的时间为100÷1=100（秒）。

例2：甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出发。

那么甲乙二人出发后（）秒第一次相遇？

解：

1.由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相遇时，乙从后方追上甲。

所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为400米。

2.由追及时间=总路程÷速度差可得：经过400÷（8-6）=200（秒）

两人第一次相遇。

例3：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时.48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地.面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。

那么甲.乙两地相距多远？

解：

1.根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。

首先是小轿车和面包车的相遇问题；

其次是面包车和大客车的相遇问题；

然后是小轿车与大客车的追及问题。

最后通过大客车与面包车共行甲.乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲.乙两地距离。

2.画线段图，图上半部分是小轿车和面包车相遇时三车所走的路程。

图下半部分是第一次相遇30分钟之后三车所走的路程。

3.由图可知，当面包车与大客车相遇时，大客车与小轿车的路程差为小轿车与大客车30分钟所走的路程。

有小轿车与大客车的速度差，有距离，所以可以求出车辆行驶的时间。

（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小时）。

4.由于大客车与面包车相遇，共行一个行程，所以AB两地路程为

（42+48）×3=270（千米）。

01

植树问题

【含义】

按相等的距离植树，在距离.棵距.棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】

线形植树：

一端植树：棵数＝间隔数=距离÷棵距

两端植树：

棵数＝间隔数+1=距离÷棵距＋1

两端都不植树：

棵数＝间隔数-1=距离÷棵距-1

环形植树：

棵数＝间隔数=距离÷棵距

正多边形植树：

一周总棵数=每边棵数×边数-边数

每边棵树=一周总棵数÷边数+1

面积植树：

棵数＝面积÷（棵距×行距）

02解题思路和方法

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1：植树节到了，少先队员要在相距72米的两幢楼房之间种8棵杨树。

如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？

解：

1.本题考察的是植树问题中的两端都不栽的情况，解决此类问题的关键是要理解棵数比间隔数少1。

2.因为棵数比间隔数少1，所以共有8+1=9个间隔，每个间隔距离是72÷9=8米。

3.所以每两棵树之间的距离是8米。

例2：佳一小学举行运动会，在操场周围插上彩旗。

已知操场的周长是500米，每隔5米插一根红旗，每两面红旗之间插一面黄旗，那么一共插红旗多少面，一共插黄旗多少面。

解：

1.本题考查的是植树问题中封闭图形间隔问题。

本题中只要抓住棵数＝间隔数，就能求出插了多少面红旗和黄旗。

2.棵数＝间隔数，一共插红旗500÷5＝100（面），这一百面红旗中一共有100个间隔，所以一共插黄旗100面。

例3：多多从一楼爬楼梯到三楼需要6分钟，照这样计算，从三楼爬到十楼需要多少分钟？

解：

1.本题考查的是植树问题中锯木头.爬楼梯问题的情况。

需要理解爬的楼层.锯的次数与层数.段数之间的关系。

所在楼层=爬的层数+1；

木头段数=锯的次数+1。

2.从一楼爬楼梯到三楼，需要爬2层，需要6分钟，所以每层需要6÷2=3（分钟）。

因此从三楼爬到十楼，需要（10-3）×3=21（钟）。

例4：时钟敲3下要2秒钟，敲6下要多少秒？

解：

1.本题考查的是植树问题中敲钟声问题，与锯木头爬楼问题类似。

本题中只要抓住敲的次数＝间隔数+1。

2.时钟敲3下，中间有2个间隔，2个间隔需要2秒钟，那么1个间隔需要1秒钟。

时钟敲6下，中间有5个间隔，需要5秒。

01行船问题

【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度；

也就是船只在静水中航行的速度；

水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；

船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】

（顺水速度＋逆水速度）÷2

＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2

＝水速顺水速＝船速×2－逆水速

＝逆水速＋水速×2逆水速

＝船速×2－顺水速

＝顺水速－水速×2

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：某船在同一条河中顺水船速是每小时20千米，逆水船速是每小时10千米，这条河的水流速度是每小时

_____

千米？

解：

顺水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，顺水船速比逆水船速多2个水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/时)。

例2：某条大河水流速度是每小时5千米，一艘静水船速是每小时20千米的货轮逆水航行5小时能到达目的地，这艘货轮原路返回到出发地需要多少小时？

解：

1.逆水速度=静水船速-水流速度，所以货轮逆水速度是20-5=15(千米/时)，行驶5小时共行了15×5=75(千米)。

2.原路返回时是顺水航行，顺水速度是静水船速+水速，即20+5=25(千米/时)，所以返回用时75÷25=3(小时)。

例3：小船在两个码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，若一只木筏顺水漂过这段距离需

_____

小时？

解：

1.我们可以假设一个路程。

假设两个码头之间的距离是200千米，顺水需4小时，则顺水的速度是每小时200÷4=50（千米），逆水需5小时，则逆水的速度是每小时200÷5=40（千米）。

2.根据“水速=（顺水行驶速度-逆水行驶速度）÷2”得到，水流速度是每小时（50-40）÷2=5（千米）。

3.一只木筏顺水漂过的速度就是水流速度，所以木筏顺水漂过这段距离需要200÷5=40（小时）。

01列车问题

【含义】

与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

★

火车过桥：

过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

★

火车追及：

追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

★

火车相遇：

相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：一列火车全长126米，全车通过611米的隧道需要67秒，火车的速度是多少米/秒？

解：

1.本题考查的是火车过桥的问题。

解决本题的关键是知道火车完全经过隧道所走的路程是一个车身长＋隧道长，进而求出车速。

2.因此火车的速度为：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。

例2：在两行轨道上有两列火车相对开来，一列火车长208米，每秒行18米，另一列火车每秒行19米，两列火车从相遇到完全错开用了12秒钟，那么另一列火车长多少

米？

解：

两列火车从相遇到完全错开，所行路程之和刚好是它们的车身长度之和。

根据“路程和=速度和×时间”

可得，另一列火车长=（18+19）×12-208=236（米）。

例3：一列火车通过一座长90米的桥需要24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。

原来火车每秒行多少米？

解：

1.根据“火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒”可知，如果火车用原来的速度通过222米的隧道，则要用18×2=36（秒）。

2.隧道比大桥长222-90=132（米），火车要多用36-24=12（秒）行驶这一段路程，根据速度=路程÷时间，可以求出原来火车每秒行132÷12=11（米）。

01时钟问题

【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合.两针垂直.两针成一线.两针夹角为60度等，这类问题可转化为行程问题中的追及问题。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

02解题思路和方法

将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角60°等为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1：钟面上从时针指向8开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合?（精确到1分）

解：

1.此类题型可以把钟面看成一个环形跑道。

那么本题就相当于行程问题中的追及问题，即分针与时针之间的路程差是240°。

2.分针每分钟比时针多转6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分钟）。

也就是从8时开始，再经过44分钟，时针正好与分针第一次重合。

例2：从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？

解：

我们可以把钟面看成一个环形跑道，这样分针和时针的转动就可以转化成追及问题。

从早晨6点到傍晚6点，一共经过了12小时，12个小时分针要跑12圈，时针只能跑1圈，分针比时针多跑12-1=11（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会追上时针一次，也就是和时针重合1次，所以12小时内两针一共重合了11次。

例3：一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时。

小明发现，纪录片播放结束时，手表上时针.分针的位置正好与开始时时针.分针的位置交换了一下。

这部纪录片时长多少分钟？（精确到1分）

解：

1.解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是1080°，进而转化成相遇问题来解决。

2.两个多小时，分针与时针位置正好交换。

所以分针与时针所走的路程和正好是三圈，也就是分针和时针合走360°×3=1080°，而分针和时针每分钟的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°

需要1080÷6.5≈166（分钟），即这部纪录片时长166分钟。

01

工程问题

【含义】

工程问题主要研究工作量.工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”.“一块土地”.“一条水渠”.“一件工作”等。

在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】

工作量＝工作效率×工作时间工作时间

＝工作量÷工作效率工作时间

＝工作总量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

02解题思路和方法

解答工程问题的关键是把工作总量看作单位“1”。

这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几）。

进而就可以根据工作量.工作效率.工作时间三者之间的关系列出算式。

例1：一项工程，甲队独做要12天完成，乙队独做要15天完成，两队合做4天可以完成这项工程的（）。

解：

1.本题考察的是两个人的工程问题，解决本题的关键是求出甲.乙两队的工作效率之和。

进而用工作效率×工作时间=工作量。

2.甲队的工作效率为:1÷12=，乙队的工作效率为:1÷15=，两队合做4天，可以完成这项工程的（+）×4=。

例2：一项工程，甲.乙两队合作30天完成。

如果甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成。

这项工程如果由甲队单独做，需要多少天完成？

解：

1.我们可以将“甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去。

由乙队继续做了15天才完成”转化为“甲.乙两队合做27天，甲再单独做9天”，由此可以求出甲9天的工作量为：，甲每天的工作效率为：，这项工程如果由甲队单独做，需要。

例3：有一项工程，甲单独做需要6小时，乙单独做需要8小时，丙单独做需要10小时，上午8时三人同时开始，中间甲有事离开，如果到中午12点工程才完工，则甲上午离开的时间是几时几分？

解：

1.根据题意，知道了甲乙丙的工作时间可求出相应的工作效率。

甲的工作量是全部工作量减去乙丙的工作量，所以甲的工作时间也可以求出来，即甲上午离开的时间也可以求出来。

2.甲的工作量=1-（+）×4=；

甲的工作效率为：1÷6=

所以甲的工作时间为：÷=（小时）

所以甲离开的时间是8时36分。

01盈亏问题

【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总量＝（盈＋亏）÷分配差如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总量＝（大盈－小盈）÷分配差参加分配总量＝（大亏－小亏）÷分配差

02解题思路和方法

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1：小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；

如果每分钟走70米，则可提前5分钟到校，小明家到学校的路程是多少米？

解：

1.分析题意，类比“盈亏问题”，我们可以把“迟到3分钟”，转化为比计划路程少行50×3=150（米），把“提前5分钟”转化为比计划路程多行70×5=350（米）

这时题目被转化成了“一盈一亏”问题。

2.根据公式，求出原计划到校的时间：（350+150）÷（70-50）=25（分钟）。

3.所以小明家到学校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。

例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块；

若每人擦6块，正好擦完。

擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少块？

解：

1.由题意可知，本题属于分配不均型的盈亏问题，需要将题目条件转化成一般盈亏问题。

“其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块”可以转化为“每人擦5块，则余10块”。

2.这样就转化为了双盈问题，擦玻璃的有：

（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60块。

例3：动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；

如果有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子。

一共有多少只猴子？

解：

1.分析题意，题中有两种分配方式。

联系“盈亏问题”，我们可以把“两只猴子没有分到”理解为桃子的数量少

2×10=20（个），再把“有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子”理解为每只猴子分9个，则还少（9-8）×2+3=5（个）。

2.这时把题目看成“双亏问题”，求出猴子的数量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。

01百分数问题

【含义】

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。

分数常常可以通分.约分，而百分数则无需；

分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只显“率”；

分数的分子.分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；

百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】

掌握“百分数”.“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量标准量＝比较量÷百分数

02解题思路和方法

一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；

（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1：在植树节里，某校六年级学生在校园内种树8棵，占全校植树数的20%，则该校在植树节里共植树多少棵？

解：

已知六年级学生的种树棵数以及所种棵数占全校植树数的比值，直接用除法运算即可。

所以：8÷20%=40（棵）

例2：商店新上架了一批连衣裙，第一天卖出总数的25%，第二天卖出45件，第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分一，最后剩下20件，则商店原先进了多少件连衣裙？

解：

1.把这批连衣裙的总数看作单位“1”，已知第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分之一，也就是第三天卖出了25%的和45的，由此可以求出与（45+45×+20）对应的分率。

2.根据已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数，用除法解答。

（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）

例3：一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，白子占总数的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占总数的75%，则原来这堆棋子一共有多少枚？

解：

1.本题考察的是百分数应用题的相关知识，解决本题的关键是当一种棋子变化时，抓住另一种棋子的数量不变，统一不变量的份数，进而解决问题。

2.由条件可知，当拿走49枚黑子时，此时白子的数量没有变化，那么拿走49枚黑子前，黑子与白子的数量比为（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子与白子的数量比为（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相当于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子

3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。

4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的数量没有变化，所以原来黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原来这堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

03知识补充

百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：

★ 增长率＝增长数÷原来基数×100%

★ 合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

★ 出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

★ 出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

★ 缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%

★ 发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

★ 成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

★ 出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

★ 出油率＝油的重量÷油料重量×100%

★ 废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

★ 命中率＝命中次数÷总次数×100%

★ 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

方阵问题

【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。

根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数 ＝（每边人数－1）×4

每边人数 ＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人

数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

解题思路和方法

方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有

多少人？

解：

1.要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。

2.一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。

例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？

解法1：

1.本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2.方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:

若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4。则：

（16-3）×3×4=156(枚)

例3：一个实心方阵由81人组成，这个方阵的最外层有

多少人？

解：

方阵的行数和列数相同，9×9=81，所以这是一个9行9列的方阵。

最外层人数与一边人数的关系：一边人数×4-4=一层人数。

所以最外层的人数是9×4-4=32(人)。

例4：明明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23个棋子，这样排成了一个新方阵，他又把这个新方阵改排成一个4层的空心阵，这个方阵最外层每边有

多少个棋子？

解：

1.根据题意，排成的这个新方阵的每边棋子数是（23+1）÷2=12（个）,那么这个实心方阵的棋子总数是12×12=144（个）。

2.根据空心方阵中，每相邻的两层的棋子数相差8的关系，我们可以找出等量关系，列方程解决。

设最外层有x个棋子，则从外到内每层的棋子数分别是（x-8）个.（x-16）个.（x-24）个。

则：x+

x-8+x-16+x-24=144，x=48

所以这个方阵最外层每边有48÷4+1=13（个）棋子。

01牛吃草问题

【含义】

“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。

这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】

草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

02解题思路和方法

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1：这是一片新鲜的牧场，现有400份草，每天都均匀地生长6份草。

若一开始放26头奶牛，每头奶牛每天吃1份草。

这片牧场的草够奶牛吃多少天？

解：

1.本题考查的是牛吃草的问题。

解决本题的关键是要求出每天新增加的草量，在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由题目可知：原有的草量+新长的草量=总的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新长的草。

原有的草量是不变的，每天新长的草量是匀速的，每天都长6份，每头奶牛每天吃1份，新长的草刚好够6头奶牛吃的量。

那么剩下的20头奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），够吃20天。

例2：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要求6天抽干，需要

多少台同样的抽水机？

解：

设每台抽水机每天可抽1份水。

5台抽水机20天抽水：5×20=100（份）

6台抽水机15天抽水：6×15=90（份）

每天入库的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20×2=60（份）

需抽水机台数：60÷6+2=12（台）

答：要求6天抽干，需要12台同样的抽水机。

例3：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需

多少分钟？

解：

1.本题考查的是牛吃草的问题，“旅客”相当于“草”，检票口相当于“牛”。

2.由题目可知，旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

那么4个检票口30分钟检票4×30=120（份），5个检票口20分钟检票5×20=100（份），多花了10分钟多检了120-100=20（份）

那么每分钟新增顾客数量为：20÷10=2（份）。

那么原有顾客总量为：120-30×2=60（份）。

同时打开7个检票口，我们可以让2个检票口专门通过新来的顾客，其余的5个检票口通过原来的顾客，需要60÷5=12（分钟）。

01鸡兔同笼问题

【含义】

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡.兔共有多少只头和多少只脚，求鸡.兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡.兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题：

✦ 假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

✦ 假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

第二鸡兔同笼问题：

✦ 假设全是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

✦ 假设全是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

02解题思路和方法

解此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；

如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1：鸡和兔在一个笼子里，共有35个头，94只脚，那么鸡有多少只，兔有多少只？

假设笼子里全部都是鸡，每只鸡有2只脚，那么一共应该有35×2=70（只）脚，而实际有94只脚，这多出来的脚就是把兔子当作鸡多出来的，每只兔子比鸡多2只脚，一共多了94-70=24（只），则兔子有24÷2=12（只），那么鸡有35-12=23（只）。

例2：动物园里有鸵鸟和长颈鹿共70只，其中鸵鸟的脚比长颈鹿多80只，那么鸵鸟有多少只，长颈鹿有多少只？

解：

假设全部都是鸵鸟，则一共有70×2=140（只）脚，此时长颈鹿的脚数是0，鸵鸟脚比长颈鹿脚多140只，而实际上鸵鸟的脚比长颈鹿多80只。

因此鸵鸟脚与长颈鹿脚的差数多了140-80=60（只），这是因为把其中的长颈鹿换成了鸵鸟。

把每一只长颈鹿换成鸵鸟，鸵鸟的脚数将增加2只，长颈鹿的脚数减少4只，那么鸵鸟脚数与长颈鹿脚数的差就增加了6只，所以换成鸵鸟的长颈鹿有60÷6=10（只），鸵鸟有70-10=60（只）。

例3：李阿姨的农场里养了一批鸡和兔，共有144条腿，如果鸡数和兔数互换，那么共有腿156条。鸡和兔一共有多少只？

解：

根据题意可得：前后鸡的总只数=前后兔的总只数。

把1只鸡和1只兔子看做一组，共有6条腿。

前后鸡和兔的总腿数有144+156=300（条）

所以共有300÷6=50（组），也就是鸡和兔的总只数有50只。

例4：一次数学考试，只有20道题。做对一题加5分，做错一题倒扣3分（不做算错）。

乐乐这次考试得了84分，那么乐乐做对了多少道题？

解：

如果20题全部做对，应该得20×5=100（分），而实际得了84分，少了100-84=16（分）。

做错一题和做对一题之间，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做错了16÷8=2（题）。

一共20题，所以乐乐做对了20-2=18（题）。

01抽屉问题

【含义】

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，如367个人中至少有两个人是同一天过生日，这类问题在生活中非常常见。

它所依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。

抽屉原理又名狄利克雷原则，是符合某种条件的对象存在性问题有力工具。

【数量关系】

基本的抽屉原则是：

如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：

如果有m个抽屉，元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

02

解题思路和方法

目前,处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。

例1：不透明的箱子中有红.黄.蓝.绿四种颜色的球各20个，一次至少摸出多少个球才能保证摸出两个相同颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利的情况，因为有4种颜色，想要摸出两个相同颜色的球。

那么最不利的情况就是，每种颜色的各摸出一个，这时再摸一个球，一定与前几个球有颜色相同的。

因此至少要摸4+1=5(个)球。

例2：袋子中有2个红球，3个黄球，4个蓝球，5个绿球，一次至少摸出多少个球就能保证摸到两种颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利情况，想要摸出两种颜色的球。

最不利的情况应该是将一种颜色的球都拿出来时，不论接下来摸的球是什么颜色都与之前颜色不同。

因为4种球的个数各不相同。

所以最不利的情况应该是先将个数最多的球都拿出来，接下来摸的球都一定与之前颜色不同。

因此至少摸出5+1=6(个)球

例3：一次数学竞赛共5道选择题，评分标准为：基础分5分，答对一题得3分，答错扣1分，不答不得分。

要保证至少有4人得分相同，最少需要多少人参加竞赛？

解：

1.本题考察的是抽屉原理的相关知识，解决本题的关键是要知道得分一共有多少种不同的情况。

进而从最坏的情况开始考虑解决问题。

2.一共有5题，且有5分的基础分，那么每道题就有1分的基础分。

也就相当于答对一题得4分，答错不得分，不答得1分。

这次数学竞赛的得分情况有以下几种：

5题全对的只有1种情况：得20分；

对4题的有2种情况：1题答错得16分，1题没答得17分；

对3题的有3种情况：2题全错得12分，只错1题得13分，2题不做得14分；

对2题的有4种情况：3题全错得8分，只错2题得9分，只错1题得10分；3题全不答得11分；

对1题的有5种情况：4题全错得4分，只错3题得5分，只错2题得6分，只错1题得7分，4题全不答得8分；

答对0题有6

种情况：5题全错得0分；错4题得1分，错3题得2分，错2题得3分，错1题得4分，5题全不答得5分。

我们发现从0分到20分，只有19分.18分.15分这三个分数没有，其它都有。

所以一共有20+1-3=18（种）不同的得分，要保证有四人得分相同。

最少需要18×3+1

=

55（人）参加竞赛。

01浓度问题【含义】

在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。

这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）.溶质.溶液.浓度这几个量的关系。

例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。

溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

【数量关系】

溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%

02解题思路和方法

找出不变量，简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。

例1：要将浓度为25％的酒精溶液1020克，配制成浓度为17％的酒精溶液，需加水多少克？

解：

1.根据题意可知，配制前后酒精溶液的质量和浓度发生了改变，但纯酒精的质量并没有发生改变。

2.纯酒精的质量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液质量的17%。

所以配制后酒精溶液的质量：255÷17%=1500（克）。

加入的水的质量：1500-1020=480（克）。

例2：有浓度为30%的盐水溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24%的盐水溶液。

如果再加入同样多的水，那么盐水溶液的浓度变为多少？

解：

1.分析题意，假设浓度为30%的盐水溶液有100克，则100克溶液中有100×30%=30（克）的盐，加入水后，盐占盐水的24%。

此时盐水的质量为：30÷24%=125（克），加入的水的质量为：125-100=25（克）。

2.再加入相同多的水后，盐水溶液的浓度为：30÷（125+25）=20%。

例3：两个杯中分别装有浓度为45%与15%的盐水，倒在一起后混合盐水的浓度为35%。

若再加入300克浓度为20%的盐水，则变成浓度为30%的盐水，则原来浓度为45%的盐水有多少克？

解：

1.本题考察的是浓度和配比问题的相关知识。

解决本题的关键是先求出原溶液与混合后的溶液浓度差的比。

从而求出所需溶液质量的比，并解决问题。

2.根据题意可知，浓度为35%的盐水和浓度为20%的盐水混合成浓度为30%的盐水，因为浓度为35%的盐水比混合后的浓度多35%-30%=5%，浓度为20%的盐水比混合后的浓度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合时，2份浓度为35%的盐水才能补1份浓度为20%的盐水。

故浓度为35%的盐水与浓度为20%的盐水所需质量比为2:1

所以浓度为35%的盐水一共300÷1×2=600（克）。

3.同理，浓度为45%和15%的盐水溶液与混合后浓度为35%的盐水溶液差的比为（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么浓度为45%和15%的盐水溶液所需要的质量比为2:1，即2份浓度为45%的盐水才能补上1份浓度为15%的盐水。

故原来浓度为45%的盐水有600÷（1+2）×2=400（克）。

01利润问题【含义】

这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本.利润.利润率和亏损.亏损率等方面的问题。

【数量关系】

利润＝售价－进货价利润率

＝（售价－进货价）÷进货价×100%售价

＝进货价×（1＋利润率）亏损

＝进货价－售价亏损率

＝（进货价－售价）÷进货价×100%

02解题思路和方法

简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。

例1：某服装店从韩国代购100件羽绒服，每件进价300元，另外还需要付10元/件的代购费和200元的国际快递费。

该服装店要想每件羽绒服获得75%的利润率，则每件定价为多少元？

解：

由题意可知，每件羽绒服实际总成本包括每件羽绒服的进价.代购费和运费，总成本为300+10+200÷100=312（元），要想每件获得75%的利润，那么每件定价应该是成本的1+75%=175%，故每件定价为312×175%=546（元）。

例2：一件上衣打七折后的售价是140元，老板说：“如果这件上衣打对折就不赚也不亏”。

这件上衣成本是多少元？

解：

1.本题关键是理解打折的含义，打几折后现价就是原价的百分之几十，打对折就是指现价是原价的50%。

2.打七折是指现价是原价的70%，若把原价看成单位“1”，它的70%对应的数量是140元，所以原价是140÷70%=200（元）。

打对折是指打折后的价格是原价的50%，再用原价乘50%就是这件上衣的成本价。

所以这件上衣成本价：200×50%=100（元）。