材料力学 弯曲应力 原创教案[5篇模版]

第一篇：材料力学 弯曲应力 原创教案

弯曲应力

我们开始弯曲这一章，我们讲了拉压、扭转、剪切，现在我们要讲弯曲。弯曲的情况要比拉压和扭转更加复杂一些，它所涉及的问题更多一些，它和工程实际联系的更加紧密一些。因此，这一章和下一章都是特别重要的章节。在这一章中，我们首先要讨论弯曲正应力，横截面上有弯矩，那它就有了正应力，同时还要考虑弯曲切应力的问题，横截面上有剪力，说明它有切应力存在。了解了正应力和切应力的情况，我们要讨论梁的强度和破坏，这个思路和前面几章是一样的。特别的，要强调薄壁杆件中弯曲切应力的处理，最后呢，我们要讲组合变形的应用。不仅仅是弯曲，而是弯曲和拉压，弯曲和扭转组合在一起的时候，如何来处理它的应力问题。因此，这章的内容是比较多的。

工程实际例子

我们来看看弯曲在工程中的应用。这是一个厂房，这是一个大梁，这个吊车可以在这个大梁上运动。对于这样一个问题，我们可以把它简化成一个简支梁，这个吊车的移动呢可以处理成一个移动荷载。那么对于这个移动荷载而言，它所导致的应力如何计算？行车移动时，它的应力如何变化？这就是本章的内容之一。

我们再看看这个图片，这是我们拍摄的汽车的下部分，大家注意一些这个部分，这是就是汽车的板簧，它的模型就是这个样子，可以看成好几个钢板的组合，那么，为什么要设计成这个样子呢？它有什么优点呢？这也是本章要解决的问题。

这是一个运动员，撑杆跳，对吧。大家常常见到，利用这个杆的助力，人可以跳的更高。我们可以处理成这样一个模型。她在跳高的过程中，杆就发生了弯曲。那么，这个时候，跳杆横截面上的应力和杆曲率半径有什么关系？这个杆在什么情况下才满足强度要求？

大家看看这个场面，对于这个场面，我们截面几何性质那章提到过，都是薄壁杆件，那么薄壁杆件有弯曲正应力和弯曲切应力，专门有一小节来讲解它的弯曲切应力，看看这些切应力有什么特点？如何避免薄壁杆件的强度失效？这也是本章的问题

这个大家都熟悉，著名的比萨斜塔。对于这个结构，初步计算，我们可以简化成这样一个均质圆筒，那么它有哪些变形效应？它的危险截面、危险点在哪儿？如何计算其应力？这也是本章可以解决的问题。因此，本章所涉及的问题是比较广的。

基本内容

那么本章到底需要同学们掌握哪些内容呢？

1、熟练张博横截面上弯曲正应力和弯曲切应力的分布规律，并能正确熟练的进行梁的强度分析。

2、熟悉提高梁强度的主要措施。

3、正确理解薄壁杆件横截面上弯曲切应力的分布规律，了解弯曲中心的概念。

4、熟悉掌握梁在组合变形中的应力的计算方法。

第一、第四条是很重要的。这是以后大家经常需要处理的问题。基本概念

平面弯曲

首先我们来看弯曲正应力。在这章具体内容介绍之前呢，我们先介绍一些概念。关于梁弯曲的基本概念。梁的平面弯曲。什么是梁的平面弯曲呢？这是一个悬臂梁，截面是矩形截面，那么这个横截面就有一个中心对称轴，整个梁就存在一个对称面，如果我们的所有的外荷载都作用在这个平面之内，比如外荷载是这样的，那么发生变形后，梁的轴线仍然在这个平面内，像这样的弯曲，我们就叫做平面弯曲。也就是说，梁弯曲后，它的轴线也保持在一个平面之内。像这样的弯曲，我们就叫做平面弯曲。纯弯曲和横力弯曲

什么叫做纯弯曲呢？

如果一个悬臂梁，只在它的端头作用一个集中力偶，大家可以想象到，它的每个横截面上，只有弯矩，没有剪力。像这样只有弯矩没有剪力的弯曲，我们叫做纯弯曲，纯粹的弯曲。比如：这个举重运动员。他的两只手把杠铃杆举起来，我们弯曲可以简化成这样一个模型，支座就相当于两只手，而两个杠铃盘的作用力就简化成两个向下的作用力。假如我们不考虑杠铃杆自身的重量，虽然实际上是有重量的，在两个手之间的部分就只有弯矩而没有剪力。因为，这样一个结构而言，整个黄色区段，剪力是为零的。而另外两个区段就不是纯弯曲。横力弯曲

什么是横力弯曲呢？当梁的横截面上，有弯矩又有剪力的时候，我们就把这种弯曲叫做横力弯曲。比如说，像这样的货架，我们考虑其中一个架子，我们可以把它考虑成承受均布荷载的悬臂梁，这个时候的悬臂梁，上面除了有弯矩之外，还有剪力。因此，它的弯曲就是横力弯曲。又比如这样的梁，承受三个集中力，这个梁的横截面上有弯矩和剪力。总之，横截面上只有弯矩的梁是纯弯曲梁，而横截面上有弯矩又有剪力的梁就是横力弯曲的梁。

以后我们的推导呢，全是以纯弯曲作为例子，来进行推导，再把推导的结果推广到横力弯曲中去。这个大家要注意。

平截面假定

关于梁的弯曲的假定有两个，其中一个是平截面假定。这一点和拉压扭转是一样的，当然，对于弯曲而言，它有自己的特点。这是一个悬臂梁，左边是固定端，右端作用一个集中力偶矩。那么，横截面在变形前是一个平面，而变形后仍然也是一个平面。我们就把这样一个现象叫做平截面假设。对于一个纯弯曲而言的梁呢，变形前确实就是一个平面，而变形后也确实就是一个平面，这是一个精确的假定。换句话说，这个假定是完全符合客观情况的。但是对于另外一种弯曲，杆端作用的不是集中力偶而是集中力的时候，这是一种横力弯曲，横截面上有弯矩和剪力。那么，变形前是一个平面，而变形后不再是一个平面。也就是说，对横力弯曲而言，平截面假定不是一个精确的假定，但是，我们以后就会明白，是这个平面上剪力的作用，导致这个平面发生翘曲，翘曲导致平面不再是平面，距离平面不远的地方发生的微微的翘曲的情况，因此，它所带来的误差是工程中弯曲可以接受的，因此，对于横力弯曲来说，这是一个近似的假设。

第二个假定：单向受力假定

什么叫做单向受力假定？比如，我们在这个梁上取一个微元面，这个微元面是垂直于轴线的方向。那么我们可以看到这个微元面上有正应力的存在，这就是横截面上的正应力，假如我们把这个方向叫做x方向，我们就把这个应力叫做x，这就是我们承认他存在的正应力。刚刚我们取的是一个垂直于轴线的微元面，现在我们取一个面，让他平行于我们的轴线，也就是y，我们认为y0，也就是说，我们在假设这样一件事，比如这里有一个梁，它发生了弯曲，比如发生一个正弯曲，那么，我们认为在垂直于轴线的截面上有了正应力，可能在有的地方时拉，在有的地方是压。但是，在同一个梁上，上下平行于轴线的两个纤维之间，没有拉压，或者挤压。也就是y0，这个梁上的沿着轴线的纤维被拉长或者缩短了的，那么就说明在横截面上是有正应力的。这就是单向受力假定。那么，在什么情况下，这个假定是精确成立的呢？在什么情况下，这个假定又是近似成立的呢？刚刚我们在悬臂梁的右端作用一个集中力，或者作用一个集中力偶，那么这种情况下。我们看到的微元面的地方都满足单向受力假定。对于集中的荷载而言，这个假定就是精确成立的。但是有的时候并不是集中荷载，比如像图中这样的分布荷载的时候，我们先考虑一下这个纵向截面，我们把这个微元面取到上表面，那么这个时候根据力平衡，我们知道，y方向的应力就等于力平衡。因此，这个时候，我们不能说它等于零。当我们把这个纵向平面往下取一些，那么我们会发现上面的q对它的作用减小了。再往下一些就更小了，继续往下，就消失了。（用手比划）在y方向上应力是从大到小在变化的，另外，即使在最上面的面，它的外荷载就等于Q,而我们同时在这个面取一个横截面，x方向的正应力比y方向的大的多。也就是说在y方向，这个应力在减小，即便在y方向上应力最大的地方，也比x方向的应力小的多。因此，我们往往就忽略y方向的应力，这就是我们的单向受力假定。

梁的弯曲，我们重点研究横截面，不再研究纵向截面。以后，我们主要研究横截面的正应力和横截面的切应力，这是我们主要研究的内容。

中性层

还有一个概念叫做中性面，这是一个悬臂梁，承受一个集中力偶矩，发生了如图的变形，我们可以想象到，上面部分，它的纵向纤维总是受拉的，而下半部分，它的纵向纤维总是受压的，但是由于受力的连续性，那么中间一定有一个面是既不受拉也不受压，这是说，这个面既不被拉长，也不被压缩。我们把这个面叫做中性面。他是梁的轴线纤维伸长区和缩短区的界面。

而中性面和横截面那根交线，我们把它叫做中性轴，因此，在中性轴上，沿着轴的纤维既不伸长也不缩短。当然，中性面和中性轴都是在梁的里面的。好了，这就是我们这章的准备性的概念，这章的内容比较多，所以需要提前准备的知识点也比较多。好了，我们知道这些知识以后，就可以来研究梁横截面上的应力分析了。

横截面上正应力

这个分析过程和以前扭转给大家讲的过程一样，我们先交代一下这个分析的思路，仍然是我们力学十分重要的三个环节，第一个是几何分析，第二个是物理分析，第三个是力学分析这样三个环节，那么具体到我们这个章节，我们首先讨论几何关系，再讨论物理关系，最后讨论力学关系。这点和扭转的时候是一样的，当时也是通过这样的思路来讨论。首先通过几何关系推导出正应变和中性层曲率间的关系。有了几何关系后呢，我们就可以转入物理关系的讨论，在我们现在讨论的范畴中呢，物理关系主要是指正应力与中性层曲率之间的关系。最后力学关系，

第二篇：材料力学弯曲应力

材料力学弯曲应力

材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案1第四章 弯曲应力§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4-2梁的剪力和弯矩· 剪力图和弯矩图

§4-3平面刚架和曲杆的内力图

§4-4梁横截面上的正应力· 梁的正应力强度条件

§4-5梁横截面上的切应力· 梁的切应力强度条件

§4-6梁的合理设计

§Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组

合截面的惯性矩和惯性积材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案2§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图Ⅰ.关于弯曲的概念

受力特点

杆件在包含其轴线的纵向平面内承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点

直杆的轴线在变形后变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案3弯曲变形第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案4第四章 弯曲应力工程实例F2F1材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案5纵向对称面对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内因而变形后梁的轴线(挠曲

线)是在该纵对称面内的平

面曲线。

非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)因

而挠曲线无与它对称的纵向平面或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案6本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时梁的挠曲线与外力所在平面相重合这种弯曲称为平面弯曲。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案7Ⅱ.梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁外力为作用在梁的纵对称面内的

平面力系故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。

这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯

曲时不能用轴线代表梁。第四章 弯曲应力F材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案8(1)支座的基本形式1.固定端——实例如图a计算简图如图b, c。第四章 弯曲应力(b)(c)

MRFRxFRy(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案92.固定铰支座——实例

如图中左边的支座计算简图如图be。3.可动铰支座——实例如图a中右边的支座计算简图如图cf。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案10悬臂梁

(2)梁的基本形式

简支梁

外伸梁第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案11在竖直荷载作用下图abc所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出称为静定梁。

(3)静定梁和超静定梁图de所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定称为超静定梁。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案12例题4-1试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。第 四章 弯曲应力(a)

解1.此梁左端A为

固定端有3个未知约束力FAxFAy和MA右端B处为可动铰支座有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知支约束力。材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案13对于平面力系虽然可列出3个独立平衡方程但此

梁具有中间铰C故根据铰不能传递力矩的特点作用在

中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)对于中间铰C的力矩应等于零还可列出1个独立的平衡方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。

由此也可知此梁是静定梁。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案14第四章 弯曲应力于是可求得约束力如下 0m5mN105m2.5m3 m N

1020 03

3

By CF MkN

29ByF材 料 力 学 Ⅰ  0m5.61029

mN105m4m3 m N

1020m1N1050 03

333







A AM

子 教 案150,0AxxFFmkN5.96AM 电

M第四章 弯曲应力 0

kN29m3 m kN

20kN50,0AyyFF kN81AyF材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案162.此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开先利用CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用在CB段梁上的FCx和FCy然后利用AC段梁作为分离体求约

束力FAxFAy和MA。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案173.显然可见作用在此梁CB段上的荷载是要通过中间铰传递到梁的AC段上的但作用在AC段上的荷载是不会

传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主

梁)把梁的CB段称为副梁。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案18§4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图Ⅰ.梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment)

图a所示跨度为l的简支梁其约束力为 l Fa F l alF FB A 





,梁的左段内任一横截面mm上的内力由mm左边分离 体(图b)的平衡条件可知 

 

x l alF xFM l alF FFA A





,S第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案19它们的指向和转向如图b中

所示。显然这些内力是mm

右边的梁段对于左边梁段的作

用力和作用力矩。

故根据作用与反作用原理mm左边的梁段对于右边

梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同但指

向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案200,0SByFFFF   0 0

 x

lFxaFM

MBC l alF l Fa

FFFFB

S从而有   

   

 x l

alF xl l Fa xaF

xlFxaFMB





从而有第四章 弯曲

应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案21梁的横截面上位于横截面

内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应故称为剪力梁的横截面上作用在

纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应故称为弯矩。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案22为使无论取横截面左边或右边为分离体求得同一横

截面上的剪力和弯矩其正负号相同剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定如图。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案23综上所述可知

(1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段

上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向

下的外力将引起正值的剪力反之则引起负值的剪力。

(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。1.不论在左侧梁段上或右侧梁段上向上的外力均将引

起正值的弯矩而向下的外力则引起负值的弯矩。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案242.截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案25Ⅱ.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪

力和弯矩随截面位置变化的函数式它们分别表示剪力和

弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案26例题4-4图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载

作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章 弯曲应力(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案27距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)根

据截面右侧梁段上的荷载有

   

   l x qxx

qxxM

lxqxxF





0 22 02

S解1.列剪力方程和弯矩方程

当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时若取包含自由端截面的一侧梁段来计算则可不求出约束力。第四章 弯曲应力 x

MFS(x)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案282.作剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方

弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁

弯曲时其受拉的边缘一侧)。   l

xqxxF

0S 

 l x qxx qxxM 



0

222第四章 弯曲应力(b)

(c)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案29由图可见

此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql最大弯矩(按绝

对值)其值为(负

值)它们都发生在固定端

右侧横截面上。22

maxql

M第四章 弯曲应力(b)(c)(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案30例题4-5图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解1.求约束力2 ql FFB A

第四章 弯曲应力(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案312.列剪力方程和弯矩方程   lxqx ql

qxFxFA0

2S 

 lx

qxqlxx

qxxFxMA0

2222 x

MFS(x)

第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案32由图可见此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为(正值负值)发生在两个支座各自的内

侧横截面上最大弯矩其值为 发生在跨中横截

面上。2max ,Sql

F82

maxql

M3.作剪力图和弯矩图 

 l x qx ql xF 



0 2S

 

 l x

qxqlx xM 



0

222第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案33简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,maxMmax的计算公式应牢记在心第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案344.讨论

由剪力图可见在梁上 的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变这是由于集中力实际上是将

作用在梁上很短长度x范围

内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是

均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案35例题4-7图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章 弯曲应力解1.求约束力   

l M F l M FBA ee,材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案362.列剪力方程和弯矩方程

此简支梁的两支座之间

无集中荷载作用故作用于

AC段梁和BC段梁任意横截面同一侧的集中力相同从而可知两段梁的剪力方程相

同即 

 lx l M

FxFA0e

S第四章 弯曲应力

xx

 xMFS(x) xMFS(x)材 料 力 学方程则不同

AC段梁 

 

axx l M

xFxMA0eCB段梁 

   l xaxl l

电 子 教 案37至于两段梁的弯矩 ⅠM Mx l M

MxFxMA



e e e

e

第四章 弯曲应力

x

x x

MFS（x) xMFS(x)材 料 力 学剪力图和弯矩图 

 a x x l M xM 

电 子 教 案383.作 Ⅰ 

0

e   

 l xa xl l M xM 



e 

 lx l M

xF0e

S第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案39如图可见两支座之间

所有横截面上剪力相同均

为。在b>a的情况

下C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大为 负值)。弯

矩图在集中力偶作用处有突

变也是因为集中力偶实际 上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。l M Fe S l bM Me max

第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案40思考1一简支梁受移动荷载F作用如图所示。试问

(a)此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处为什么(b)荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大该最大弯矩

又是多少亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝

对值最大弯矩值。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案41思考2对于图示带中间铰C的梁试问(a)如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的

集中力F这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同

(b)如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同

为顺时针的力偶矩Me的力偶这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同第四章 弯曲应力C材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案42思考3根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确。

(a)

结构对称、外力对称时弯矩图为正对称剪力图为

反对称

(b)结构对称、外力反对称时弯矩图为反对称剪力图为正对称。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案43例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程并作剪力图和弯矩图。

解1.求支座约束力得

和由00ABMM

qlFqlFB A8 1 , 8 3

可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。0yF第四章 弯曲应力(a)x B A

l/2l/2CqFAFB材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案442.建立剪力方程和弯矩方程

AC段

CB段qx

qlxF 3)(S22 1 8 3)(qxqlxxMql xF 8 1)(S)2(lx l

)2 0(l

x)2 0(l

x)(8 1)(xlqlxM)2(lx l

第四章 弯曲应力(a)x

BAl/2

l/2Cq

FAFB材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案453求控制截面内力绘FS , M图

FS图AC段内 剪力方程是x的一次函数剪力图为斜直线故求出两个端截面的剪力值即可ql FA8

3S右ql FC8

1S

左CB段内 剪力方程为

常数求出其中任一截面 的内力值连一水平线即

为该段剪力图。

qlFB8 1S

左第四章 弯曲应力(a)xBA l/2 l/2 Cq(b)FSx 3 8 l 18ql 3 8

ql材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案46M图

AC段内 弯矩方程是x的二次函数表明弯矩图为二次曲

线需求出两个端截面的弯

矩。

需判断顶点位置该处弯矩

取得极值。0

AM216 1

qlMC )0)((0 d)(d1

SxF x xM2

1128 9)8 3

(qllMl x 8 3

第四章 弯曲应力

(a)

xBAl/2l/2 C q(b)FSx 38l 1 8

ql38ql(c)M x 9 128

ql2116ql2材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案47我们可以发现对于该梁来说有 

 

 

 q x xM xF x xM q x xF 



2 2 S Sd d d d d

dCB段内 弯矩方程是x的一次函数分别求出两个端点的弯

矩并连成直线即可。0

BM216 1

qlMC

第四章 弯曲应力

(a)x B

Al/2l/2 C

q(b)FSx 38l 18ql 3

8ql(c)M x 9

128ql2116

ql2材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案48a当梁上有向下的均布荷载时剪力图为一条

直线其斜率 为负 x xF d

dS而且这微分关系也体现在该梁的剪力图和弯矩图中第四章 弯曲应力

(a)x B A l/2 l/2 C q(b)FSx3 8l 18 ql 38ql(c)M x9 128 ql21 16

ql2材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案49第四章 弯曲应力

(a)x

BAl/2

l/2Cq(b)FSx 38l 1 8 ql38 ql(c)M

x9128

ql2116ql2b从剪力图可见随x的增大剪力FS由正值逐渐变为负值故弯矩图切线的斜率 也应随x的增大而由正值逐渐变为负值且在 的截面处 即

弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值 x xM d

d0S

F 

0 d d 

x

xM材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案50c由 可知弯矩图的曲率 为负亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时弯矩图为下凸的二次曲线。 q x xM

2 2d

d 2 2d d x

xM第四章 弯曲应力

(a)x BAl/2

l/2Cq(b)FSx 38l 1 8 ql38 ql(c)M x 9 128

ql2116ql2材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案51Ⅲ.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用

M(x), FS(x)与q(x)间微分关系的导出

从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内取出长为dx的梁段如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正

值且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案52       0dd 0S

SS

x

xqxFxFxF

Fy从而得 

 x q x xF 

d

dS  

      0 2 d ddd

0S



x

xxqxxFxMxMxM

MC 

得及00CyMF由梁的微段的平衡方程

略去二阶无穷小项 即得  









 d d x xxq

 

 x F x

xMSd d

第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案53应用这些关系时需要注意向上的分布荷载集度为

正值反之则为负值。

由以上两个微分关系式又可得 

 x q x xM 2

2dd第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案54常见荷载下FSM图的一些特征向上(0cq向下(0cq0q)0(ScbcxF)0(2

12

cdbxcxM)0(ScbcxF)0(2

12

cdbxcxMcFSbcxM第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案55集中力作用处集中力偶作用处

若某截面的剪力FS(x)=0根据 该截面的弯矩为极值。0)(d)(dS

xF x

xM第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案56利用以上各点除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图而不

必再建立剪力方程和弯矩方程其步骤如下

(1)求支座约束力

(2)分段确定剪力图和弯矩图的形状(3)求控制截面内力根据微分关系绘剪力图和弯矩图(4)确定|FS|max和|M|max。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案57例题 一简支梁在其中间部分受集度为q=100 kN/m的向下的均

布荷载作用如图a所

示。试利用弯矩、剪力

与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。第四章 弯曲应力x +

kN

kN FSx

FS图

y

FAFBABC D E 2 m 1 m 4 m

q该梁的AC段内无荷载材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案59对于该梁的CD段

分布荷载的集度q为常量且因荷载系向下而在微分关系中应为负值即q=

○4

2ql322qlM2/lxFlq(a)○

○

xSFF4

3ql材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案72§4-3平面刚架和曲杆的内力图Ⅰ.平面刚架

平面刚架——由同一平面内不同取向的杆件相互间刚

性连接的结构。

平面刚架杆件的内力——当荷载作用于刚架所在平面内

时杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外还会有轴力。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案73作刚架内力图的方法和步骤与梁相同但因刚架是由不同取向的杆件组成习惯上按下列约定

弯矩图画在各杆的受拉一侧不注明正、负号

剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧通常正

值画在刚架外侧但须注明正负号

剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案74例题4-13试作图a所示刚架的内力图(即作出组成 刚架的

各杆的内力图)。第四章 弯曲应力(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案75各杆的内力方程为 0NxFCB杆(杆的外侧受拉) 1SFxF)0()(1axxFxM 11NFxF(杆的外侧受拉)BA杆

 21SFxF   lxxFaFxM112110解此刚架的C点为自由端故求内力时如取包含自

由端的那部分分离体作为研究对象则可不求固定端A处 的约束力。第四章 弯曲应力(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案76绘内力图时轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧但需注明正负号(图b及图c)弯矩图则画在杆件弯曲时受

拉的一侧(图d)。第四章 弯曲应力(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案77作为校核可取该刚架的结点B为分离体标出结点处的外力及内力考察结点是否满足平衡条件。第四章 弯曲应力(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案78思考能根据概念绘出图示平面刚架(框架)的内力图吗第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案79Ⅱ.平面曲杆平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案80图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时其

任意横截面mm上的内力有

此即内力方程。根据内力方程将内力值在与q相应的

径向线上绘出即可得到内力图如图b图c及图d。   π

0cosN qqqFF   π0sinS qqqFF      外侧受拉为正π0cos1 qqqFRFxM第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案81○-○+(c)FN图

第四章 弯曲应力F(d)FS图+FF材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案82§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件纯弯曲(pure bending)━━梁或梁上的某段内各横截

面上无剪力而只有弯矩横截面上只有与弯矩对应的正应力。第四章 弯曲应力

MeM材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案83横力弯曲(bending by transverse force)━━梁的横截面上既有弯矩又有剪力相应地横截面既有正应力又有切应力。第四章 弯曲应力FCtsSFMFsMFAC材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案84Ⅰ.纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导

(1)几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)第四章 弯曲应力(a)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案85第四章 弯曲应力弯曲变形材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案861.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵

向直线段aa和bb(图b)在梁弯曲后成为弧线(图a)靠

近梁的顶面的线段aa缩短而靠近梁的底面的线段bb则伸长第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案872.相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)只是相对旋转了一个角度且与弧线aa和bb保持正交。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案88根据表面变形情况并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线可作出如下推论(假设)平面假设 梁在纯弯曲时 其原来的横截面仍保持为平面

只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。

此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案89横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短凸出一侧 的纵向线伸长从而根据变形的连续性可知中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层(图f)而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━中性轴(neutral axis)。第四章 弯曲应力f)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案90令中性层的曲率半径为r(如图c)则根

据曲率的定义 有x d d1 q

rr y x y OO BB AB BB d d2 1 1 1 1q

 

纵向线应变在横截面范围内的变化规律图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的

横截面上距中性轴z为任意距离y 处的纵向线应变由图c可知

为第四章 弯曲应力(c)材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案91即梁在纯弯曲时其横截面上任一点处的纵向线应变

与该点至中性轴的距离y 成正比。第四章 弯曲应力(c)

弯曲变形r y

材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案92小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压认为梁内各点均处于单轴应力状态。(2)物理方面━━ 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。r y

梁的材料在线弹性范围内工作且拉、压弹性模量相

同时有r

sy

EE这表明直梁的横截面上的正应力

沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。第四章 弯曲应力

M材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案93(3)

静力学方面━━藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。MAyMA z

ds梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力（）也不可能组成对

于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的

轴)的内力偶矩（）只

能组成对于中性轴z 的内力偶矩即0

dNAAFs0dA yA

zMs第四章 弯曲应力(d)材

料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案94将 代入上述三个静力学条件有

r sy E

0ddN

rr sz AA ES Ay E

AF(a)0

ddrr syz AA yEI Ayz E

AzM(b)M EI Ay E

AyMz AA z

rr sd

d2(c)以上三式中的SzIyzIz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量统称为截面的几何性质而第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案95其中

为截面对于z轴的静矩(static moment of an

area)或一次矩其单位为m3。A zA

ySd为截面对于y轴和z轴的惯性积其单位为m4。A yzA

yzId为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita

of an area)或二次轴矩其单位为m4。A zA yId

2第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案96由于式(a)(b)中的 不可能等于零因而该两式要求rE1.横截面对于中性轴z 的静矩等于零 显

然这是要求中性轴z 通过横截面的形心0

dAAy2.横截面对于y 轴和z 轴的惯性积等于零 

在对称弯曲情况下y 轴为横截面的对称轴因而这一条件自

动满足。0

dAAyz

0ddN

rr sz AA ES Ay E

AF(a)0

ddrr syz AA yEI Ayz E

AzM(b)M EI Ay E

AyMz AA z

rr sd

d2(c)第四章 弯曲应力材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案97由式(c)可知直梁纯弯曲时中性层的曲率为

上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然由于纯弯曲时

梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。zEI

第三篇：初中力学教案

1、能描述力的概念。知道物体间力的作用是相互的。

2、能说出力的作用效果

教材 重点

难点 重点：力的概念、物体间力的作用是相互的、力的作用效果

难点：理解物体间力的作用是相互的、力的作用效果 教具 多媒体课件 教学

方法 讲授、讨论、活动

教 学 过 程

新课引入：多媒体课件播放：小丽同学推门进教室，拉开椅子，提起书包放在桌子上，翻开书本准备学习

思考：

1、小丽同学在做以上这些动作时，手臂肌肉是否会感到紧张？

2、门、书包、椅子、课本的运动状态与原来相比是否发生变化，这说明了什么？ 学生分组讨论，回答

1、手臂肌肉感到紧张

2、门、书包、椅子、课本的运动状态发生变化

说明：生活和生产中所见到的推、拉、提、压等过程中存在力的作用 板书：第一章第二节：力

一、什么是力

1、力是物体对物体的作用。

阅读：课本P9图1、2、2，分组讨论上述例子中受力物体有哪些，施加力的物体有哪些？ 实例 施加力的物体 受到力的物体 推土机 推土机 土

牵引车拖拉故障车 牵引车 故障车 起重机提升重物 起重机 重物 压路机压实路面 压路机 路面

上述的例子说明，有力存在时，总有一个物体对另一个物体发生了作用。所以，力是物体对物体的作用。一组物体是施力的，另一组物体是受力的。对一个力来说，有施力物也有受力物。现在请大家指出下列各力的施力物和受力物。

板书：我们把施加力的物体叫施力物体，受到力的物体叫受力物体。

思考：在有力作用时物体应该有几个以上？单独一个物体能否有力的作用？ 学生讨论，教师归纳

板书：

3、力不能脱离物体而单独存在，要产生力必须有两个以上的物体

二、物体间力的作用是相互的 活动一：观察用丝线悬挂起来的两个带同种电荷的塑料小球，相互靠近是所发生的现象 提问：A、B两球是A排斥B还是B排斥A或相互排斥而分开？ 备注

活动二：将相同形状的一块磁铁和一块铁块分别放在小车上，并将小车放在光滑的水平面上，使两车相互靠近到一定距离时由静止放开，观察发生的现象 讨论：是磁铁吸引铁块，还是铁块吸引磁铁，还是相互吸引？ 分析：

1、A、B两球是由于相互排斥而离开

2、磁铁和铁块是由于相互吸引而靠近板书：

1、物体间力的作用是相互的，讲解：力总是成对出现的，这对力叫作用力与反作用力。展示发生车祸时两车都被撞扁的情景，使学生对力的相互性有更为具体的认识，并请同学分析原因。

提问：你还看到哪些现象说明力的作用是相互的？

讨论：既然力的作用是相互的，那么任何一个力都涉及到两个物体，是否两个物体一定要相互接触才能发生力的作用？（演示小磁针在条形磁铁磁场中受力转动。）板书：板书：力的作用效果

1.力可以改变物体的形状。

实验：用手将弹簧拉长。

教师：弹簧受到拉力时变长了。实验：手用力使锯条变弯曲。

教师：气球受到手的压力时变扁了。这说明力可以改变物体的形状。板书：2.力可以改变物体的运动状态。

讲述：足球静止在地面上，脚踢它时给它一个力，足球受到这个力由静止变为运动。汽车关闭了发动机后，由于汽车受到阻力，速度逐渐变小，最终停下来。可见力可以使物体运动的速度变大，也可以使运动物体的速度变小。

讲述：乒乓球向我们飞来，我们挥拍打去，球的运动方向变化了，又向对方的球台飞去。可见力还可以改变物体运动的方向。

讲解：运动状态改变包括① 物体由静止变为运动 ② 物体的运动由慢变快 ③ 物体由运动变为静止 ④ 物体的运动由快变慢 ⑤ 物体运动的方向发生改变 小结：

第四篇：建筑力学教案

建筑力学重点内容教案

（四）静定结构和超静定结构

建筑物中支承荷载、传递荷载并起骨架作用的部分叫做结构，例如在房屋建筑中由梁、板、柱、基础等构件组成的体系。前面，我们介绍了单个杆件的强度、刚度和稳定性问题。本章将要介绍结构的几何组成规则、结构受力分析的基本知识、不同结构形式受力特点等问题。

第一节结构计算简图

实际结构很复杂，完全根据实际结构进行计算很困难，有时甚至不可能。工程中常将实际结构进行简化，略去不重要的细节，抓住基本特点，用一个简化的图形来代替实际结构。这种图形叫做结构计算简图。也就是说，结构计算简图是在结构计算中用来代替实际结构的力学模型。结构计算简图应当满足以下的基本要求：

1．基本上反映结构的实际工作性能； 2．计算简便。

从实际结构到结构计算简图的简化，主要包括支座的简化、节点的简化、构件的简化和荷载的简化。

一、支座的简化

一根两端支承在墙上的钢筋混凝土梁，受到均布荷载g的作用(图10—1。)，对这样一个最简单的结构，如果要严格按实际情况去计算，是很困难的。因为梁两端所受到的反力沿墙宽的分布情况十分复杂，反力无法确定，内力更无法计算。为了选择一个比较符合实际的计算简图，先要分析梁的变形情况：因为梁支承在砖墙上，其两端均不可能产生垂直向下的移动，但在梁弯曲变形时，两端能够产生转动；整个梁不可能在水平方向移动，但在温度变化时，梁端能够产生热胀冷缩。考虑到以上的变形特点，可将梁的支座作如下处理：通常在一端墙宽的中点设置固定铰支座，在另一端墙宽的中点设置可动铰支座，用梁的轴线代替梁，就得到了图10—16的计算简图。这个计算简图反映了：梁的两端不可能产生垂直向下移动但可转动的特点；左端的固定铰支座限制了梁在水平方向的整体移动；右端的可动铰支座允许梁在水平方向的温度变形。这样的简化既反映了梁的实际工作性能及变形特点，又便于计算。这就是所谓的简支梁。

假设某住宅楼的外廊，采用由一端嵌固在墙身内的钢筋混凝土梁支承空心板的结构方案(图10—20)。由于梁端伸入墙身，并有足够的锚固长度，所以梁的左端不可能发生任何方向的移动和转动。于是把这种支座简化为固定支座，其计算简图如图10—26所示，计算跨度可取梁的悬挑长加纵墙宽度的一半。

预制钢筋混凝土柱插入杯形基础的做法通常有以下两种：当杯口四周用细石混凝土填实、地基较好且基础较大时，可简化为固定支座(图10—3a)；在杯口四周填入沥青麻丝，柱端可发生微小转动，则可简化为铰支座(图10一36)。当地基较软、基础较小时，图口的做法也可简化为铰支座。

支座通常可简化为可动铰支座、固定铰支座、固定支座三种形式。

二、节点的简化 结构中两个或两个以上的构件的连接处叫做节点。实际结构中构件的连接方式很多，在计算简图中一般可简化为铰节点和刚节点两种方式。

1．铰节点铰节点连接的各杆可绕铰节点做相对转动。这种理想的铰在建筑结构中很难遇到。但象图10—40中木屋架的端节点，在外力作用下，两杆间可发生微小的相对转动，工程 中将它简化为铰节点(图10—46)。

2·刚节点刚节点连接的各杆不能绕节点自由转动，在钢筋混凝土结构中刚节点容易实现。图10—5a是某钢筋混凝土框架顶层的构造，图中的梁和柱的混凝土为整体浇注，梁和柱的钢筋为互相搭接。梁和柱在节点处不可能发生相对移动和转动，因此，可把它简化为刚节点(图10—56)。

三、构件的简化

构件的截面尺寸通常比长度小得多。在计算简图中构件用其轴线表示，构件之间的连接用节点表示，构件长度用节点间的距离表示。

四、荷载的简化

在工程实际中，荷载的作用方式是多种多样的。在计算简图上通常可将荷载作用在杆轴上，并简化为集中荷载和分布荷载两种作用方式。关于荷载的分类及简化已在第一章中述及。这里不再重复。

在结构设计中，选定了结构计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应韵措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。因此，在按图施工时，必须严格实现图纸中规定的各项要求。施工中如疏忽或随意修改图纸；就会使实际结构与计算简图不符，这将导致结构的实际受力情况与计算不符，就可能会出现大的事故。检查与回顾 1.结构计算简图应满足哪些基本要求？

2.结构计算简图的简化主要包括哪些内容？

新授课 第二节平面结构的几何组成分析

一、几何组成分析的概念

建筑结构通常是由若干杆件组成的，但并不是用一些杆件就可随意地组成建筑结构。例如图10—6a中的铰接四边形，可不费多少力就把它变成平行四边形(图。一6b)，但这种铰接四边形不能承受任何荷载的作用，当然不能作为建筑结构使用。如果在铰接四边形中加上一根斜杆(图10—7)，那么在外力作用下其几何形状就不会改变了。

图10—6 图110—7

从几何组成的观点看，由杆件组成的体系可分为两类：

1·几何不变体系 在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是不能改变的

2·几何可变体系在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是可以改变的(图10—6a)。

对结构的几何组成进行分析，以判定体系是几何不变体系还是几何可变体系，叫做几何组成分析。

显然，建筑结构必须是几何不变体系。

在体系的几何分析中，把几何不变的部分叫做刚片。一根柱可视为一个刚片；任一肯定的几何不变体系可视为一个刚片；整个地球也可视为一个刚片。

二、几何不变体系的组成规则(一)铰接三角形规则

实践证明，铰接三角形是几何不变体系。如果将图10—8口铰接三角形A船中的铰A拆开：AB杆则可绕曰点转动，AB杆上4点的轨迹是弧线①；4C杆则可绕C点转动，AC杆上的A点的轨迹是弧线②。这两个弧线只有一个交点，所以A点的位置是唯一的，三角形ABC的位置是不可改变的。这个几何不变体系的基本规则叫做铰接三角形规则。

如果在铰接三角形中再增加一根链杆仰(图10—86)，体系ABCD仍然是几何不变的，从维持体系几何不变的角度看，AD杆是多余的，因而把它叫做多余约束。所以ABCD体系是有多余约束的几何不变体系，而铰接三角形ABC是没有多余约束的几何不变体系。

②

铰接三角形规则的几种表达方式

1·二元体规则在铰接三角形中，将一根杆视为刚片，则铰接三角形就变成一个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个节点，这种结构叫做二元体结构(图10—9)。于是铰接三角形规则可表达为二元体规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

2·两刚片规则若将铰接三角形中的杆AB和杆日C均视为刚片，杆AC视为两刚片间的约束(图10—10)，于是铰接三角形规则可表达为两刚片规则：两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。图10一ll a表示两刚片用两根不平行的链杆相连，两链杆的延长线相交于A点，两刚片可绕

图 10一10 图 10—11 A点做微小的相对转动。这种连接方式相当于在A点有一个铰把两刚片相连。当然，实际上在A点没有铰，所以把A点叫做“虚铰”。为了阻止两刚片间的相对转动，只需增加一根链杆(图10—11 b)。因此，两刚片规则还可以这样表达：两刚片间用三根不全平行也不全相交于一点的三根链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。

3．三刚片规则若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片(图10—12)，则有三刚片规则：三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

总结

作业：P238 10-

1、10-2 检查与回顾 铰结三角形的表达形式 新授课

三、超静定结构的概念

简支梁通过铰A和链杆B与地球相连(图10—13a)，是几何不变体系，且无多余约束。这种没有多余约束的几何不变体系叫做静定结构。静定结构的反力和内力可通过静力平衡方程求得。如果在简支梁中增加一个链杆(图10—13b)，它仍然是几何不变体系，但有一个多余约束。有多余约束的几何不变体系叫做超静定结构。超静定结构的支座反力和内力不能由静力平衡方程式全部求得。例如图10—13b中的梁，在荷载和支座反力的作用下，构成一个平面一般力系，可列出三个独立的平衡方程，而未知的支座反力有四个，三个方程只能解算三个未知量，所以不能求出全部的反力，因而内力也无法确定。超静定结构的内力计算，除了运用静力平衡条件外，还要利用变形条件，这里不予介绍。．

四、几何组成分析的实例

几何不变体系的组成规则，是进行几何组成分析的依据。对体系重复使用这些规则，就可判定体系是否是几何不变体系及有无多余约束等问题。运用规则对体系分析时，可先在体系中找到一个简单的几何不变部分，如刚片或铰接三角形，然后按规则逐步组装扩大，最后遍及全体系；也可在复杂的体系中，逐步排除那些不影响几何不变的部分，例如逐步排除二元体，使分析对象得到简化，以便于判别其几何组成。

例10—1试对图10—14中的体系做几何组成分析。

解铰接三角形是几何不变体系(图中的阴影部分)，在此基础上不断增加二元体，最后可遍及整个桁架。将整个桁架视为一个刚片，地球视为另一个刚片，依据两刚片规则，它们之间用铰A与不通过铰A的支座链杆B相连，组成了没有多余约束的几何不变体系。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。‘

C

例10一2试分析图10一15中体系的几何组成。

解整个体系可分为左右两个部分：左边的AC可视为刚片，在刚片上增加二元体ADF；右边的CB可视为刚片，在刚片上增加二元体GEB。左、右两部分均可视为刚片，它们之间用铰C和链杆DE相连(两刚片规则)，形成一个大刚片。这个大刚片与地球用铰A和链杆B相连，构成一个没有多余约束的几何不变体系。

现在从另一角度进行分析：左边的AD、AC、DF可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰A、D、F相连，组成了一个几何不变体系；右边的CB、BE、GE可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰G、E、B、相连，也组成了一个几何不变体系。左、右两部分用铰C和链杆册相连，组成了一个没有多余约束的几何不变体系，然后再与地球相连。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。

例10—3试分析图10—16中体系的几何组成。

解图10—16中的杆AB可视为刚片工，杆BC可视为刚片II，地球为刚片III。三刚片通过铰A、B、C两两相连，但这三个铰在同一直线上，不符合三刚片规则。现在分析在这种情况下会出现的问题。

B点是杆AB及BC的公共点。对AB杆而言，B点可沿以AB为半径的圆弧线①运动；对嬲杆而言，B点可沿以BC为半径的圆弧线②运动。由于A、曰、C三点共线，两个圆弧在B点有公切线。所以，在图示的瞬时，B点可沿公切线做微小的运动，即体系在这一瞬时是几何可变的。但是，B点经过微小的位移后，A、B、C三点就不再共线，B点的位移不能再继续增大。这种本来是几何可变的体系，经过微小的位移后又成为几何不变的体系，叫做瞬变体系。瞬变体系不能作为结构使用，任何接近于瞬变体系的构造，在实际建筑结构中也不允许出现。图10—17中，A、B、C三铰虽不共线，但在e角很小时，链杆的轴力将很大；当日角趋近于零时，体系趋近瞬变状态，链杆的轴力将趋于无穷大。

结论体系是瞬变体系，不能作为结构使用。

例10-4试对图中的体系作几何组成分析。

解 曲杆AC、CB和直杆通过不在同一直线上的三个铰A、B、C两两相连，组成了几何不变体系且没有多余约束。体系的两端通过铰A、B与基础相连，显然多了一个约束。

分析：曲杆AC、CB和地基可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的铰A、C相连，组成了几何不变体系，因此，链杆衄可视为多余约束。结论体系是几何不变的，且有一个多余约束。

建筑结构可分为平面结构和空间结构。如果组成结构的所有杆件的轴线菇在同一个平而Ⅱ为平面结构，否则，便是空间结构。严格说来，实际建筑结构 ‘多场合下，根据结构的组成特点及荷载的传递途径，在实际许可的进五磊主 内，把它们分解为若干个独立的平面结构，可简化计算。

从结构的几何组成角度看，结构又可分为静定结构和超静定结构。

第五篇：建筑力学教案

第十章 静定结构和超静定结构

第二节平面结构的几何组成分析

教学要求：1.理解几何组成分析中的名词含义；

2.掌握平面几何不变体系的组成规则；

3.会对常见平面体系进行几何组成分析。重 点：掌握平面几何不变体系的组成规则。难 点：对平面体系进行几何组成分析。授课方式：课堂讲解和练习教学内容：平面结构的几何组成分析

一、概念

体系：若干个杆件相互联结而组成的构造。

1、几何不变体系：在任何荷载作用下，若不计杆件的变形，其几何形状与位置均保持不变的体系。

2.几何可变体系：即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，会引起很大的形状或位置的改变的体系。

3、刚片：几何形状不能变化的平面物体。

二、几何不变体系的组成规则

1.铰接三角形规则:三个刚片用不共线的三个单较两两相联,组成的体系为几何不变。

此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C两两铰联组

成的，为几何不变。（1）二元体规则: 二元体:两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。在一个刚片上增加或减少一个二元体,仍为几何不变体系。

为没有多余约束的几何不变体系 结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。（2）两刚片规则: 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联,为几何不变体系。

虚铰：

O为相对转动中心。起的作用相当一个单铰，称为虚铰。

或者

两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系。

例如：

基础为刚片Ⅰ，杆BCE为刚片Ⅱ，用链杆AB、EF、CD 相联，为几何不变体系。

三、课后练习：

建筑力学公开课教案

系

部：综合二祖

内

容：平面结构的几何组成分析

班

级：高一建筑一班

教

师：陈

燕