材料力学典型物理量总结

第一篇：材料力学典型物理量总结

材料力学物理量公式总结

08机制（5）班 赖展韬 200830510513

第一章

绪论

应力为内力密度、即单位面积上作用的内力，是内力大小的量度。其单位为Pa或MPa平均全应力

单位面积上的内力 Pm平均正应力

与截面垂直的分量 m平均切应力

与截面相切的分量 mFAFNAFS

A因内力一般不是均匀分布，所以使A0，便可得到一点处的应力

全应力 plim正应力 limFAFNAFSAx0dFdA

dFNdAdFSdAx0切应力 limx0应变是对变形的量度，是无量纲量。

线应变又称正应变，是弹性体变形时一点沿某一方向微小线段的相对改变量，无量纲。线应变 limlxx0dldx

角应变又称剪应变，是弹性体变形时某点处一对互相正交的微线段所夹直角的改变量，单位为弧度（rad），用表示。角应变lim(x0y02)

其中是变形后原来正交二线段间的夹角

第二章

拉伸、压缩与剪切

内力为有外力作用引起的，构件内部相互之间的作用力

轴力为轴向拉、压时，杆件横截面上的内力，以FN表示，沿杆件轴线方向 轴向拉伸（压缩）时，横截面上的应力 正应力

FNA（N/m或Pa）

2轴向拉伸（压缩）时，斜截面上的应力 正应力

切应力

FNAFN2Acos sin2 2最大、最小应力

maxmax0FNAFN2A，，min900

45min0,900

轴向拉伸（压缩）时的强度 力学性能指标 a.强度指标：

比例极限

p——应力和应变变成正比的最高应力值 弹性极限

e——只产生弹性变形的最高应力值

屈服极限

s——应力变化不大，应变显著增加时的最低应力值 强度极限

b材料在断裂前所能承受的最高应力值 b.弹性指标：弹性模量Ec.塑性指标：延伸率（N/m2）

100%

L1L0L0

截面收缩率d.冷作硬化

A0A1A0100%

轴向拉伸（压缩）时的强度条件

构件的最大应力不得超过材料的许用应力

maxFNA

（塑性材料SnS,脆性材料bnb）

许用应力是材料容许承受的最大工作应力 []强度计算的三类问题 强度校核 malim极限应力（或破坏应力） n安全系数xFNA

截面设计

AFN 许用载荷计算

FNA（由FN计算F）轴向拉伸（压缩）时的变形与位移 轴向拉（压）时的变形 纵向变形

LL L1纵向应变 LL

FNLEA胡克定律

L或E

横向变形

dd1d（或aa1a）横向应变

'dd（或'aa）

泊松比

'，恒为负值

（横向应变'，轴向应变）

剪切及其实用计算平均切应力 avgFSAg

FSA 剪切强度条件 av为根据直接试验并按平均切应力计算公式求得的材料的许用切应力

挤压及其实用计算平均挤压应力 bsFAbsFAbs

强度条件 bsbs

轴向拉伸或压缩的应变能

应变能为省略动能、热能等能量的变化，认为杆件内只储存了应变能 应变能 VW1212FlFl2EA22

应变能密度 v温度应力 T装配应力  E222E

(J/m)

3FABAEAlET

FRBl

第三章

扭转

传动轴转速、传递功率与外力偶矩之间的关系为

Mp9549Pn(Nm)

扭矩

构件受扭时，横截面上的内力偶矩，以T表示。

扭矩的正负号规定右手螺旋法则，扭矩矢量的方向指向截面为负，背离截面为正。扭矩图表示圆杆各截面上的扭矩沿杆轴线方向变化规律的图线。

横截面上的正应力

分布规律

切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其方向与该点的半径相垂直。计算公式 TIp

maxTIpRTWt

极惯性矩与抗扭截面系数

43D

WtD 实心圆截面 Ip3216空心圆截面 Ip32dD(Dd)44D324(1)

Wt4D163(1)

4式中 

TWt[]

TWt[] 圆轴扭转的强度条件 max强度计算的三类问题

强度校核 max

截面设计 WtT[]

许可载荷计算

Me[]

圆轴扭转的变形条件

小变形时，圆轴任意二截面之间仅产生相对角位移变形，称为相对扭转角 相对扭转角 TLGIp(rad)

单位长度相对扭转角 LTGIp(rad/m)圆轴扭转时的刚度条件 矩形截面杆扭转

横截面上最大切应力 maxTGhb3Tmax180[] GIpTahb2

相对扭转角 

第四章

弯曲内力

剪力是与横截面相切的分布内力系的合力，用M表示 弯矩是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，用

FS表示

剪力方程与弯矩方程

构件各横截面上的剪力、弯矩表示为截面的坐标位置x的函数，即表示剪力、弯矩随截面位置而变化的函数关系

FSFSxMMx，载荷、剪力和弯矩间的关系

载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系

dFS(x)dx

dM(x)q(x)

FS(x)

dx2

dM(x)

dx2q(x)

载荷集度与剪力、弯矩间的积分关系

x2FS2FS1q(x)dxx1x

2M2M1

SFx1(x)dx

第五章

弯曲应力

梁的正应力、正应力强度条件 梁轴线的曲率与弯矩间的关系

1M(x)EIz(x)

梁横截面上的正应力

分布规律

任一点正应力的大小与该店至中性轴的垂直距离成正比，中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。计算公式 MyIZMmayxmIZMmWZaxax maxMmWZax

梁的正应力强度条件 max强度计算的三类问题： 强度校核 maxMmWZax[]

[]

截面设计 WZMmax

由WZ计算截面尺寸 []许用载荷计算

Mmax[]WZ

由Mmax计算许用载荷 梁的切应力、切应力强度条件

分布规律

切应力方向与剪切力方向平行，大小沿截面宽度均匀分布，沿高度成抛物线变化。计算公式 FSSZbIz*6FSh3FS2

(y)maxh3y2Abh422工字形截面梁的切应力

分布规律

铅垂方向的切应力的分布规律与矩形截面相同 计算公式 FSSZbIZ*FSBbh22

2腹板部分 [(Hh)(y)]

bIZ8242圆形截面梁的最大切应力 计算公式 max4FS3A3R*FSmaSxz梁的切应力强度条件 maxA4FS2

max[]

第六章

弯曲变形

平面弯曲时的变形

在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来量度

1纯弯曲时，弯矩-曲率关系 MEI 1M(x)EI横力弯曲时，弯矩-曲率关系 (x)

挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示 转角——很截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示

和的正负号由所选坐标系的正方向来确定。沿y轴正方向的挠度为正。转角的正负号

判定规则为，讲x轴绕原点旋转90而与y轴重合，若和它的转向相同，则为正，反之为负。

d2挠曲线近似微分方程 dx受弯曲构件的刚度条件

2M(x)EI，maxmax

和为规定的许可挠度和转角

积分法求梁的挠度和转角



M(x)

用叠加法求弯曲变形 EIM(x)EIdxC

dxdxCxD

在弯曲变形很小，且材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的微分方程是线性的。又因在小变形的前提下，计算弯矩时用梁变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系也是线性的。得：

EIddx22

MFMqEId(Fq)dx22

第七章

应力和应变分析

强度理论

主平面

单元体上无切应力作用的平面

主应力

主平面上的正应力。主应力1、

2、3有123 应力状态的分类

单向应力状态

三个主应力中只有一个不为零的应力状态，如轴向拉压杆内一点。

二向应力状态

三个主应力中有两个不为零的应力状态，如薄壁压力容器筒壁内一点。三向应力状态

三个主应力都不等于零的应力状态，如两个物体接触处。

二向应力状态分析的解析法 斜截面上的应力 

xy2xy2cos2xysin2

xy2sin2xcos2

符号规定

主应力以拉应力为正

切应力以对单元体内任一点产生顺时针转向的为正。

方向角以逆时针方向为正

2xy主平面方向 tan2y

x主应力 xy2(xy2)xy

22最大最小应力分别为三个主应力中的两个，对于二向应力状态，有一个主应力必定为零主应力为零的面成为零应力面 最大切应力

max(xy2)xy

22作用面方向 tan2三向应力状态 xy2xy

主应力

123

13最大切应力

max

2最大正应力

max1

1E1E1E最大切应力作用面与2作用面垂直，与

1、3作用面分别成45度角。

x广义胡克定律 y

z[x(yz)] [y(xz)] [y(xy)]

三个弹性常数之间的关系 GE2(1)12

轴向拉压杆的弹性应变能 VFLVV12EFl2EA1222

轴向拉压杆的弹性应变能密度 v三向应力状态下的应变能密度 v体积改变能密度 vV126E

22[12322(122331)]

(123)畸变能密度 vd常用强度理论 16E[(12)(23)(31)]

222第一强度理论

1[]

第二强度理论

1(23)[] 第三强度理论

13[]

12第四强度理论

[(12)(23)(31)][]

222第八章

组合变形

斜弯曲：二相互垂直平面内平面弯曲的组合 应力计算 z强度条件

mxMymaxMIyyzMzIzy

aWyMMzmaxWzM

或max注意：

ymaxIyz1zmaxIzy1

1、危险截面上My和Mz不一定同时达到最大值

2、危险点为距中性轴最远的点。若截面有棱角，则危险点必在棱角处；若截面无棱角，则危险点为截面周边与平行于中性轴之直线的切点

3、中性轴一般地不垂直于外力作用线（或中性轴不平行于合成的弯矩矢量）



tanIzIytan

4、若1，则拉压强度均应满足 轴向拉（压）与弯曲组合、偏心拉压

应力计算

xFNAMIyyzMzIz 强度条件

危险点为单向应力状态，mxFNAFNAMymaxaWyMymaxMzmaxWzM

或maxIyz1zmaxIzy1

扭转与弯曲组合（只考虑圆形截面杆）应力计算 MMW，TTWt

因只考虑圆截面杆的扭转与弯曲的组合，圆截面任一直径都是形心主惯性轴，故可先求其合成弯矩

MM2yM2z 然后再计算弯曲正应力。否则，弯曲正应力应按斜弯曲计算 强度条件

危险点在圆截面边缘上 第三强度理论 対圆截面

1WM4T 22M2T22

2第四强度理论

对圆截面

1WM3T

M20.75T2

第九章

压杆稳定

细长压杆临界载荷的欧拉公式 FcrEI(L)2

2或 crE()22

欧拉公式的适用范围

只适用于压杆处于弹性变形范围。压杆的柔度应满足

1Ep2，Li

三类压杆的临界载荷

大柔度杆

1屈曲破坏，其临界载荷由欧拉公式确定 FcrasbEI(L)22

中柔度杆12 屈曲与强度联合破坏，临界载荷

FcrA(ab)小柔度杆2

强度破坏，临界载荷

FcrAs 压杆的稳定条件 nFcrFnst

n为压杆实际具有的工作安全因数，nst为规定的稳定安全因数。

第十章

动载荷

动应力等于静应力乘以动荷因数。强度条件可以写成dKdst

1、作等加速度运动的构件内的动应力（1）等线加速度问题 动应力

dKds t式中st为静应力，Kd为动荷因数

Kd1（2）等角加速度问题 圆轴内最大扭转切应力 mxI0Wtag

a

I0和分别为圆轴上飞轮对轴的转动惯量和旋转角加速度

2.、等角速度旋转构件的动应力（1）薄圆环作等角速度旋转 圆环横截面上的拉应力 dD422

2和分别为圆环的密度和环上任一点的线速度

强度条件

d 2（2）等直杆绕定轴作等角速度旋转 杆横截面上最大拉应力 maxL22212

2和分别为杆的密度和杆端的线速度，L是杆长度

3、杆件受冲击载荷时的动应力

（1）水平冲击

冲击载荷引起的动应力

dKds t式中st为静应力，Kd为动荷因数

Kd2gst

是冲击物的速度，st为静载荷作用时的变形

（2）自由落体冲击

冲击载荷引起的动应力

dKds t式中st为静应力，Kd为动荷因数

2hst

Kd11

式中h是自由落体至被冲击物表面的高度

第十一章

交变应力

应力循环

构件内某定点的应力经历一次完整的变化过程，回复到原来的应力值。循环应力极值

max、min

maxmin平均应力 m 应力幅度 a循环特征

r=2maxm2in

maxmax=-1时称为对称循环；min=0时称为脉冲循环； min影响构件持久极限的主要因素

构件外形的影响

构件外形尺寸的突然变化引起应力集中

有效应力集中因数

K=光滑试件的持久极限/有应力集中试件的持久极限 尺寸大小的影响

构件尺寸增大，材料包含缺陷的可能性增多 尺寸因素

=光滑大试件的持久极限/光滑小试件的持久极限 表面质量的影响

构件表面加工质量影响构件持久极限

表面质量因素

=不同表面质量试件的持久极限/表面磨光试件的持久极限

K1对称循环下构件的疲劳强度校核 nn

max

第十三章

能量方法 杆件基本变形时的应变能 轴向拉压时的应变能 V2FN(x)dxl22EA(x)

扭转时的应变能 VT(x)dxl2GIp(x)2

平面弯曲时的应变能 VM(x)dxl2EI(x)

应变能不能应用力作用的叠加法，杆件应变能与载荷最终值有关，与加载次序无关 杆件组合变形时的应变能 VFN(x)dxl22EA(x)+T(x)dxl22GIp(x)+M(x)dxl22EI(x)

单位载荷法莫尔积分

求结构任一点任一方向位移，在该点施加与所求位移对应的单位载荷 所求位移 FNFNdxlEATTdxlGIpMMdxlEI

力法求解超静定结构正则方程

111X11F0

第十四章

超静定结构

用力法正则方程解三次超静定平面杆系结构 力法正则方程

11X112X213X31F021X122X223X32F0 XXX03223333F311根据位移互等定理，1221，1331，2332。所以柔度系数ij只有6个是独立的。柔度系数ij可用单位载荷法，或图乘法确定。利用对称性条件简化力法正则方程的计算

两种对称性

结构对称——结构的外形尺寸，截面刚性、支座情况都对称

载荷对称——载荷作用点位置及方向对称

不论外力如何作用，只要结构对称，并沿对称轴将超静定结构切开，得到对称的静定基，则必有

12210，23320

所以力法正则方程可简化为 11X113X31F022X20 XX03333F311于是可得X20。这说明，对称结构受对称载荷作用时，在对称截面上的反对称内力必为零。

当结构对称，载荷反对称，并选用对称静定基时，必有1F0，3F0，于是力法正则方程可简化为

1X33011X1

22X2F20

XX0333311只要

1131130

33就必有X10，X30。这说明对称结构作用以反对称载荷，在对称截面上的对称内力必为零。

第二篇：岩体力学典型例题(DOC)

一、绪论

1、岩体力学的定义：岩体力学主要是研究岩体和岩体力学性能的一门学科，是探讨岩石和岩体在其周围物理环境（力场、温度场、地下水等）发生变化后，做出响应的一门力学分支。

2、何谓岩石？何谓岩体？岩石与岩体有何不同之处？1）岩石：由矿物或岩屑在地质作用下按一定规律聚集而形成的自然物体。2）岩体：一定工程范围内的自然地质体。3）不同之处：岩体是由岩石块和各种各样的结构面的综合体。

3、何谓岩体结构？岩体结构的两大要素是什么？（1）岩体结构是指结构面的发育程度及其组合关系；或者是指结构体的规模、形态及其排列形式所表现的空间形态。（2）结构体和结构面。

4、中科院地质所提出的岩体结构可分为那六大类型？块状、镶嵌、层状、碎裂、层状碎裂、松散结构

5、岩体有哪些特征？（1）不连续；受结构面控制，岩块可看作连续。（2）各向异性；结构面有一定的排列趋势，不同方向力学性质不同。（3）不均匀性；岩体中的结构面方向、分布、密度及被结构面切割成的岩块的大小、形状和镶嵌情况等在各部位不同，各部位的力学性质不同。（4）赋存地质因子特性（水、气、热、初应力）都会对岩体有一定作用。

二、物理力学性质

1、岩石有哪些物理力学参数？岩石的质量指标，水理性质指标，描述岩石风化能力指标，完整岩石的单轴抗压强度，抗拉强度，剪切强度，三向压缩强度和各种受力状态相对应的变形特性。

2、影响岩石强度特征的主要因素有哪些？对单轴抗压强度的影响因素有承压板、岩石试件尺寸及形状（形状、尺寸、高径比），加载速率、环境（含水率、温度）。对三相压缩强度的影响因素：侧向压力、试件尺寸与加载速率、加载路径、空隙压力。

3、何谓岩石的应力应变全过程曲线？所谓应力应变全过程曲线是指在刚性实验机上进行实验所获得的包括岩石达到峰值应力之后的应力应变曲线。

5、试比较莫尔强度理论、格里菲斯强度理论和 E.Hoek 和.T.Brown 提出的经验强度理论的优缺点：莫尔强度理论优点是使用方便，物理意义明确；缺点是1不能从岩石破坏机理上解释其破坏特征2忽略了中间主应力对岩石强度的影响；格尔菲斯强度理论优点是明确阐明了脆性材料破裂的原因、破裂所需能量及破裂扩展方向；缺点是仅考虑岩石开裂并非宏观上破坏的缘故。E.hoek和E.T.brown提出的经验理论与莫尔强度理论很相似其优点是能够用曲线来表示岩石的强度，但是缺点是表达式稍显复杂。

6、典型的岩石蠕变曲线有哪些特征？典型的岩石蠕变曲线分三个阶段第Ⅰ阶段：称为初始蠕变段或者叫瞬态蠕变阶段。在此阶段的应变一时间曲线向下弯曲；应变与时间大致呈对数关系，即ε∝㏒t。第Ⅱ阶段：称为等速蠕变段或稳定蠕变段。在此阶段内变形缓慢，应变与时间近于线性关系。第Ⅲ阶段：称为加速蠕变段非稳态蠕变阶段。此阶段内呈加速蠕变，将导致岩石的迅速破坏。

7、有哪三种基本的力学介质模型？1）弹性介质模型；2）塑性介质模型（理想塑性模型、有硬化塑.性介质模型）；3)黏性介质模型

8、基本介质模型的串联和并联的力学特征有何不同？串联E和h，每个元素的力相等；总应变=分应变之和。基本模型，两元件并联，使它所表现的变形特征与马克斯维尔模型有所不同。根据两个基本力学模型并联的力学特征，当外力作用于模型的两端时，两个模型产生的应变相等，而其应力为弹簧所受的应力与粘壶所受的应力之和。

9、岩石在单轴和三轴压缩应力作用下，其破坏特征有何异同？单轴破坏形态有两类：圆锥形破坏，原因：压板两端存在摩擦力，箍作用（又称端部效应），在工程中也会出现；柱状劈裂破坏，张拉破坏（岩石的抗拉强度远小于抗压强度）是岩石单向压缩破坏的真实反映（消除了端部效应），消除试件端部约束的方法，润滑试件端部（如垫云母片；涂黄油在端部），加长试件。三轴压缩应力：低围压，围压作用不明显，接近单轴压缩破坏形式；中围压，斜面剪切破坏；高围压,塑性流动性破坏。

11、有一云母片岩试件，其力学性质在沿片理方向A 和 垂直片理方向B 表现出明显的各向异性，试问：1）试件在A向和 B 向受到相同的单向压力时，变形哪个方向更大？弹性模量哪个更大？为什么？2）岩石试件的单轴抗压强度哪个更大？为什么？

答：1）在相同单向压力作用下B向变形更大，因为B向包含片理的法向闭合变形，相对A而言，对岩石的变形贡献大。相应的弹性模量则是A向大，根据应力应变关系可知，在应力相同的情况下，A向应变小于B向应变，故A向弹性模量大。2）单轴抗压强度B向大，因为B向为剪断片理破坏，实为岩块抗压强度。A向由于结构面的弱抗拉效应，岩石产生拉破坏，降低了岩石单轴抗压强度。

三、岩体动力学性质

1、如何测试岩块和岩体弹性波波速？ 1）岩块声波速度测试：测试仪器主要是岩石超声波参数测定仪和纵横波换能器。测试时，把纵横波换能器放在岩块试件的两端。测定纵波速度时宜采用凡士林或黄油作耦合剂，测定横波速度时宜采用铝箔或铜箔作耦合剂测试结束后，应测定超声波在标准有机玻璃中的传播时间，绘制时距曲线并确定仪器系统的零延时。vp=L/（tp-t0），vs=L/（ts-t0）

2）岩体声波速度测试：测点表面应大致修凿平整并擦净，纵波换能器应涂厚1-2mm的凡士林或黄油，横波换能器应垫多层铝箔或铜箔，并应将换能器放置在测点上压紧。在钻孔或风钻孔中进行岩体声波速度测试时，钻孔或风钻孔应冲洗干净，并在孔内注满水，水即作为耦合剂，而对软岩宜采用干孔测试。

2、影响岩体弹性波波速的因素有哪些？1）岩体弹性波速与岩体种类、岩石密度和生成年代有关.2、岩体波速与岩体中裂隙或夹层的关系：34岩体波速与岩体的有效孔隙率n及吸水率Wf有关

4、岩体波速与各向异性性质有关

5、岩体受压应力对弹性波传播的影响。

3、用岩体弹性波速度确定地下工程围岩松动圈（塑性圈）范围的依据是什么？根据岩体弹性波速度随裂隙的增多和应力的减小而降低的原理，在松动圈内，由于岩体破碎且属低应力区，因而波速较小，当进入松动圈边界完整岩体区域，应力较高，波速达到最大，之后波速又逐渐减小至一定值。根据波速随深度变化曲线，可确定松动圈厚度，其边界在波速最大值深度附近。

四、岩体基本力学性质

1、描述结构面的参数及其所表达的含义：

2、阐述结构面法向弹性变形的假设条件和计算方法。

3、阐述结构面法向变形的三个分量。

4、阐述结构面法剪切位移的类型及其特征。

5、阐述结构面强度表达式及其与莫尔应力圆的几何关系。

6、简述结构面的面摩擦效应。

7、简述结构面的楔效应摩擦的三种评价方法。

8、阐述结构面与主应力面的夹角对极限最大主应力的影响。

9、阐述带有单一结构面的岩体的力学效应的分析方法。

10、阐述孔隙水压力对单一结构面的岩体强度的影响。

11、阐述岩体的变形曲线及其变形参数的确定方法。

五、工程分类、1、简述围岩分类的目的和意义：（1）为岩石工程建设的勘察、设计、施工和编制定额提供必要的基本依据。（2）便于施工方法的总结,交流,推广。（3）为便于行业内技术改革和管理。

2、阐述围岩分类有哪些原则？（1）有明确的类级和适用对象。（2）有定量的指标。（3）类级一般分五级为宜。（4）分类方法简单明了、数字便于记忆和应用。（5）根据适用对象，选择考虑因素。

3、简述围岩分类的基本方法：按岩石的单轴抗压强度RC 分类；以点荷载强度指标分类；按巷道岩石稳定性分类；前苏联巴库地铁分类；按岩体完整性分类；按岩体综合指标分类。

4、简述岩石质量指标RQD 的定义及评价方法：RQD是选用坚固完整的、其长度大于等于10cm的岩芯总长度与钻孔长度的比。评价方法：岩石的RQD与岩体完整性关系密切，RQD与体积节理数JV之间存在下列统计关系：RQD=115—3.3JV（%），对于JV小于等于4.5的岩体，其RQD=100%

5、阐述巴顿（Barton）Q 分类采用了哪些参数？它们代表了何种含义？采用了六个参数：RQD：岩体质量指标。Jn节理的组织数系数。Jr节理的粗糙度系数。Ja节理的饰变系数。JW地下水的影响系数。SRF应力折减系数。

6、阐述国际岩体分级采用了哪两种方法？采用了定性、定量两种方法分别确定岩体质量的好坏，相互协调、相互调整，最终确定岩石的坚硬程度与岩体完整性指数。

7、阐述国际岩体分级采用了哪些指标作为分级的基本参数？

（一）确定岩体基本质量：1.定量确定岩体基本质量，包括岩石坚硬程度的确定、岩体完整程度的确定。2.定性确定岩体基本质量，也包括岩石坚硬程度的确定、岩体完整程度的确定。

（二）基本质量分级：岩体基本质量指标；岩体基本质量的确定。

（三）具体工程岩体质量分级的确定。

8、阐述在国际岩体分级中，对地下工程的岩体基本质量指标的修正，考虑了哪些因素的影响？地下水影响修正系数；主要软弱结构面产状影响修正系数：初始应力状态响修正系数

六、地应力

1、何谓岩体的初始应力？岩体的初始应力主要是由什么引起的？影响岩体的初始应力场的因素一般有哪些？初始应力：天然状态下岩体内的应力，又称地应力、原岩应力。由岩体的自重和地质构造所引起。因素：自重.地质构造——主要因素；地形地貌.地震力.水压力.地热——次要因素。

3、正断层、逆断层、平移断层的最大主应力和最小主应力的作用方向如何？对于正断层，自重应力为最大主应力，方向竖直向下，最小主应力与断层走向正交；对于逆断层，自重应力为最小主应力，方向竖直向下，而最大主应力与断层走向正交；对于平移断层，自重为中主应力，最大主应力与断层走向成30-45度得夹角，最大和最小都为水平方向。

4、地壳浅部岩体初始应力的分布有哪些基本规律？水平应力普遍大于垂直应力。垂直应力在大多数情况下，为最小主应力；在少数情况小，为中间主应力；只有个别情况下为最大主应力。

5、岩体的初始应力的量测方法有哪些？各自的原理、量测步骤、应用是什么？1.水压致裂法2.应力解除法3.应力恢复法4.声发射法；步骤：【1】试件制备【2】声发射测试【3】计算地应力。

6、高地应力现象有哪些？其判别准则是什么？现象：1.岩芯饼化现象；2.岩爆；3.探洞和地下隧洞的洞壁产生剥离；4.岩质基坑底部隆起，剥离以及回弹错动现象；5野外原位测试测得得岩体物理力学指标比实验室试验结果高。判别准则：当围岩内部的围岩强度与最大地应力的比值达到某一水平时，才能称为高地应力或极高地应力。

7、岩爆的类型和发生条件是什么？工程上如何防治岩爆？类型：【1】破裂松脱型，【2】爆裂弹射型，【3】爆炸抛射型。条件：1.地下开挖，洞室空间的形成。2.岩体承受极限应力产生初始破裂后剩余弹性变形能的集中释放量将决定岩爆的弹射程度。3.围岩应力重分布和集中将导致围岩积累大量弹性变形能。防治：1.围岩加固；2.改善围岩应力条件；3.保证施工安全。

七、地下洞室

1、何谓岩体的二次应力？分析二次应力时考虑了哪些假定条件？

2、何谓围岩压力？围岩压力的影响因素有哪些？

3、如何计算弹性状态下围岩的二次应力、位移和应变？它们有哪些规律？

4、如何计算弹塑性状态下圆形洞室围岩的二次应力？它有哪些规律？

5、如何确定节理岩体的剪裂区范围、应力和剪裂区的半径？

6、计算岩体的松动压力有几种方法？它们是如何计算岩体的松动压力的？

7、计算岩体的塑性形变压力有几种方法？它们是如何计算岩体的塑性形变压力的？

8、简述新奥法建设隧道的基本思想。

八、边坡

1、岩质边坡应力分布有哪些特征？其影响因素有哪些？

2、岩质边坡的变形与破坏有哪些类型？不同类型其破坏机理有何区别？

3、岩质边坡极限平衡稳定性分析的方法主要有哪些？简述各方法的力学模型和适用范围。

4、岩质边坡的加固措施有哪些？

九、地基

1、岩基有那些特点？岩基上常规的基础形式有哪几种？

2、岩基上柔性基础和刚性基础其基础沉降计算有何区别？

3、岩基破坏模式有哪几种？如何确定岩基承载力？

4、重力坝坝基破坏模式有哪些？如何计算不同破坏模式下坝基的稳定性？

5、岩基的加固措施主要有哪些？

1、纵波波速Vpm=4167m/s,岩体密度ρ=2.45g/cm³,室内测得岩块试件纵波波速Vpr=3536m/s,求这种岩体的静弹性模量E。

2、已知5000m深处某岩体侧压力系数λ=0.8，泊松比μ=0.25。在岩体被剥蚀掉2000m后侧压力系数是多少？

一、名词释义

结构面:指地质历史发展过程中，在岩体内形成的具有一定的延伸方向和长度，厚度相对较小的地质界面或带岩体在地质历史过程中形成的，由岩石单元体和结构面网络组成的，一定 的结构并赋存于一定的天然应力状态和地下水等地质环境中的地质体颗粒密度岩石固体相部分的质量与其体积的比值。块体密度(岩石密度):指岩石单位体积内的质量。

弹性:在一定的应力范围内物体受外力作用产生的全部变形去除外力后能立即恢复原有形状和尺寸。

塑性:物体受力后产生变形，在外力去除后不能完全回复的性质。

粘性:物体受力后变形不能再瞬时完成，且应变速率随应力增加而增加的性质。脆性:物体受力后变形很小时就发生碎裂的性质。

延性:物体能承受较大塑性变形而不丧失其承载力的性质。

流变:在外部条件不变的情况下，岩石的变形或应力随时间的变化的现象 弹性后效：应变恢复总是落后于应力的现象

单轴抗压强度：在单向压缩条件下，岩块能承受的最大压应力

法向刚度:在法向应力作用下，结构面产生单位法向变形所需的应力

剪切强度:岩体内任一方向剪切面在法向应力作用下所能抵抗的最大剪应力 天然应力:人类工程活动之前存在于岩体中的应力

重分布应力:岩体中由于工程活动改变后的应力天然应力比值系数:岩体中天然水平应力与铅直应力之比

岩爆:高地应力地区由于洞壁围岩中应力高度集中使围岩产生突发性变形破坏的现象.围岩压力:地下洞室在重分布应力作用下产生过量的塑性变形或松动破坏，进而引起施加于支护衬砌上的压力.围岩抗力:围岩对衬砌的反力,使洞壁围岩产生一个单位径向变形所需要的内水压力 蠕变:岩石在恒定的荷载作用下，变形随时间逐渐增大的性质 尺寸效应：试件尺寸越大，岩块强度越低 剪胀角：剪切位移线与水平的夹角

岩（体）石力学：是力学的一个分支学科，是研究岩（体）石在各种力场作用下变形与破坏规律的理论及其实际应用的一门基础学科。

工程岩体力学:为各类建筑工程及采矿工程等服务的岩体力学

RQD(岩体质量指标)：指大于10cm的岩芯，累计长度与钻孔进尺长度之比的百分比 软化性:岩石浸水饱和后强度降低的性质。

第三篇：常用力学公式总结

1、胡克定律： F = Kx(x为伸长量或压缩量,K为倔强系

数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关)

2、重力： G = mg(g随高度、纬度而变化)

力矩：M=FL(L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离）

5、摩擦力的公式：

(1)滑动摩擦力： f=μN

说明 ： a、N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G 为滑动摩擦系数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面b、积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N无关.(2)静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,与正压力无关.fm(fm为最大静摩擦力，与正压力有关) f静大小范围： O 说明：

a、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，还可以与

运动方向成一 定 夹角。

b、摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。

c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。

d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。

Vg(注意单位）

6、浮力： F=

7、万有引力： F=GmM/r²

(1)． 适用条件(2)．G为万有引力恒量

(3)．在天体上的应用：（M一天体质量 R一天体半径 g一天体表面重力

加速度）

a、万有引力=向心力

G

b、在地球表面附近，重力=万有引力

mg=GmM/r² c、第一宇宙速度

mg = m V=

8、库仑力：F=K(适用条件)

9、电场力：F=qE(F 与电场强度的方向可以相同，也可以相反)

10、磁场力：（1）洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。

V)方向一左手定公式：f=BqV(B（2）安培力 ： 磁场对电流的作用力。

I）方向一左手定则公式：F= BIL（B

Fy = m ayFx = m ax 

11、牛顿第二定律： F合 = ma 或者

理解：（1）矢量性（2）瞬时性（3）独立性（4）同一性

12、匀变速直线运动：

基本规律： Vt = V0 + a t S = vo t + a t2 几个重要推论：

(1)Vt2 － V02 = 2as（匀加速直线运动：a为正值 匀减速直线运动：a为正值）

(2)A B段中间时刻的即时速度: Vt/ 2 = = A S a t B

(3)AB段位移中点的即时速度: Vs/2 =

匀速：Vt/2 =Vs/2;匀加速或匀减速直线运动：Vt/2

(4)初速为零的匀加速直线运动,在1s、2s、3s¬……ns内的位移之比为12：22:32

……n2；在第1s 内、第 2s内、第3s内……第ns内的位移之比为1：3：5……(2n-1);在第1米内、第2米内、第3米内……第n米内的时间之比为1： ：

……（(5)初速无论是否为零,匀变速直线运动的质点,在连续相邻的相等的时间间隔内的位

s = aT2(a一匀变速直线运动的加速度 T一每个时间间隔的时间)移之差为一常数：

13、竖直上抛运动： 上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。全过程

g的匀减速直线运动。是初速度为VO、加速度为

（1）上升最大高度： H =(2)上升的时间： t=

(3)上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向(4)上升、下落经过同一段位移的时间相等。

（5）从抛出到落回原位置的时间：t =

（6）适用全过程的公式： S = Vo t 一 g t2 Vt = Vo一g t Vt2 一Vo2 = 一2 gS（S、Vt的正、负号的理解）

14、匀速圆周运动公式

=R=2 f R= 角速度：线速度: V=

向心加速度：a = 2 f2 R

向心力： F= ma = m 2 R= m m4 n2 R

注意：（1）匀速圆周运动的物体的向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。

（2）卫星绕地球、行星绕太阳作匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。

（3）氢原子核外电子绕原子核作匀速圆周运动的向心力由原子核对核外电子的库仑力提供。直线运动公式：匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动的合运动

水平分运动： 水平位移： x= vo t 水平分速度：vx = vo

 Vo =Vyctg = Vy = Votg竖直分运动： 竖直位移： y = g t2 竖直分速度：vy= g t tg

y Vo Vy = VsinV = Vo = Vcos

vo七个物理量中，如果 x)在Vo、Vy、V、X、y、t、已知其中任意两个，可根据以上公式求出其它五个物理量。vy v 16 动量和冲量： 动量： P = mV 冲量：I = F t 动量定理： 物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化。

公式： F合t = mv’ 一mv(解题时受力分析和正方向的规定是关键)动量守恒定律：相互作用的物体系统，如果不受外力，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变。（研究对象：相互作用的两个物体或多个物体）

p2=Op1 +p2 或p1 =一公式：m1v1 + m2v2 = m1 v1‘+ m2v2’或

适用条件：

（1）系统不受外力作用。（2）系统受外力作用，但合外力为零。

（3）系统受外力作用，合外力也不为零，但合外力远小于物体间的相互作用力。

（4）系统在某一个方向的合外力为零，在这个方向的动量守恒。(适用于恒力的功的计算）18 功 ： W = Fs cos（1）理解正功、零功、负功

（2）功是能量转化的量度

重力的功------量度------重力势能的变化

电场力的功-----量度------电势能的变化

分子力的功-----量度------分子势能的变化

合外力的功------量度-------动能的变化动能和势能： 动能： Ek =

重力势能：Ep = mgh(与零势能面的选择有关)动能定理：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化（增量）。

Ek = Ek2 一Ek1 = 21 机械能守恒定律：机械能 = 动能+重力势能+弹性势能公式： W合=

条件：系统只有内部的重力或弹力做功.Ek增Ep减 = 公式： mgh1 + 或者功率： P =(在t时间内力对物体做功的平均功率）

P = FV(F为牵引力，不是合外力；V为即时速度时，P为即时功

率；V为平均速度时，P为平均功率； P一定时，F与V成正比）简谐振动： 回复力： F = 一KX 加速度：a = 一

单摆周期公式： T= 2(与摆球质量、振幅无关）

弹簧振子周期公式：T= 2(与振子质量有关、与振幅无关）

24、波长、波速、频率的关系： V=γf =(适用于一切波)

第四篇：物理力学总结

1、力的定义

定义：力是物体对物体的作用

说明：定义中的“作用”是推、拉、提、吊、压等具体动作的抽象概括

2、力的概念

发生力时，一定有两个（或两个以上）的物体存在，也就是说，没有物体就不会有力的作用（力的物质性）

当一个物体受到力的作用时，一定有另一个物体对它施加了力，受力的物体叫受力物体，施力的物体叫施力物体。所以没有施力物体或没有受力物体的力是不存在的。（力的相互性）相互接触的物体间不一定发生力的作用，没有接触的物体之间也不一定没有力“接触与否”不能成为判断是否发生力的依据。物体间力的作用是相互的。

施力物体和受力物体的作用是相互的，这一对力总是同时产生，同时消失。

施力物体、受力物体是相对的，当研究对象改变时，施力物体和受力物体也就改变了

3、力的作用效果——由此可判定是否有力存在（1）可使物体的运动状态发生改变。

注：运动状态的改变包括运动快慢改变或运动的方向改变。（2）可使物体的形状与大小发生改变。（形变）

4、力的单位

国际单位制中，力的单位是牛顿，简称牛，用符号N来表示。1N大小相当于拿起2个鸡蛋的力。

5、力的测量

工具：测力计，实验室中常用的测力计是弹簧秤 弹簧秤的原理：弹簧受到的拉力越大，弹簧伸长就越长

6、弹簧秤的正确使用

观察弹簧秤的量程、分度值和指针是否指在零刻线上 读数时，视线、指针和刻度线应在同一水平面 被测力的方向应与弹簧伸长的方向一致

7、力的三要素

力的大小、方向、作用点叫力的三要素，都能影响力的作用效果

8、力的图示：用一根带箭头的线段把力的三要素表示出来

9、力的图示的作图方法

（1）画出受力物体：一般可以用一个正方形或长方形代表，球形可用圆圈表示。（2）确定作用点：作用点画在受力物体上，且画在受力物体和施力物体的接触面的中点，如受力物体和施力物体不接触或同一物体上受二个以上的力，作用点画在受力物体的几何中心。

（3）确定标度：如用1厘米线段长代表多少牛顿。

（4）画线段：从力的作用点起，按所定标度沿力的方向画一条直线，用来表示力的大小（5）标出力的方向：在线段的末尾画上箭头（含在线段内），表示力的方向（6）将所图示的力的符号和数值标在箭头的附近

10、力的示意图

某些情况下，只需要定性地描述物体的受力情况，不需要精确地表示出力的大小，则可以画力的示意图。

11、重力的概念

定义：地面附近物体由于地球吸引而受到的力叫重力（符号：G）

理解：①重力的施力物体是地球，它的受力物体是地面附近的一切物体。②重力的大小与物体的质量有关。

12、重力的三要素 大小：G = mg 方向：总是竖直向下（垂直水平面向下）

作用点：重力的作用点在物体的重心上。其中形状规则，质量分布均匀物体的重心在它的几何中心

13、摩擦的种类

滑动摩擦、滚动摩擦、静摩擦 滚动摩擦力远小于滑动摩擦力

14、滑动摩擦力的影响因素

①与物体间的压力有关 ②与接触面的粗糙程度有关

与物体的运行速度、接触面的大小等无关

15、增大有益摩擦，减小有害摩擦的方法

增大有益摩擦：①增加物体间的压力 ②增大接触面的粗糙程度

减小有害摩擦：①减小物体间的压力 ②减小接触面的粗糙程度

16、合力的概念

合力：如果一个力产生的效果跟两个力共同作用产生的效果相同，这个力就叫做那两个力的合力

理解：①合力的概念是建立在“等效”的基础上，也就是合力“取代了分力，因此合力不是作用在物体上的另外一个力，它只不过是替了原来作用的两个力，不要误认为物体同时还受到合力的作用。②两个力合成的条件是这两个力须同时作用在一个物体上，否则求合力无意义。

17、力的合成

已知几个力的大小和方向，求合力的大小和方向叫做力的合成

（1）当两个力方向相同是时，其合力的大小等于这两个力之和；方向与两力的方向相同 数学表述：F合 =F1 + F2（2）当两下力方向相反时，其合力的大小等于这两个力之差，方向为较大力的方向 数学表述：F合 = F1-F2（其中：F1 > F2）

九、力与运动

1、平衡力

平衡力：物体在两个力的作用下能保持静止或匀速直线运动状态，则称这两个力是一对平衡力，或叫作二力平衡

平衡力的条件（或特点）：同体、等值、反向、共线

其中是否作用于同一物体是两个力是一对平衡力还是一对相互作用力的关键

2、牛顿第一定律

内容：一切物体在没有受到外力作用时，总保持静止或匀速直线运动状态 ①静止的物体在不受外力作用时总保持静止状态

②运动的物体在不受外力作用时总保持匀速直线运动状态（2）牛顿第一定律是理想定律（3）物体不受力，一定处于静止或匀速直线运动状态，但处于静止或匀速直线运动状态的物体不一定不受力

3、惯性

惯性：物体保持原有的运动状态不变的性质叫做惯性

①惯性是物体的固有属性，一切物体在任何情况下都具有惯性

② 惯性的大小只与物体的质量有关，而与物体是否运动、运动的快慢、是否受外力等都没有关系

③惯性不是“力”，叙述时，不要说成“物体在惯性的作用下”或“受到惯性的作用”等说法

十、压强

1、压力

压力：垂直作用在物体表面上的力叫做压力，压力的方向与被压物体的表面垂直

注：压力与重力①重力可以产生压力，但压力并不都是由重力产生的②压力方向总是与被压物体的表面垂直，而重力的方向始终是竖直向下③压力的施力物体可以是各种物体，而重力的施力物体肯定是地球

2、压强

（1）用来描述压力作用效果的物理量（2）定义：物体单位面积上受到的压力

（3）公式：p＝F/S 该式对固体、气体、液体压强都适用 ①S指的是物体的受力面积。

②对于放在水平面上的柱形物体，当其不受外力时，可以依据密度和高度来比较不同物体对支持面产生压强的大小。P＝ρgh（4）单位：帕斯卡（Pa）（5）增大压强与减小压强的方法 压强的改变方法原理

利用公式：p＝F/S 该式对固体、气体、液体压强都适用

增大压强与减小压强的方法

增大压强的方法：

若受力面积S不变,压力F变大,压强P也变大.若压力F不变,受力面积S变小,压强P也变大.减小压强的方法：

若受力面积S不变,压力F变小,压强P也变小.若压力F不变,受力面积S变大,压强P也变小.3、液体压强

（1）液体内部压强的特点：①液体内部向各个方向都有压强②压强随深度的增加而增大③同一液体的同一深度向各个方向的压强相等（2）液体压强的产生原因：液体受到重力（3）计算公式：p＝ρgh

该式只适用与液体内部的压强计算式中ρ是指液体的密度，h是指研究点到自由液面的竖直高度

（4）测量工具：压强计

（5）应用：连通器（船闸、牲畜自动喂水器等）

连通器原理：静止在连通器内的同种液体，各个与大气直接相接触的液面总是相平的

4、气体压强

（1）大气压强产生的原因：大气受到重力

（2）验证大气压存在的实验―――马德堡半球实验、覆杯实验、吞蛋实验等（3）大气压的测定――――托里拆利实验 1atm＝1.013×105Pa＝76cmHg＝10.34mH2O ①判断管内是否混有空气的方法：将玻管倾斜看水银能否充满全管

②玻璃管内水银柱的高度与外界的大气压强有关，与管的粗细、插入水银中的深度、是否倾斜都没有关系

（4）大气压的影响因素①与高度有关②与气候有关 大气压的测量工具：气压计（水银气压计与无液气压计）

（5）气体压强与体积的关系：在温度不变的条件下，一定质量的气体，体积减小，压强增大

（6）液体压强与流速的关系：流体在流速大的地方压强较小，在流速小的地方压强较大

十一、浮力

1、浮力产生的原因：物体受到液体或气体对其向上与向下的压力差产生的

2、阿基米德原理

① 内容：浸在液体或气体中的物体要受到液体或气体对它竖直向上的浮力，浮力的大小等于物体排开液体或气体的重

② 公式:F浮＝G排＝m排g＝ρ液gV排

(1)浮力的大小只与物体所排开液体的体积及液体的密度有关，而与物体所在的深度无关。(2)如果物体只有一部分浸在液体中，它所受的浮力的大小也等于被物体排开的液体的重量。(3)阿基米德定律不仅适用于液体，也适用于气体。物体在气体中所受到的浮力大小，等于被物体排开的气体的重量。

当液体密度不变时，物体排开液体的体积越大，浮力越大。当物体排开的液体体积不变时，液体密度越大，浮力越大。当液体密度和排开液体体积的乘积越大，浮力越大。反之，就越小．

浮力的大小只与物体所排开液体的体积及液体的密度有关，与物体的密度无关，与物体的体积无关，（物体漂浮时一半在水面上，一半在水下．只有浸没时，物体排开液体的体积才等于物体的体积）与物体所在的深度无关。

3、物体的浮沉条件

上浮：F浮>G 悬浮：F浮＝G 下沉：F浮

①ρ物<ρ液，上浮 ②ρ物＝ρ液，悬浮 ③ρ物>ρ液，下沉

4、物体浮沉条件的应用

潜水艇是通过改变自身的重来实现浮沉的；热气球是通过改变自身的体积来实现浮沉的；密度计的工作原理是物体的漂浮条件，其刻度特点是上小下大，上疏下密。

5、有关浮力问题的解题思路

浮力问题是力学的重点和难点。解决浮力问题时，要按照下列步骤进行：(1)确定研究对象。一般情况下选择浸在液体中的物体为研究对象。

(2)分析物体受到的外力。主要是重力G（mg或ρ物gV物）、浮力F浮（ρ液gV排）、拉力、支持力、压力等。

(3)判定物体的运动状态。明确物体上浮、下沉、悬浮、漂浮等。

(4)写出各力的关系方程和由题目给出的辅助方程。如体积间的关系，质量密度之间的关系等。

(5)将上述方程联立求解。通常情况下，浮力问题用方程组解较为简便。（6）对所得结果进行分析讨论。

第五篇：弹性力学总结

弹性力学关于应力变分法问题

一、起源及发展

1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（Minimax Theory）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用

（1）、应力变分方程

设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命ij为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变ij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ijij

假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即

xxyzx0,xyz

（a）yyzxy0,yzxzzxyz0。zxy在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分fx、fy、f。z

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足

lxmxynzxmynlf,yzxyy

（b）

nzlm。fzxyzzxf,则应变余能的变分应为

VCvcdxdydz(vcxxvcyz)dxdydz。

vvcvx，cy，cz

xzyvcvvyz，czx，cxy

zxyzxy将上式代入，得

VC(xx再将几何方程代入，得

yzyz)dxdydz。

wv()yzyzuVC[xx]dxdydz。

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：

uxdxdydzluxdSu(x)dxdydz, xx最后可得

Vc[u(lxmxynzx)]dS[u(xxyzx)xyz]dxdydz。

再将（a）、（b）代入，即得

Vc=(ufyfwz)f。d

S

xv这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。最小余能原理：

Vc(ufxvfywfz)dS0。

上式也可以改写为：

[Vc(ufxvfywfz)dS]0。

（2）、应力变分法

由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：

ijij0Amijmm

（c）

其中Am是互不依赖的m个系数，ij0 是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，ijm是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数A m如何取值，ij0总能满足平衡微分方程和应力边界条件。

注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现。

如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程 得vc0，即： Vc0

（d）Am

应变余能Vc是Am的二次函数，因而方程（d）将是Am的一次方程。这样的方程共有m个，恰好可以用来求解系数，Am从而由表达式（c）求得应力分

量。

如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程（11-18），即

Vc(ufxvfywfz)dS。在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力的变分两者之间的关系即：

fxlxmxynzx,fymynyzlxy,fznzlxzmyz。

带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：

(ufxvfywfz)dSBmAm。m

其中Bm是常数，另一方面，我们有：

U*Vc=Am。mAm 因而得：

VcBm。(m1,2,)Am

这将仍然是Am的一次方程而且总共有m个，仍然可以用来求解系数Am，从而由表达式（c）求得应力。

（3）、应力函数方法

由于应力分量的数量有点多，确定起来较为困难，通常用应力函数方法。在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设为：

0Ammm,其中Am为互不依赖的m个系数。这样就只需使0给出的应力分量满足实

际的应力边界条件，并使m给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。

在平面应力问题中，有zyzzx0，而且x、y、xy不随坐标z而变。在z方向取一个单位厚度，则用应力分量表示的应变余能表达式为

Vc1[x2y22xy2(1)xy2]dxdy。

2E1+2[(1)(x2y2)2xy2xy]dxdy。

2E对于平面应变问题，Vc如果所考虑的弹性体是单连体，体力为常量，应力分量x、y、xy应当与可以取=0，于是平面应力情况下的表达式和平面应力情况下的表达无关，式都简化为

Vc1(x2y22xy2)dxdy。2E即得用应力函数表示应变余能的表达式

122222Vc[(2fxx)(2fyy)2()]dxdy。2Eyxxy在应力边界问题中，因为面力不能有变分，Vc0。应为应力分量以及应变余能的变分是通过系数Am的变分来实现的，所以上式归结为

Vc0 Am将将应力函数表达式代入，即得

2222[(2fxx)()(fyy)()yAmy2x2Amx2

222()]dxdy0,xyAmxy(m1,2,)

可以用来决定系数Am，从而确定应力函数，再由应力函数求得应力分量。

由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。

应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，二这种函数一般任然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制。

（4）、典型例题：

例1：设有宽度为2a，高度为b的矩形薄板，左右两边和下边被固定约束，上边的位移被给定为u0应力分量。

解：取坐标系底部为x轴，对称轴为y轴，则该问题是一个轴对称问题——及约束情况，几何形状以及所受的外来因素都对称于某个坐标轴。本题中，对称轴显然是y轴。这样，位移u,v关于y轴对称。

首先考察位移u：

薄板左右两边：(u)xa0（说明u中含有(x2a2)项或(a2x2)项）

薄板下边：(u)y00（说明u中含有（y-0)项）

薄板上边：(u)yb0（说明u中含有（y-b)项或(b-y)项）

所以u所以表达成：uA1(a2x2)y(by)（这里m=1,即取一个系数A1）

由此可得u,v的表达式为：

x2v(12)，不计体力。试求薄版的位移分量和

ax2xyyuA1(12)(1)aaaa  22xyxyyv(12)B1(12)(1)ababb(u)xz0可以满足位移边界条件：

(v)xa0(v)y00(v)ybx2(12)a

(u)y00(u)yb0由于u是x的奇函数，v是x的偶函数，对称条件满足。

xx3yy2此外，由（i）得：u1(3)(2)aabbx2yy2v1(12)(2)

abb即UEab(A1B12vA1B1)

2(1v2)由UUfu1ds,fv1ds

xyA1B1UUq1ab,q2ab A1B1Eab(2A12vB1)q1ab22(1v)Eab(2B12vA1)q2ab22(1v)q1vq2qvq1,B12EEq1vq2q2vq1 ux,vyEEA1例2：已知悬臂梁，抗弯刚度为EI，求最大挠度值。

解：设w(a2x2a3x3)满足固定端的边界条件。

LxFwx00,w'x00

2在不考虑剪切效应时，直杆弯曲的应变能为，1lM2(x)1d2wudxEIdx 202EI2dx下面用最小势能原理来确定参数，u1M(x)EIdx(2a26a3)dx002EI2vFwxLF(a2L2a3L3)ll2EIl23EtUV(2a6a)dxF(aLaL)23230222

由最小势能原理

Et0Et1l24(2a6a)dxFL0230a22EIEt1l312(2a6a)dxFL0230a22EI

三、总结与思考

所谓弹性力学的变分解法就是基于力学能量原理求解弹性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解的微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因而最终把问题归结为求解线性代数方程组。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

应力变分法在力学领域内同样拥有很高的地位，这正说明了力学在学术界的重要地位，通过应力变分法地学习，许多难题将更容易得到解答，所以，在以后的学习生活中，我们将不会停止对力学的探究和学习，相信力学对我们的影响将是巨大的。

参考文献：【1】弹性力学 第四版 徐芝纶 高等教育出版社

【2】弹性力学复习解题指导致 王俊民 同济大学

【3】弹性力学理论概要与典型题解 王光钦 西南交通大学出版社

【4】弹性力学内容精要与典型题解 刘章军 水利水电出版社