【初中数学】复习资料--因式分解常用技巧总结

第一篇：【初中数学】复习资料--因式分解常用技巧总结

因式分解常用技巧总结

基本的四种技巧：

一．提取公因式法：mambmcm(abc)；

例：6xy29x2yy3

二．公式法：a2b2(ab)(ab),a22abb2(ab)2

推广：a3b3(ab)(a2abb2)；

anbn(ab)(an1an2ban3babn2bn1)

anbn(ab)(an1an2ban3babn2bn1)

（n为奇数）

例：8x3127y3

变式1：x8x6x4x21

答案：(x4x3x2x1)(x4x3x2x1)

三．十字相乘法：x(ab)xab(xa)(xb)

推广：a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)，（a1a2≠０）

xyaxbyab(xb)(ya)

22例：6m7mn20n

变式1：xxy6yx13y6

四．分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解

例：9a6a2bb

254x8xy4y22222222

推广：（1）拆项法：把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解

例：x47x21 答案：(x23x1)(x23x1)（2）添项法：在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解 例：3x6x121 答案：(x3x61)(x3x61)变式1：x39x8 变式2：x44

其他重要的因式分解技巧：

1．换元法：换元法是在分解因式时，通过将原式的代数式用字母代替后，达到简化原式结构的目的

例1：(x1)(x2)(x3)(x6)x2

提示：令 mx26，原式=(x26x6)2 例2：xy(xy1)(xy3)2(xy答案：(x1)(y1)(x1)(y1)

变式1：(x1)(x2)(x3)(x4)24 变式2：(x4x1)(x3x1)10x

2．主元法：主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数，重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题。例： 2xxz4xy2xyz2xy32224242412)(xy1)

2yz

2提示：按y为主元重新排列，答案：(2xz)(xy)

变式1：x2xyxy2xy2xy2y1

变式2：20y3+6ax2-8axy-15xy2

（以a为主元）

变式3：a(bc)b(ca)c(ab)（以a为主元）33344422222

3．待定系数法：待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就是首先设出几个含有待定系数的因式，然后根据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式。例：若x3ax2bx8有两个因式x+1和x+2, 求（a+b）的值

4．配方法：配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式

例：x4x22ax1a2（提示：x22x2x2）

变式：4x24xy24y3

5．综合法：在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能解决一个因式分解的问题，对上述方法要灵活的运用。

例：(x2)3(y2)3(xy)3

提示：令m=x-2,n=y-2，m-n=x-y，在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式，答案：3(x-2)(y-2)(x-y)

【巩固练习】

一、选择题

1．将x(x-y)-y(y-x)因式分解的结果是（）

(A)(x-y)2(x2+y2)

(B)(x-y)2(x2-y2)(C)(x-y)2(x-y)(x+y)(D)(x-y)3(x+y)2．下列多项式中能运用公式法因式分解的是（）(A)–a3-b

3(B)a2-ab+b(C)a2+b2

(D)–a-b 3．用分组分解法把多项式ab-c+b-ac分解因式，分组的方法有（）(A)4种

（B）3种

（C）2种（D）1种

4．用分组分解法分解多项式a2-b2-c2+2bc时，分组正确的是()

(A)(a-c)+(2bc-b)

(B)(a-b-c)+2bc

(C)(a-b)-(c-2bc)

(D)a+(2bc-b-c）5．已知多项式2x3-x2-13x+m有一个因式是2x+1，则m的值是()

（A）0

（B）6

（C）-1

（D）-6 6．下列多项式按下面的分组不能分解的是（）

（A）(2ax-10ay)+(5by-bx)

(B)(5by-10ay)+(2ax-bx)(C)(x2-y2)+(ax+ay)

(D)(x2+ax)-(y2-ay)

二、填空题 22

222

2222

27．利用公式填空（1）14m22mn()=()

4422

366(2)多项式x-y, x+2xy+y, xy+xy, x+y的公因式是————（3）9x2+（）+16y2=（）2

(4)将-m+mn因式分解的结果是___________(5)分解因式8x3-12x2y+6xy2-y3适当分组的方法是_________ 8．在下列多项式a-4b-a+2b, ab-4ab+4-c, 4a-9b+24bc-16c, a-4b+4b-1, 2216a-16b+8a+1中用分组分解法时，能够分成三项一组和一项一组的多项式有_____个。

三、解答题

9．把xy-xy分解因式

10．把16(x+y)-24(x+y)+9分解因式 11．把(x+y)-4xy分解因式 12．x6n+2+2x3n+2+x2

13．9(a+1)2(a-1)2-6(a2-1)(b2-1)+(b+1)2(b-1)2 14．142a 342

***222215．把16x2-8x-y2+2y分解因式 16．把x3+2x2-4x-8因式分解

17．把下列各式分解因式

（1）x2-y2-z2-2yz

(2)a3+a2+b3+b2+2ab

(3)16-x2n-100y2+20xny(4)ab(c-d)-cd(a-b)(5)x-x-x-y+y+y

(6)4x+1 18．使多项式2x3-x2-2x+1的值等于0的x值为_______ 19．已知x+y=1,求x3+3xy+y3的值

【参考答案】

一、1．D；2．A； 3．C； 4．D； 5．D；6．D

二、7．（1）2n、222

412m2n

（2）(x+y)

(3)(3x+4y)

2222

(4)–m(m+n)(m-n)

(5)(8x-y)-(12xy-6xy)

8．3

三、解答题

9．xy(x+y)(x-y)

10．(4x+4y-3)2

11．(x-y)2(x+y)2

12．x2(xn+1)2(x2n-xn+1)2 13．(3a2-b2-2)2

14．(12a)(12a4a)

15．(4x-y)(4x+y-2)16．(x+2)2(x-2)

21417．(1)(x+y+z)(x-y-z);

(2)(a+b)(a2-ab+b2+a+b)

(3)(4+xn-10y)(4-xn+10y)

(4)(ac+bd)(bc-ad)

(5)(x-y)(x+xy+y-x-y-1)

(6)(2x+2x+1)(2x-2x+1)18．12, 1,-1 提示：将2x-x-2x+1因式分解

219． 1

提示：将x3+y2因式分解，再将已知条件中代入

第二篇：初中数学因式分解练习题

1．（2014•黔南州）下列计算错误的是（）A．a•a2=a3 C．2m+3n=5mn

A．a2+4a-21=a（a+4）-21 C．（a-3）（a+7）=a2+4a-21 A．a2+1 A．-3

B．a2-6a+9 B．-1

B．a2b-ab2=ab（a-b）D．（x2）3=x6

B．a2+4a-21=（a-3）（a+7）D．a2+4a-21=（a+2）2-25 C．x2+5y C．1

D．x2-5y D．3

16．（2014•攀枝花）因式分解a2b-b的正确结果是（）A．b（a+1）（a-1）A．x（x2-9）A．a（x-6）（x+2）A．x2+y2

A．（x+y）2=x2+y2 C．x2y+xy2=（xy）3 A．（a2+1）2 A．（x+2）（x-2）A．（x-2）2 A．m2+n2=（m+n）2

D．（a-2）（a+1）

C．（a-b）2=a2-2ab+b2 A．（x2）3=x6 C．x2-2xy+y2=（x-y）2 A．x2+2x-1=（x-1）2 C．（x+1）2=x2+2x+1 A．x2-xy A．x（x2-4）A．y（x-y）2 A．a2（a-2）+a

D．y（x+y）（x-y）D．2（x+9）（x-9）

A．x2+2x-1=（x-1）2 C．x3-4x=x（x+2）（x-2）

B．x2+xy

B．x（x+4）（x-4）B．y（x+y）（x-y）B．a（a2-2a）B．（a2-1）2 B．（x+2）2 B．x2

B．a（b+1）（b-1）B．x（x-3）2 B．a（x-3）（x+4）B．x2-y

C．b（a2-1）C．x（x+3）2 C．a（x2-4x-12）C．x2+x+1 B．x2y2=（xy）4 D．x4÷x2=x2 C．a2（a2-2）C．（x-4）2 C．（x-1）2

D．（a+1）2（a-1）2 D．（x-2）2 D．x（x-2）D．b（a-1）2 D．x（x+3）（x-3）D．a（x+6）（x-2）D．x2-2x+1

17．（2014•广东）把x3-9x分解因式，结果正确的是（）18．（2014•怀化）多项式ax2-4ax-12a因式分解正确的是（）19．（2014•玉林）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（）21．（2014•官渡区一模）下列运算正确的是（）

2．（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

3．（2014•安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（）

4．（2014•台湾）若x2-4x+3与x2+2x-3的公因式为x-c，则c之值为何？（）

5．（2014•台湾）（3x+2）（-x6+3x5）+（3x+2）（-2x6+x5）+（x+1）（3x6-4x5）与下列哪一个式子相同？（）A．（3x-4x）（2x+1）C．-（3x6-4x5）（2x+1）A．x2-1 A．-1 A．a（a-1）

22．（2014•下城区一模）分解因式a4-2a2+1的结果是（）

23．（2014•衡阳二模）把代数式x2-4x+4分解因式，下列结果中正确的是（）24．（2014•滨湖区二模）分解因式（x-1）2-1的结果是（）25．（2014•上城区二模）下列因式分解正确的是（）

B．m2-4n2=（m-2n）（m+2n）D．a2-3a+1=a（a-3）+1 B．x2•x3=x5 D．3x-2x=1

B．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）D．x2-4x=x（x+2）（x-2）C．x2+y2

C．x（x+2）（x-2）C．y（x+y）2 C．a（a-1）2

D．x2-y2

D．（x+2）（x-2）D．y（x2-2xy+y2）D．a（a+1）（a-1）

B．（3x-4x）（2x+3）D．-（3x6-4x5）（2x+3）C．x2-2x+1 C．1

C．（a-2）（a-1）B．（x-4）x=x-4x D．m2-2mn+n2=（m+n）2

6．（2014•威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-1的是（）

B．x（x-2）+（2-x）B．0 B．a（a-2）

D．x2+2x+1 D．2

7．（2014•漳州）若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）8．（2014•仙桃）将（a-1）2-1分解因式，结果正确的是（）9．（2014•常德）下面分解因式正确的是（）A．x+2x+1=x（x+2）+1 C．ax+bx=（a+b）x

10．（2014•河北）计算：852-152=（）A．70

A．x2-y2=（x-y）2 C．xy-x=x（y-1）

B．700

C．4900

B．a2+a+1=（a+1）2 D．2x+y=2（x+y）

D．7000

11．（2014•岳阳）下列因式分解正确的是（）

26．（2014•郯城县模拟）下列运算错误的是（）

27．（2014•路北区二模）下列各因式分解正确的是（）

29．（2014•长清区一模）下列多项式中，能运用公式法因式分解的是（）30．（2014•天桥区二模）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）

31．（2014•朝阳区一模）把多项式x2y-2xy2+y3分解因式，正确的结果是（）32．（2014•邢台一模）分解因式：a3-2a2+a=（）33．（2014•南充模拟）下列各因式分解正确的是（）

12．（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）

①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③-x2+y2=（x+y）（x-y）A．3个

B．2个

C．1个

B．x2+2x-1=（x-1）2 D．x-x+2=x（x-1）+2

B．y（x-y）B．2（x-3）2

D．0个

13．（2014•毕节地区）下列因式分解正确的是（）A．2x2-2=2（x+1）（x-1）C．x+1=（x+1）A．y（x+y）A．2（x2-9）

14．（2014•泉州）分解因式x2y-y3结果正确的是（）

C．y（x-y）C．2（x+3）（x-3）

B．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）D．（x+1）2=x2+2x+1

15．（2014•义乌市）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）

第三篇：初中数学因式分解(练习题)

初中因式分解的常用方法

例

1、分解因式：amanbmbn

例

2、分解因式：2ax10ay5bybx

练习：分解因式

1、a2abacbc2、xyxy1例

3、分解因式：x2y2axay

例

4、分解因式：a22abb2c2

练习：分解因式

3、x2x9y23y4、x2y2z22yz综合练习：（1）x3x2yxy2y3（2）ax2bx2bxaxab

（3）x26xy9y216a28a1（4）a26ab12b9b24a

（5）a42a3a29（6）4a2x4a2yb2xb2y

（7）x22xyxzyzy2（8）a22ab22b2ab1

（9）y(y2)(m1)(m1)（10）(ac)(ac)b(b2a)

（11）a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc（12）a3b3c33abc例

5、分解因式：x25x6

例

6、分解因式：x27x6

练习

5、分解因式(1)x214x24(2)a215a36(3)x24x5练习

6、分解因式(1)x2x2(2)y22y15(3)x210x24

例

7、分解因式：3x211x10

练习

7、分解因式：（1）5x27x6（2）3x27x2

（3）10x217x3（4）6y211y10

例

8、分解因式：a28ab128b2

练习

8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2

例9、2x27xy6y2例

10、x2y23xy2

练习

9、分解因式：（1）15x27xy4y2（2）a2x26ax8综合练习

10、（1）8x67x31（2）12x211xy15y2

（3）(xy)23(xy)10（4）(ab)24a4b3

（5）x2y25x2y6x2（6）m24mn4n23m6n2

（7）x24xy4y22x4y3（8）5(ab)223(a2b2)10(ab)2

（9）4x24xy6x3yy210（10）12(xy)211(x2y2)2(xy)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc

例

11、分解因式：x23xy10y2x9y2

练习

11、分解因式(1)x2y24x6y5(2)x2xy2y2x7y6

(3)x2xy6y2x13y6(4)a2ab6b25a35b36例

12、分解因式（1）x23xy10y2x9y2

（2）x2xy6y2x13y6

练习

12、分解因式（1）x2xy2y2x7y6（2）6x27xy3y2xz7yz2z2

第四篇：初中数学复习资料

中考数学常用公式定理

1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：

－3，0.231，0.737373…，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－

0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数．，2、绝对值：a≥0

丨a丨＝a；a≤0

丨a丨＝－a．如：丨－

丨＝

；丨3.14－π丨＝

π－3.14．

3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这

个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．

4、把一个数写成±a×10

n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：

－40700＝－4.07×105、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a

＋b

．③(a＋b)(a

－ab＋b)＝a

＋b

．④(a－b)(a

＋ab＋b)＝a

2ab，(a－b)

＝(a＋b)

－4ab．

5，0.000043＝4.3×10－5

．

－b

．②(a±b)

＝a

±2ab

－b

；a

＋b

＝(a＋b)

－

26、幂的运算性质：①a

m×a

n

＝am＋n．②a

m÷a

n

＝am－n．③(a

m)

n

＝amn．④(ab)

n

＝a

n

b

n

．⑤（）

n

＝n．

⑥a－n＝，特别

：（）－n＝（）

n

．⑦a

0

＝1(a≠0)．如

：a

×a

＝a

5，a

÷a

＝a

4，(a

3)

＝a，6

a

n

(3a

3)

＝27a

9，(－3)－1＝－，5－2

＝

＝，（）－2＝（）

＝，(－3.14)º＝1，（－)

0

＝1．

7、二次根式：①（b≥0)．如：①(3)

＝a(a≥0)，②

＝丨a丨，③

＝6．③a＜0时，＝

×，④

．④

＝

(a＞0，的平方根)

＝45．②

＝－a

＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念）

8、一元二次方程：对于方程：ax

＋bx＋c＝0：

-b

±

b

4ac，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式．

①求根公式是x＝

2a

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

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2018

中考押题群你懂得

当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．

②若方程有两个实数根x

和x，并且二次三项式ax

＋bx＋c可分解为a(x－x)(x－x)．

③以a和b为根的一元二次方程是x

－(a＋b)x＋ab＝0．

9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大

而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比

例)，图象必过原点．

10、反比例函数y＝

(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象

限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因

此，它的增减性与一次函数相反．

11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做

个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②

在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按

大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

（2）公式：设有

n

个数

x，x，…，x，那么：

n

x

+

x

+

......+

x

①平均数为：

x

=

n；

n

②极差：

用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差

称为极差，即：极差=最大值-最小值；

③方差：

x1、x2

……,xn

+

.....+

x

x的方

差

为

s

2，则

则

数

据

轾

犏（2)

（2)

2)

x1

x

+

x

x

（s

=

n

n

臌

标准差：方差的算术平方根.数

据

x1、x2

……,xn的标

准

差

s

轾

2)

2)

犏（）

（（s

=

x1

x

+

x

x

+

.....+

x

x

n

n

臌

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

12、频率与概率：

（1）频率=

频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于

1，频率分布直方

总数

图中各个小长方形的面积为各组频率。

（2）概率

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2018

中考押题群你懂得

①如果用

P

表示一个事件

A

发生的概率，则

0≤P（A）≤1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

13、锐角三角函数：

①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝

．并且sin

A＋cos

A＝1．

0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．

②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA．

③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝，sin60º＝cos30º＝，tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝

．

h

α

铅垂高度

④斜坡的坡度：i＝

＝

．设坡角为α，则i＝tanα＝

．

l

水平宽度

14、平面直角坐标系中的有关知识：

（1）对称性：若直角坐标系内一点

P（a，b），则

P

关于

x

轴对称的点为

P

（a，－b），P

关于

y

轴对称的点为

P

（－a，b），关于原点对称的点为

P

（－a，－b）.2

（2）坐标平移：若直角坐标系内一点

P（a，b）向左平移

h

个单位，坐标变为

P（a－h，b），向右平移

h

个单位，坐标变为

P（a＋h，b）；向上平移

h

个单位，坐标变为

P（a，b＋h），向下平移

h

个单位，坐标变为

P（a，b－h）.如：点

A（2，－1）向上平移

个单位，再向

右平移

个单位，则坐标变为

A（7，1）.15、二次函数的有关知识：

1.定义：一般地，如果

y

ax

=

+

bx

c(a,b,c

是常数，a

¹

0)，那么

y

叫做

x的二次函数.+

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①

a的符号决定抛物线的开口方向：当

a

0

时，开口向上；当

a

0时，开口向下；

a

相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于

y

轴（或重合）的直线记作

x

=

h

.特别地，y

轴记作直线

x

=

0.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

（0,0）

y

=

ax

y

=

ax

x

=

0（y

轴）

当

a

0

时

(0,k)

+

k

x

=

0（y

轴）

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中考押题群你懂得

x

=

h

开口向上

当

a

0时

开口向下

（h,0)

y

=

a(x

h)

x

=

h

（h,k)

y

=

a(x

h)

+

k

x

=

b

2a

y

=

ax

+

bx

+

c

b

4ac

b

（-，)

2a

4a

4.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b

ö2

4ac

b

b

4ac

b

æ

（1）公式法：y

ax

=

+

bx

c

aç

x

+

=

+

÷

+，∴顶点是（-，），è

2a

ø

4a

2a

4a

对称轴是直线

x

=

b

.2a

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

y

=

a(x

h)

+

k的形式，得到顶

点为（h,k)，对称轴是直线

x

=

h

.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点

(x,y)、(x,y)

（及

y

值相同），则对称轴方程可以表示为：

x1

+

x

x

=

9.抛物线

y

=

ax

+

bx

+

c

中，2

a,b,c的作用

（1）

a

决定开口方向及开口大小，这与

y

=

ax

中的a

完全一样.（2）b

和

a

共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线

y

=

ax

+

bx

+

c的对称轴是直线

x

=

b，故：①b

=

0

时，对称轴为

y

轴；②

0

（即

a、b

同号）时，对称轴

b

2a

a

b

在y

轴左侧；③

0（即

a、b

异号）时，对称轴在y

轴右侧.a

（3）

c的大小决定抛物线

y

=

ax

+

bx

+

c

与

轴交点的位置.2

y

当

x

=

0时，y

=

c，∴抛物线

y

=

ax

+

bx

+

c

与

轴有且只有一个交点（0，）：

y

c

①

c

=

0，抛物线经过原点;

②

c

0,与

y

轴交于正半轴；③

c

0,与

y

轴交于负半

轴.b

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y

轴右侧，则

11.用待定系数法求二次函数的解析式

0.a

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（1）一般式：

y

=

ax

+

bx

+

c

.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.2

x

y

y

=

a(x

h)

+

k

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2

（2）顶点式：

（3）交点式：已知图像与

x

轴的交点坐标

x、x，通常选用交点式：y

=

a(x

x)(x

x).1

12.直线与抛物线的交点

（1）

y

轴与抛物线

y

=

ax

+

bx

+

c

得交点为(0,2

c).（2）抛物线与

x

轴的交点

二次函数

y

=

ax

+

bx

+

c的图像与

轴的两个交点的横坐标

x

x

1、x，是对应一元二次

方程

ax

+

bx

+

c

=

0的两个实数根.抛物线与

x

轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点

Û

（D

0)

Û

抛物线与

x

轴相交；

②有一个交点（顶点在x

轴上）

Û

（D

=

0)

Û

抛物线与

x

轴相切；

③没有交点

Û

（D

0)

Û

抛物线与

x

轴相离.（3）平行于

x轴的直线与抛物线的交点

同（2）一样可能有

0

个交点、1

个交点、2

个交点.当有

个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐

标为

k，则横坐标是

ax

+

bx

+

c

=

k的两个实数根.2

（4）一次函数

y

=

kx

+

n(k

¹

0)的图像l

与二次函数

y

=

ax

+

bx

+

c

a

¹

（0)的图像G的2

y

=

kx

+

n

交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

y

=

ax

+bx

+

c

Û

l

与G

有两个交点;

②方

程组只有一组解时

Û

l

与G

只有一个交点；③方程组无解时

Û

l

与G

没有交点.（5）抛物线与

x

轴两交点之间的距离：若抛物线

y

=

ax

+

bx

+

c

与

x

轴两交点为

A(x，0)，B(x，0)，则

AB

=

x

x

21、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和等于

360º

2、平行线分线段成比例定理：

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图：a∥b∥c，直线

l

与

l

分别与直线

a、b、c

相交与点

A、B、C

AB

=

DE

AB

DE

BC

=

EF

D、E、F，则有,=,BC

EF

AC

DF

AC

DF

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

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如

图

：

△

ABC

中，DE

∥

BC，DE

与

AB、AC

相

交

与

点

D、E，则

有

：

AD

=

AE

AD

AE

=

DE

DB

=

EC

l

1,=,A

E

D

l

DB

EC

AB

AC

BC

AB

AC

A

D

a

b

A

D

E

B

E

c

C

F

B

B

C

C

＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC

中，∠ACB＝90

o，CD⊥AB

于

D，则有：

C

D

（1）CD

=

AD×BD

（2）

AC

=

AD×

AB

（3）

BC

=

BD×

AB24、圆的有关性质：

A

B

（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直

弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个

性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）

圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或

等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补．

5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三

内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中

垂线的交点．

常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c

为斜边），则它的内切圆的半径

a

+b

-c

r

=；

（2）△ABC的周长为l，面积为

S，其内切圆的半径为

r，则

S

=

lr

＊6、弦切角定理及其推论：

（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：

∠PAC

为弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。

B

»

如果

AC

是⊙O的弦，PA

是⊙O的切线，A

为切点，则

ÐPAC

=

AC

=

ÐAOC

A

P

O

推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）

如果

AC

是⊙O的弦，PA

是⊙O的切线，A

为切点，则

ÐPAC

=

ÐABC

C

＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：

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中考押题群你懂得

相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图①，即：PA·PB

=

PC·PD

割线定理

：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

如图②，即：PA·PB

=

PC·PD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的2

比例中项。如图③，即：PC

=

PA·PB

C

C

C

D

O

P

B

O

O

P

P

D

B

B

A

A

A

①

②

③

8、面积公式：

①S

＝

×(边长)

．

正△

②S平行四边形＝底×高．

③S

＝底×高＝

×(对角线的积)，菱形

S梯形

=

(上底+

下底)´高=

中位线´

高

④S

＝πR

．

圆

⑤l圆周长＝2πR．

⑥弧长L＝

．

S扇形

=

npr

=

lr

⑦

360

⑧S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S全面积＝S

＋S

＝2πrh＋2πr

侧

底

⑨S圆锥侧＝

×底面周长×母线＝πrb，S全面积＝S

＋S

＝πrb＋πr

侧

底

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第五篇：初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1

初中数学因式分解(一)

因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．

1．运用公式法

整式乘法公式，反向使用，即为因式分解

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；(4)a-ab+ab-b．

2752

575n-1nnnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-133322

2222

23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz； n-1n+4333

333例2 分解因式：a+b+c-3abc．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

1514132

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；(4)ab-ab+a+b+1．

422

322963223

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

22222

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2

+y2)．

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

练习一

2．分解因式：

(1)x+3x-4；

(2)x-11xy+y；

(3)x+9x+26x+24；

(4)x-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；(2)x+7x+14x+7x+1；

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20． 3

2222

232432422

2初中数学因式分解(一)答案

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-

2n-

32n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1333

2222

23322332222222y-2xy； n+2n-1n+

4(2)x-8y-z-6xyz；

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；

(4)a-ab+ab-b．

解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)

=-2xy[(xn)-2xny+(y)]

=-2xy(xn-y)

=-2xy(x-y)(x+y)．

(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

＝(a-b)+2c(a-b)+c

=(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)22222

222

2333n-1nn

n

2n-1n2

22n-1n2

22n-1n4

4752257222

=(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b)

=a(a-b)+b(a-b)

=(a-b)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)

=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)

例2 分解因式：a+b+c-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

分析我们已经知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b 的正确性，现将此公式变形为

a+b=(a+b)-3ab(a+b)．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

333

324

4225552252

27522

572

解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．

说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

a+b+c-3abc 33322

显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有 33

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解．

解因为

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，所以 16151413

2nn

151514

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1 将常数项8拆成-1+9．

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法3 将三次项x拆成9x-8x．

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法4 添加两项-x+x．

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 22322322

223333

33323322333

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；

(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；

(4)ab-ab+a+b+1．

解(1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=［(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1)．

说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法 222

2332

233222222

2222

242

2422

4222

222222

222222226

33363

39639633322422

422963

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

解设x+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5)．

说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90．

令y=2x+5x+2，则

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

解设x+4x+8=y，则

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6．

解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x 42

243

2222222

2222222

222

222

=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x

=6(x-1)+7x(x-1)-24x

=[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

解法2

222

22222

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 22222222

例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x-xy+y)．

***2

22222