合工大数字信号处理习题答案2和3章 朱军版

第一篇：合工大数字信号处理习题答案2和3章 朱军版

合工大《数字信号处理》习题答案

第2章

习

题

2.1用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。2.1x(n)(n4)2(n2)(n1)(n)(n1)

2(n2)4(n3)0.5(n4)2(n6)

2.2 请画出下列离散信号的波形。

1（1）u(n)

2（2）(2)nu(n)（3）2n1u(n1)（4）u(n1)u(n5)

答案略

2.3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）x(n)Acos(n（2）x(n)e2.3（1）1j(n)8n378)，A是常数。

2014，所以周期为14。3（2）2016，是无理数，所以x(n)是非周期的。

2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)x(nn0)（2）y(n)x(n)（3）y(n)x(n)sin(n)（4）y(n)ex(n)2

2.4（1）由于T[x(n)]x(nn0)T[x(nm)]x(nmn0)y(nm)

所以是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)]ax1(nn0)bx2(nn0)ay1(n)by2(n)

所以是线性系统。

（2）T[x(nm)]x2(nm)y(nm)，所以是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)][ax1(n)bx2(n)]2ay1(n)by2(n)，所以是非线性系统。

（3）T[x(nm)]x(nm)sin(n)y(nm)，所以不是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)][ax1(n)bx2(n)]sin(n)ay1(n)by2(n)，所以是线性系统。

（4）T[ax1(n)bx2(n)]e系统。

[ax1(n)bx2(n)]eax1(n)ebx2(n)ay1(n)by2(n)，所以是非线性T[x(nm)]ex(nm)y(nm)，所以是时不变系统。

2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）y(n)x(n)x(n1)（2）y(n)x(nn0)（3）y(n)e（4）y(n)2.5

（1）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后（(n1)时间）的输入有关。如果|x(n)|M，则|y(n)||x(n)||x(n1)|2M，因此系统是稳定系统。

（2）当n00时，系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。当x(n)

nn0knn0x(k)

n00时，系统是因果系统。如果|x(n)|M，则|y(n)|M，因此系统是稳定系统。

（3）系统是因果系统，因为n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M，则|y(n)||ex(n)|e|x(n)|eM，因此系统是稳定系统。

（4）系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和x(n)的未来值有关。如果|x(n)|M，则，|y(n)|nn0knn0|x(k)||2n01|M因此系统是稳定系统。

2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n)，试说明该系统是否是因果、稳定的。（1）h(n)2nu(n)（2）h(n)2nu(n)（3）h(n)(n2)（4）h(n)1u(n)2n2.6（1）当n0时，h(n)0，所以系统是因果的。

由于

n|h(n)|202122

所以系统不稳定。

（2）当n0时，h(n)0，所以系统是非因果的。

由于

n|h(n)|2021222

所以系统稳定。

（3）当n0时，h(n)0，所以系统是非因果的。

由于

n|h(n)|1 所以系统稳定。

（4）当n0时，h(n)0，所以系统是因果的。

由于

n|h(n)|111 021222所以系统不稳定。

2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示，试求输出 y(n)。

2.7 y(n)h(n)x(n)[2(n)(n1)0.5(n2)]x(n)

2x(n)x(n1)0.5x(n2)2(n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n2)4.5(n3)2(n4)(n5)2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。

（1）h(n)R3(n)，x(n)R3(n)

（2）h(n)R4(n)，x(n)(n)(n2)（3）h(n)0.5u(n)，x(n)R5(n)2.8（1）y(n)x(n)h(n)R3(n)R3(n)n[(n)(n1)(n2)]R3(n)R3(n)R3(n1)R3(n2)[(n)(n1)(n2)][(n1)(n2)(n3)][(n2)(n3)(n4)](n)2(n1)3(n2)2(n3)(n4)（2）y(n)x(n)h(n)[(n)(n2)]R4(n)

R4(n)R4(n2)[(n)(n1)(n2)(n3)][(n2)(n3)(n4)(n5)](n)(n1)(n4)(n5)（3）y(n)x(n)h(n)0.5nu(n)R5(n)

0.5nu(n)[(n)(n1)(n2)(n3)(n4)]0.5u(n)0.5（1）Sa(100t)（2）Sa(100t)

（3）Sa(100t)Sa(50t)2nn1u(n1)0.5n2u(n2)0.5n3u(n3)0.5n4u(n4)

2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。2.9 若要确定奈奎斯特采样间隔，必须先求出信号频谱的最高频率。

（1）抽样函数对应于门函数：G(t)ESa(/2)，其中为门函数的宽度。由傅立叶变换的对称性知：

ESa(t/2)2G()

由题可知，200。因此，此信号的最高频率是100弧度/秒。因此，2fs1002 即，fs100，Ts100

（2）信号为两个抽样函数的乘积，因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围。

通过上一题目可知，Sa(100t)信号的最高频率为100弧度/秒，因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒。

fs200100，Ts200

（3）由傅立叶变换的线性，总信号的频谱为两个信号频谱的叠加，然后确定最高频率。

fs，Ts100

2.10 设系统由下面差分方程描述：

y(n)11y(n1)x(n)x(n1)22设系统是因果的，（1）求该系统的单位脉冲响应。（2）利用卷积和求输入x(n)ejnu(n)的响应。

2.10（1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0

所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1

h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1

h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以

h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/(ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)2.11有一理想抽样系统，抽样频率为s6，经理想低通滤波器Ha(j)还原，其中

1,Ha(j)20,||3||3

今有两个输入，xa1(t)cos2t，xa2(t)cos5t。输出信号ya1(t)、ya2(t)有无失真？为什么？

2.11 根据奈奎斯特定理：

6，所以ya1(t)无失真。26因为xa2(t)cos5t，而频谱中最高角频率a25，所以ya2(t)失真。

22.12 有一连续信号xa(t)cos(2ft)，式中f20Hz，

2因为xa1(t)cos2t，而频谱中最高角频率a12(1)求出xa(t)的周期；

ˆa(t)的表达式。(2)用采样间隔T0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号x2.12（1）Ta10.05s fˆa(t)xa(t)T(t)（2）xnxa(nT)(tnT)ncos(2fnT)(tnT)

 ncos(40nT)(tnT)

第3章

习

题

3.1 求下列序列的z变换，并标明收敛域。

（1）x(n)(n4)

1（2）x(n)u(n)

21（3）x(n)u(n1)

2（4）x(n)nn1，n1 nn（5）x(n)0.5u(n1)（6）x(n)n0.2u(n)

n答案： 3.1 解（1）由z变换的定义可知，X(z)n(n4)znnz4，z0

n1111nn（2）X(z)u(n)zz，|z|

12n2n021z1211n（3）X(z)u(n1)zzn

2nn12nn

2nznn111，|z| 121z12（4）X(z)1nz nn1dX(z)11n1由于，|z|1 (n)z(zn1)2dzzzn1nn1则X(z)lnzln(1z)ln而X(z)的收敛域和

z 1zdX(z)的收敛域相同，所以X(z)的收敛域为|z|1。X(z)nn1（5）由于x(n)0.5u(n1)0.5所以X(z)0.5z1u(n1)0.5

z0.5，|z|0.5

z0.5z0.5（6）利用z由于X1(z)dX1(z)ZT[nx1(n)] dzz

z0.2所以X(z)zdX1(z)z(z0.2)0.2z，|z|0.2 z22dz(z0.2)(z0.2)3z13.2 已知X(z)，分别求：

25z12z2（1）收敛域为0.5|z|2对应的原序列x(n)；（2）收敛域|z|2对应的原序列x(n)。

3z13z3.2 X(z)12225z2z2z5z2nzz12z z21（1）x(n)u(n)2nu(n1)

21（2）x(n)[2n]u(n)

23.3 已知序列x(n)的傅立叶变换为X(ej)，试求下列序列的傅立叶变换。（1）x1(n)x(nn0)（2）x2(n)x(n)（3）x3(n)x(n)nx(n)x(n)（4）x4(n)

2（5）x5(n)(n1)2x(n)3.3（1）X1(ej)ejn0X(ej)

（2）X2(ej)X(ej)（3）X3(ej)X(ej)（4）由于DTFT[x(n)]=X(ejwj)

X(ej)X(ej)X4(e)Re[X(ej)]

2（5）因为X(e)jnx(n)ejn，所以

dX(ej)x(n)(jn)ejn dn即

dX(ej)DTFT[nx(n)]j

d同理

d2X(ej)DTFT[nx(n)] 2d2而

x5(n)(n1)2x(n)n2x(n)2nx(n)x(n)

d2X(ej)dX(ej)jX5(e)2jX(e)2ddj3.4 设题3.4图所示的序列x(n)的傅立叶变换用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算：（1）X(ej0)（2）X(ej)d

（3）X(ej)（4）|X(ej)|2d

题3.4图（西电，丁玉美，P64，题5图）

3.4（1）X(e)j0nx(n)ej0nnx(n)6

（2）X(ej)ejnd2x(n)X(ej)d2x(0)4

j（3）X(e)nx(n)e2jnnx(n)(1)2n112112112

（4）|X(e)|d2jn|x(n)|28

3.5用留数定理法分别求以下X(z)的z反变换： 11z12（1）X(z)，|z|；

121z241112z1（2）X(z)，|z|，141z1411z123.5（1）X(z) 12111z1z42111n1|z|，设为内的逆时针方向的闭合曲线。x(n)zdzcc122j1z1211当n0时，zn1zn

111z1z221在c内有z一个单极点，则

2111x(n)Res[zn,]()nu(n)

122z21又由于x(n)是因果序列，故n0时，x(n)0。所以

1x(n)()nu(n)

2（2）x(n)11n1|z|X(z)zdz，设为内的逆时针方向的闭合曲线。cc42jn1当n0时，X(z)z在c外有一个单极点z1，则 411x(n)Res[X(z)zn1,]7()n

44n1当n0时，X(z)z在c内有一个单极点z0，则

x(n)Res[X(z)zn1,0]8

n1当n0，X(z)z在c内有没有极点，则

x(n)0

综上所述，x(n)8(n)7()u(n1)

14n3.6 试求如下序列的傅立叶变换：（1）x(n)(n3)

（2）x(n)anu(n)，0a

1（3）x(n)eanu(n)

（4）x(n)eanu(n)cos(0n)3.6（1）X(ej)ej3 11az1X(ej)

1aej1j（3）X(e) aj1ee（2）由于X(z)1ejeacos0（4）X(e) ja2j2a12eecos0eej3.7 已知下列因果序列x(n)的z变换为X(z)，求该序列的初值x(0)和终值x()。

1z1z2（1）X(z) 11(1z)(12z)z1（2）X(z)

(10.5z1)(10.5z1)3.7(1)x(0)limX(z)1

z由于极点有一个在单位圆外，所以终值不存在。(2)x(0)limX(z)0

zx()lim(z1)X(z)0

z13.8 用卷积定理求下列卷积和。（1）y(n)5u(n)(n2)（2）y(n)5u(n)u(n1)3.8由y(n)x(n)h(n)可知Y(z)X(z)H(z)nn（1）Y(z)zz2 z5y(n)5n2u(n2)

（2）Y(z)zz5zz1z()z

z5z1z5z14y(n)5n115u(n1)u(n1)44

3.9 用z变换法解下列差分方程：

（1）y(n)0.9y(n1)0.05u(n)，y(n)0，n1（2）y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)(n)，y(1)0.2，y(2)0.5，y(n)0，n3

3.9（1）Y(z)0.9Y(z)z10.051 11z0.050.05z2Y(z)11(10.9z)(1z)(z0.9)(z1)

z0.9z0.5()z1z0.9y(n)0.5u(n)0.45(0.9)nu(n)

（2）Y(z)0.8z[Y(z)y(1)z]0.15z[Y(z)y(1)zy(2)z]1 1221.0850.03z1Y(z)

10.8z10.15z2F(z)Y(z)z当n0时，n11.0850.03z11.085z0.03nn1zz 12(z0.5)(z0.3)10.8z0.15zy(n)Res[F(z),0.3]Res[F(z),0.5]1.47750.3n0.256250.5n3.10 线性时不变因果系统用下面差分方程描述：

0.29550.51250.3n0.5n 0.20.2y(n)2ry(n1)cosr2y(n2)x(n)

式中x(n)au(n)，试求系统的响应。n3.10 已知x(n)anu(n)，则

y(n)2ry(n1)cosr2y(n2)anu(n)

将上式进行z变换，得

Y(z)2rY(z)z1cosr2Y(z)z2因此，1az11z3 Y(z)1221(12rzcosrz)(1az)(za)(zz1)(zz2)式中，z1rej，z2rej。

由于系统是因果的（h(n)是因果序列），且x(n)也是因果序列，所以y(n)是因果序列。因

r,a)，且n0时，y(n)0。此，Y(z)的收敛域为：|z|max(y(n)1Y(z)zn1dz，c包含3个极点：a，z1，z2。2jcF(z)Y(z)zn1zn2 (za)(zz2)(zz2)y(n)Res[F(z),a]Res[F(z),z1]Res[F(z),z2]

zn2(za)|za(za)(zz1)(zz2)zn2(zz1)|zz1(za)(zz1)(zz2)zn2(zz2)|zz2(za)(zz1)(zz2)z1z2an2(az1)(az2)(z1a)(z1z2)(z2a)(z2z1)(reja)(rej)n2(reja)(rej)n22jrsinan22jrsin(reja)(reja)3.11 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列，求证：

12n2n2

X1(ej)X2(ej)d[12X1(ej)d][12X2(ej)d]

式中，X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅立叶变换。3.11 令Y(ejw)X1(ejw)X2(ejw)，则

y(n)x1(n)x2(n)

1又x(n)2X(ejw)ejwn1dw，可知x(0)2X(ejw)dw

y(0)[x1(n)x2(n)]|n0mx(m)x12(nm)|n0mx(m)x12(m)

由于x1(n)，x2(n)都是因果序列，所以上式中的m只能为0值，因此

y(0)x1(0)x2(0)1所以

21X1(e)X2(e)dw[2jwjw1X1(e)dw][2jwX2(ejw)dw]

3.12 研究一个满足下列差分方程的线性时不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零、极点图，试求系统单位冲激响应的三种可能选择方案。

y(n1)5y(n)y(n1)x(n)23.12 H(z)=z/(z2-2.5z+1)=2/3[z/(z-2)-z/(z-0.5)]

(1)|z|>2,h(n)= 2/3[2n-0.5n]u(n)系统是非稳定但是因果的。

（2）|z|<0.5, h(n)=-2/3[2n-0.5n]u(-n-1)系统是非稳定是非因果的(3)0.5<|z|<2,h(n)=-2/3[2nu(-n-1)+0.5nu(n)] 系统是稳定但是非因果的.3.13（1）某离散系统激励为x(n)u(n)时的零状态响应为y(n)2(10.5u)u(n)，求激励为x(n)0.5u(n)的零状态响应。

（2）已知一离散系统的单位冲激响应为h(n)[0.50.4]u(n)，写出该系统的差分方程。

nnn3.13（1）H(z)Y(z)X(z)2(zz)z1z0.522z11

zz0.5z0.5z1激励为x(n)0.5u(n)的零状态响应： nY(z)H(z)X(z)1zz

z0.5z0.5(z0.5)2y(n)2n(0.5)nu(n)

（2）h(n)[0.50.4]u(n)nnY(z)zz0.1z0.1z1 H(z)212X(z)z0.5z0.4z0.9z0.210.9z0.2zy(n)0.1x(n1)0.9y(n1)0.2y(n2)

3.14 已知线性因果系统用下面差分方程描述：

y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

（1）求系统函数H(z)及单位冲激响应h(n)；

（2）写出传输函数H(ej)表达式，并定性画出其幅频特性曲线；（3）设x(n)ej0n，求输出y(n)。

10.9z13.14（1）H(z) 110.9z10.9z11.8z1H(z)1

10.9z110.9z1y(n)(n)1.80.9n1u(n1)

10.9ej（2）H(e) j10.9ej极点z0.9，零点z0.9

（3）x(n)ej0n

j0ny(n)ej0nH(ej0)e10.9ej0 j010.9e3.15 若序列h(n)是因果序列，其傅立叶变换的实部如下式： HR(ej)1acos，|a|1

1a22acos求序列h(n)及其傅立叶变换H(ej)。3.15

1acos10.5a(ejej)HR(e)1a22acos1a2a(ejej)j10.5a(zz1)10.5a(zz1)HR(z)2111aa(zz)(1az)(1az)IZT[HR(z)]he(n)

F(z)HR(z)zn10.5az2z0.5an1z 1a(za)(za)1因为h(n)是因果序列，所以he(n)必定是双边序列，收敛域取：a|z|a。

n1时，c内有极点a，0.5az2z0.5an11nhe(n)Res[F(z),a]z(za)|a za2a(za)(za1)n0时，c内有极点a，0

F(z)HR(z)zn10.5az2z0.5a1z 1a(za)(za)0.5az2z0.5a1he(n)Res[F(z),a]Res[F(z),0]z(za)|zaa(za)(za1)0.5azz0.5a1z(z0)|z011a(za)(za)he(n)he(n)，所以 2

又因为

n01,he(n)0.5an,n00.5an,n0

he(n),h(n)2he(n),0,n01,an,n00,n0anu(n)H(ej)n0n0n0 j1ae

第二篇：数字信号处理习题与答案

3.已知

单位抽样响应为

，通过直接计算卷积和的办法，试确定的线性移不变系统的阶跃响应。

9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件

求输入为

时的输出序列,并画图表示。

解：系统的等效信号流图为：

解：根据奈奎斯特定理可知：

6.有一信号,它与另两个信号

和的

关系是:

其中

，已知，解：根据题目所给条件可得：

而

所以

8.若是因果稳定序列，求证：

证明:

∴

9．求的傅里叶变换。

解：根据傅里叶变换的概念可得：

13.研究一个输入为

和输出为的时域线性离散移不变系

统，已知它满足

并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。解：

对给定的差分方程两边作Z变换，得：，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括

即可求得

16.下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当

时，求系统单位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

则有

因为此系统是一个因果稳定系统;所以其收敛

17．设是一离散时间信号，其z变换为

求它们的z变换：，对下列信

号利用(a)

，这里△记作一次差分算子，定义为：

(b)(c)解：(a){

(b)，(c)

由此可设

1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

~解: X(k)n05~x(n)W6nkn05j2nk~x(n)e6 j2k1412e6j22k10e6j23k8e6j24k6e6j25k10e6

计算求得:

~2.设x(n)R4(n),x(n)x((n))6.~~ 试求X(k)并作图表示~x(n),X(k)。~~~X(0)60;X(1)9j33;X(2)3j3;~~~X(3)0;X(4)3j3;X(5)9j33。

~解: X(k)n0x(n)W6nk~5n0j~x(n)e52nk6

~~~计算求得：X(0)4;X(1)j3;X(2)1;~~~ X(3)0;X(4)1;X(5)j3。jk1e3j2ke3ejk

n1,0n43.设x(n),h(n)R4(n2),0，其它n~令~x(n)x((n))6,h(n)h((n))4,~试求~x(n)与h(n)的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算

~~~y(n)~x(n)*h(n)h(nm)~~~y(n)~x(n)*h(n)h(nm)7x(n), 0n5设有两序列 x(n)0, 其他ny(n), 0n14 y(n)0, 其他n各作15点的DFT,然后将两个DFT相乘,再求乘积的IDFT,设所得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于x(n)y(n)应该得到的点。

解：序列x(n)的点数为N16,y(n)的点数为N215故又x(n)*y(n)的点数应为：NN1N2120f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L15所以，混叠点数为NL20155。用线性卷积结果 以15 为周期而延拓形成圆周卷积序列 f(n)时，一个周期 内在n0到n4(NL1)这5点处发生混叠，即f(n)中只有n5到n14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。

8.已知x(n)是N点有限长序列,X(k)DFT[x(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)x(n), 0nN-1y(n)0, NnrN-1试求DFT[y(n)](rN点DFT)与X(k)的关系。解: X(k)DFTxn Y(k)DFTy(n) 

x(n)n0rN1N1j2nkeNN1n00kN1n0nky(n)WrNx(n)WnkrNn0N1j2πnkx(n)eNrkX()rklr(l0,1,N1)在一个周期内,Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周期为Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入(r1)个其他的数值k(不一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y(k)与X()相等。r 9已知x(n)是长为N点的有限长序列,X(k)DFT[x(n)]现将x(n)的每两点之间补进r1个零值点,得到一个长为rN点的有限长度x(n/r), nir, 0iN序列y(n), y(n)0, 其他n试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。解: X(k)DFTxn Y(k)DFTy(n) 

N1n0n0nkx(n)WN,0kN1rN1nky(n)WrNN1i0x(ir/i0N1irkr)WrNx(i)WikN,0krN1Y(k)X((k))NRrN(k)Y(k)是将X(k)(周期为N)延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。

10.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512个抽样的DFT,试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。

证明 : s2fssF00fsF002其中s是以角频率为变量 的 频谱的周期,0是频谱抽样之间的频谱间隔。fssNF00F0对于本题:fsNfs8KHzN512 8000F015.625Hz51211.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何殊数据处理措施,要求频率分辨力10Hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试确定(1)最小记录长度;(2)所允许处理的信号的最高频率;(3)在一个记录中的最少点数。11解:(1)TP而F10Hz TPsF10 最小纪录长度为 0.1s 1110310KHzT0.11 fs2fh fhfs5KHz2 允许处理的信号的最高频率为5KHz(2)fs TP0.11031000,又因N必须为2的整数幂T0.1 一个纪录中的最少点数为:N2101024(3)N

用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

34.2z10.8z2H(z)20.6z10.4z2

121.52.1z10.4z21.52.1z0.4zH(z)12121(0.3z0.2z)10.3z0.2z解：H(z)

∵1anznn1m0NbznMmY(z)X(z)

∴a10.3，a20.24(z1)(z21.4z1)H(z)(z0.5)(z20.9z0.8)

2.用级联型结构实现以下系统函数b01.5，b12.1，b20.4

试问一共能构成几种级联型网络。11kz12kz2H(z)A121zzk1k2k解：

4(1z1)(11.4z1z2)112(10.5z)(10.9z0.8z)

∴ A4

111, 110.5 , 210 , 121.4 ,210 , 120.9 ,221 220.8

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

3.给出以下系统函数的并联型实现。

5.21.58z11.41z21.6z3H(z)112(10.5z)(10.9z0.8z)

解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：

5.21.58z11.41z21.6z3H(z)112(10.5z)(10.9z0.8z)

0.210.3z14110.5z10.9z10.8z2 G0 110.5 , 210，120.9 ,220.8

010.2 , 110

，021 , 120.3

4．用横截型结构实现以下系统函数：

11H(z)1z116z112z11z11z126

解：

11H(z)(1z1)(16z1)(12z1)(1z1)(1z1)26

111122(1z12z1z)(1z6zz)(1z)26

1537(1z1z2)(1z1z26

2)(z11)8205220581z1zz3z4z531212 5．已知FIR滤波器的单位冲击响应为

0.3n（h(n)(n)N1n01)0.n72(2)n0.11(3n)0

试画出其级联型结构实现。

H(z)根据h(n)zn得：

220.z70.z3114

1H(z)10.z3z0.12)1z23

(10.z20.)(1z10.1z2 0.4而FIR级联型结构的模型公式为：

H(z)(0k1kz12kz2)k1N2

对照上式可得此题的参数为：

011 , 021, 110.2 , 120.1210.3 , 220.4

6．用频率抽样结构实现以下系统函数：

52z33z6H(z)1z1

抽样点数N = 6，修正半径r0.9。解；

因为N=6，所以根据公式可得：

H(z)2166(1rz)H0(z)H3(z)Hk(z)6k1(53z3)(1z3)H(z)1z1 (53z3)(1z1z2)故 H(k)H(Z)Z2k/N (53ejk)(1e因而 H(0)24,H(1)223j,H(2)0 H(3)2,H(4)0,H(5)223j

j3kej2k3)则 H0(z)H(0)241rz110.9z1H(3)2 H3(z)1rz110.9z1

0111z121求 ： Hk(z)k1 时 ：H1(z)2212zrcosrzN

012ReH(1)2Re[223j]411(2)(0.9)ReH(1)W613.643.6z1H1(z)10.9z10.81z2k2 时 ：02120，H2(z)0 7．设某FIR数字滤波器的系统函数为：

1H(z)(13z15z23z3z4)5

试画出此滤波器的线性相位结构。解：由题中所给条件可知：

1331h(n)(n)(n1)(n2)(n3)(n4)5555

则 h(0)h(4)10.253 h(1)h(3)0.65 h(2)1N12 2即h(n)偶对称，对称中心在 n处，N 为奇数(N5)。8．设滤波器差分方程为：

y(n)x(n)x(n1)11y(n1)y(n2)34

⑴试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方程。

⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。

⑶设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5，频率为1kHz，试求稳态输出。解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

根据 y(n)ak1Nky(nk)bx(nk)可得：kk0M

11a1 , a234；

b01 , b11

一阶节级联型：

1z1H(z)111z1z2341z1 11011101(1z)(1z)66

1z111

(10.7z)(10.36z)

一阶节并联型：

H(z)1z1(111011101z)(1z)66

17171010220220110111011z1z66

1.60.610.7z110.36z1

1z1（2）由题意可知 H(z)111z1z234 1ejH(e)1j12j1ee34 j(1cos)jsin11111cosco2sjsinsin23443

幅度为：

H(ej)

(1cos)2sin21111(1coscos2)2(sinsin2)23434

相位为：

sinargH(ej)arg)tg(1cos

11sinsin24tg(3arg)111cosco2s34

（3）输入正弦波为 ： x(t)5sin(2t103)

3由 T210T12 可得：

又抽样频率为10kHz，即抽样周期为

13T0.1100.1ms31010

∴在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0,2)间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为 周期为：T11103s1ms1000

 5sin10x(n)5sin2103nT32104n1 5sinn(n0 ,1 ,5

由此看出,9)

00.2

根据公式可得此稳态输出为：

y(n)5H(ej0)cos0nargH(ej0)12.13cos0.2n51.6

4.试用N为组合数时的FFT算法求N12的结果(采并画出流图。1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需50 s 计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。

每次复加5 s，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问直拉对于0nN,有解：依题意：N34r1r2，解: ⑴ 直接计算:

复乘所需时间: T61510N2 51065122 1.31072s

复加所需时间: T20.5106N(N1)0.5106512(5121)0.130816s TT1T21.441536s⑵用FFT计算:

复乘所需时间: T61510N2log2N 51065122log2512 0.01152s

复加所需时间: T20.5106Nlog2N 0.5106512log2512 0.002304s TT1T20.013824s

nn1r2n0,n10,1,2n00,1,2,3 同样： 令Nr2r1 对于频率变量k(0kN)有kkk10,1,2,31r1k0,k00,1,2x(n)x(n1r2n0)x(4n1n0)x(n1,n0)X(k)X(k1r1k0)X(3k1k0)X(k1,k0)11X(k)x(n)Wnk12n032 x(n(4n1n0)(3k1k01,n)0)W12n00n10



第三篇：《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案范文

第三章习题答案 3.1（1）非周期

（2）N=1（3）N=10（4）N=4（5）N=20 3.2 2f0fs，fs1521Ts

5（1）3,f0；Ts0.3，f0

503（2）10,f025；Ts0.3，f0（3）5,f00.5；Ts0.3，f0

356（4）3.5,f08.75；Ts0.3，f01j0.2njcos(0.n2)e(e2n1F30.60n.2).2n1j0cos(0n.u2n)()F1.8e2.2ne(nj0n.2nu)n0.6()（5）1.81j0Fe20.2nj0.6un()Fe0n.2n0u.6()

10.9j(10.6e)110.6ej(0.2)3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT % [X]=myDTFT(x, n, w)%X=输出的DTFT数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n’*w)

3.4(1)X(ejj)710.3ej

110.5ej2j（2）X(e)0.5ejj(10.5e)2j

（3）X(ej)0.80.16e10.4e（4）X(ej)1(10.9ej)20.91ej10.9ej20.91ejj(10.9e)2

3.5(1)X(ej)64ej2e2je3j2e4j4e5j6ej6（2）X(ej)64ej2e2je3je4j2e5j4ej66ej7（3）X(ej)64ej2e2je3je4j2e5j4ej66ej7（4）X(ej)64ej2e2je3je5j2ej64ej76ej8

3.6 X(ej)A11 j(0)j(0)21ae1ae1e6jj3.7 N=5，X(ej)1eej1e5j1ejj

N=25，X(ej)1e26jj1ee1e1ej25jj

N=100，X(eN=5，j)1e101jj1ee1e1e100jj

》n =-5:5;x =ones(1,11);

% x(n)

k =-500:499;w =(pi/500)*k;

% [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k);% DTFT magX = abs(X);angX = angle(X);realX = real(X);imagX = imag(X);subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')

幅度部分142相位部分幅值0.5弧度-0.500.5以pi为单位的频率10-20-1-4-1-0.500.5以pi为单位的频率1

N=25, >> n =-25:25;x =ones(1,51);

% x(n)

k =-500:499;w =(pi/500)*k;

% [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k);% DTFT magX = abs(X);angX = angle(X);realX = real(X);imagX = imag(X);subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')

幅度部分15相位部分幅值0.5弧度00-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4以pi为单位的频率0.60.81-5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4以pi为单位的频率0.60.81N=100, >> n =-100:100;x =ones(1,201);

% x(n)

k =-500:499;w =(pi/500)*k;

% [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k);% DTFT magX = abs(X);angX = angle(X);realX = real(X);imagX = imag(X);subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')幅度部分142幅值相位部分0.5弧度0-20-1-0.500.5以pi为单位的频率1-4-1-0.500.5以pi为单位的频率1

随着N的增大，DTFT的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于x(n)1的DTFT特性。3.83.8(1)F[x(n)]X(ej)(2)F[x(n)]X(ej)

(3)F{Re[x(n)]}1X(e21j)X(ej**j))(4)F{jIm[x(n)]}X(e2)X(ejj(5)F[xe(n)]Re[X(e)]

j(6)F[xo(n)]j*Im[X(e)]

nx(),n是5的倍数3.9 y(n)[x(5)(n)x(5)(n)],其中x(5)(n)5

20,其他n13.10(1)DTFT 为纯虚数

（2）DTFT为纯实数

（3）DTFT为纯实数 3.11（1）x(n)为奇序列（2）x(n)为偶序列 3.12（1）H(eb=[1,-3,2];a=[1,-1,0.5];

[H,w]=freqz(b,a);%0到pi分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid jjjjj2j2)Y(eX(e))13e1e2ej0.5e xlabel('频率以pi为单位');ylabel('|H|')title('幅度响应')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('相位(单位：pi)')title('相位响应')

幅度响应43|H|21000.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位相位响应0.70.80.911相位(单位：pi)0.50-0.5-100.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位0.70.80.91

（2）H(eb=[1,0,-3];a=[1,1,0.25];

[H,w]=freqz(b,a);%0到pi分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('|H|')title('幅度响应')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('相位(单位：pi)')title('相位响应')j)Y(eX(ejj))13e1ej2jj20.25e

幅度响应86|H|42000.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位相位响应0.70.80.911相位(单位：pi)0.50-0.5-100.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位0.70.80.91

（3）H(ej)Y(eX(ejj))1e6jj1e

b=[1,0,0,0,0,0,-1];a=[1,-1];

[H,w]=freqz(b,a);%0到pi分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('|H|')title('幅度响应')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('相位(单位：pi)')title('相位响应')

幅度响应64|H|2000.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位相位响应0.70.80.910.5相位(单位：pi)0-0.5-100.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位j4j0.70.80.91

（4）H(ej)Y(eX(ejj))10.4e10.4e4

b=[1,-0.4];

a=[1,0,0,0,-0.4^4];[H,w]=freqz(b,a);%0到pi分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('|H|')title('幅度响应')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('相位(单位：pi)')title('相位响应')

幅度响应1.5|H|10.500.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位相位响应0.70.80.910.2相位(单位：pi)0.150.10.05000.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位0.70.80.91

3.13 H()134ej21113ej

~~3.14 X(k)DFSx(n)N1~x(n)en0j2NknN1~x(n)Wn0knN

~2413（1）X(k){4,4*W5,4*W5,4*W5,4*W5}

~（2）X(k){42j,3j,0,13j} ~（3）X(k){2,0,2,0}

~（4）X(k){2j,26j,2j,26j}

~13.15 x(n)IDFSX(k)N~~N1k02~jkn1X(k)eNNN1k0~knX(k)WN

（1）x(n){0.75,0.25,0.75,0.75}

~（2）x(n){2.5,0.50.5j,0.5,0.50.5j}（3）~x(n){0,0.44720.671j,0.44721.4662j,0.44721.4662j,0.44720.671j}

~（4）x(n){0.750.5j,0.250.5j,0.750.5j,1.250.5j}

3.16（1）解法1

N1X(k)nWn0knNk0,1,,N1

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为

x(n)nRN(n)

所以

x(n)x((n1))NRN(n)N(n)RN(n)等式两边进行DFT得到

X(k)X(k)WNNN(k)

k故

X(k)N[(k)1]1WNk,k1,2,N1

当k0时，可直接计算得出X（0）

N1N10NX(0)nWn0nn0N(N1)2

这样，X（k）可写成如下形式：

N(N1),k02X(k)

N,k1,2,N1k1WN解法2

k0时，N1X(k)k0时，n0nN(N1)2

X(k)0WN2WN3WN(N1)WNkn2k3k4kN1N1knNk2k3k(N1)k(N1)kWNX(k)0WN2WN3WN(N2)WNX(k)WknN(N1)

X(k)Wn1(N1)WN1(N1)Nn0kn所以，X(k)N1WkN,k0 即

N(N1),k02X(k)

N,k1,2,N1k1WN2kn（2）X(k)cosmnWNNn0N1N1n012(ej2Nmnej2Nmn)ej2Nkn

12N1en0j2N(mk)n12N1en0j2N(mk)n22j(mk)Nj(mk)NNN11e1e22j(mk)j(mk)2NN1e1e

1,km且kNmN,0,km或kNm0kN1（3）解法1 直接计算

x8(n)sin(w0n)RN(n)12jejw0nejw0nRN(n)

N1X8(k)n0x(n)WknN12jen0N1jw0nejw0nej2Nkn

12jN1n02j（w0）nj（w02）n1NNee2jjwNjwN1e01e022j(w0k)j(w0k)NN1e1e 解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为

x7(n)ejw0nRN(n)cos(w0n)jsin(w0n)RN(n)

x8(n)sin(w0n)RN(n)Imx7(n)

所以

DFTjx8(n)12DFTjImx7(n)X70(k)

即

X8(k)jX(k)j70X7(k)X7(Nk)

jwNjwN1e01e01()22j(w0k)j(w0(Nk)2j2jNN1e1e1jwNjwN1e01e0()22j(w0k)j(w0k)NN1e1e结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。

N1N1knN（4）X(k)(n)Wn0(n)1,kn00,1,,N1

N1（5）X(k)Wn0knN1WkmNkN1WejNk(m1)sin(sin(Nmk),k0,1,,N1 m)N

3.17（1）证明：x(n)IDFT[X(k)]变量代换：

x(Nk)1NN11NN1X(k)Wk0knN

n0X(n)W(Nk)nN1NN1n0X(n)WNkn1NDFT[X(n)]

DFT[X(n)]Nx(Nk)（2）

function y=cirfold(x,N)x1=DFT(x,N)y=1/N*DFT(x1,N)

（3）y(n){2,2,3,4,5,4,3}

3.19（1）X（k）={15-2.92711.3143i-2.9271 + 2.1266i}

幅度部分1510幅度5000.511.52k相位部分2.533.5442弧度0-2-400.511.52k2.533.54

（2）DTFT：

>>x=[2 3 5 3 2];n=0:4;

k = 0:999;w =(pi/500)*k;

X = x*exp(-j*pi/500*n'*k);

% TFT magX = abs(X);angX = angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel(弧度')

幅度部分1510幅值5000.20.40.60.811.2以pi为单位的频率相位部分1.41.61.8242弧度0-2-400.20.40.60.811.2以pi为单位的频率1.41.61.82

（3）DFT是对DTFT在0~2pi周期上的等间隔采样。如图所示：

n = 0:4;x =[2,3,5,3,2];

% 序列 x(n)

k = 0:999;w =(pi/500)*k;

% [0, 2*pi] 区间划分成1000个等分频点.X = x*exp(-j*pi/500*n'*k);

% 用式（3.2.35）计算DTFT magX = abs(X);angX = angle(X);

% X的幅度和相位（DTFT）Xk=DFT(x,5);

% 计算DFT

magXk = abs(Xk);angXk = angle(Xk);% Xk的幅度和相位（DFT）subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')hold on;

plot(n*2/5,magXk,'o');grid subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')hold on

plot(n*2/5,angXk,'o');grid

幅度部分1510幅值5000.20.40.60.811.2以pi为单位的频率相位部分1.41.61.8242弧度0-2-400.20.40.60.811.2以pi为单位的频率1.41.61.82

（4）内插公式：

N1N212j(2kN2N)X(ej)1Nk0X(k)eej(k)2kN()2N21sin(k)2Nsin2kN()N12kN12j()N2NX(k)e21k0Nsin(k)2NsinN12

令e()jsin(N2)Nsin(N12)则X(ej)X(k)k02k N3.20（1）N=1000 n=-10:10;x=2*(0.8.^n);x1=[x,zeros(1,979)];

X =DFT(x1,1000);

% 计算DFT magX = abs(X);

plot([0:999]/500,magX);grid xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值');

幅度部分10090807060幅值504030201000.20.40.60.811.2以pi为单位的频率1.41.61.82

（2）N=1000

幅度部分54.543.53幅值2.521.510.5000.20.40.60.811.2以pi为单位的频率1.41.61.82

3.21 function y=cirshiftf(x,m,N)n=0:length(x)-1;k=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;

X1=Xk.*WN.^(m*k);y=IDFT(X1,N);

x(n)2n1，0n9，m8,N15

y=x((nm))N={13,15,17,0,0,0,0,0,-1,1,3,5,7,9,11} 3.22 function y=circonvf(x1,x2,N)if length(x1)> N

error('x1的长度必须 <=N ')end

% 检查 x2的长度

if length(x2)> N

error('x2的长度必须 <=N')end

x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))];% 将x1、x2尾部补零，长度扩展到N x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))];X1=DFT(x1,N);X2=DFT(x2,N);Y=X1.*X2;y=IDFT(Y,N);

3.23(1)yc1={0,0,0,0}(2)yc2={-5.3431

-4.6165

-2.1266

1.1756

4.0287

5.3431

4.6165

2.1266

-1.1756

-4.0287}(3)yc3= {285

250

225

210

205

210

225

250

285

330}(4)yc4={ 1.0000

0.1853

0.8100

0.1501

0.6561

0.1216

0.5314

0.0985

0.4305

0.0798

0.3487

0.0646

0.2824

0.0523

0.2288} 3.24(1)yl1={-5

0

0

0} yl2={ 0

-0.5878

-0.3633

1.1756

4.0287

5.3431

4.6165

2.1266

-1.1756

-4.0287

-5.3431

-4.0287

-1.7634} yl3={

0

130

175

224

276

330

285

240

196

154

115

9} yl4={ 1.0000

0

0.8100

0

0.6561

0

0.5314

0

0.4305

0

0.3487 0

0.2824

0

0.2288

0

0.1853

0

0.1501

0

0.1216

0 0.0985

0

0.0798

0

0.0646

0

0.0523}(2)e(n)yc(n)yl(n)yl(nN)

e1(n)yc1(n)yl1(n){5,5,0,0}yl(nN)

3.25 yc(n)3.26 kyl(n7k)R7(n)

X(1)X(10)32jX(3)X(8)58j*X(5)X(6)96j **X(7)X(4)25jX(9)X(2)13j**

第四篇：数字信号处理习题解答

数字信号处理习题解答

第1-2章：

1.判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。若不是，说明理由（1）f1(t)= sin2t + cos3t

（2）f2(t)= cos2t + sinπt

2、判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。若不是，说明理由

（1）f1(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(2k)(3)若正弦序列x(n)=cos(3πn /13)是周期的, 则周期是N=

3、判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期;若不是，说明理由

（1）f(k)= sin(πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)解

1、解 β1 = π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8 N1 =8，N2 = 4，故f(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。

（2）β1 = 3π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3 N1 =8，N2 = 4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。

4、画出下列函数的波形(1).(2).解 f1(t)tu(t1)

f2(t)u(t)2u(t1)u(t2)

5、画出下列函数的波形

x(n)=3δ(n+3)+δ(n+1)-3δ(n-1)+2δ(n-2)

6.离散线性时不变系统单位阶跃响应g(n)8

nu(n)，则单位响应h(n)=?

h(n)g(n)g(n1)8nu(n)8n1u(n1)

7、已知信号为fs（200)Hz。

f(t)5cos(200t)，则奈奎斯特取样频率

38、在已知信号的最高频率为100Hz(即谱分析范围)时，为了避免频率混叠现象，采样频率 最少要200 Hz：

9.若信号f(t)的最高频率为20KHz，则对该信号取样，为使频谱不混叠，最低取样频率是40KHz

10、连续信号：xa(t)5sin(2*20*t3)用采样频率fs100Hz 采样，写出所得到的信号序列x(n)表达式，求出该序列x(n)的最小周期

解：T10.01，x(n)xa(nT)5sin(0.4n)

3fs2 N025 0.4

11、连续信号：xa(t)Acos(80t3)用采样频率fs100Hz 采样，写出所得到的信号序列x(n)表达式，求出该序列x(n)的最小周期长度。解：T10.01，x(n)xa(nT)Acos(0.8n)

3fs25;N5 0.82 2012、设系统的单位取样响应

h(n)u(n)，输入序列为

x(n)(n1)，求系统输出序列y(n)

y(n)x(n)*h(n)u(n)*(n1)u(n1)

n解：

13、设系统的单位取样响应h(n)au(n),0a1，输入序列为 x(n)(n)2(n2)

完成下列各题：

y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的Z变换。

(1)求出系统输出序列

解：y(n)h(n)*x(n)anu(n)*[(n)2(n2)]=anu(n)+2an2u(n2)X(z)n[(n)2(n2)]zn12z H(z)2nau(n)znnanznn01 11az12zY(z)H(z)X(z)1az1

14、设系统的单位取样响应

h(n)u(n)，输入序列为

x(n)(n2)，求系统输出序列y(n)

y(n)x(n)*h(n)u(n)*(n2)u(n2)

解：

15、离散时间单位延迟器的单位响应为(k1)

16、线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n）； 则输入为9x（n-23）时，输出是9y（n-23）

17、求x(n)cn的z变换（1nnc

1)解 X(z)nx(n)znnnnczcz

n0 X1(z)cnznn011cz1cz1czzc

z1

c X2(z)nc1nznc1，sk|h(k)||a|k0k则存在公共的收敛区域X(z)1cz1

,cz11cz1czc的线性时不变系统 18、分析单位脉冲响应为h(k)aku(k),的因果性和稳定性。

解：1）因为 k0时，h（k）=0，因此系统是因果的

2）如果 |a|<1, 则 s1 故系统是稳定的1|a|

如果 |a|≥1 , 则s → ∞，级数发散。故系统仅在|a|<1时才是稳定的

19、分析单位脉冲响应为h(k)0.5ku(k),的线性时不变系统 的因果性和稳定性。

解：1）因为 k0时，h（k）=0，因此系统是因果的 2）skh(k)0.5k0k12,10.故系统是稳定的nx(n)au(n),0a1 的DTFT求序列解

X(e)aejn0njn(aen0jn1)1aej)=|H(e)|e

jω

jθ(ω)

21、如果信号的自变量和函数值都取 __ ____值，则称为数字信号。离散 22.数字滤波器的频率响应函数可表示为H(e

jω

。式中，|H(ejω)|称为 函数，θ(ω)称为 函数。幅频特性，相频特性

23、因果稳定（可实现）系统的系统函数H(z)收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆()，收敛域在某个圆()。

24、已知线性因果网络用下面差分方程描述：

y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

(1)求系统函数H(z)；(2)写出H(ej)

解：（1）y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

对方程两边进行z变换，得Y(z)0.9Y(z)z1X(z)0.9X(z)z1

H(z)

第3--5章： Y(z)10.9z（2）X(z)10.9z1110.9ejH(e)H(z)|zej

10.9ejj1.求序列 x(n)(n),0nN1的DFT

nkX(k)DFT[x(n)]x(n)WNN1n0解

nk(n)WN1,1kN1n0N1

2.求序列x(n)an(0nN1)的DFT

N1n0nkX(k)DFT[x(n)]x(n)WN解nkanWNn0N1kN1(aWN)1aN1,1kN1kk1aWN1aWN

3.求有限长序列x(n)=cos(nπ解：由DFT的定义

/6)(0n11)的N点DFT

nkj2e12nnjnnk111j6X(k)cosW12ee66n0n02111e2n0112jn(k1)12en0112jn(k1)12

利用复正弦序列的正交特性, 再考虑到k的取值区间，6k1,11可得X(k)

0 elsek,k[0,11].按基-2 FFT算法 , N=16的时间抽取法的 FFT运算 流图中，从x(n)到X(k)需（4）级蝶形运算过程。5.按基-2 FFT算法 , N=64的时间抽取法的 FFT运算 流图中，从x(n)到X(k)需（6）级蝶形运算过程。

6.序列x1（n）的长度为8，序列x2（n）的长度为16，则它们线性卷积的长度是（23），要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为圆周卷积的长度（≥ 23）7.设有限长(N=4)序列为:x(n)=2δ(n)-δ(n-1)+3δ(n-2)+δ(n-3)，X(k)=DFT[x(n)]N, 试计算(1)X(k)k-0(2)X（N22)(3)X(k)(4)|X(k)|。

k0N1N1k0解：(1)X(0)x(n)WN0x(n)5

n0n0N1N1N1N1NnN/2(2)X()x(n)WNx(n)(1)n5

2n0n0

N11N11N10(3)x(0)X(k)WNX(k)，故X(k)Nx(0)8

Nk0Nk0k0

(4)由离散帕塞瓦尔定理，得 X(k)2Nx(n)260

k0n0N1N

18、数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可以分成(无限长单位脉冲响应(IIR))滤波器和(有限长单位脉冲响应(FIR))滤波器。

9.无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的两种常用设计方法是冲激响应不变法和双线性 变换法.冲激响应不变法的优点是频率变换关系是线性的，即ω=ΩT;冲激响应不变法的最大缺点会产生不同程度的 频率混叠失真。

10.采用按时间抽取的基-2 FFT算法计算N=1024点DFT，需要计算()次复数加法，需要()次复数乘法。1024*10，512*10 11.设模拟滤波器的系统函数为

H(s)211s26s8s2sT=2s

试利用双线性变换法，设计IIR数字滤波器H(z)。

解：利用双线性变换法

C=2/T=1

1z1H(z)H(c)11z111z11z1 2411z1z11z11z113z53z112、有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：（1）频率分辨力≤10Hz（2）信号的最高频率≤4kHz试确定以下参量：（1）最小记录长度Tp；（2）抽样点的最大时间间隔T；（3）在一个记录中的最少点数N。

解：（1）由分辨力的要求确定最小记录长度Tp.Tp=1/F=1/10=0.1(s)故最小记录长度为0.1秒。

（2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T.fs≥2fh, T=1/fs ≤1/2fh=0.125*10-3(s)(3)最小记录点数N，它应满足N≥2fh /F=800

13、对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F ≤10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz，试确定:

(1)最小记录时间Tpmin;(2)最大的采样间隔Tmax;(3)最少的采样点数Nmin。

14、频率分辨率与信号实际长度成 比，信号越长，其分辨率越。反，高。

15.由RC组成的模拟滤波器系统函数为Ha(s)1 s1(1)采样间隔T=2s，试用双线性不变法将该模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z);

(2)求出H(z)对应的序列h(n);

(3)判断系统H(z)的稳定性与类型（IIR、FIR）

解：（1）H(z)Ha(s)sc1z11z1110.50.5z

1s1sc1z11z（2）h(0)=0.5, h(1)=0.5

（3）FIR，稳定

16、如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭_____对称___分量和共轭____反对称____分量。

第五篇：数字信号处理习题解答1

第一章

3.判断下面的序列是否周期的(1).x(n)Acos(3n),A是常数78j(1n)(2).x(n)e85.试判断系统是否为线性时不变的（5）y(n)=x2(n)(7)y(n)=x(n)sin(n)6.试判断系统是否为因果稳定系统（4）y(n)=x(n-n)0x(n)(5)y(n)e第二章

1.求下列序列的傅里叶变换（7）x(2n)DTFT[x(2n)]=x(2n)e-jnn=-令m=2n，于是DTFT[x(2n)]==1212m=-，m为偶数x(m)e-jm/2mm=-[x(m)(1)-jm/2m=-x(m)]e-jm/2[x(m)e12[X(ej12m=-j(1)2e)]jmx(m)e-jm/2])X(e14.求出下列序列的z变换及收敛域(1)2-nu(n)X(z)n2znnu(n)zn

n2n11,|(2z)|111(2z)z,|z|121z2-3z-117.已知X(z)=,分别求：-1-22-5z+2z（1）收敛域0.5< | z | < 2对应的原序列x(n)(2)收敛域 | z | > 2对应的原序列x(n)解：X(z)=11--11-11-2z-12z

收敛域0.5< | z | < 2时：nx(n)=2nu(-n-1)+(1)u(n)2收敛域 | z | > 2时：nnx(n)=(1)u(n)-2u(n)221.已知线性因果网络用下面差分方程表示： y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)求网络的系统函数及单位脉冲响应h(n)(2)写出网络频率响应函数H(ej)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解：1+0.9z-1(1)H(z)=,|z|>0.9-11-0.9z-1n-11+0.9z令F(z)=H(z)z=zn-1-11-0.9z当n1时，有极点z=0.9h(n)=Res[F(z),0.9]1+0.9z-1n-1=z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-1=20.9n因为系统是因果系统，所以有h(n)=0,n<0当n=0时，有极点z1=0,z2=0.9h(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.9z-1-11+0.9z-1-1=zz|z=0+z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-11-0.9z-1=-1+2=1h(n)=20.9nu(n-1)+(n)ej+0.9(2)H(e)=je-0.9(3)y(n)=h(n)*x(n)j=h(m)x(n-m)m=00n-m）=h(m)ej（m=0

=h(m)ej0ne-j0mm=0=ej0nH(ej0)=ej0nej0+0.9ej0-0.9

第三章

6.设下列x(n)长度为N，求下列x(n)的DFT(1)x(n)(n)(2)x(n)(nn0)0n0N

1(3)x(n)an(5)x(6)(4)x(n)ej0nRNn

ncos0nRNn

xnsin0nRNn(7)xnnRNn

100kN1

其他0kN1

其他解：(1)X(k)kn0j2Ne

(2)X(k)0kn0N1j2N1aNe2jk

(3)X(k)n0N1ae00kN1其他2knNj(02k)nN

(4)X(k)x(n)Wn0N1nkNen0N1j0neje

(5)x(n)cos(0n)RN(n)1j0n(eej0n)RN(n)211ej0N1ej0NX(k)j0kk21eWN1ej0WN

kk1ej0N1ej0WN11ej0N1ej0WN j0j0kk21eWN1eWNk1cos0Ncos0N1cos0WNk2k12cos0WNWN

(6)

1x(n)sin(0n)RN(n)(ej0nej0n)RN(n)

211ej0N1ej0NX(k)j0kk2j1eWN1ej0WNjNjkk1ej0N1ej0WN11e01e0WN

 kk2j1ej0WN1ej0WNsin0N1sin0WNksin0Nk2k12cos0WNWN1zN

(7)设x1(n)RN(n)，则X1(z)

1z1d1zN

x(n)nx1(n)，则X(z)z1dz1z 

X(z)zNzN11z1z21zNX(k)X(z)zWkN1zNW1WW1W12kNNkNkNk2NNz1zz1z

1z1WN

N11N12kNNkWN1kNkN

因为WN1，WN10

N1n0X(k)k0n123(N1)N(N1)221.(1)模拟数据以10.24KHz速率取样，若已知1024个取样的离散傅立叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。

(2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅立叶反变换，求离散傅立叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？

10240Hz10Hz

10241s97.66s（2）抽样点的间隔

T10.24103整个1024点的时宽

T97.661024ms100ms 解：（1）频率间隔

F第四章

1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要50us，每次复数加法需要5us。用它来计算N=512点DFT，问直接计算需要多少时间，用FFT计算需要多少时间？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。解：

(1)512点直接DFT计算的时间： 复数乘法：N=512x512x50us=13.1072s 复数加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s 512点直接DFT计算的时间=13.1072s+1.308s=14.4152s(2)用FFT计算的时间：

复数乘法：N0.5x512x9x50us=0.1152s 2log2N=复数加法：Nlog2N=512x9x5us =0.023s 用FFT计算的时间=0.1152s+0.023s=0.1382s(3)用FFT进行快速卷积对信号处理时间： 假设IFFT也用FFT程序计算，则在实时计算中使用的时间是两次FFT时间（h(n)的FFT计算按照事先计算好存储备用），外加一次512点的复数乘法：

用FFT进行快速卷积对信号处理时间=2 x 0.1382s +512x50us = 0.302s 实时处理时，信号采样的最高采样频率：210.302512=1695.36Hz 信号的最高频率=1695.36/2=847.68Hz 7.某运算流图如图所示，问：

（1）图示是按时间还是按频率抽取的FFT？（2）把图示中未完成的系数和线条补充完整。解：

（1）分析图示的流图结构，发现其中基本的蝶形运算单元是先加减后乘系数的，因此是按频率抽取的基2FFT x(0)x(2)-1 x(1)

-1 x(3)-1（2）第五章

6.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数HasX(0)X(1)

W04

WW04

X(2)

W14

-1 04

X(3)

3s1s3转变为数字传递函数H(z)，采样周期T0.5。

解：Ha(s)3113();ha(s)(ete3t)u(t)2s1s323h(n)T(enTe3nT)u(n),代入T0.523(en2e3n2)u(n)43113(1e32z1)(1e12z1)H(z)()12132141ez4(1e12z1)(1e32z1)1ez3(e12e32)z10.2876z1123212241(ee)zez10.829z10.135z2(2)双线性变换H（z）Ha(s)T1z121z1s3s24s3s41z11z131z121z116()163111z1z3(12z1z2)36z13z21632z116z21616z236z13z23526z13z20.08750.1714z10.0857z210.7429z10.0857z2MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b[003];a[143];3(1z1)216(1z1)216(1z1)(1z1)3(1z1)2

[bz1az1]impinvar(b,a,2)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]bilinear(b,a,2)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；结果：

bz1=0

0.2876

0

az1=1.0000

-0.8297

0.1353

bz2=0.0857

0.1714

0.0857

az2=1.0000

-0.7429

0.0857 7.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数Has3转变为数字传递函数H(z)，采样周期2ss1T2。

解：（1）脉冲响应不变法Ha(s)111s2s1(s12)234(s12)2(32)2A1s12j(32)1s12j(32)*s12j(32)A2s12j(32)1j31j3T(12j(32)T1A1j3j3)将T2代入A2A1H(z)1s12j(32)j31e(T(12j(32)Ts12j(32)1ez22e1sin3z10.8386z1121122312ecos3zez10.1181z0..135z其中：sin3sin3180./0.987cos3cos3180./0.1606(2)双线性变换H（z）Ha(s)11z11z1z1s1s2s1s1z11z11z121z1()1111z1z(12z1z2)12z1z21221212zz1z12zz3z20.33330.6667z10.3333z210.3333z2(1z1)2(1z1)2(1z1)(1z1)(1z1)2

MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b[001];a[111];[bz1az1]impinvar(b,a,0.5)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]bilinear(b,a,0.5)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；

结果：

bz1=0

0.8386

0

az1=1.0000

0.1181

0.1353

ba2=0.3333

0.6667

0.3333 az2=1.0000

0

0.3333 10.设有一模拟滤波器Ha(s)

1，采样周期T2，用双线性变换法将其转换为数字系统函数H(z)。

s2s1解

由变化公式

1z1

sc 11z及c2,T2,可得 T1z1

s

1z1所以

H(z)Ha(s)1z11z1

s

=

11z121z1()()1111z1z

(1z1)2

=

3z218.用双线性变换法设计巴特沃兹数字高通滤波器，要求通带边界频率为0.8rad，通带最大衰减为3dB，阻带边界频率为0.5rad，阻带最小衰减为18dB。

解：已知p0.8rad,s0.5rad,p3dB,s18dB

（1）将数字高通滤波器的边界频率转换为相应的模拟高通滤波器Ha(s)的边界频率。（令T=2）

phtanp2tan0.80.50.006981,shtanstan0.004363 222（2）将Ha(s)的指数转换为模拟低通归一化原型滤波器G（p）的指标

p1,p3dB;sphsh1.6,s18dB

设计程序：

% 调用函数buttord,butter,lp2hp和bilinear用双线性变换法设计巴特沃思数字高通滤波器程序： ex623.m

wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;

[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6);[Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);% N,Bz,Az为所设计巴特沃思数字高通滤波器的阶数和系统函数； 运行结果：

N=5

Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165]

Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]

19.设计巴特沃兹数字带通滤波器，要求通带范围为0.25rad0.45rad，通带最大衰减为3dB，阻带范围为00.15rad和0.55radrad，阻带最小衰减为15dB。解：(1)确定数字带通滤波器性能

，10.25rad，s20.55rad，s10.15rad u0.45rad通带内最大衰减p3dB，阻带内最小衰减s15dB(2)确定模拟滤波器性能。若T＝2s

u2tanutan0.2250.854r1ad/s T2

12tan1tan0.1250.414r2ad/s T2

s22tans2tan0.2751.170r8ad/s T2

s12tans1tan0.0750.2401rad/s T2u10.5948rad/s，通带心频率0带宽Bu10.4399将频率对B归一化，得到相应归一化带通边界频率：

uu1.941，6110.9416，s2s22.6615，BBBs10.5458，0u11.3521 B

s1(3)由归一化带通性能确定相应模拟归一化低通性能

s2202

归一化阻带截频率为s1.9746

s2

归一化通带截频率为p1,p3dB,s18dB(4)设计模拟归一化低通G(p)

s10p1100.31

ksp，1.9746 0.1266sp0.1s1.8p101101

N

取N=3.查表得，G(p)0.1lgksplgsplg0.12663.04

lg1.97461p32p22p1

(5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)HasG(p)ps202

sBB3s3s2203222s20sB2s20s2B2s3B332

0.08s55432s60.879s81.448s40.707s60.512s40.110s10.0443(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)H(z)Hass21z1T1z1[0.01811.77641015z10.0543z24.4409z30.0543z42.77561015z50.0181z6][12.272z13.515z23.2685z32.3129z40.9628z50.278z6]1 第七章

7.画出下面系统函数的直接型结构图

2.52z10.6z2

H(z)

10.5z10.6z20.5z3解：

8.用级联方式画出下面系统的结构图

2(z1)(z21.414z1)

H(z)

(z0.3)(z20.9z0.81)21z111.414z1z2解：Hz

10.3z110.9z10.81z2

6.已知FIR的系统函数为

H(z)1(10.9z12.1z20.3z32.2z40.3z52.1z60.9z7z8)15

画出该系统的直接型结构。解：

9.已知FIR系统的16个频率采样值为：

H(0)12，H(1)3j3，H(2)1j，H(3)H(4)......H(13)0，H(2)1j,H(1)3j3，试画出其频率采样结构图，如果取r=0.95,画出其修正的采用实系数乘法的频率采样结构图。

1zN解：HzNHk,k1k01WNzN1N16

取修正半径r=0.95，将上式中互为复共轭得并联支路合并，得

1r16z16Hz16Hk11610.4401zk116k01rW16z15H010.95z1H110.95W1z116

H15H2H14 1512114110.95W16z10.95W16z10.95W16z110.4401z16

161266.5254z122.6870z1其结构图如1121211.3435z0.9025z11.7554z0.9025z10.95z下图：