难以割舍的“三角函数线”（5篇）

第一篇：难以割舍的“三角函数线”

难以割舍的“三角函数线”

【摘要】对一道典型的三角函数练习题，应用任意角三角函数的定义及三角函数线进行认真分析，反思教学，化抽象为直观，化单纯的数式理解为数形结合理解，就能轻松达到从整体上把握三角函数的有关性质的教学目的。

【关键词】三角函数数形结合直观性质

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2014）15－0124－01

很多学生对如何学好三角函数普遍存在内容抽象、不好理解的感觉，究其深层次的原因，是对任意角的三角函数的定义没有学好。本文试图从一道练习题，展示说明由三角函数的定义对如何理解好三角函数的性质的重要性，反思教学，达到从整体上把握三角函数的有关性质的教学目的。

练习题：定义在R上的函数f（x），当sinx≤cosx时，f（x）＝cosx；当sinx＞cosx时，f（x）＝sinx给出以下结论：（1）f（x）是周期函数；（2）f（x）的最小值为－1；（3）当且仅当x＝2kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值；（4）当且仅当

时，f（x）为减函数；（5）f（x）的图象上相邻最低点的距离为2π。其中正确命题的序号是

（把你认为正确命题的序号都填上）。

做这类开放式的填空题，往往运用所学的知识点较多，学生很难正确完成，错误率较高。但仔细思考，本题仍然离不开研究三角函数的最常规的方法，即研究三角函数的图象及其性质，但是如何研究呢？在教学中，我不断反思三角函数的定义及单位圆中三角函数线直观表现三角函数中自变量与函数值之间的关系，发现它可以化抽象为直观、化单纯的数式理解为数形结合理解，轻松就能达到从整体上把握三角函数的有关性质的教学目的。

下面就以三角函数的定义及三角函数线，来反思本题三角函数性质的教学，如上图，在直角坐标系xOy中，角x的顶点与原点重合，始边与Ox正半轴重合，终边与单位圆交于点P（或P'），过点P（或P'）作PM⊥x轴（P' M'⊥x轴），分别得到正弦线MP（M'P'），余弦线OM（OM'）本例是以sinx＞cosx或sinx≤cosx作为条件给出函数关系式，显然当

或 时，OM＝MP，OM'＝M'P'即sinx＝

cosx。所以，函数的解析式是当

时，f（x）＝sinx，当2kπ－ ≤x≤2kπ＋（k∈Z）时，f（x）＝cosx之间互换。当角x的终边绕原点从y＝x（x＞0）开始，按照逆时针方向旋转到y＝x（x＜0），此时f（x）＝sinx，正弦线MP按照 的规律周而复始变化着；

同时，当终边从y＝x（x＜0）开始，按照逆时针方向旋转到y

＝x（x＞0）。此时f（x）＝cosx，余弦线OM按照

的规律周而复始变化着。

由正弦线、余弦线的上述变化规律，可得到函数的以下性质：（1）周期性：自变量x每增加2π（角x的终边旋转一周），函数y＝f（x）从正弦函数到余弦函数之间互换，并重复出现，所以函数的周期为2π。（2）奇偶性：角x与角x对应的函数线可能是正弦线与余弦线，不可能关于x轴对称或重合，所以函数为非奇非偶函数。（3）单调性，见表1。（4）最大值、最小值，如表2。

表1

角x 2kπ－ ≤

x≤2kπ

（k∈Z）2kπ≤x≤2kπ

＋（k∈Z）

2kπ＋ ≤x≤

2kπ＋（k∈Z）

2kπ＋ ≤x≤

2kπ＋（k∈Z）

函数 y＝cosx y＝cosx y＝sinx y＝sinx

函数线变化

单调性 递增 递减 递增 递减

表2

角x x＝2kπ

函数 y＝cosx y＝sinx y＝sinx或y＝cosx

函数线变化 1 1

最值 最大值 最大值 最小值

总之，对于此类的三角函数题，教师若能紧紧抓住单位圆的三角函数线及定义，不断反思教学，就不难准确完成此类练习题，真正达到举一反

三、触类旁通的教学效果。

〔责任编辑：李锦雯〕

第二篇：一断难以割舍的亲情

一断难以割舍的亲情

不愿提起，也不愿想起，那断难以割舍的亲情。

习惯在记忆的水路，独自饮下那杯苦酒，让它冲淡在苦涩里

总以为让它埋藏在心底，就不会想起也不会伤心，可记忆却偏偏让我再次想起了你―――我亲爱的妈妈。

我的妈妈和天下所有的母亲一样平凡，一样普通。和所以的家庭一样，我有一个美满的家庭，一家四口，那时的我很幸福、很满足。可是，当你满足时，老天就会给你当头一棒，它在给你满足一件事时就会让你又失去一件，好像只有交换才能安慰你似的。在那时，我恨命运对我的不公。

在岁月的流逝中，我慢慢的大了，让我越来越羡慕那些有妈妈的孩子。所以，当我在受了委屈时，我总喜欢一人躲在无人的角落里哭泣。

一年，四季的轮换，换来了我的中考，也换来了我人生的转折点。我考上了一所中专。所以，我又开始了我的中专生活。

在走的前一天，我独自一人来到了母亲的坟前，坐在旁边默默的跟她说了好多好多的心里话，告诉了她自从她走后所经历的一切：我所受的委屈、我所得的荣誉我哭了，我觉得她好像就在我身边一样，我感觉她也哭了，哭得很伤心。

心灵的雪越下越大了，使我感到无比的冷，我想我该跟她道别了，我走了，带着对她的想念和伤心，走了。我在心里说：女儿会学会照顾自己的，你就安心吧！

在出门在外的日子里，我学会了伪装，学会了躲避。我为了让自己能在脑子里忘记你，我拼命的学习。好像只有拼命的学习，才能在梦里没有你的身影。为了不让爸爸再次的伤心，我刻苦的学习，希望用优异的成绩安慰他――一个丧失了妻子的为人父！我没有让他失望，的确，我实现了。每年都拿上奖学金，被评为三好生。我知道，荣誉只代表过去，它只是我现在的一个落角点，是又一个新的起点。它只是我成功路上的一个成功点。

在十七岁那年，我不恨老天了，它既然让我活在这个世上，就自有它的道理吧！所以我释然了 的确，它让我失去了亲人时，它却又让我得到了人世还有真情这句话是真的。

我认识了她们，并成为了姐妹，有了她们的陪伴，使我的中专生活不再孤独、乏味。她们都是那么的热情、纯真。使我找到了人音最宝贵的东西：真情不渝！

在兰大的校园里，我喜欢上了独自去品味那份亲情，一断难以割舍的亲情！

祝像我一样难以割舍亲情的人，看了这篇文章后，释然吧！好好活着，她们就欣慰了

第三篇：北非——欧洲难以割舍的“后花园”

北非——欧洲难以割舍的“后花园”

2011年3月19日，联合国安理会通过了关于在利比亚开设禁飞区的1973号决议，随后部署在地中海的美英军舰向利比亚发射了上百枚“战斧”巡航导弹，当晚包括8架“阵风”、12架“幻影2000”在内以法国为首的北约战斗机空袭利比亚卡扎菲军队，拉开了针对利比亚政府军的 “奥德赛黎明”行动的序幕。今年4月初，北约宣布接过美国在利比亚战争的指挥权，加大对利比亚反对派的支援，意大利甚至决定派遣10名军事顾问指导反对派武装的作战。

西欧各国之所以急于代替美国加大对利比亚军事干预，缘于北非重要的地缘位置和丰富的油气资源，素来被欧洲各国认为是“后花园”的北非，从传统的殖民地到再到如今的“地中海联盟”战略，无时无刻不显露出北约各国对北非这一要地的战略考虑。

不可多得的黄金海岸

北非是指非洲大陆北部地区，习惯上为撒哈拉沙漠以北区域。通常包括苏丹、埃及、利比亚、突尼斯、阿尔及利亚、摩洛哥6 国及大西洋中的马德拉群岛、亚速尔群岛。其中埃及、苏丹、利比亚被称东北非，突尼斯、阿尔及利亚、摩洛哥则统称为西北非。

北非位于北回归线两侧，北与法国、意大利等西欧国家隔地中海相望，南接中部非洲，西部朝向大西洋，东临红海。

北非之所以对北约各国具有重要的地缘战略价值，首先源于其地处于地中海地区的黄金地段，其中西北非的摩洛哥与阿尔及利亚扼守着通往大西洋的直布罗陀海峡，东北非的埃及和苏丹控制着极具战略价值的苏伊士运河，突尼斯与意大利隔海相望，最近处仅为300公里，中部的利比亚则处于苏伊士运河与直布罗陀海峡的黄金分割点，处于西方地中海航道的中心位置。

在苏伊士运河未开凿之前，西欧各国对亚洲的航线仅能从西非出发，再绕道南非的好望角抵达亚洲。自1869年苏伊士运河开凿完成后，北非沿岸各国的地理价值陡然上升。从西欧通过直布罗陀海峡、地中海、经过苏伊士运河、红海这条航线可直接进入印度洋，这条航线也成为世界上运输最繁忙的海上通道。据统计，每天在地中海航行的各类船只达到2000多艘，其中西欧输入的85%的石油也是通过这条航道运送的。

连接非洲与欧洲的重要门户

北非不仅是守卫地中海的重要地理屏障，还是连接非洲大陆和欧洲大陆的门户，如果取得了对北非控制权，向南可以沿非洲西海岸南下，向北可以通过地中海进入西欧，因此北非在历史上成为了世界军事大国战略攻守的要地。

近代对非洲争夺便起源于北非，1415年葡萄牙殖民者为中转从西非掠夺的黄金、象牙和奴隶，经过周密的部署占领现摩洛哥的休达港，并沿着西部海岸南下，占领了马德拉群岛、佛得角群岛，从而叩开了非洲的大门。

第二次世纪大战，北非曾一度被意大利和德国占领，1942年10月底至11月初，随着隆美尔军团在埃及北部的阿拉曼战役的失败，盟军控制了地中海南岸，并以北非的重要军港为依托，开始着手开辟欧洲第二战场的计划。1943年7月4日至8日，西西里岛战役开始，盟军的第7、8集团军从的黎波里、阿尔及尔等北非港口出发，经马耳他，转而进攻意大利的西西里岛。而英军第1空降师和美军第82空降师的出发机场也正是从突尼斯的凯鲁万机场和苏萨机场，空降至西西里岛；特别是突尼斯与西西里岛隔着突尼斯海峡遥遥相对，距离仅为170公里，成为盟军向意大利发起进攻的最有利位置。北非战役和西西里战役的成功为盟军夺取整个地中海上战略主动，打开了通往意大利南部的门户，进而攻入南欧创造了有利条件。

而在此次针对利比亚的打击中，意大利为支持对北约军事行动向北约开放了7个基地，位于西西里岛的潘泰莱里亚基地成为距利比亚首都的黎波里最近的北约军事基地，直线距离只有440公里左右。战斗机起飞十几分钟就可以到达利比亚上空执行空袭任务。

而作为对利军事行动的急先锋法国一直把非洲作为自己的后院，从地理位置上看，法国是距利比亚最近的军事大国，法国北部的军港土伦港距利比亚首都的黎波利仅有千里之遥，但相对于远离地中海的英美而言，法国的戴高乐号航空母舰编队能在36小时之内就抵达利比亚海湾并对展开空袭行动，无疑为法国在地中海地区的军事干预提供了便利条件。

其次，利比亚北临地中海，东、南、西三面分别与埃及、苏丹、乍得、尼日尔、阿尔及利亚和突尼斯接壤，占据了北非最中心的位置，而周围六个国家中三个是法国倡导的“地中海联盟”的成员国。

法国作为北非殖民地的宗主国，一直保持着在地中海的影响力。1798年，拿破仑曾率大军侵入埃及，随后法国将目光转向了西北非地区，阿尔及利亚、突尼斯、摩洛哥相继成为法国的势力范围。1943年初，法军进入利比亚首都的黎波里，英法两国共同瓜分了利比亚，法国占领了利比亚南部地区。二战结束时,法国在非洲先后建立了21块殖民地，成为在非洲拥有殖民地最多的欧洲国家，目前，法国在北非的阿比让、吉布提等地仍建有军事基地，并长期派有驻军，以保护法国在非的既得利益。2011年4月在科特迪瓦爆发的总统与总理之争，法国就动用了驻守首都阿比让的1500名法国驻军，有利的控制了科特迪瓦的混乱局面。

滚滚黄沙下的能源之争

在欧洲人眼里,北非不仅仅是西欧各国的传统势力范围和重要航道，更是取之不竭，用之不尽的资源宝库，二战结束以后欧洲各国纷至沓来，竞争对北非石油、天然气、太阳能等资源的控制权。

北非是非洲石油的主要产地，同时是继海湾地区之后的第二大石油出口地，仅利比亚、阿尔及利亚、埃及三国的石油储量就有86 亿吨，占非洲总储量的一半以上。随着欧洲各国对油气资源的依赖愈加严重，埋在撒哈拉大沙漠漫漫黄沙下的黑色“软金”和丰富天然气资源，成为大国新一轮争夺和攫取的目标。

北约之所以对利比亚大动干戈，一个潜在的原因是利比亚是石油的大国，据2009年探明的利比亚石油储量约为464.2亿桶，居世界第9 位和非洲第一位；欧洲国家进口利比亚石油占到其石油出口的79%。其中意大利是最大的客户，占32%；德国占14%；法国占10%；美国占5%。为了能够获得更多的石油资源，历年来北约各国使尽浑身解数，谋求在利比亚资源上的优势。

2005年1月30日，利比亚举行了解除制裁后的第一轮15个石油勘探开发区块的开标仪式，美国西方石油公司和雪佛龙石油公司共获得11个区块的勘探权，占73.7%。

2007年5月，时任英国首相的布莱尔访问利比亚，英国石油公司与利比亚国家石油公司签订了一项9亿美元的石油勘探开发合同。

从2008年开始，在利比亚投资于能源领域的法国公司已从原来的18家增至2011年的32家，据近期报道，法国的石油企业在利比亚有着数十亿美元的投资。

对北约各国而言，如果利比亚政府稳住了局势和统治地位，前者将付出沉重的政治和经济代价。反之，如果反政府武装上台，欧洲无疑将成为最大的受益者。

其次为北非的天然气储量也极为惊人，阿尔及利亚未探明天然气储量约为1.38万亿立方米、利比亚为5900亿立方米、埃及则拥有5700亿立方米。其中利比亚天然气储量居世界第21位。

随着利比亚西部耗资66亿美元的海底管线的建成使用，每年大约有80亿立方米的天然气经过利比亚海岸，再通过海底管线出口意大利及其他欧洲国家。

2010年俄罗斯宣布参与北非的天然气项目，并且把开发北非的天然气作为俄罗斯天然气公司在俄罗斯以外地区最优先发展的项目之一，俄罗斯将依照这个战略参加横贯撒哈拉沙漠天然气管道的建造工作。其目的是控制北非向西欧地区的天然气输出，意在建立天然气的“欧佩克”。

除了具有丰富的石油和天然气储量外，北非的撒哈拉大沙漠是世界上公认的太阳能资源最丰富的地区，但限于当地的经济以及电网建设等原因一直未被开发。科学家预计，只要能捕捉到撒哈拉沙漠地区0.3%阳光，便足够供应整个欧洲用电需求。近期，德国慕尼黑再保集团为首的十多家主要来自德国企业参与的“沙科”计划即将启动。与北非国家合作开发撒哈拉沙漠的太阳能资源，预计投资4000亿欧元，每天为欧洲提供15%所需的电力。

此外北非还具有相当淡水资源，由于非洲中部的大部分地区为撒哈拉沙漠所覆盖，气候炎热干燥。年降水量不足100毫米。因此严重缺乏的淡水资源成为非洲各国争端的焦点，被誉为“非洲主河流之父”的尼罗河流经东北非的埃及和苏丹，为两国每年提供555亿立方米和185亿立方米的尼罗河水，奠定了东北非农业发展的物质基础。埃及人曾经说过：“埃及将对任何可能危及尼罗河水流的行动做出强硬反应，哪怕诉诸战争。”

从未来地中海地区和非洲的地缘位置来看，北非在世界战略格局的地位作用将日益凸显，要想保持北非长期稳定的局势，各方应通过对话以和平方式解决当前危机，进而为非洲的繁荣发展创造条件。

第四篇：三角函数线教案

三角函数线及其应用

教学目标

1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题． 2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力． 3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性． 教学重点与难点

三角函数线的作法与应用． 教学过程设计

一、复习

师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？

生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是（教师板书）

师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？

生：由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第一、二象限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符号由x决定，所以当α是第一、四象限角时，cosα＞0，secα＞0；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正；当x，y异号时，tanα，cotα为负．也就是说当α是第一、三象限角时，tanα＞0，cotα＞0；当α是第二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0．

师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？

生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关． 师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．

二、新课

师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 师：那么对于余弦又该怎么处理呢？ 生：还是取r=1．

师：如果r=1，那么P点在什么位置？

生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．

师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆．（板书）1．单位圆

师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．

师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？

（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）

师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．

师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？

生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数． 师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？

生：是不是能用线段的长度来表示？ 师：说说你的理由．

生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式． 师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？ 生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．

师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？

生：线段的长度没有负数．

生：我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．

（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）

师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！

生：可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．

师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？（板书）2．有向线段

师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．

师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？

生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜． 师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看．

生：如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．

（图中的线段随教学过程逐渐添加．）

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα．

师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sinα是负值．

生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y．

师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我们把有向线段MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．（板书）

3．三角函数线

（1）正弦线——MP 师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？

生：当角α的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；当α终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致． 师：现在来找余弦线．

生：因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了．过P点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cosα，NP是余弦线． 师：具体地分析一下，为什么NP=cosα？

生：当α是第一、四象限角时，cosα＞0，NP的方向与x轴正方向一致，也是正的，长度为x，有cosα=NP；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，NP也是负的，也有cosα=NP． 师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法，其他同学有没有别的想法？

生：其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线．

师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？ 生：OM．（板书）

（2）余弦线——OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定．）

师：我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？

生：肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生．）

坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值． 师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？ 生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上． 生：这条直线正好是圆的切线．（在图3-（1）中作出这条切线，令点（1，0）为A．）师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线．

生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线．

师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是α的终边上没有横坐标为1的点．

生：可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tanα．

师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？

生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找．

师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第二、三象限的角．（如果学生答不出来，由教师讲授即可．）师（或生）：象限角α的终边如果和过A点的切线不相交，那么它的反向延长线一定能和这条切线相交．因为△OMP∽△OAT，OM与MP同号时，OA与AT也同号；OM与MP异号时，OA与AT也异号，（板书）

（3）正切线——AT 师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有．

生：当角α终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的． 师：可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法．

设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题．（板书）

4．三角函数线的应用

例1 比较下列各组数的大小：

分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）

（画出同一个角的两种三角函数线）． 师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．（板书）

例2 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合．

分析：

P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为

（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合三、小结及作业

单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确． 作业

（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节．

（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题． 课堂教学设计说明

关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替．

数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好．

第五篇：人造板家具令人难以割舍的优点要点

关于实木家具和人造板家具两者之间的差异，虽然体现在很多方面，但在同为合格产品的前提下，应该是没有孰优孰劣的区别的，归根结底是充分了解各类家具的特点，并根据个人实际情况按需选择的问题 彻底认知实木家具

实木家具是指由天然木材制成的家具，家具表面一般都能看到木材真实的纹理。它不仅仅包括人们印象中的红木家具，也有许多其他的实木材料用于制作家具。其实目前市场上的实木家具大致有两种，一种是纯实木家具，家具的所有用材都是实木，包括桌面、柜子的门板、侧板等均用纯实木制成，不使用其他任何形式的人造板。另一种是仿实木家具，也就是从外观上看木材的自然纹理、手感及色泽都和实木家具一模一样，但实际上是实木和人造板混合制作的家具，例如侧板、搁板等使用薄木贴面的刨花板或中密度纤维板，门和抽屉则采用实木。

实木家具的美中不足

实木家具最主要的问题是含水率的变化使它易变形，所以不能让阳光直射，室内温度不能过高或过低，过于干燥和潮湿的环境对实木家具都是不合适的。另外实木家具的部件结合通常采用榫结构和胶粘剂，成品一般不能拆卸，搬运时就很不方便。人造板家具令人难以割舍的优点

人造板家具部件的结合通常采用各种金属五金件，装配和拆卸都十分方便，加工精度高的家具可以多次拆卸安装。因为具有多种贴面，颜色和质地方面的变化可给人以各种不同的感受，在外形设计上也有很多变化，具有个性，而且不易变形。

人造板家具不得不注意的缺点

人造板家具的问题多出在环保上，如果以刨花板等材料制作家具，而贴面、封边时又没有将其全部包好的话，就容易释放对环境造成污染、对人体有害的甲醛。一般说来打开柜门或抽屉，如果有强烈的刺激性气味，则多属甲醛超标，不宜购买。