数学三角函数

第一篇：数学三角函数

1.（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b2，sinCB，则A=()

（A）300（B）600（C）1200（D）1500

2.（2010·北京高考文科·Ｔ7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构

方形所组成，该八边形的面积为()

（A）2sin2cos2；

（B）sin

3（C）3sin

1（D）2sincos1

3.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120

°，c,则（）

A、a>bB、a

4.（2010·北京高考理科·Ｔ１0）在△ABC中，若b = 1，C则a=。

5.（2010·广东高考理科·Ｔ11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

则sinC=.6.（2010·山东高考理科·Ｔ15）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，2，3成的正c，若ab

2，sinBcosBA的大小为．

7.（2010·江苏高考·Ｔ１3）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b

aatanCtanC的值是_________。6cosC，则btanAtanB

8.（2010·辽宁高考文科·Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小；

（Ⅱ）若sinB +sinC=1,试判断△ABC的形状.9.（2010·浙江高考文科·Ｔ18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为

a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S

（Ⅰ）求角C的大小； 2(ab2c2)。

4（Ⅱ）求sinAsinB的最大值。

10.（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值.11.（2010·浙江高考理科·Ｔ18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，1已知cos2C

4(I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

一、选择题

1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosAbsinB，则sinAcosAcos2B(A)-11(B)(C)-1(D)1 222.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC 的一个内角为120o，并且三边长

构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________

3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______.4.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC的面积为，BC=2，C=60，则边AB的长度等于_____________.5.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在V

ABC中，B60,ACAB2BC的最大值为6.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△

ABC的面积为_________

7.（2011·北京高考理科·T9）在ABC中，若b5,B

sinA；a4,tanA2，则

8.（2011·北京高考文科·T9）在ABC中，若b5,B1,sinA，则43a9.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，，12cos(BC)0，求边BC上的高

10.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，asinAsinBbcos2A2a．

（I）求b；（II）若c2=b

2a2，求B． a

cosA-2cosC2c-a.=cosBb11.（2011·山东高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知

（Ⅰ）求sinC1的值；（Ⅱ）若cosB=，b=2, 求△ABC的面积S.sinA

4cosA-2cosC2c-a.=cosBb12.（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知

sinC的值； sinA

1（Ⅱ）若cosB=，ABC的周长为5，求b的长.4（Ⅰ）求

13.（2011·湖南高考理科·T17）（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.（1）求角C的大小；

（2）求sinAcos(B

4)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.14.（2011·陕西高考理科·T18）（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理．

【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固．

15.（2011·天津高考文科·Ｔ16）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=C,2b=.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）cos(2A)的值 4

16.（2011·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.1已知sinAsinCpsinBpR,且acb2.4

5（Ⅰ）当p,b1时，求a,c的值； 4

(Ⅱ)若角B为锐角，求p的取值范围；

第二篇：初中数学三角函数综合练习题

三角函数综合练习题

一．选择题（共10小题）

1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）

A．2 B． C．

D．

2．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）

A． B． C．

D．

3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）

A．msin35° B．mcos35° C．

D．

4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）

第1页（共26页）

A． B． C． D．

5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）

A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米

6．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）

A．米 2B．米

2C．（4+）米 D．（4+4tanθ）米

227．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）

A．160m B．120m C．300m D．160

m 8．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）

第2页（共26页）

A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）

A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米

10．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（）

A．

二．解答题（共13小题）11．计算：（﹣）+（）

12．计算：

第3页（共26页）

0

﹣1B． C． D．

﹣|tan45°﹣|

．

13．计算：

sin45°+cos30°﹣

2+2sin60°．

14．计算：cos45°﹣

15．计算：

sin45°+2

+cot30°．

sin60°﹣2tan45°．

16．计算：cos45°+tan60°•cos30°﹣3cot60°．

第4页（共26页）

17．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）

18．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）

第5页（共26页）

19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）

20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

第6页（共26页）

21．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：

米的点D（点D与楼底C在同的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

22．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）

第7页（共26页）

23．某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和AB的长度（精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．

第8页（共26页）

2016年12月23日三角函数综合练习题初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）

A．2 B． C．

D．

【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．

【解答】解：如图：由勾股定理，得 AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B=故选：D．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．

2．（2016•攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）=，第9页（共26页）

A． B． C．

D．

【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可． 【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示： ∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD=故选：D．

=．

【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．

3．（2016•三明）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）

第10页（共26页）

A．msin35° B．mcos35° C． D．

【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案． 【解答】解：sin∠A=∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，故选：A．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．

4．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（），A． B．

C．

D．

【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值． 【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．

第11页（共26页）

=，设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x． 在△BCE与△ABC中，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，（负值舍去），． 解得x=﹣2±2∴AE=﹣2+2在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA=故选C．

【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．

5．（2016•南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）==

．

A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米

【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．

【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=故选：C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

第12页（共26页）

，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．

6．（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）

A．米 2B．米

2C．（4+）米 D．（4+4tanθ）米

22【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米）； 故选：D．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．

7．（2016•长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）

2A．160m B．120m C．300m D．160

m 【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．

【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×

=40=120

（m），（m），第13页（共26页）

∴BC=BD+CD=160故选A．（m）．

【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．

8．（2016•南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）

A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值． 【解答】解：设MN=xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中，tan∠MAN=∴tan30°=解得：x=8（=，+1），+1）m； 则建筑物MN的高度等于8（故选A．

第14页（共26页）

【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长．

9．（2016•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）

A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米

【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果． 【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示： 则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x+（2.4x）=13，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米； 故选：A．

第15页（共26页）

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．

10．（2016•广东模拟）如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（）

A． B． C．

D．

【分析】根据题意可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，然后由勾股定理求得AB的长，又由余弦的定义，即可求得答案．

【解答】解：如图，∵由6块长为

2、宽为1的长方形，∴∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，∴在Rt△ABD中，AB=∴cos∠ABC=故选D． =．

=5，【点评】此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．

二．解答题（共13小题）

11．（2016•成都模拟）计算：（﹣）+（）

0

﹣

1﹣|tan45°﹣|

第16页（共26页）

【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=1+3×=1+2=﹣． +1

﹣︳1﹣

︳

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

12．（2016•顺义区二模）计算：

．

【分析】要根据负指数，绝对值的性质和三角函数值进行计算．注意：（）﹣1=3，|1﹣|=﹣1，cos45°=

．

=

=2． 【解答】解：原式=【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．

13．（2016•天门模拟）计算：

sin45°+cos30°﹣

2+2sin60°．

【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：原式==+﹣=1+． + •

+（）﹣

2+2×

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

14．（2016•黄浦区一模）计算：cos45°﹣

+cot30°．

第17页（共26页）

【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．

【解答】解：原式=（）﹣

+（）

2=﹣+3 =．

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

15．（2016•深圳校级模拟）计算：

sin45°+

sin60°﹣2tan45°．

【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算． 【解答】解：原式==+3﹣2 =．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°=； cos30°=sin45°=sin60°=

16．（2016•虹口区一模）计算：cos45°+tan60°•cos30°﹣3cot60°． 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：原式=（=1．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

17．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

第18页（共26页）

22×+2×﹣2×1

；tan30°=；

；cos45°=；tan45°=1；

． ；cos60°=； tan60°=）+

2×﹣3×（）

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）

【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=（2）利用Rt△AME中，cos22°=【解答】解：（1）如图，求出AE即可，求出即可；

过点E作EM⊥AB，垂足为M． 设AB为x．

Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=则，=，解得：x=20． 即教学楼的高20m．

（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．

第19页（共26页）

在Rt△AME中，cos22°=∴AE=，．

即A、E之间的距离约为48m 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=

18．（2016•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）

是解题关键

【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值． 【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．

在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°=所以AD==0.5，=2x．

Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°=解得：x≈3．

即生命迹象所在位置C的深度约为3米． =，第20页（共26页）

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

19．（2016•黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）

【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；

（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可． 【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；

（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=∴CE=200•sin45°=100

≈141.4，，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．

答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写

第21页（共26页）

成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．

20．（2016•天水）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．

【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan60°=200

（2）设PE=x米，∵tan∠PAB=∴AE=3x． 在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=200∵PF=CF，∴200+3x=200解得x=50（﹣x，﹣1）米．

米，所在位置点P的铅直高度是50（﹣1）米． ﹣x，PF=OA+AE=200+3x，=，（米）

答：电视塔OC的高度是200

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【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

21．（2016•泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：

米的点D（点D的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题． 【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M． 在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：∴BN=15，DN=15，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=60

﹣1

5=45，在RT△ABM中，tan∠ABM=∴AM=60，．

=，∴AC=AM+CM=15+60

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【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．

22．（2016•昆明）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．

【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H． 则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．

在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10

（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．

答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．

第24页（共26页）

【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

23．（2016•丹东模拟）某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和AB的长度（精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．

【分析】在Rt△CAE中，∠ACE=45°，则△ACE是等腰直角三角形即可求得AC的长；在Rt△BFD中已知∠BDF与FB的长，进而得出AB的长． 【解答】解：在Rt△CAE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=5（m），∴AC=CE=5≈5×1.414≈7.1（m），在Rt△BFD中，∠BDF=30°，∴BF=FD•tan30° =5×≈5×

≈2.89（m），∵DC=EF=3.4（m），∴AF=1.6m，则AB=2.89﹣1.6=1.29≈1.3（m），答：AC约为7.1米，BA约为1.3米．

第25页（共26页）

【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

第26页（共26页）

第三篇：初三数学三角函数教案及练习解读

中考数学 锐角三角函数 专题复习

1、锐角三角函数

锐角角A 的正弦(sin ,余弦(cos 和正切(tan 都叫做角A 的锐角三角函数。正弦(sin 等于对边比斜边,余弦(cos 等于邻边比斜边;正切(tan 等于对边比邻边;互余角的三角函数间的关系:sin(90°-α=cos α, cos(90°-α=sinα, tan(90°-α=cotα, cot(90°-α=tanα.同角三角函数间的关系:tan α=sinα/cosα ,sin 2α+cos 2α=1

解直角三角形

勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理” a^2+b^2=c^2, 其中a 和b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如:3,4,5。他们分别是3,4和5的倍数。常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;等等.直角三角形的特征

⑴直角三角形两个锐角互余;⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半;

⑷勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即: 在Rt △ABC 中,若∠C =90°,则a 2+b 2=c 2;⑸勾股定理的逆定理:如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,则这个三角形是直角三角形,即:在△ABC 中,若a 2+b 2=c 2,则∠C =90°;⑹射影定理:AC 2=AD AB ,BC 2=BD AB ,CD 2=DA DB.锐角三角函数的定义:

如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°, ∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a,b,c , 则sinA =a c ,cosA =b c ,tanA =a b , 解直角三角形(Rt △ABC ,∠C =90° ⑴三边之间的关系:a 2+b 2=c 2.⑵两锐角之间的关系:∠A +∠B =90°..⑶边角之间的关系:sinA = A a c ∠的对边 =斜边 ,cosA = A b c ∠的邻边 = 斜边.tanA = A a A b ∠∠的对边= 的邻边 ,cotA = A b A a ∠∠的邻边= 的对边.⑷解直角三角形中常见类型: ①已知一边一锐角.②已知两边.③解直角三角形的应用.三角函数练习

1、在Rt △ABC 中,∠C =900,若4 3tan =A ,则sinA =（A、3 4 B、4 3 C、3 5 D、5 3

2、已知cos α<0.5,那么锐角α的取值范围是(A、600<α<900 B、00<α<600 C、300<α<900

D、00<α<300

3、若110tan(30=+α,则锐角α的度数是(A、200 B、300 C、400 D、500

4、在Rt △ABC 中,∠C =900,3 1tan = A ,AC =6,则BC 的长为（A、6 B、5 C、4 D、2

5、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米,则他上升的最大高度为(A、β

sin 100米 B、βsin 100米 C、β

cos 100米 D、βcos 100米

6.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE 为5m ,AB 为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离,那么这棵树高是(A.(32 +m B.(32 m C.3 m D.4m

B '

A '

O B A

(第6题(第7题(第8题

7、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米,梯子的顶端B 到地面的距离为7米。现将梯子的底端A 向外移动到A ',使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米,同时梯子的顶端B 下降到B ',那么B B '(A、等于1米 B、大于1米 C、小于1米

D、不能确定

8、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90o ,AC =6,D 是AC 上一点,若tan ∠DBA = 5 1,则AD 的长为(A、2 B、3 C、2 D、1 9.如图,矩形ABCD 中,AB >AD ,AB =a ,AN平分∠DAB ,DM ⊥AN 于点M ,CN ⊥AN 于点N.则DM +CN 的值为(用含a 的代数式表示(A.a B.a 54 C.a 2 D.a 2 3(第10题(第11题

10.如图,△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上,则A ∠tan 的值是(A.5 6 B.6 5 C.3 102 D.10 103 D 11.河堤横断面如图所示,堤高BC =5米,迎水坡AB 的坡比1 BC 与水平宽度AC 之比,则AC 的长是

12.如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,M、N 两点关于对角线AC 对称,若DM =1,则tan ∠ADN =.60° 30° D C B A(第13题(第14题 13.如图,1∠的正切值等于。14.如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =30°,∠C =60°,AD =4,AB

=,则下底BC 的长为 __________.15.如图,在正方形ABCD 中,O 是CD 边上一点,以O 为圆心,OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心,BC 为半径的扇形的弧外切,则∠OBC 的正弦值为.(第17题

16.如图,已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α=.17.海中有一个小岛P ,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上,航行12海里到达B 点,这时测得小岛P 在北偏东45°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由.18.如图,某飞机于空中探测某座山的高度,此时飞机的飞行高度是AF =37千米,从飞机上观测山顶目标C 的俯角是30°,飞机继续以相同的高度飞行30千米到B 处,此时观测目标C 的俯角是60°,求此山的高度CD。(精确到1千米

(参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732

23.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=60°,坡长AB=203m,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F=45 ,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据:2≈1.414, ≈1.732 A B C D α(第16题 1 l 3l 2 l 4 l 第15题 A B C D O A(第12题 B D M N

C · · 作业

1、已知,在Rt △ABC 中,∠C =900,2 5tan = B ,那么cosA(A、2 5 B、35 C、5 52 D、3 2

2、在△ABC 中,∠C =900,AC =BC =1,则tanA 的值是(A、2 B、2 2 C、1 D、1

3、在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高线,已知∠ACD 的正弦值是32,则AB AC 的值是(A、5 2 B、5 3 C、2 5 D、3 2

4、王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地((A 350m(B 100 m(C 150m(D 3100m 5.如图,在梯形ABCD 中,︒=∠=∠90B A ,=AB 25,点E 在AB 上, ︒=∠45AED ,6=DE ,7=CE.求:AE 的长及BCE ∠sin 的值.6.如图,四边形ABCD 是平行四边形,以AB 为直径的⊙O 经过点D ,E 是⊙O 一点,且∠AED=45(1试判断CD 与⊙的位置关系,并说明理由;(2若⊙O 的半径为3cm ,AE=5cm ,求∠ADE 的正弦值。

7.如图,某堤坝的横截面是梯形ABCD ,背水坡AD 的坡度i(即tan 为1︰1.2,坝高为5米。现为了提高堤坝的防洪抗洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD 加宽1米,形成新的背水坡EF ,其坡度为1︰1.4。已知堤坝总长度为4000米。(1求完成该工程需要多少土方?(2该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成,按原计划需要20天。准备开工前接到上级通知,汛期可能提前,要求两个工程队提高工作效率。甲队工作效率提高30%,乙队工作效率提高40%,结果提前5天完成。问这两个工程队原计划每天各完成多少土方? 8.某过街天桥的截面图为梯形,如图7所示,其中天桥斜面CD 的坡度为3:1(3:1==i i 是指铅直高度DE 与水平宽

度CE 的比,CD 的长为10m ,天桥另一斜面AB 的坡角 45=∠ABC(1写出过街天桥斜面AB 的坡度;(2求DE 的长;(3若决定对该过街天桥进行改建,使AB 斜面的坡度变缓,将其45°坡角改为 30°,方便过路群众,改建后斜面为AF ,试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到0.01 α

第四篇：高一数学三角函数的诱导公式

诱导公式（3）

一、学习目标

1.能运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 2.能综合运用诱导公式和同角三角函数基本关系式解决求值问题

二、重点与难点

重点:掌握诱导公式的特点，明确公式用途，熟练运用公式解决问题． 难点:诱导公式的综合应用

三、知识点导学

1.sin(360k)_________;cos(360k)_________;tan(360k)________;sin(180) ___________;cos(180)__________;tan(180) __________;sin()_____________;cos()__________;tan()____________;sin(－)= _________;cos( －)=________;tan(－)=________;

sin() _____________;

)______________;

sin(

2) _____________;2

) ____________.2.诱导公式口诀:________________________________________.3.用诱导公式化简一个角的三角函数值的过程是___________________

四、典型例题与练习

练习1:求下列函数值：(1)tan3120

5,(2)cos580,(3)sin(3

).练习2.化简：

sin(5)

)cos(8（1）)

cos(3)sin(3)sin(4)

（2）sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan945.例1.已知sin()45,且sincos0,求2sin()3tan(3)4cos(3)的值.练习1.已知cos(2)1

tan()sin(2)3,2

＜＜0，求

cos()tan的值.练习2.已知6)

3,求56)sin2(

6),例2.已知tan()3,求2cos()3sin()

4cos()sin(2)的值。

例3.已知sin,cos是关于x的方程x2ax17

20的两根，且3

.求tan(6)sin(2)cos(6)cos(180)sin(900)的值.例4.（1）求证tan(2)sin(2)cos(6)

tansin(33

.2)cos(2)

（2）若f(cosx)cos17x，求证f(sinx)sin17x.诱导公式（3）练习与反馈

1.已知tan(3)3，为第Ⅲ象限角，求sin(5)的值.2.已知sin(2)45，(32,2)，求sincossincos的值.3.已知sin(4)13，求

)的值.4.已知6157)3cos(137)

)2,求的值.sin(207)cos(227)

5.已知6)m,求2

)的值.

第五篇：2014年中考数学真题三角函数汇总

2014年中考数学三角函数

1、（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．

（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

2、18．（7分）（2014•长春）如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）

3、（2014•兰州）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

4、（2014•泸州）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）

5、（2014•莱芜）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）

（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）

6、（2014

绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）

A．

40海里

B．

40海里

C．

80海里

D．

40海里

7、（2014•遂宁）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin2A1+sin2B1=　　；sin2A2+sin2B2=　　；sin2A3+sin2B3=　　．

（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　　．

（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．

（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．

8、（2014山东日照）如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）

（第22题图）

A

P

C

B

36.9°

67.5°

9、(2014年湖北荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．

（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）

10、（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）

A．

20海里

B．

10海里

C．

20海里

D．

30海里