三角函数教案

第一篇：三角函数教案

三角函数

1教学目标

⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形

⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

2学情分析

学生在具备了解直角三角形的基本性质后再对所学知识进行整合后利用才学习直角三角形边角关系来解直角三角形。所以以旧代新学生易懂能理解。

3重点难点

重点：直角三角形的解法

难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用 以实例引入，解决重难点。

4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】

一、复习旧知，引入新课

一、复习旧知，引入新课

1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

答：(1)、三边之间关系 ： a2 +b2 =c2(勾股定理)(2)、锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)、边角之间关系

以上三点正是解的依据．

3、如果知道直角三角形2个元素，能把剩下三个元素求出来吗？经过讨论得出解直角三角形的概念。

复习直角三角形的相关知识，以问题引入新课

注重学生的参与，这个过程一定要学生自己思考回答，不能让老师总结得结论。

PPT，使学生动态的复习旧知

活动2【讲授】

二、例题分析教师点拨

例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个直角三角形． 例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解这个直角三角形

活动3【练习】

三、课堂练习学生展示

完成课本91页练习

1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解这个直角三角形.3、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周长和tanA的值

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解这个直角三角形（结果保留三位小数）.活动4【活动】

四、课堂小结

1)、边角之间关系 2)、三边之间关系

3)、锐角之间关系∠A+∠B=90°．

4)、“已知一边一角，如何解直角三角形？”

活动5【作业】

五、作业设置

课本 第96页习题28．2复习巩固第1题、第2题．

第二篇：三角函数教案及反思

课

题：三角函数的诱导公式

（一）教

者：王永涛（宁县四中）

教学目标：1.知识与技能：借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式

将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问

题。

2.过程与方法：经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到

简单的转化过程，培养化归思想。

3.情感、态度与价值观：感受数学探索的成功感，激发学习数学的热

情，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的信心。

重

点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求

值，提高对数学内部联系的认识。

难

点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运

用。

教学方法：合作探究式 教学手段：多媒体 教学过程：

一、前置检测

1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？

2.2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？

3.你能求sin750°和sin930°的值吗？

二、精讲点拨

知识探究

（一）：π＋α的诱导公式（师生共同探究）。

思考1：210°角与30°角有何内在联系？240°角与60°角呢? 思考2：若α为锐角，则（180°，270°）范围内的角可以怎样表示？

思考3：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？

思考4：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？

思考5：根据三角函数定义，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分别是什么？

思考6：对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？

公式二 ：sin（π＋α）=－sinα，cos（π＋α）=－cosα，tan（π＋α）=tanα。

知识探究

（二）（三）：－α，π－α的诱导公式（学生自主合作探究）。

引导学生回顾刚才探索公式二的过程，明确研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。为学生指明探索公式三、四的方向。

学生小组自主合作探究，然后让小组学生代表阐述探究的过程和结果。根据三角函数定义，得出－α的三角函数与α的三角函数的关系及π－α的三角函数与α的三角函数的关系。

公式三：sin（－α）= －sinα、公式四：sin(π－α)=sinα，cos（－α）=cosα、cos(π－α)=-－cosα，tan（－α）=－tanα。

tan(π－α)=－tanα。思考1：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？ sin(π－α)= sin[π+（－α）] = －sin（－α）=sinα

cos(π－α)= cos[π+（－α）]= －cos（－α）=－cosα

tan(π－α)= tan[π+（－α）] = tan（－α）=－tanα

思考2：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？

2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。即“函数名不变，符号看象限”。

例1 利用公式求下列三角函数值：

（1）cos225°；

（2）sin660°；

（3）tan（）；

（4）cos（－2040°）。3[变式训练] 将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：(1)cos_______;9

(3)sin()_______;5例2 化简

(2)sin(1)_______;(4)cos(706')_______.cos1(80)sin(360)sin(180)cos(180)

[变式训练] 化简：

cos190sin(210)cos(350)tan58

5三、当堂检测

1.利用公式求下列三角函数值

7（2）sin();

（1）cos(420);6

79(3)sin(330);（4）cos();6

2.化简

sin3()cos(2)tan().（1）sin(180)cos()sin(180);（2）

四、总结提升

1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立。

2.2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。即“函数名不变，符号看象限”。

3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~2π的角的三角函数→锐角三角函数。

五、布置作业

1书面作业：必做：课本29页习题1.3A组 1、2；

选做：课本29页习题B组1.2预习作业：《三角函数的诱导公式》

（二），试用所学推导公式（五、六）。

第三篇：三角函数线教案

三角函数线及其应用

教学目标

1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题． 2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力． 3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性． 教学重点与难点

三角函数线的作法与应用． 教学过程设计

一、复习

师：我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？

生：在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是（教师板书）

师：如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？

生：由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第一、二象限角时，sinα＞0，cscα＞0；当α是第三、四象限角时，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符号由x决定，所以当α是第一、四象限角时，cosα＞0，secα＞0；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tanα，cotα为正；当x，y异号时，tanα，cotα为负．也就是说当α是第一、三象限角时，tanα＞0，cotα＞0；当α是第二、四象限角时，tanα＜0，cotα＜0．

师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？

生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关． 师：既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．

二、新课

师：P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 师：那么对于余弦又该怎么处理呢？ 生：还是取r=1．

师：如果r=1，那么P点在什么位置？

生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．

师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆．（板书）1．单位圆

师：设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．

师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？

（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）

师：sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．

师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？

生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数． 师：很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？

生：是不是能用线段的长度来表示？ 师：说说你的理由．

生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式． 师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？ 生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．

师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？

生：线段的长度没有负数．

生：我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．

（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）

师：正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！

生：可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．

师：他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？（板书）2．有向线段

师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．

师：现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？

生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜． 师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看．

生：如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．

（图中的线段随教学过程逐渐添加．）

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα．

师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sinα是负值．

生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y．

师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我们把有向线段MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．（板书）

3．三角函数线

（1）正弦线——MP 师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？

生：当角α的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；当α终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致． 师：现在来找余弦线．

生：因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了．过P点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cosα，NP是余弦线． 师：具体地分析一下，为什么NP=cosα？

生：当α是第一、四象限角时，cosα＞0，NP的方向与x轴正方向一致，也是正的，长度为x，有cosα=NP；当α是第二、三象限角时，cosα＜0，NP也是负的，也有cosα=NP． 师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法，其他同学有没有别的想法？

生：其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线．

师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？ 生：OM．（板书）

（2）余弦线——OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定．）

师：我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？

生：肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生．）

坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值． 师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？ 生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上． 生：这条直线正好是圆的切线．（在图3-（1）中作出这条切线，令点（1，0）为A．）师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线．

生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线．

师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是α的终边上没有横坐标为1的点．

生：可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tanα．

师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？

生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找．

师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第二、三象限的角．（如果学生答不出来，由教师讲授即可．）师（或生）：象限角α的终边如果和过A点的切线不相交，那么它的反向延长线一定能和这条切线相交．因为△OMP∽△OAT，OM与MP同号时，OA与AT也同号；OM与MP异号时，OA与AT也异号，（板书）

（3）正切线——AT 师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有．

生：当角α终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的． 师：可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法．

设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题．（板书）

4．三角函数线的应用

例1 比较下列各组数的大小：

分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）

（画出同一个角的两种三角函数线）． 师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．（板书）

例2 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合．

分析：

P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为

（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合三、小结及作业

单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确． 作业

（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节．

（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题． 课堂教学设计说明

关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替．

数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好．

第四篇：反三角函数(教案)

第4节 反三角函数（2课时）

第1课时

[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。

另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。

[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道

其中cosasinxbcosxa2b2sinx，aab22,sinbab22，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。

[教学过程]：

师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？

答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数ysinx在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：

ysinx,x,，这个函数是单调函数，因而有反函数。

22师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x,y）（这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得xarcsiny，互换得yarcsinx，其中x1,1,y,，这就是要求的反正弦函数。

221． 反正弦函数的图象

反正弦函数yarcsinx，x1,1与函数ysinx,x个函数图象关于直线yx对称。2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）

因此两,互为反函数，22，1，值域为①定义域为1,； 22，1上单调递增； ②yarcsinx在定义域1xarcsinx ③yarcsinx是奇函数，即对任意x1,1，有arcsin3． 反正弦函数的恒等式

①由“一一对应”的性质知：对任意值x1,1，在,上都有唯一对应的角22arcsinx，使得它的正弦值为x，即得恒等式sinarcsinxx,x1,1；

②由“一一对应”的性质知：对任意角x在1，1上都有唯一对应的值sinx，,，22,。22sinxx,x使得它的反正弦值为x，即得恒等式arcsin例题选编：

[例1]：求下列反三角函数值：（1）arcsin31 ；（2）arcsin0（3）arcsin 22解：利用恒等式1来理解题意（1）： 记arcsin33sinx3sinx，也就是在,上找xsinarcsin22222一个角x，使得sinx3；（2）（3）类似。2说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。[例2]：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x ：（1）sinx3,x,，5221,x,，422（2）sinx（3）sinx3,x0, 3解：利用恒等式2来理解题意：

sinx（1）33sinxarcsin3，arcsin而x,，故有xarcsin；

555223sinxarcsin3，而xarcsin,，故不能直接利用恒3322（3）sinx等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到,上，此时涉及讨论： 22若x0,33，则 arcsinsinxarcsinxarcsin332若x,，则x0,，故有 223sinxarcsin3xarcsin3 arcsin333sinxarcsinarcsin即xarcsin3。3[例3]：化简下列各式：

（1）arcsinsin（2）arcsinsin95sin3.49 （3）arcsin6解：此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。（1），，由恒等式2得arcsinsin； 9229955转化了； arcsinsin，这里将6666（2）arcsinsinsin3.49arcsinsin0.49 sin30.49arcsin（3）arcsinsin0.490.49。arcsin[例4]：判断下列各式是否成立：（1）arcsin3312k,kZ ；（2）arcsin；（3）arcsin22332（4）arcsinarcsin；（5）sinarcsin22

3322（6）sinarcsin1010 解：（1）对；（2）错；（3）当k0时对；（4）错，[例5]：写出下列函数的定义域和值域：

（1）y2arcsinx；（2）yarcsinxx 解：（1）

31,1；（5）错；（6）对。

2x1,1x0,1，由反正弦函数的单调性知y0,（2）xx1,1x21515,，22这是典型的复合函数求值域问题，由ux2x1,1和反正弦函数的单调性可知： 41yarcsin,

42[例6]：求下列函数的反函数：（1）ysin2x,x, 443, 22（2）y2sinx,x（3）y21arcsinx 2sin2x2x，解：（1）反解得arcsinyarcsin（恒等式2的运用，注意区间）

互换x,y即得反函数为y1arcsinx 2sinxarcsinsinxx，互换x,y即得反函（2）反解得arcsinarcsin数为yarcsin。（3）

作业：P99 练习1、2、3

[课题总结]： [试题选编]： y2x2

第五篇：三角函数的教案

三角函数的教案1

一、案例实施背景

本节课是九年级解直角三角形讲完后的一节复习课

二、本章的课标要求：

1、通过实例锐角三角函数(sinA、cosA、tanA)

2、知道特殊角的三角函数值

3、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，已知三角函数值求它对应的锐角

4、能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题

此外，理解直角三角形中边、角之间的关系会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，进一步感受数形结合的数学思想方法，通过对实际问题的思考、探索，提高解决实际问题的能力和应用数学的意识。

三、课时安排：

1课时

四、学情分析：

本节是在学完本章的前提之下进行的总复习，因此本节选取三个知识回顾和四个例题，使学生将有关锐角三角函数基础知识条理化，系统化，进一步培养学生总结归纳的能力和运用知识的能力.

因此，本节的重点是通过复习，使学生进一步体会知识之间的相互联系，能够很好地运用知识.进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用，从而发展数学的应用意识和解决问题的能力.

五、教学目标:

知识与技能目标

1、通过复习使学生将有关锐角三角函数基础知识条理化，系统化.

2、通过复习培养学生总结归纳的'能力和运用知识的能力.

过程与方法：

1、通过本节课的复习，使学生进一步体会知识之间的相互联系，能够很好地运用知识.

2、通过复习锐角三角函数，进一步体会它在解决实际问题中的作用.

情感、态度、价值观

充分发挥学生的积极性，让学生从实际运用中得到锻炼和发展.

六、重点难点:

1.重点：锐角三角函数的定义;直角三角形中五个元素之间的相互联系.

2.难点：知识的深化与运用.

七、教学过程:

知识回顾一：

(1) 在Rt△ABC中,C=90, AB=6，AC=3，则BC=_________,sinA=_________,

cosA=______,tanA=______, A=_______, B=________.

知识回顾二：

(2) 比较大小： sin50______sin70

cos50______cos70

tan50______tan70.

知识回顾三：

(3)若A为锐角,且cos(A+15)= ,则A=________.

本环节的设计意图：通过三个小题目回顾：

1、锐角三角函数的定义：

在Rt△ABC中,C=90

锐角A的正弦、余弦、和正切统称A的锐角三角函数。

2、直角三角形的边角关系：

(1)三边之间的关系： .

(2)锐角之间的关系：B=90

(3)边角之间的关系：

sinA= cosA= tanA= sinB= cosB= tanB=

3、解直角三角形：

由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

4、特殊角的三角函数值

三角函数

锐角A

sin A

cos A

tan A

30

45

60

5、锐角三角函数值的变化：

(1)当A为锐角时,各三角函数值均为正数, 且0

(2)当A为锐角时，sinA、tanA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小.

例题解析

【例1】在⊿ABC中，AD是BC边上的高，E是AC的中点，BC=14，AD=12，sinB=0.8，求DC及tanCDE。

解题反思：通过本题让学生明白：

1、必须在直角三角形中求锐角的三角函数;

2、等角代换间接求解.

【例2】要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂AD长3m，且与灯柱CD成120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线AB与灯臂垂直，当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想，问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果?

解题反思：通过本题让学生知道解决这类问题时常分为以下几个步骤：

①理清题目所给信息条件和需要解决的问题;

②通过画图进行分析，将实际问题转化为数学问题;

③根据直角三角形的边角关系寻找解决问题的方法;

④正确进行计算，写出答案。

【例3】一艘轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，当轮船在A处时，从轮船上观察灯塔S，灯塔S在轮船的北偏东75方向，航行12分钟后，轮船到达B处，在B处观察灯塔S，S恰好在轮船的正东方向，已知距离灯塔S8海里以外的海区为航行安全区域，问：如果这艘轮船继续沿东北方向航行，它是否安全?

解题反思：解决这类问题时常用的模型：

小结：

P93 例3

P94 检测评估

教学反思：

锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，但是锐角三角函数首先是放在直角三角形中研究的，显示的是边角之间的关系。锐角三角函数值是边与边之间的比值，锐角三角函数沟通了边与角之间的联系，它是解直角三角形最有力的工具之一。

在今后教学过程中，自己还要多注意以下两点：

(1)还要多下点工夫在如何调动课堂气氛，使语言和教态更加生动上。初中学生的注意力还是比较容易分散的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言，越是宽松活泼的气氛，越容易被他们接受。如何找到适合自己适合学生的教学风格?或严谨有序，或生动活泼，或诙谐幽默，或诗情画意，或春风细雨润物细无声，或激情飞扬，每一种都是教学魅力和人格魅力的展现。我将不断摸索，不断实践。

(2)我将尽我可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩。让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角。而我将尽我最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步。只有这样，才能真正提高课堂教学效率。

三角函数的教案2

一、目标：

⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；

2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；

3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．

二、教学重、难点

重点：公式 及 的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.

三、学法与教学用具

利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及 ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.

教学用具:圆规、三角板、投影

四、教学过程

【创设情境】

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

【探究新知】

探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

如图:以正弦线 ,余弦线 和半径 三者的长构成直角三角形,而且 .由勾股定理由 ,因此 ,即 .

根据三角函数的定义,当 时,有 .

这就是说,同一个角 的正弦、余弦的`平方等于1，商等于角 的正切.

【例题讲评】

例1化简：

解：原式

例2 已知

解：

（注意象限、符号）

例3求证：

分析：思路1．把左边分子分母同乘以 ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．

证法1：左边= 右边，

∴原等式成立

证法2：左边= ＝

＝ 右边

证法3：

证法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴ ≠0，

∴ ＝ ＝ ＝1，

∴左边=右边 ∴原等式成立．

例4已知方程 的两根分别是 ，

求

解：

（化弦法）

例5已知 ，

求

解：

【课堂练习】

化简下列各式

1．

2．

3．

练习答案：

解：（1）原式＝

（2）原式＝

【学习小结】

（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此 ， ．

（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

(1)作业：习题1.2A组第10,13题.

(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关

系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.

【课后作业】见学案

【板书设计】略

三角函数的教案3

一. 教学内容：平面向量与解析几何的综合

二. 教学重、难点：

1. 重点：

平面向量的基本，圆锥曲线的基本。

2. 难点：

平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，向量作为解决问题的一种工具的应用意识。

【典型例题

[例1] 如图，已知梯形ABCD中， ，点E分有向线段 所成的比为< >，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率.

解：如图，以AB的垂直平分线为 轴，直线AB为 轴，建立直角坐标系 轴，因为双曲线经过点C、D且以AB为焦点，由对称性知C、D关于 轴对称

设A（ ）B（ 为梯形的高

∴

设双曲线为 则

由（1）： （3）

将（3）代入（2）：∴ ∴

[例2] 如图，已知梯形ABCD中， ，点E满足 时，求离心率 的取值范围。

解：以AB的垂直平分线为 轴，直线AB为 轴，建立直角坐标系 轴。

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性，知C、D关于 轴对称 高中生物。

依题意，记A（ ）、E（ 是梯形的高。

由

得

设双曲线的方程为 ，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和由（1）式，得 （3）

将（3）式代入（2）式，整理，得故 ，得解得所以，双曲线的离心率的取值范围为

[例3] 在以O为原点的直角坐标系中，点A（ ）为 的直角顶点，已知 ，且点B的纵坐标大于零，（1）求 关于直线OB对称的圆的方程。（3）是否存在实数 ，使抛物线 的取值范围。

解：

（1）设 ，则由 ，即 ，得 或

因为

所以 ，故

（2）由 ，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：得圆心（

设圆心（ ）则 得 ，

故所求圆的方程为（3）设P（ ）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

得

即 、于是由故当 时，抛物线（3）二：设P（ ），PQ的中点M（∴ （1）－（2）： 代入∴ 直线PQ的方程为

∴ ∴

[例4] 已知常数 ， 经过原点O以 为方向向量的直线与经过定点A（ 方向向量的直线相交于点P，其中 ，试问：是否存在两个定点E、F使 为定值，若存在，求出E、F的坐标，不存在，说明理由。（20xx天津）

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值。

∵ ∴

因此，直线OP和AB的方程分别为 和消去参数 ，得点P（ ，整理，得

① 因为（1）当（2）当 时，方程①表示椭圆，焦点E 和F 为合乎题意的两个定点；

（3）当 时，方程①也表示椭圆，焦点E 和F（ ）为合乎题意的两个定点。

[例5] 给定抛物线C： 夹角的大小，（2）设 求 在 轴上截距的变化范围

解：

（1）C的焦点F（1，0），直线 的斜率为1，所以 的方程为 代入方程 ）、B（则有

所以 与

（2）设A（ ）由题设

即 ，由（2）得 ，

∴

依题意有 ）或B（又F（1，0），得直线 方程为

当 或由 ，可知∴

直线 在 轴上截距的变化范围为

[例6] 抛物线C的方程为 ）（ 的两条直线分别交抛物线C于A（ ）两点（P、A、B三点互不相同）且满足 （（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程

（2）设直线AB上一点M，满足 ，证明线段PM的中点在 轴上

（3）当 ），求解：（1）由抛物线C的方程 ），准线方程为

（2）证明：设直线PA的方程为

点P（ ）的坐标是方程组 的解

将（2）式代入（1）式得

于是 ，故 （3）

又点P（ ）的坐标是方程组 的解

将（5）式代入（4）式得 ，故

由已知得， ，则设点M的坐标为（ ），由 。则

将（3）式和（6）式代入上式得

即（3）解：因为点P（ ，抛物线方程为由（3）式知 ，代入

将 得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

于是， ，

因即 或

又点A的纵坐标 满足当 ；当 时，所以，

[例7] 已知椭圆 和点M（ 的取值范围；如要你认为不能，请加以证明。

解： 不可能为钝角，证明如下：如图所示，设A（ ），直线 的.方程为

由 得 ，又 ， ，若 为钝角，则

即 ，即

即

即∴

∴

【模拟】（答题时间：60分钟）

1. 已知椭圆 ，定点A（0，3），过点A的直线自上而下依次交椭圆于M、N两个不同点，且 ，求实数 的取值范围。

2. 设抛物线 轴，证明：直线AC经过原点。

3. 如图，设点A、B为抛物线 ，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（ ）若C满足 ，其中 ，求点C的轨迹方程。

5. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点F（ ）的准线 与 轴相交于点A， ，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）设 ，过点P且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点M，证明 ；

（3）若 ，求直线PQ的方程。

【试题答案】

1. 解：因为 ，且A、M、N三点共线，所以 ，且 ，得N点坐标为

因为N点在椭圆上，所以即所以

由

解得2. 证明：设A（ ）、B（ ）（ ），则C点坐标为（ 、

因为A、F、B三点共线，所以 ，即

化简得

由 ，得

所以

即A、O、C三点共线，直线AC经过原点

3. 解：设 、、则 、

∵ ∴

即又

即 （2） ∵ A、M、B三点共线

∴

即

化简得 ③

将①②两式代入③式，化简整理，得

∵ A、B是异于原点的点 ∴ 故点M的轨迹方程是 （ ）为圆心，以4. 方法一：设C（

由 ，且 ，

∴ 又 ∵ ∴

∴ 方法二：∵ ，∴ 点C在直线AB上 ∴ C点轨迹为直线AB

∵ A（3，1）B（ ） ∴ 5. 解：（1） ；（2）A（3，0），

由已知得 注意解得 ，因F（2，0），M（ ）故

而

（3）设PQ方程为 ，由

得依题意 ∵

∴ ①及 ③

由①②③④得 ，从而所以直线PQ方程为

三角函数的教案4

一、知识与技能

1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值

2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;

3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题

二、过程与方法

1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;

2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.

三、情感、态度与价值观

1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.

2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的`思维习惯，拓展思维空间

教学重点：三角函数线的作法及其简单应用

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.

三角函数的教案5

教学目标

1、知识与技能

(1)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、(小)值、单调性、奇偶性;

(2)能熟练运用正弦函数的性质解题。

2、过程与方法

通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质;讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重难点

重点:正弦函数的性质。

难点:正弦函数的性质应用。

教学工具

投影仪

教学过程

创设情境，揭示课题

同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗?在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?

探究新知

让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：

(1)正弦函数的定义域是什么?

(2)正弦函数的值域是什么?

(3)它的最值情况如何?

(4)它的正负值区间如何分?

(5)?(x)=0的`解集是多少?

师生一起归纳得出：

1.定义域：y=sinx的定义域为R

2.值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1(有界性)

再看正弦函数线(图象)验证上述结论，所以y=sinx的值域为[-1，1]

三角函数的教案6

1.探究发现任意角 的终边与 的终边关于原点对称;

2.探究发现任意角 的终边和 角的终边与单位圆的交点坐标关于原点对称;

3.探究发现任意角 与 的三角函数值的关系.

设计意图

首先应用单位圆，并以对称为载体，用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，数形结合，问题的设计提问从特殊到一般，从线对称到点对称到三角函数值之间的关系，逐步上升，一气呵成诱导公式二.同时也为学生将要自主发现、探索公式三和四起到示范作用，下面练习设计为了熟悉公式一，让学生感知到成功的喜悦，进而敢于挑战，敢于前进

(四)练习

利用诱导公式(二),口答下列三角函数值.

(1). ;(2). ;(3). .

喜悦之后让我们重新启航，接受新的挑战，引入新的问题.

(五)问题变形

由sin300= 出发，用三角的定义引导学生求出 sin(-300)，sin1500值,让学生联想若已知sin = ,能否求出sin( ),sin( )的值.

学生自主探究

1.探究任意角 与 的三角函数又有什么关系;

2.探究任意角 与 的三角函数之间又有什么关系.

设计意图

遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题-观察发现-到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.

展示学生自主探究的结果

诱导公式(三)、(四)

给出本节课的课题

三角函数诱导公式

设计意图

标题的后出，让学生在经历整个探索过程后，还回味在探索，发现的成功喜悦中，猛然回头，哦，原来知识点已经轻松掌握，同时也是对本节课内容的小结.

(六)概括升华

的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符合.(即：函数名不变，符号看象限.)

设计意图

简便记忆公式.

(七)练习强化

求下列三角函数的值：(1).sin( ); (2). cos(-20400).

设计意图

本练习的设置重点体现一题多解，让学生不仅学会灵活运用应用三角函数的诱导公式，还能养成灵活处理问题的良好习惯.这里还要给学生指出课本中的`“负角”化为“正角”是针对具体负角而言的.

学生练习

化简： .

设计意图

重点加强对三角函数的诱导公式的综合应用.

(八)小结

1.小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤.

2.体会数形结合、对称、化归的思想.

3.“学会”学习的习惯.

(九)作业

1.课本p-27,第1,2,3小题;

2.附加课外题 略.

设计意图

加强学生对三角函数的诱导公式的记忆及灵活应用，附加题的设置有利于有能力的同学“更上一楼”.

(十)板书设计：(略)

八.课后反思

对本节内容在进行教学设计之前，本人反复阅读了课程标准和教材，针对教材的内容，编排了一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来，通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到了一定的预期效果，尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。

然而还有一些缺憾：对本节内容，难度不高，本人认为，教师的干预(讲解)还是太多。

在以后的教学中，对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求。用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效。

三角函数的教案7

教学目标

1.能够把数学问题转化成数学问题。

2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。

过程与方法

经历探索实际问题的过程，进一步三角函数在解决实际问题过程中的应用。

情感态度与价值观

积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，三角函数是解决实际问题的有效工具。

教学重点与难点

重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。

难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。

教学过程

一、问题引入，了解仰角俯角的概念。

提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18°，求A、B间的距离。

提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称∠ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？

2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？

教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。

二、测量物体的高度或宽度问题.

1.提出老问题，寻找新方法

我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。

利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？

学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。

2.运用新方法，解决新问题.

⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30°，测量仪距古塔60米，则古塔高（ ）米。

⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高（ ）米。

⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河宽（精确到0.1米）。

在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形解决实际问题，渗透建模的数学思想。

三、与方位角有关的决策型问题

1.提出问题

一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在北偏东60°的方向上；40nin后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区。这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有有进入危险区的可能？

2.师生共同分析问题按以下步骤时行：

⑴根据题意画出示意图，

⑵分析图中的线段与角的实际意义与要解决的问题，

⑶不存在直角三角形时需要做辅助线构造直角三角形，如何构造？

⑷选用适当的边角关系解决数学问题，

⑸按要求确定正确答案，说明结果的实际意义。

3.学生练习

某景区有两景点A、B，为方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的公路（即线段AB）。经测量在A点北偏东60°的方向上在B点北偏西45°的方向上，有一半径为0.7千米的小水潭，问水潭会不会影响公路的修建？为什么？

学生可以分组讨论来解决这一问题，提出不同的方法。

延伸阅读：

中考复习专题（二） 待定系数法复习教案

【内容分析】

重点：灵活选择题目给定的条件，利用待定系数法确定函数解析式.

难点：会利用或找出给的条件设出函数解析式的一般形式.

考点：待定系数法是确定代数式中某些项的系数的重要数学方法，它是以代数式形式上的恒等变换的性质为依据，通过特定的已知条件，辩证地转化已知和未知的关系，从而求得代数式中某些系数的值，在中考题目中往往会有多处涉及，其中临沂市近几年中考题最后压轴的第一问多是利用待定系数法确定函数解析式.

【复习目标】

通过训练，让学生熟练掌握待定系数法确定函数解析式.

【环节安排】

环节

问题设计

教学活动设计

1.如图1，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ）

A．y=－x+2 B．y=x+2 C．y=x －2 D．y= －x－2

2.已知点A（m，1）在直线y=2x－1上，求m的方法 是 ，可得m= .

3.已知点B（－2，n）在直线y=2x－1上，求n的方法是 ，可得n= .

4.已知某一次函数的图象经过点P（3，5）和Q（－4，－9），求一次函数的解析式是一般先 ，再由已知条件可得 ，解得 ，∴满足已知条件的一次函数解析式是： ，这个一次函数解析式的图象与坐标轴交点坐标为： .

5.一次函数的图象经过反比例函数 的图象上的A、B两点，且点A的横坐标与点B的纵坐标都是2. 求这个一次函数的解析式.教师引入新课后，出示题目，学生自主完成.

教师巡视，及时发现学生完成的情况，记录下所出现的问题，以便集中处理.

教师要求学生在做题的同时，总结解决问题所运用的知识点、方法和规律.

找学生展示完成的情况，师生共同点评和分析，同时就检查过程中发现的问题进行处理，就本部分所用到的知识进行 方法总结.

【例1】如图2，抛物线经过 三点．求出抛物线的解析式.

【例2】如图3，一次函数 与反比例函数 的图像交与A(2,3)B(-3，n)两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解式；

（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞ 的解集： .

（3）过B点作BD⊥x轴，垂足为C,求△ABC的面积.

【变式练习】已知如图4，抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.求抛物线的解析式；

教师出示例题，学生开始思考，先独立分析，然后在小组内交流，解答.

教师巡视，了解学生的讨论情况或解答的情况，搜集要强调的知识点、解题的方法及易出错的地方等等.

学生讨论交流后，请3位学生讲解.

展示部分学生的解答练习.

师生共同评析.

1．点（2,4）在一次函数 的图象上，则 _____.

2．若反比例函数 的图象经过点 ，则该函数的解析式为_____．

3.函数 y＝x2＋bx＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b＝ .

4.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图5，则这个二次函数的解析式是 y＝___ .

5.函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是( )

A. m、n是常数，且m≠0 B. m、n是常数，且m≠n

C. m、n是常数，且n≠0

D. m、n可以为任意实数

6.抛物线 y＝x2－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）

A. 0B. 4C. －4 D. 2

教师出示问题，学生开始解答

教师巡视，了解学生的解答的情况，搜集要强调的知识点、解题的方法及易出错的地方等等.

学生展示自己的成果，教师点评分析，并及时地鼓励学生。

通过本节课的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？

教师提出问题，学生思考，总结，在小组内交流．

人教版九年级数学上册全册教案及作业题（带答案）

第二十一 二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七《反比例正函数》、第十八《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解 （a≥0）是一个非负数，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．

（3）掌握 ＝ （a≥0，b≥0）， = ；

= （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

1．二次根式 （a≥0）的内涵． （a≥0）是一个非负数；（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

1．对 （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ ）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．

单元时划分

本单元教学时间约需11时，具体分配如下：

21．1 二次根式 3时

21．2 二次根式的乘法 3时

21．3 二次根式的加减 3时

教学活动、习题、小结 2时

21．1 二次根式

第一时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：利用“ （a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（ ， ）．

问题2：由勾股定理得AB=

问题3：由方差的概念得S= .

二、探索新知

很明显 、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．

（学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0， 有意义吗？

老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、（x>0）、、、- 、、（x≥0，y≥0）．

分析：二次根式应满足两个条：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有： 、（x>0）、、- 、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 、、、．

例2．当x是多少时， 在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥ 时， 在实数范围内有意义．

三、巩固练习

教材P练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时， + 在实数范围内有意义？

分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0．

解：依题意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

当x≥- 且x≠-1时， + 在实数范围内有意义．

例4(1)已知y= + +5，求 的值．(答案:2)

(2)若 + =0，求a+b2004的值．(答案: )

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节要掌握：

1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用时作业设计．

3.后作业:《同步训练》

第一时作业设计

一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）

A．- B． C． D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

A． B． C． D．

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）

A．5 B． C． D．以上皆不对

二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为a的正方形的边长为________．

3．负数________平方根．

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

2．当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？

3．若 + 有意义，则 =_______．

4.使式子 有意义的未知数x有（ ）个．

A．0 B．1 C．2 D．无数

5.已知a、b为实数，且 +2 =b+4，求a、b的值．

第一时作业设计答案:

一、1．A 2．D 3．B

二、1． （a≥0） 2． 3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x= ．

2．依题意得： ，

∴当x>- 且x≠0时， ＋x2在实数范围内没有意义．

3.

4．B

5．a=5，b=-4

21.1 二次根式(2)

第二时

教学内容

1． （a≥0）是一个非负数；

2．（ ）2=a（a≥0）．

教学目标

理解 （a≥0）是一个非负数和（ ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键新标第一网

1．重点： （a≥0）是一个非负数；（ ）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出 （a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（ ）2=a（a≥0）．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时， 叫什么？当a<0时， 有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

（a≥0）是一个非负数．

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______；

（ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______．

老师点评： 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数，因此有（ ）2=4．

同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以

（ ）2=a（a≥0）

例1 计算

1．（ ）2 2．（3 ）2 3．（ ）2 4．（ ）2

分析：我们可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32（ ）2=325=45，

（ ）2= ，（ ）2= ．

三、巩固练习

计算下列各式的值：Xk b 1 . co m

（ ）2 （ ）2 （ ）2 （ ）2 （4 ）2

四、应用拓展

例2 计算

1．（ ）2（x≥0） 2．（ ）2 3．（ ）2

4．（ ）2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（ ）2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x≥0，所以x+1>0

（ ）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节应掌握：

1． （a≥0）是一个非负数；

2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）．

六、布置作业

1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7．

2．选用时作业设计．

3.后作业:《同步训练》

第二时作业设计

一、选择题

1．下列各式中 、、、、、，二次根式的个数是（ ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．

A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0

二、填空题

1．（- ）2=________．

2．已知 有意义，那么是一个_______数．

三、综合提高题

1．计算

（1）（ ）2 （2）-（ ）2 （3）（ ）2 （4）（-3 ）2

(5)

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）

3．已知 + =0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5

第二时作业设计答案:

一、1．B 2．C

二、1．3 2．非负数

三、1．（1）（ ）2=9 （2）-（ ）2=-3 （3）（ ）2= ×6=

（4）（-3 ）2=9× =6 (5)-6

2．（1）5=（ ）2 （2）3.4=（ ）2

（3） =（ ）2 （4）x=（ ）2（x≥0）

3． xy=34=81

4.（1）x2-2=（x+ ）（x- ）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ）

(3)略

垂陉定理

（九年级数学）圆（二）——垂径定理

第 周星期 班别： 姓名： 学号：

环节一、学习目标：掌握垂径定理及简单运用

环节二、问题探讨

问题1:

如图：AB是直径（弦AB过圆点），CD是弦，且CD⊥AB于P，你能在图中找到其他相等的量吗？

图中相等的线段有： ，相等的弧有：

猜测：

条件

归纳:

垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的

几何语言：∵AB为⊙O的直径，（或者:弦AB过圆心）

AB⊥CD

∴DP= , ， （垂径定理）

拓展:

在垂径定理中，题设与结论共有5个语句，分别是：

(1)弦AB过圆心O（AB是直径）；(2)弦AB垂直于弦CD（AB⊥CD）;

(3)弦AB平分弦CD（DP=CP）；(4)弦AB平分 （ ）;

(5)弦AB平分 （ ）;

其中用任两个作为条件，都可以推出其他三个结论.

环节三、垂径定理的应用

例1：在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆的半径是10cm，求圆心O到AB的距离。

解：连接AO，作OE⊥AB于E

∵OE经过⊙O的圆心，OE⊥AB

∴AE= = cm（ ）

在Rt△AOE中，∵OE2= （ ）

∴OE= =

答：OE的长为

环节四、做一做A组

1、如图：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于点E，若CD=8

的度数是120°, 的度数是240°,则CE= ,

ED= ,

2、在⊙O中，半径OA=30，弦AB长30，求点O到AB的距离。

分析：(1)点O到AB的距离是过点O作AB的 线，垂足为 ，此时线段 为点O到AB的距离。

(2)要求点O到AB的距离，即求线段 的长，此时线段在什么图形中？

已知什么条件，可用什么方法？

解：过点O作 ，垂足为

3、图1：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于E，若CD=16，圆的半径为10，则圆心到弦CD的距离是

4、图1:在⊙O中，若 ， ，则弦AB必经过 ，且DE=

5、图1：在⊙O中，OE=5，弦CD=24，AB⊥CD于E,则⊙O的半径为

6、如图，MN是⊙O的直径，C是AB的中点，AB=6，OC=4，求OA及直径MN

解:∵MN是直径，AB弦且C是AB的中点

∴AC= ，MN AB( )

∵AB=6

∴AC=

在Rt△AOE中，∵OA2=( )2+( )2（ ）

∴OA= = =

又∵直径MN= OA

∴直径MN=

答：OA为 ，直径MN为

B组

7、如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB=120°,OA=5cm，则圆心O到AB的距离和弦AB的长。

解：

8、如图：在半径为5cm的圆中，AC是直径，弦AB⊥BC，OD⊥AB于D，若BC=6cm，求OD和AB的长.

解:

C组

9、如图⊙O的半径是5cm，AB和CD是两条弦，且AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB和CD的距离。

解：

10、右图是我国隋代建造的赵州桥，我们可以很方便地量出它的跨度为37.4米，拱高为7.2米，我们怎样通过跨度和拱高求出桥拱的半径？

证明2导学案

善国中学九年级数学导学案

题1.2.2直角三角形型新授时5教师

目标进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；

重点了解勾股定理及其逆定理的证明方法；

难点结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

教法合作探究

一、预习导航预习导航

1、写出你知道的勾股数

2、勾股定理的内容是：__ ______ _______

它的条是：______ _______________________ _________;

结论是：______________ ________________。

学习困惑记录

二、讲授新

探究新

3、将勾股定理的条和结论分别变成结论和条，其内容是：

下面我们试着将上述命题证明：

已知：在△ABC中，AB2+AC2=BC2

求证：△ABC是直角三角形。

分析：要△ABC是直角三角形，只须∠A=90°，单独只有一个三角形不能得出结论，那就需用另外作一个Rt△A′B′C′,使∠A′=90°, A′B′=AB, A′C′=AC，通过证三角形全等得到结论。

证明：

定理：如果三角形两边的__________等于______ _ ___，那么这个三角形是直角三角形。

四、合作交流：

1、观察勾股定理及上述定理，它们的条和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系。

（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

（3）三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条和结论分别是另一个命题的__________和__________。

2、“想一想”，回答下列问题：

（1）写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题。它们都是真命题吗？

（2）一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

（4）是否任何定理都有逆定理？

（5） 思考我们学过哪些互逆定理？

三、应用深化当堂训练：

1、判断

（1）每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。（ ）

（2）命题正确时其逆命题也正确。（ ）

（3）直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。（ ）

2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）

①8、15、17 ②4、5、6、③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10

A、①②④ B、②④⑤ C、①③⑤ D、①③④

下训练：

1、以下命题的逆命题属于假命题的是（ ）

A、两底角相等的两个三角形是等腰三角形。

B、全等三角形的对应角相等。

C、两直线平行，内对角相等。

D、直角三角形两锐角互等。

2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是

_______________________________________________

3、若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20C，则两直角边为（ ， ）

4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。

5、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

A、五边形是多边形。

B、两直线平行，同位角相等。

C、如果两个角是对顶角，那么它们相等。

D、如果AB=0，那么A=0，B=0。

6、公园中景点A、B间相距50，景点A、C间相距40，景点B、C间相距30，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？

7、台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8处，已知旗杆原长16，则旗杆在距底部几米处断裂。

8、小明将长2.5的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7，如果梯子的顶端垂直下滑0.4，那么梯子的底端B将向外移动多少米。

中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？

切线的判定

数学：35.4《切线的判定》教案（冀教版九年级下）

一、教材分析

1、教材所处的地位和作用

切线的判定是九年制义务教育课本数学九年级第二学期第三十五章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。

2、内容

“切线的判定和性质”共两个课时，课本上将切线判定定理和性质定理的导出作为第一课时，两个定理的运用和切线的两种常用的判定方法作为第二课时。为了突出本节课的重点、突破难点，我没有采用教材安排的顺序，而是依据初三学生认知特点，将切线的判定方法作为第一课时，切线的性质定理以及两个定理的综合运用作为第二课时，这样的设计即是对前面所学的“直线与圆相切的判定方法”的复习，又是对后面学习综合运用两个定理，合理选择两种方法判定切线作了铺垫，让呈现一个循序渐进、温过知新的过程。

本节课主要有三部分内容：（1）切线的判定定理（2）切线的判定定理的应用（3）切线的两种判定方法。教学重点是切线的判定定理及其应用。教学难点是切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一。

二、教学对象分析

在学习本节内容之前学生已经掌握了圆的切线的定义，直线和圆的三种位置关系和一种直线与圆相切的判定方法（用d=r）。在学习用d=r来判定直线与圆相切的内容时曾为本节内容打过伏笔，设置过悬念，所以学生对本节内容的学习充满期待的。

三、教案设计思路

为了实现教学目标，本节课我主要突出抓好以下五个环节：

1.复习提问??打好基础，为新课作铺垫。

问题1是例2的基础，问题2则起着复旧孕新、引入新课的作用。

2.发现、证明、理解定理??学好基础知识。

根据初三学生有一定创造、自学能力的特点，在教学中，教师通过启发和指导学生阅 读教材，教会学生通过自己观察，发现结论，再设法证明结论的学习方法，同时也强化了学生的阅读、自学能力。

3.应用定理??培养基本技能。

定理是基础，应用是目的。本环节首先给出两道判断题，目的是为了让学生更好地明确此定理的使用条件，然后在此基础上讲解例1。讲解时，我抓住教材本身的特点，用两头凑的办法揭示证题思路，显示证题的书写程序，较好地解决了本课的难点。之后，做两个练习加以巩固，最后由师生共同完成例2，总结出判定切线常用的两种添辅助线的方法。

4.小结与拓展

通过小结，进一步帮助学生明确本节课的重点内容。拓展题是本节内容的提升，不是很难，但有助于培养学生的数学思想以及良好的思维习惯，激发学习的积极性。

5.布置作业??充分发挥家庭作业的 巩固知识、形成技能的作用。作业的分层布置，使每一位学生都有难度适 宜的作业，不但能培养优生，而且可以照顾到后进生，充分体现了因材施教的教学原则。

《切线的判定》教案

教学目标：1、理解切线的判定定理，并学会运用。

2、知道判定切线常用的方法有两种，初步掌握方法的选择。

教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法。

教学难点：切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一．

教学过程：

一、复习提问

【教师】问题1.怎样过直线l上一点P作已知直线的垂线？

问题2.直线和圆有几种位置关系？

问题3.如何判定直线l是⊙O的切线？

启发：（1）直线l和⊙O的公共点有几个？

（2）圆心O到直线L的距离与半径的数量关系 如何？

学生答完后，教师强调（2）是判定直线 l是⊙O的切线的常用方法，即： 定理：圆心O到直线l的距离OA 等于圆的半 （如图1，投影显示）

再启发：若把距离OA理解为 OA⊥l，OA=r；把点A理解为半径在圆上的端点 ，请同学们试将上面定理用新的理解改写成新的命题，此命题就 是这节课要学的“切线的判定定理”（板书课题）

二、引入新课内容

【学生】命题：经过半径的在圆上的端点且垂直于半 径的直线是圆的切线。

证明定理：启发学生分清命题的题设和结论，写出已 知、求证，分析证明思路，阅读课本P60。

定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

定理的`证明：已知：直线l经过半径OA的外端点A，直线l⊥OA，

求证：直线l是⊙O的切线

证明：略

定理的符号语言：∵直线l⊥OA，直线l经过半径OA的外端A

∴直线l为⊙O的切线。

是非题：

（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。 （ ）

（2）过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线。 （ ）

三、例题讲解

例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。

求证：直线AB是⊙O的切线。

引导学生分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连结OC，只要证明AB⊥OC即可。

证明：连结OC.

∵OA=OB，CA=CB，

∴AB⊥OC

又∵直线AB经过半径OC的外端C

∴直线AB是⊙O的切线。

练习1、如图，已知⊙O的半径为R，直线AB经过⊙O上的点A，并且AB=R，∠OBA=45°。求证：直线AB是⊙O的切线。

练习2、如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠BAD。

求证：CD是⊙O的切线。

例2、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，过点D作射线DE，使∠ADE=30°。

求证：DE是⊙O的切线。

思考题：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，BD为半径作圆，问⊙D的切线有几条？是哪几条？为什么？

四、小结

1．切线的判定定理。

2．判定一条直线是圆的切线的方法：

①定义：直线和圆有唯一公共点。

②数量关系：直线到圆心的距离等于该圆半径（即d = r）。

③切线的判定定理：经过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。

3．证明一条直线是圆的切线的辅助线和证法规律。

凡是已知公共点（如：直线经过圆上的点；直线和圆有一个公共点；）往往是“连结”圆心和公共点，证明“垂直”（直线和半径）；若不知公共点，则过圆心作一条线段垂直于直线，证明所作的线段等于半径。即已知公共点，“连半径，证垂直”；不知公共点，则“作垂直，证半径”。

五、布置作业

《切线的判定》教后体会

本课例《切线的判定》作为市考试院调研课型兼区级研讨课，我以“教师为引导，学生为主体”的二期课改的理念出发，通过学生自我活动得到数学结论作为教学重点，呈现学生真实的思维过程为教学宗旨，进行教学设计，目的在于让学生对知识有一个本质的、有效的理解。本节课切实反映了平时的教学情况，为前来调研和研讨的老师提供了真实的样本。反思本节课，有以下几个成功与不足之处：

成功之处：

一、教材的二度设计顺应了学生的认知规律

这批学生习惯于单一知识点的学习，即得出一个知识点，必须由浅入深反复进行练习，巩固后方能加以提升与综合，否则就会混淆概念或定理的条件和结论，导致错误，久之便会失去学习数学的兴趣和信心。本教时课本上将切线判定定理和性质定理的导出作为第一课时，两个定理的运用和切线的两种常用的判定方法作为第二课时，学生往往会因第一时间得不到及时的巩固，对定理本质的东西不能很好地理解，在运用时抓不住关键，解题仅仅停留在模仿层次上，接受能力薄弱的学生更是因知识点多不知所措，在云里雾里。二度设计将切线的判定方法作为第一课时，切线的性质定理以及两个定理的综合运用作为第二课时，这样的设计即是对前面所学的“直线与圆相切的判定方法”的复习，又是对后面学习综合运用两个定理，合理选择两种方法判定切线作了铺垫，教学呈现了一个循序渐进、温过知新的过程。从学生的反馈情况判断，教学效果较为理想。

二、重视学生数感的培养呼应了课改的理念

数感类似与语感、乐感、美感，拥有了感觉，知识便会融会贯通，学习就会轻松。拥有数感，不仅会对数学知识反应灵敏，更会在生活中不知不觉运用数学思维方式解决实际问题。本节课中，两个例题由教师诱导，学生发现完成的，而三个习题则完全放手让学生去思考完成，不乏有不会做和做得复杂的学生，但在展示和交流中，撞击出思维的火花，难以忘怀。让学生尝试总结规律，也是对学生能力的培养，在本节课中，辅助线的规律是由学生得出，事实证明，学生有这样的理解、概括和表达能力。通过思考得出正确的结论，这个结论往往是刻骨铭心的，长此以往，对数和形的感觉会越来越好。

不足之处：

一、这节课没有“高潮”，没有让学生特别兴奋激起求知欲的情境，整个教学过程是在一个平静、和谐的氛围中完成的。

二、课的引入太直截了当，脱离不了应试教学的味道。

三、教学风格的定势使所授知识不能很合理地与生活实际相联系，一定程度上阻碍了学生解决实际问题能力的发展。

中考数学方程及方程组的应用复习

节第二题

型复习教法讲练结合

目标（知识、能力、教育）1.掌握列方程和方程组解应用题的方法步骤，能够熟练地列方程和方程组解行程问题和工程问题。培养学生分析、解决问题的能力。

2. 掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤，并能灵活运用不等式（组）、函数、几何等数学知识，解决有关数字问题、增长率问题及生活中有关应用问题。

重点掌握工程问题、行程问题、增长率问题、盈亏问题、商品打折、商品利润（率）、储蓄问题中的一些基本数量关系。

教学难点列方程解应用题中---寻找等量关系

教学媒体学案

教学过程

一：【前预习】

（一）：【知识梳理】

1.列方程解应用题常用的相等关系

题型基本量、基本数量关系寻找思路方 法

工作

（工程）

问题工作量、工作效率、工作时间

把全部工作量看作1

工作量=工作效率×工作时间相等关系：各部分工作量之和=1

常从工作量、工作时间上考虑相等关系

比例问题

相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为 ，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式

年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。

利息

问题本息和、本金、利息、利率、期数关系：利息=本金×利率×期数相等关系：

本息和=本金+利息

行程问题

追击问题

路程、速度、时间的关系：

路程=速度×时间1：同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程

2：同时不同地出发 ：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程

相遇问题同

上相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程

航行问题顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度

逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度1：与追击、相遇问题的思路方法类似

2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。

数字问题多位数的表示方法： 是一个多位数可以表示为 （其中0＜a、b、c＜10的整数）1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。

2：常常设间接未知数。

商品利润

率问题商品利润=商品售价－商品进价

首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降 价等含义。

2.列方程解应用题的步骤:

（1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数；

（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；

（4 ）解方程； （5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；

（6）答：注意带单位．

（二）：【前练习】

1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠 10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是

2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元

3. 某公司出口创收135万美元，、每年都比上一年增加a％，那么，19这个公司出口创汇 万美元

4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为

5. 一个批发与零售兼营的具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m2－1)元（m为正整数，且m2－1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m2－1)元.设这个学校初三年级共有x名学生，则①x的取值范围应为 ②铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元

（用含x，m的代数式表示）

二：【经典考题剖析】

1. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，如果甲乙二人分别从A、

B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，求甲乙二人

路程时间速度

甲x32

乙x+432

的骑车速度．

分析： 设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时

行程问题即为时间、路程、速度三者之间的关系问题，在分析题意时，先画出示意

图（数形结合思想），然后设未知数，再列表，第一列填含未知数的量，第二列填题

目中最好找的量，第三列不再在题目中找，而是用前面两个量表示，往往等量关系

就在第三列所表示的量中．解完方程时要注意双重检验．

等量关系：t甲-t乙=40分钟＝ 小时，方程： ．

2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。为

使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？

工时工作量工效

原计划x 1

实际x-31

分析：工程量不明确，一般视为1，设原计划完成这项工程用x个月，实际只用了（x-3）

个月.等量关系：

实际工效=原计划工效×（1+12%）．

方程：

3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20，每盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2。

（1）若商场平均每天要盈利1200 元，每衬衫应降价多少元？

（2）每衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

分析：（1）设每衬衫应降价 元，则由盈利 可解出 但要

注意“尽快减少库存”决定取舍。（2）当 取不同的值时，盈利随 变化，可配方为： 求最大值。但若联系二次函数的最值求解，可设： 结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。所以 在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。答案：（1）每衬衫应降价20元；（2）每衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。

4.某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，

其中团体票占总票数的 ．若提前购票， 则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体

票每张12元，共售出团体票数的 ， 零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体票要按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

分析：这样的题字一大堆，看到头就发胀，同学们不要怕，要有信心，一定要仔细读题，当你读懂题后事实上这类题还是比较简单的，学数学的目的就是解决现实生活中的实际问题．

因为总票数不明确，所以看为1，设6月零售票每张定价 元．

团体票数团体票收入零售票数零售票收入

5月 （张） （元） （张） （元）

6月 （张） （元） （张） （元）

等量关系：5月总收入=6月总收入

方程 .

5.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，

鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用

竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，（1）求鸡场

的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a对题目的解

起着怎样的作用？

三：【后训练】

1.如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①

年的利润率比的利润率高2％；②的利润率比的利润率高8％；

③这三年的利润率14％；④这三年中20的利润率最高。其中正确的结论共有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自月21日起，某客

运列车的行车速度每小时比原增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1

小时，求列车提速前 的速度（只列方程）．

3.春天，在党和政府的领导下，我国 进行了一场抗击“非典”的战争．为了控制

疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上 级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗

病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完

成任务，该厂原计划每天加工多少万只口罩？

4.一水池有甲、乙两水管，已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时．现

在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，如果一开

始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？

5.某公司向银行贷款40万元，用生产某种新产品，已知该贷款的年利率为15％

（不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元，

应纳税款为销售额的10％。如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润＝

销售额－成本－应纳税款）用归还贷款，问需几年后能一次还清？

6.某商店1995年实现利税40万元（利税＝销售金额－成本），19由于在销售管

理上 进行了一系列改革，销售金额增加到154万元，成本却下降到90万元，

（1）这个商店利税年比1995年增长百分之几？

（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，

求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分之几？

四：【后小结】

布置作业地纲

三角函数的教案8

一、锐角三角函数

正弦和余弦

第一課时：正弦和余弦（1）

教学目的

1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。

2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

重点、难点、关键

1，重点：正弦的概念。

2，难点：正弦的概念。

3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。

教学过程

一、复习提问

1、什么叫直角三角形？

2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可用什么记号来表示？

二、新授

1，让学生阅读教科书第一页上的'插图和引例，然后回答问题：

（1）这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可能到达）

（2）把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形）

（3）显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。）

（4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。）

但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。

2，在RT△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1／2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。

类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边／斜边＝BC／AB＝BC／＝1／＝／2 这就是说，当∠A＝450时，∠A的对边与斜边的比值等于／2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。

那么，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？

（引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值。）

三、巩固练习：

在△ABC中，∠C为直角。

1，如果∠A＝600，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

2，如果∠A＝600，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？

3，如果∠A＝300，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

4，如果∠A＝450，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？

四、小结

五、作业

1，复习教科书第1－3页的全部内容。

2，选用課时作业设计。

三角函数的教案9

教学目标：

1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．

2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．

教学重点：

理解并掌握同角三角函数关系式．

教学难点：

已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；

教学用具：

直尺、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

2．探索研究

（1）复习任意角三角函数定义

上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？

在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离是 ，则角 的六个三角函数的值是：

（2）推导同角三角函数关系式

观察 及 ，当 时，有何关系？

当 且 时 、及 有没有商数关系？

通过计算发现 与 互为倒数：∵ ．

由于 ，

这些三角函数中还存在平方关系，请计算 的值．

由三角函数定义我们可以看到： ．

∴ ，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：

①平方关系：

②商数关系：

③倒数关系：

即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当 取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中， 在第三个式中， 的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．

（3）同角三角函数关系式的应用

同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．

已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的.值．

解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角．

如果 是第二象限角，那么

如果 是第三象限角，那么 ，

说明：本题没有具体指出 是第几象限的角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

已知 ，求 的值．

解： ，且 ， 是第二或第三象限角．

如果 是第二象限角，那么

如果 是第三象限角，那么 ．

说明：本题没有具体指出 是第几象限角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

已知 为非零实数，用 表示 ， ．

解：因为 ，所以

又因为 ，所以

于是 ∴

由 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上，考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：

在三角求值过程当中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．

同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4

化简下列各式：

（1） ；（2） ．

解：（1） （2）

3．演练反馈（投影）

（1）已知： ，求 的其他各三角函数值．

（2）已知 ，求 ， ．

（3）化简：

解答：（1）解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角．

如果 是第二象限的角，则：

又

如果 是第三象限的角，那么

（2）解：∵ ∴ 是第二或第四象限的角

由的求法可知当 是第二象限时

当 是第四象限时

（3）解：原式

4．本课小结

（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此 ， ……．

（2）诸如 ， ，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．

（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

课时作业：

1．已知 ， ，则 等于（ ）

A． B． C． D．

2．若 ，则 的值是（ ）

A．－2 B．2 C．±2 D．

3．化简

4．化简 ，其中 为第二象限角．

5．已知 ，求 的值．

6．已知 是三角形的内角， ，求 值．

三角函数的教案10

【高考要求】：三角函数的有关概念(B).

【教学目标】：理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义；了解弧度的意义,并能进行弧度与角度的互化.

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；初步了解有向线段的概念,会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.

【教学重难点】：终边相同的角的意义和任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

【知识复习与自学质疑】

一、问题.

1、角的概念是什么？角按旋转方向分为哪几类？

2、在平面直角坐标系内角分为哪几类？与 终边相同的角怎么表示？

3、什么是弧度和弧度制？弧度和角度怎么换算？弧度和实数有什么样的关系？

4、弧度制下圆的弧长公式和扇形的面积公式是什么？

5、任意角的三角函数的定义是什么？在各象限的符号怎么确定？

6、你能在单位圆中画出正弦、余弦和正切线吗？

7、同角三角函数有哪些基本关系式？

二、练习.

1.给出下列命题：

(1)小于 的角是锐角；(2)若 是第一象限的角，则 必为第一象限的角；

(3)第三象限的角必大于第二象限的角；(4)第二象限的角是钝角；

(5)相等的角必是终边相同的角；终边相同的角不一定相等；

(6)角2 与角 的终边不可能相同；

(7)若角 与角 有相同的终边，则角（ 的终边必在 轴的非负半轴上。其中正确的命题的序号是

2.设P 点是角终边上一点，且满足 则 的值是

3.一个扇形弧AOB 的面积是1 ，它的周长为4 ，则该扇形的中心角= 弦AB长=

4.若 则角 的终边在 象限。

5.在直角坐标系中，若角 与角 的终边互为反向延长线，则角 与角 之间的关系是

6.若 是第三象限的角，则- ， 的终边落在何处？

【交流展示、互动探究与精讲点拨】

例1.如图， 分别是角 的终边.

（1）求终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合；

(2)求终边落在阴影部分、且在 上所有角的集合；

(3)求始边在OM位置，终边在ON位置的所有角的集合.

例2.（1）已知角的终边在直线 上，求 的值；

（2）已知角的终边上有一点A ，求 的值。

例3.若 ，则 在第 象限.

例4.若一扇形的周长为20 ，则当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？

【矫正反馈】

1、若锐角 的终边上一点的坐标为 ，则角 的弧度数为 .

2、若 ，又 是第二，第三象限角，则 的`取值范围是 .

3、一个半径为 的扇形，如果它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么该扇形的圆心角度数是 弧度或角度，该扇形的面积是 .

4、已知点P 在第三象限，则 角终边在第 象限.

5、设角 的终边过点P ，则 的值为 .

6、已知角 的终边上一点P 且 ，求 和 的值.

【迁移应用】

1、经过3小时35分钟，分针转过的角的弧度是 .时针转过的角的弧度数是 .

2、若点P 在第一象限，则在 内 的取值范围是 .

3、若点P从（1，0）出发，沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点坐标为 .

4、如果 为小于360 的正角，且角 的7倍数的角的终边与这个角的终边重合，求角 的值.

三角函数的教案11

一、教学目标：

1.掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；

2.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；

3.能用计算机处理有关的近似计算问题.

二、重点难点：

重点是待定系数法求三角函数解析式;

难点是选择合理数学模型解决实际问题.

三、教学过程：

【创设情境】

三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.

【自主学习探索研究】

1．学生自学完成P42例1

点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.

（1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；

（2）求该物体在t=5s时的位置.

（教师进行适当的评析.并回答下列问题：据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求和初相位θ；第二问中的“t=5s时的位置”与函数式有何关系？）

2．讲解p43例2(题目加已改变)

2．讲析P44例3

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮是返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

问题：

（1）选择怎样的数学模型反映该实际问题？

（2）图表中的`最大值与三角函数的哪个量有关？

（3）函数的周期为多少？

（4）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？

3．学生完成课本P45的练习1，3并评析.

【提炼总结】

从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学习我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.

四、布置作业：

P46习题1.3第14、15题

三角函数的教案12

一.学习目标：

1.知识与技能

（1）能够由和角公式而导出倍角公式；

（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；

（3）能推导和理解半角公式；

（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.

2.过程与方法

让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.

二．学习重、难点

重点:倍角公式的应用.

难点:公式的推导.

三 .学法：

(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

四.学习设想

1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

2、提出问题：公式中如果 ，公式会变得如何？

3、让学生板演得下述二倍角公式：

这组公式有何特点？应注意些什么？

注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如： 是 的倍角.

2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）

3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

这两个形式今后常用.

例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例1.（公式巩固性练习）求值：

①．sin2230’cs2230’=

②．

③．

④．

例2.化简

①．

②．

③．

④．

例3、已知 ，求sin2，cs2，tan2的值。

解：∵ ∴

∴sin2 = 2sincs =

cs2 =

tan2 =

思考：你能否有办法用sin、cs和tan表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin、cs和tan分别表示sin3，cs3，tan3.

例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例4. cs20cs40cs80 =

例5.求函数 的值域.

解： ————降次

学生练习：

思考（学生思考，学生做，教师适当提示）

你能够证明：

证：1在 中，以代2， 代 即得：

∴

2在 中，以代2， 代 即得：

∴

3以上结果相除得：

这组公式有何特点？应注意些什么？

注意：1左边是平方形式，只要知道 角终边所在象限，就可以开平方。

2公式的“本质”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切

3上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）

4还有一个有用的公式： （课后自己证）

例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例6.已知cs ，求 的值.

例7.求cs 的.值.

例8.已知sin ， ，求 的值.

[学习小结]

1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如： 是 的倍角.

2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.

3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

这两个形式今后常用.

4.半角公式左边是平方形式，只要知道 角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切.

5．注意公式的结构，尤其是符号.

三角函数的教案13

目标：

1、理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；

2、能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；

3、掌握 Rt △中的锐角三角函数的表示：

sinA= ， cosA= ， tanA=

4 、掌握锐角三角函数的取值范围；

5 、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。

教学重点：

锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值。

教学难点：

锐角三角函数概念的形成。

教学过程：

一、创设情境：

鞋跟多高合适？

美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现， 70 ％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为 6 至 7 厘米左右的高跟鞋。但专家认为穿 6 厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳。

据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 11 度左右时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为 15 厘米，不难算出鞋跟在 3 厘米左右高度为最佳。

问：你知道专家是怎样计算的吗？

显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题。

二、探索新知：

1 、下面我们一起来探索一下。

实践一：作一个 30 °的∠ A ，在角的边上任意取一点 B ，作 BC ⊥ AC 于点 C 。

⑴计算，，的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。∠ A=30 °时学生 1 结果 学生 2 结果 学生 3 结果 学生 4 结果 ⑵将你所取的 AB 的值和你的同伴比较。

实践二：作一个 50 °的∠ A ，在角的边上任意取一点 B ，作 BC ⊥ AC 于点 C 。

（ 1 ）量出 AB ， AC ， BC 的长度（精确到 1mm ）。

（ 2 ）计算BC / AB ，AC / AB，的值（结果保留 2 个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。∠ A=50 °时 AB AC BC 学生 1 结果 学生 2 结果 学生 3 结果 学生 4 结果 （ 3 ）将你所取的 AB 的值和你的同伴比较。

2 、经过实践一和二进行猜测

猜测一：当∠ A 不变时，三个比值与 B 在 AM 边上的位置有无关系？

猜测二：当∠ A 的大小改变时，相应的三个比值会改变吗？

3、理论推理

如图， B 、B 1 是一边上任意两点，作 BC ⊥ AC 于点 C ， B 1 C 1 ⊥ AC 1 于点 C 1 ，

判断比值与，与，与是否相等，并说明理由。

4 、归纳总结得到新知：

⑴三个比值与 B 点在的边 AM 上的位置无关；

⑵三个比值随的变化而变化，但（0 °﹤∠α﹤90 ° ）确定时，三个比值随之确定；

比值，，都是锐角的函数

比值叫做的正弦， sinα =

比值叫做的余弦， cos α=

比值叫做的正切， tanα =

（ 3 ）注意点： sin α， cos α， tan α都是一个完整的符号，单独的. “ sin ”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写。

强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。

三、深化新知

1 、三角函数的定义

在 Rt △ ABC 中，如果锐角 A 确定，那么∠ A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定 . 则有

sinA ＝

cosA＝

2 、提问：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？

（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．

生：独立思考，尝试回答，交流结果．

明确：锐角的三角函数值的范围： 0 ＜ sin α＜ 1 ， 0 ＜ cos α＜ 1.

四、巩固新知

例 1. 如图 , 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C=90 °， AB=5,BC=3,

（ 1 ）求∠ A 的正弦、余弦和正切 .

（ 2 ）求∠ B 的正弦、余弦和正切 .

分析：由勾股定理求出 AC 的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。

提问：观察以上计算结果 , 你发现了什么 ?

明确： sinA=cosB ， cosA=sinB ， tanA · tanB=1

五、升华新知

例 2 . 如图 : 在 Rt △ ABC, ∠ B=90 ° ,AC=200,sinA=0.6 ，求 BC 的长 .

由例 2 启发学生解决情境创设中的问题。

六、课堂小结：谈谈今天的收获

1 、内容总结

（ 1 ）在 Rt Δ ABC 中 , 设∠ C=90 ° ，∠α为 Rt Δ ABC 的一个锐角，则

∠α的正弦，∠α的余弦，

∠α的正切

2 、方法归纳

在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解

四、布置作业

三角函数的教案14

教学目的：

知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.

2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.?

3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.

能力目标：

1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.

2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.?

3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.

授课类型：复习课

教学模式：讲练结合

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.

2.确定下列各式的符号

(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5

3. .x取什么值时, 有意义?

4．若三角形的两内角，满足sincs 0，则此三角形必为……（ ）

A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能

5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）

A：sin+cs 0 B：tansin 0

C：csct 0 D：ctcsc 0

6．已知是第三象限角且，问是第几象限角？

二、讲解新课：

1、求下列函数的定义域：

（1） ； （2）

2、已知 ，则为第几象限角？

3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(csθ)cs(sinθ)的符号；

（2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出 的取值范围.

4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是

证明：必要性：∵θ是第三象限角，?

∴

充分性：∵sinθ＜0，

∴θ是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上

∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?

∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?

∴θ为第三象限角.?

5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．

三、巩固与练习

1 求函数 的值域

2 设是第二象限的角，且 的范围.

四、小结：

五、课后作业：

1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的`取值范围：

(1) sinα

2、角α的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称 ，角β的终边上的点Q与A关于直线=x对称.求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值.

三角函数的教案15

知识目标：

1.理解锐角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的意义.

2.会由直角三角形的边长求锐角的正、余弦，正、余切函数值.

能力、情感目标：

1.经历由情境引出问题，探索掌握数学知识，再运用于实践过程，培养学生学数学、用数学的意识与能力。

2.体会数形结合的数学思想方法。

3.培养学生自主探索的精神，提高合作交流能力。

重点、难点：

1.直角三角形锐角三角函数的意义。

2.由直角三角形的边长求锐角三角函数值。

教学过程：

一、创设情境

前面我们利用相似和勾股定理解决一些实际问题中求一些线段的长度问题。但有些问题单靠相似与勾股定理是无法解决的。同学们放过风筝吗？你能测出风筝离地面的高度吗？

学生讨论、回答各种方法。教师加以评论。

总结：前面我们学习了勾股定理，对于以上的问题中，我们求的是BC的长，而的AB的长是可知的，只要知道AC的长就可要求BC了，但实际上要测量AC是很难的。因此，我们换个角度，如果可测量出风筝的线与地面的夹角，能不能解决这个问题呢？学了今天这节课的内容，我们就可以很好地解决这个问题了。

（由一个学生比较熟悉的事例入手，引起学生的`学习兴趣，调动起学生的学习热情。由此导入新课）

二、新课讲述：

在Rt△ABC中与Rt△A1B1C1中∠C=90°, C1=90°∠A=∠A1，∠A的对边、斜边分别是BC、AB，∠A1的对边、斜边分别是B1C1、A1B2 （学生探索，引导学生积极思考，利用相似发现比值相等）

（ ）

若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么

问题1：从以上的探索问题的过程，你发现了什么？（学生讨论）

结论：这说明在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么无论这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。

在一个直角三角形中，只要角的大小一定，它的对边与斜边的比值也就确定了，与这个角所在的三角形的大小无关，我们把这个比值叫做这个角的正弦，即∠A的正弦= ，记作sin A，也就是：sin A=

几个注意点：①sin A是整体符号，不能所把看成sinA；②在一个直角三角形中，∠A正弦值是固定的，与∠A的两边长短无关，当∠A发生变化时，正弦值也发生变化；③sin A表示用一个大写字母表示的一个角的正弦，对于用三个大写字母表示的角的正弦时，不能省略角的符号“∠”；例如表示“∠ABC”的正弦时，应该写成“sin∠ABC”；④ Sin A= 可看成一个等式。已知两个量可求第三个量，因此有以下变形：a=csinA,c=

由此我们又可以知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小保持不变时，这个锐角的邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值也是固定的．分别叫做余弦、正切、余切。

在Rt△ABC中

∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作

∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作

∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作

（以上可以由学生自行看书，教师简单讲述）

锐角三角函数：以上随着锐角A的角度变化，这些比值也随着发生变化。我们把sinA、csA、tanA、ctA统称为锐角∠A的三角函数．

问题2：观察以上函数的比值，你能从中发现什么结论？

结论：①、锐角三角函数值都是正实数；

②、0＜sinA＜1，0＜csA＜1；

③、tanActA=1。

三、实践应用

例1 求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．

解

问题3：以上例子中，若求sin B、tan B 呢？

问题4：已知：在直角三角形ABC中，∠C=90&rd;，sin A=4/5，BC=12，求：AB和cs A

（问题3、4从实例加深学生对锐角三角函数的理解，以此再加以突破难点）

四、交流反思

通过这节课的学习，我们理解了在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角三角函数，它反映的是两条线段的比值；它提示了三角形中的边角关系。

五、课外作业：

同步练习