三角函数图象变换教案

第一篇：三角函数图象变换教案

一、新课引入：

师：前面我们学习了正弦函数y=sinx的图象和性质，请同学说出它的定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间？

生：定义域：R，值域：[-1，1]，奇函数，单增区间：[]单减区间：[] 师：回答的很好，那么形如偶性、周期及单调区间又如何呢？

（一片茫然，没有学生回答）

函数的定义域、值域、奇师：大家别着急，今天我们就要来学习它们的图象和性质，并通过它们的图象和性质进一步来探究它们的图象与y=sinx图象会有什么样的关系．

二、动手实验：

下面请大家用图形计算器在同一坐标系分别输入以下几组三角函数的图象，并观察每一组图象的定义域、值域、周期、单调区间及其再观察每一组图象相互之间的关系、特点，然后进行小组讨论、交流．

第一组：

第二组：

第三组：

（教师巡视，同时指导学生注意输入中经常出现的几个问题：窗口调节、弧度与度的单位转换、及其如何利用在同一坐标系同时画图和利用功能键

进行追踪和如何利用其它键进行的放大等等．）

三、师生交流：

师：从下列第一组图1，你有什么体会？

图1 师：的定义域、值域、周期分别是多少？

生：的定义域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：应该与y=sinx的一样还是

师：不错，那么呢？

生：的定义域x∈R，值域：y∈［－，］，周期：

师：很好，那么它们三者之间的图象有什么关系呢？ 生：好象它们之间有一定的伸缩关系 师：能不能再说得具体一点吗？

生：伸缩倍数是不是与2和有关呢？

师：大家探究和分析的很好，是不是这样呢？不过别着急．下面请大家先看大屏幕几何画板的动画演示

（老师心喜：他们能够说出“伸缩”二字，而且发现与2和利用动画演示有助于验证他们的猜想）

有关，只是猜想不知是否正确，此时，图2 演示1：拖动点C,请大家观察图象上D、E的运动，在横坐标相同的条件下，纵坐标的变化，同时注意比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx）

图3 演示2：拖动点B，观察图象y=sinx与y=Asinx图象，当A发生变化时，点D、E的纵坐标的变化，同时注意比值的变化．（改变A的值，整体对比y=sinx与y=Asinx的关系）

进一步引导,观察,启发：

师：通过上述大家的实验、和我刚才的几何画板演示，你又有什么体会？ 生： 函数y=1/2sinx的图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)，函数y=2sinx图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的2倍而得(横坐标不变)师：太好了，回答完全正确．（演示进一步巩固了他们的猜想）教师总结：

一般地，y=Asinx，(x∈RA>0且A1)的图象可以看作把正弦曲线y=sinx上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 第二组：

师生交流：

师：和第一组一样，你们有什么体会？

图4 师：与的定义域、值域、周期分别是多少？

生：与的定义域：R,值域：[-1，1]，和y=sinx的都一样，周期是多少看不出来，反正它们的周期显然不一样．

（学生从图形计算器屏幕看到的的确如此，它们的周期明显不一样）师：是的，他们的图象差别太大，但是可以看出一个周期较小，一个较大．（教师想通过周期的不一样来突破周期变换）现在我给大家演示两个动画3．

图5 演示1：拖动点A（A、B,它们分别在各自的图象上）在纵坐标相同的条件下，观察A、B的横坐标的变化，以及的比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx的关系）

演示2：拖动点B, 改变W的值，再观察上述的变化．（改变W的值，进一步观察y=sinx与y=sinWx的图象关系）

(该环节的演示要慢，要让学生注意观察比值的不变特点)

图6 进一步引导, 观察启发: 师：通过上述你的实验、和几何画板的动画演示，你又有什么体会？

生：函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的 函数y＝sin原来的2倍(纵坐标不变)而得到，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到（的确难得，他们能发现影响周期的量是W了，这样也为下一节课周期的教学作好准备）师：大家已经能通过第一组的变换特点，类比的方式得到它们之间的关系，真的很不错．那么谁能把y=sinωx图象与y=sinx的图象作比较，说出它们之间的关系吗？

生：函数y=sinωx, x∈R(ω>0且ω1)的图象，可看作把y=sinx所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）

（鼓励学生用自己的语言来归纳，总结）师：有进步． 总结：

一般地，函数y=sinωx, x∈R(ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．我们把这种变换简称为周期（或者伸缩）变换．

第三组：

图7 师：它们的定义域、值域、周期分别是多少？以及它们的图象关系又有如何关系？ 生：定义域：x∈R，值域：y ∈［-1，1］，周期：，图象似乎与我们以前学过的具有平移关系．

（因为高一学习过一些简单的平移，学生对平移的说法可以很快的提出）

师：回答的十分正确．那么大家再用功能键点？

追踪，观察它们的平移的方向和平移的单位有什么特（由于学生的图形计算器的单位是幅度，追踪的结果是一个数，不会带有行换算，几分钟后）

师：请大家看我用几何画板的动画演示4． 演示1：拖动点C,观察变化．（观察平移的单位）的单位，让学生注意进演示2：拖动点B,改变B的值，观察平移的方向．（让学生去发现：从左边移动(B>0)，从右边移动（B<0）

图8 引导,观察,启发：

师：通过上述实验、和几何画板演示的结果你有什么体会？

生：函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.函数y＝sin(x－单位长度而得到)，x∈R的图象可看作把正弦曲线y=sinx上所有点向右平行移动个师：太棒了，回答的十分正确． 教师总结：

一般地，函数y＝sin(x＋＞0时)或向右(当)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，我们把这一变换称为平移变换

四、运用反思：

1、下列变换中，正确的是

A 将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象

B 将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象

C 将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到y＝sinx的图象

D 将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的＝sinx的图象

答案：A

倍，且变为相反数，即得到y（可以让学生使用机器来验证自己的回答是否正确，尤其是C和D的回答）

2．师：大家可以选择变换路径

（由于前面都是单一的变换，可以提示学生先选择变换路径）

生： 即把y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/2，然后把图象上的所有点向右移动个单位． 师：有不同意见吗？ 生：是的，基本就是这样．

师：从一定是向右平移个单位吗？

生：是啊

（全体学生感到纳闷，老师为什么这样问呢．）

师：好吧，请大家用计算器实验，看看他说的是否正确？ 生：我输入图象看，平移的数据似乎不对，到底是多少呢？

（由于学生的图形计算器的单位是幅度，追踪的结果是一个数，不会带有 的单位，可以让学生进行换算来回答，但是几何画板可以动态变化和计算）

师：请大家再看我的演示：拖动点A,观察点A、C横坐标的变化．（观察它们距离的单位刻度是多少．）

图9 生：我知道了，应该是向右平移，而不是 师：不错应该是应该是向右平移，这是我们经常会犯的错误，一般地，函数的平移是指变量的变化量，所以要把函数化为从中可以看出，所以应该是向右平移

（这时学生在做次类题目，经常容易犯的错误，应引起足够的重视）

五、小结与思考：

今天我们学习了三种三角函数：形如图象是由y=sinx的图象怎么变换得到，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换．

思考：

上述三种三角变换适应于三角函数的图象外，是否也适应于一般函数的图象的变换吗？请同学们下去通过今天学习的方法用图形计算器探索、思考下列几组函数图象的关系

1、与2、3、（让学生下去动手实践，、探索和验证，也为后期函数图象变换的学习作准备）

六、作业：

七、教学反思：

1、本节课是以学生探索为主，教师点拨、启发、引导和利用几何画板的演示为辅．通过TI-92PLS图形计算器进行教学学习和探究活动，获得TI计算器正弦波函数性质等数学问题的体验；认识现代信息技术对学习数学知识和探究数学问题的价值．借助已知知识提出问题，体现教师为主导，学生为主体的原则，整个教学过程为：提出问题

探索

解决问题

运用反思

提高．

2、以前该部分内容的教学通常是通过取值、列表、描点、画图然后静态的让学生观察、总结，最后得出它们之间图象变化的特点，如下图所示．

（振幅变换）

（周期变换）

（平移变换）

不仅教学内容少，而且课时需要多（以前至少需要2课时）、课堂气氛枯燥、学生参与的活动少、学习的积极性较低．通过信息技术的使用，改变常规教学中处理方式，利用图形计算器让学生实验、观察、体会和交流，然后再通过几何画板的辅助教学演示，使得振幅变换、伸缩变换、平移变换变得形象、直观，学生易于理解和掌握，不仅一节课完成了三种变换而且学生的兴趣浓厚、参与活动多、课堂气氛活跃，使课堂教学落到了实处，主体作用得到了真正的体现，综合能力和素质也得到了培养，这充分体现了信息技术具有的优势．

3、但值得商榷的是：原来教学的“五点作图法”绘制函数图象，再讨论参数所起的作用，这里用技术马上就画出函数图象，并观察规律得出结论，所以“五点作图法”在技术面前如何处理会更好．

第二篇：三角函数变换公式

两角和公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ –cosαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cot(α+β)=(cotαcotβ-1)/(cotβ+cotα)cot(α-β)=(cotαcotβ+1)/(cotβ-cotα)和差化积

sinα+sinβ= 2sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]tanα+tanβ=sin(α+β)/cosαcosβ

=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tanα-tanβ=sin(α-β)/cosαcosβ

=tan(α-β)/(1+tanαtanβ)

积化和差

sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 锐角三角函数公式

正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 同角三角函数的基本关系

tanα= sinα/ cosα ；cotα= cosα/ sinα；secα＝1 /cosα ；cscα＝1/ sinα； 倒数关系:

tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：

sin2(α)＋cos2(α)＝11＋tan2(α)＝sec2(α)1＋cot2(α)＝csc2(α)二倍角公式：

正弦sin2α=2sinαcosα

余弦cos2a=cos2(a)-sin2(a)=2Cos2(a)-1

=1-2Sin2(a)

正切tan2α=（2tanα）/（1-tan2(α)）

半角公式

tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)cot(α/2)=sinα/(1-cosα)=(1+cosα)/sinα.sin2(α/2)=(1-cos(α))/2cos2(α/2)=(1+cos(α))/2诱导公式

sin(-α)=-sinαcos(-α)= cosαtan(-α)=-tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαsin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)= sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]

cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]三倍角公式

sin3θ= 3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ sin3θ=(3sinθ-sin3θ)/4 cos3θ=(3cosθ+cos3θ)/4 一个特殊公式（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=sin（α+β）*sin（α-β）证明：（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2] *2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]=sin（α+β）*sin（α-β）其它公式

(1)(sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²(3)1+(cotα)²=(cscα)²

(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)cos²A+cos²B+cos²C=1-2cosAcosBcosC(8)sin²A+sin²B+sin²C=2+2cosAcosBcosC

第三篇：高考数学难点归纳15 三角函数的图象和性质教案

高考网 http://www.xiexiebang.com/

难点15 三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.●难点磁场

(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－＜2对一切非零实数都成立.●案例探究

［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.解法一：∵z1=2z2，m2cos∴m+(2－m)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴ 22m22sin

22)＞0,试证不等式f(x)=(cossin)(xcossin)x∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－当sinθ=1414)2－

98.时λ取最小值－

98，当sinθ=－1时，λ取最大值2.m2cos解法二：∵z1=2z2

∴ 22m22sinmcos2∴, 2sin2m22∴m42(2m2)422=1.∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4，0344022令f(t)=t－(3－4λ)t+4λ－8λ,则或f(0)·f(4)≤0 2f(0)0f(4)0京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网 http://www.xiexiebang.com/ ∴549834或02 2或0∴－98≤λ≤0或0≤λ≤2.98∴λ的取值范围是［－，2］.［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：

SLcosv0tcos12 hLsinv04singt2① ②

Lsint12gt.由①②整理得：v0cosθ=14Lcost,v0sin14Lt2∴v0+gLsinα=2gt+22

Lt22≥2gt222=gL

12运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh=

v02mv02, ∴v0=2gh,∴L≤2g(1sin)1422ghg(1sin)2=200(m)即Lmax=200(m),又gt=

Sht2Lt22.∴t2Lg,SLcosv0tcos2gh2Lgcos

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30°.［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差.京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网 http://www.xiexiebang.com/(2)写出这段曲线的函数解析式.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；

(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.∴

1112=14－6,解得ω=,由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时2228y=10sin(348x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=

34π.综上所求的解析式为y=10sin（8x+ π)+20,x∈［6,14］.●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)函数y=－x·cosx的部分图象是（）

2.(★★★★)函数f(x)=cos2x+sin(A.非奇非偶函数

2+x)是（）

B.仅有最小值的奇函数

京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网 http://www.xiexiebang.com/ C.仅有最大值的偶函数

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)=（1D.既有最大值又有最小值的偶函数)｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－范围是_________.］上单调递增，则ω的取值,，3

4三、解答题

5.(★★★★)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.(1)求证：b+c=－1；(2)求证c≥3；

(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值.6.(★★★★★)用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7.(★★★★★)有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8.(★★★★)设－6≤x≤

4，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.589.(★★★★★)是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+

a－

32在闭区间［0，2］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.参考答案

难点磁场

证明：若x＞0，则α+β＞∴0＜sin(cosαsin22∵α、β为锐角，∴0＜

2－α＜β＜

2;0＜

2－β＜

2,2－α)＜sinβ.0＜sin(cossin－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜

2＜1,0＜＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜2,∵α、β为锐角，0＜β＜α,0＜sinα＜sin(2－α＜

2,0＜α＜

2－β＜

cossin2,0＜sinβ＜sin（cossin2－α),∴sinβ＜cos－β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, ∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.歼灭难点训练

一、1.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, y＜0.答案：D 2.解析：f(x)=cos2x+sin（2

22)时，+x)=2cosx－1+cosx

京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网 http://www.xiexiebang.com/ =2［(cosx+答案：D 122)218］－1.二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－4.解：由－222,0］及［

2,π］.而,0］及［

2,π］为f(x)的递减区间.2≤ωx≤

2，得f(x)的递增区间为［－,2］，由题设得

3323[,][,], 解得:,0.3422222

4三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.从而知f(1)=0∴b+c+1=0.(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－

1c21c2)2+c－(())，2当sinα=－1时，［f(sinα)］max=8,由1bc81bc0解得b=－4,c=3.6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤

a22(1cos)absin2(当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V1=（12xysinα)b=

144(1cos)14abcos22.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V2=∵a＞b,∴V1＞V2

ab2cos

2, 从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为14abcos2

2.7.解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则

京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网 http://www.xiexiebang.com/ ∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，PQsin(45)Rsin135，∴PQ=2Rsin(45°－θ).S矩形MNPQ=QP·NP=2R2sinθsin(45°－θ)=θ－45°)－2222R2·［cos(2］≤212212R，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ的值

2最大且最大值为R2.工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为8.解：∵在［－

212R2.,］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函数可化为y= 6464log2(1－sin2x)=log2cos2x，又cosx＞0在［－,x∈［ －2≤cosx≤1.,］上，264］上恒成立，∴原函数即是y=2log2cosx,在∴log2ymin=－1.22≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－

,］上，ymax=0, 649.解:y1cosxacosx当0x若a22时,0cosx1.258a32(cosxa2)2a2458a12.1时,即a2,则当cosx1时,ymaxa2013a2322(舍去),a258a321a若0a若a2

时,ymaxa21,即0a2,则当cosx或a40(舍去).458a1210,即a0,则当cosx0时,ymax58a121a125(舍去).综合上述知，存在a32符合题设.京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高考网 http://www.xiexiebang.com/

京翰教育http://www.xiexiebang.com/

第四篇：三角函数·正弦函数、余弦函数的图象·教案解读

三角函数·正弦函数、余弦函数的图象·教案

教学目标

1．掌握正弦函数、余弦函数图象的画法．

2．通过学习正弦函数、余弦函数图象的画法培养学生分析问题、解决问题的能力．

教学重点与难点

五点法画正弦函数的图象． 教学过程设计

一、复习准备

为了学习正弦函数、余弦函数图象的画法，首先复习以前所学的相关知识．1．复习学过的函数．

（1）一次函数y=kx+b（k≠0）．它的图象为直线，如图1．

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）．它的图象是抛物线．如图2．

（3）幂函数y=xα，α≠0，其图象为下表．

（4）指数函数y=ax（a＞0且a≠1），其图象如图3．

（5）对数函数y=logax（a＞0且a≠1），其图象如图4．

2．复习图象变换知识．（1）平移变换

（2）对称变换

3．复习相关的诱导公式．

sin（α+2π）=sinα，cos（α+2π）=cosα

sin（x+π）=-sin x cos（x+π）=-cos x 以上基础知识的复习为下面的新课教学做好了准备工作．

二、新课讲授

1．正弦函数图象的画法．

（1）（板书）画出y=sinx，x∈［0，2π］的图象．

师：画函数图象的步骤是：第一步列表；第二步，根据表中每组x，y的取值逐一在直角坐标系下找到相应的点；第三步，用平滑曲线将所描各点连接．

此题函数定义域为［0，2π］，所以表中自变量x可选择此范围

成列表．

（在完成此表时，当x∈［π，2π）时，也可使用诱导公式sin（π+α）=-sinα来计算．）

根据此表在直角坐标系下描出相应的点．再用平滑曲线连接．如图5．

在这里应该提醒学生注意以下两点：

（i）在建立直角坐标系时，x轴的刻度应以π为单位长取值，而y

由此可见，这种描点法是对函数值取近似值后画的函数图象，不是准确图象．这种画法也叫代数描点法．

（2）（板书）画出y=sinx的图象． 请学生比较（1）与（2）两个小题：

生：这两个题的定义域不同．第（1）题定义域为［0，2π］，第（2）题的定义域为R．

师：这一点非常重要，在函数三要素（即定义域，对应法则，值域）中，定义域是基础，是函数的决定因素之一．定义域不同，函数不同，函数图象也不同．但有区别也有联系．这种联系对函数图象的画法有什么影响呢？

学生：［0，2π］是R的真子集．所以第（2）题当x∈［0，2π］时的函数图象就是第一题的结果．所以面临的新问题实质上只需考虑x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）时的函数图象即可．

师：对x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）的函数图象的思考可以分为x∈（2π，+∝）和x∈（-∝，0）两部分．因为sin（x+2π）=sinx，所以x∈（2π，+∝）时，sinx=sin（x-2π），即y=sinx，x∈［2π，4π］的图象是把y=sinx，x∈［0，2π］的图象右移2π个单位长，y=sinx，x∈［4π，6π］的图象是y=sinx，x∈［2π，4π］右移2π个单位长的结果……依此类推下去，就可得到y=sinx（x≥0）时的函数图象．下面只需考虑x＜0时y=sinx的图象．（请学生思考．）生：由于sin（-x）=-sinx，所以x≤0时，y=sinx的图象是y=sinx（x≥0）的图象关于原点中心对称的结果，它的理论根据是函数y=f（x）与y=-f（-x）之间图象变换的特点．

师：这样我们就得到了y=sinx，x∈R时的完整的图象．（板书）

由此可见，画出y=sinx的图象关键是首先要画出y=sinx在［0，2π］内的图象．而y=sinx在［0，2π］的图象有这样五个点很重要：

分别是函数图象的最高、最低点．所以这五个点是确定y=sinx图象的基本点．

因此，代数描点法也可简称为“五点法”，以后再画y=sinx图象时，就可直接使用五点法了．

（板书）

（“五点法”作图往往是在精度要求不太高时的作函数简图的方法．）下面再学习一种函数图象的画法——几何描点法． 请学生阅读课本P167，从第7行开始，边阅读边讲解．

师：几何描点法是利用单位圆中的三角函数线来作图．先建立一个直角坐标系，在x负半轴上取一点O1，以O1为心

每取到一个角的终边位置都将正弦线平移至右侧坐标系的相应位置后，就可得到正弦函数图象上的点．（如图8）

用平滑曲线将各正弦线的端点连结．便可得正弦函数图象．（如图9）

师：比较代数描点法与几何描点法的区别在于：代数描点法所取的各点的纵坐标都是近似值，不能描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确；而几何描点法作图准确，但真正画图却较难实现．

2．余弦函数图象的画法．

师：正弦函数图象是我们遇到的第一个三角函数图象．所以对它的画法的研究需从最基本的描点法开始．而余弦函数图象是继正弦函数图象之后的第二个函数图象，对它的画法的研究可以借鉴正弦函数图象的画法．

方法1：代数描点法．（可由学生完成）

列表后描点，用平滑曲线相连得到y=cosx，x∈［0，2π］的图象．

再根据cosx=cos（x-2π），cos（-x）=cosx可得到完整的y=cosx的图象． 当精确度要求不很高时，也可用“五点法”画出y=cosx的简图．五

π，1），其中（0，1），（2π，1）为最高点，（π，-1）为最

方法2：几何描点法．基本思路同正弦函数图象． 方法3：平移变换法．

其中方法3表明了正弦函数与余弦函数图象之间的关系． 3．课堂练习． 画出下列函数的图象．（1）y=2sinx（3）y=sinx+1 解答过程如下：

（1）y=2sinx．先用“五点法”画出y=sinx图象，再纵向伸至2倍．（2）y=-cos是把y=cosx图象作关于x轴的对称变换．（3）y=sinx+1的图象可将y=sinx图象向上平移1个单位．

（2）y=-cosx

（4）y=sinx+cosx，x∈［0，2π］

师：此题y=sinx+cosx是否还有其它作法？

4．课堂小结．

这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得出．

这节课讲授的“五点法”是比较常用的方法，应重点掌握．

通过学习正弦函数、余弦函数图象的画法，学生应学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，才能提高分析问题、解决问题的能力．

作业：课本P169练习．P177练习第1～7题． 课堂教学设计说明

这节课的教学设计可概括为： 1．复习相关知识．（1）以前学过的函数；（2）图象变换知识；（3）诱导公式． 2．新课．

（1）正弦函数图象（代数描点法、几何描点法）；（2）余弦函数图象（代数描点法、几何描点法、平移交换法）．

重点突出“五点法”． 3．小结．

这节课涉及到过去所学的知识较多，可利用这个机会对它们加以巩固复习．也可采用启发式教学，引导学生思考要解决的正弦函数图象的画法．先回顾我们以前所学到函数图象是如何得到的，引出描点法，而正弦函数是建立在角到角的正弦值之间的对应关系上，所以要解决y=sinx，x∈R时的图象可先从y=sinx，x∈［0，2π］的图象研究起，即遵从从特殊到一般的认识规律，由y=sinx，x∈［0，2π］的图象，再根据sin（x+2π）=sinx得到y=sinx（x≥0）时的图象，体现了知识间的联系．而后得到的y=sinx，x∈R图象，是借用对称变换的知识．使学生看到一个新问题的解决并不是深不可测，关键在于我们能否较好地恰当地调动学过的旧知识．这种对知识的调动、迁移能力是需要学生在学习的过程中不断领悟、不断实践、不断提高的．在调动、迁移的过程中需要学生分析新旧知识的联系，利用旧知识解决新问题．

而余弦函数图象的画法的解决可以以y=sinx的图象为起点，利用

得到．这是利用旧知识解决新问题的又一很好的例证．

另外，这节课讲述了代数描点法，几何描点，它们都是通过描点得到函数图象．但又有所区别，这点应让学生给予注意．在解决数学问题时，既要有代数思想又要有几何思想，这种意识应在教学过程中加以培养．

本节课讲授了两个三角函数图象的画法．这两个图象不妨可以按如下方法加以比较：

同一个内容采用不同的方法加以比较，从不同角度去认识，一定可以帮助学生加深对知识的认识程度，培养灵活的思维方式．

本节课最后出了四个练习题，都是正弦函数、余弦函数图象与图象变换知识的综合题．既是为了巩固本节课的知识，使学生能较熟练地画出y=sinx，y=cosx图象，强化了“五点法”画图，又为后续课程讲正弦型曲线打下了基础．从开始画y=sinx，x∈［0，2π］的图象，到画出y=sinx，x∈R图象，再到这四个练习题，体现了从特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．在这种螺旋式上升的过程中，学生不仅学到了本节课的知识，而且还提高了思维水平和认知能力．

这节课图形多，涉及的知识点多，尤其在复习时，学生对一次函数、二次函数掌握得较熟练，对指数函数．对数函数和幂函数可能记忆得不很准确，既然遇到了还是应该帮学生复习一下．为了节省时间，可课前写成投影片的形式． 对于函数图象的几何描点法，学生能理解，可不必在此耽误时间．“五点法”应是重点掌握的．

对于余弦函数图象的画法，基础好的学生可以直接用“五点法”画出y=cosx，x∈［0，2π］的图象，再利用cosx=cos（x-2π）和cosx=cos（-x）的性质得到出y=cosx，x∈R的图象．对于基础较差的学生最好是从基本的列表描点开始慢慢来，不要急于求成．

这节课所画的图象很多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确找到，然后迅速画出图象．

最后，应向学生介绍今后在物理课上还要学习正弦函数、余弦函数图象的应用．提醒学生注意各学科相关知识间的联系．

第五篇：三角函数图像变换听课感受（范文模版）

听了罗强老师关于《正弦函数的图像变换》一课的说课，让我受益匪浅，整节课听下来总体感觉是罗强老师这节课能根据教材的内容、课标的要求和学生的学情了解透彻，对课堂教学设计的也很好，体现了教育教学改革的新理念。三角函数在中学数学所占的分量是很重的，学好这部分内容对学生来说相当重要。罗强老师充分结合了人教版与苏教版的长处，合理安排课程内容，结构严谨，重难点突出，特别注重启发引导，突出学生的主体性地位，引导学生进行主动探究，并针对学生在学习过程中可能出现的问题，还有课堂上时间限制等问题给出了理想的处理方案。具体来说，罗强老师的课有如下特点：

1.教学定位非常准，罗强老师对课标的解读、教材的分析有自己独到的见解，教学设计中教学目标、教学重难点把握到位，把握住参数φ、ω、A变化时对函数图象形状和位置的影响这一既是重点又是难点的内容，特别是变φ与变ω顺序不同是所引起的平移量的不同的处理思想，引导学生进行自主探究，通过“五点法作图”这一基础深入理解参数φ、ω、A变化时对函数图象形状和位置的影响，抓住教学的关键点，有效的突出了教学重点、突破了教学难点。

2.课堂利用的有效性，由于课堂学生的探究需要作图，罗强老师在课前便准备好了相应的纸质卡发放给学生，这不仅可以让学生更好的利用课堂时间自主探究，更节约课堂时间。

3.课堂驾驭能力强徐老师上课教态自然，语言语调好，板书清楚有条理，个人基本功非常扎实，能与学生进行有效沟通，而且舍得把时间给学生去板演作图、去交流思考思路、去讲解解决问题过程，善于启发调动学生学习的主动性，有较强的驾驭课堂的能力。这节课也让我感受到徐老师一贯的教学风格，每一个探究问题呈现出来之后都让学生经历观察、思考、交流、探讨的过程，最后教师点评，及时简单中肯定的评价，给予了学生莫大的鼓励，较好的发挥了教师的主导作用。让我特别敬佩的是徐老师敢于让学生犯错，让学生经历独立思考、自主探究的过程，然后通过对学生错误的分析引导学生走出理解误区，从而实现教学目标的达成。在这里我还想顺便提一下，徐老师的敬业精神。作为我的指导老师，徐老师对我如何分析教材、如何备课、上课，如何带班等教育教学工作的指导让我的教学基本功有了很大的提升，更让我受益的是徐老师严谨的治学态度、勤勉的工作态度对我的激励和影响。