第一篇:初三数学三角函数教案及练习解读
中考数学 锐角三角函数 专题复习
1、锐角三角函数
锐角角A 的正弦(sin ,余弦(cos 和正切(tan 都叫做角A 的锐角三角函数。正弦(sin 等于对边比斜边,余弦(cos 等于邻边比斜边;正切(tan 等于对边比邻边;互余角的三角函数间的关系:sin(90°-α=cos α, cos(90°-α=sinα, tan(90°-α=cotα, cot(90°-α=tanα.同角三角函数间的关系:tan α=sinα/cosα ,sin 2α+cos 2α=1
解直角三角形
勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理” a^2+b^2=c^2, 其中a 和b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如:3,4,5。他们分别是3,4和5的倍数。常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;等等.直角三角形的特征
⑴直角三角形两个锐角互余;⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半;
⑷勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即: 在Rt △ABC 中,若∠C =90°,则a 2+b 2=c 2;⑸勾股定理的逆定理:如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,则这个三角形是直角三角形,即:在△ABC 中,若a 2+b 2=c 2,则∠C =90°;⑹射影定理:AC 2=AD AB ,BC 2=BD AB ,CD 2=DA DB.锐角三角函数的定义:
如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°, ∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a,b,c , 则sinA =a c ,cosA =b c ,tanA =a b , 解直角三角形(Rt △ABC ,∠C =90° ⑴三边之间的关系:a 2+b 2=c 2.⑵两锐角之间的关系:∠A +∠B =90°..⑶边角之间的关系:sinA = A a c ∠的对边 =斜边 ,cosA = A b c ∠的邻边 = 斜边.tanA = A a A b ∠∠的对边= 的邻边 ,cotA = A b A a ∠∠的邻边= 的对边.⑷解直角三角形中常见类型: ①已知一边一锐角.②已知两边.③解直角三角形的应用.三角函数练习
1、在Rt △ABC 中,∠C =900,若4 3tan =A ,则sinA =(A、3 4 B、4 3 C、3 5 D、5 3
2、已知cos α<0.5,那么锐角α的取值范围是(A、600<α<900 B、00<α<600 C、300<α<900
D、00<α<300
3、若110tan(30=+α,则锐角α的度数是(A、200 B、300 C、400 D、500
4、在Rt △ABC 中,∠C =900,3 1tan = A ,AC =6,则BC 的长为(A、6 B、5 C、4 D、2
5、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米,则他上升的最大高度为(A、β
sin 100米 B、βsin 100米 C、β
cos 100米 D、βcos 100米
6.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE 为5m ,AB 为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离,那么这棵树高是(A.(32 +m B.(32 m C.3 m D.4m
B '
A '
O B A
(第6题(第7题(第8题
7、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米,梯子的顶端B 到地面的距离为7米。现将梯子的底端A 向外移动到A ',使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米,同时梯子的顶端B 下降到B ',那么B B '(A、等于1米 B、大于1米 C、小于1米
D、不能确定
8、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90o ,AC =6,D 是AC 上一点,若tan ∠DBA = 5 1,则AD 的长为(A、2 B、3 C、2 D、1 9.如图,矩形ABCD 中,AB >AD ,AB =a ,AN平分∠DAB ,DM ⊥AN 于点M ,CN ⊥AN 于点N.则DM +CN 的值为(用含a 的代数式表示(A.a B.a 54 C.a 2 D.a 2 3(第10题(第11题
10.如图,△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上,则A ∠tan 的值是(A.5 6 B.6 5 C.3 102 D.10 103 D 11.河堤横断面如图所示,堤高BC =5米,迎水坡AB 的坡比1 BC 与水平宽度AC 之比,则AC 的长是
12.如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,M、N 两点关于对角线AC 对称,若DM =1,则tan ∠ADN =.60° 30° D C B A(第13题(第14题 13.如图,1∠的正切值等于。14.如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =30°,∠C =60°,AD =4,AB
=,则下底BC 的长为 __________.15.如图,在正方形ABCD 中,O 是CD 边上一点,以O 为圆心,OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心,BC 为半径的扇形的弧外切,则∠OBC 的正弦值为.(第17题
16.如图,已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α=.17.海中有一个小岛P ,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上,航行12海里到达B 点,这时测得小岛P 在北偏东45°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由.18.如图,某飞机于空中探测某座山的高度,此时飞机的飞行高度是AF =37千米,从飞机上观测山顶目标C 的俯角是30°,飞机继续以相同的高度飞行30千米到B 处,此时观测目标C 的俯角是60°,求此山的高度CD。(精确到1千米
(参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732
23.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=60°,坡长AB=203m,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F=45 ,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据:2≈1.414, ≈1.732 A B C D α(第16题 1 l 3l 2 l 4 l 第15题 A B C D O A(第12题 B D M N
C · · 作业
1、已知,在Rt △ABC 中,∠C =900,2 5tan = B ,那么cosA(A、2 5 B、35 C、5 52 D、3 2
2、在△ABC 中,∠C =900,AC =BC =1,则tanA 的值是(A、2 B、2 2 C、1 D、1
3、在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高线,已知∠ACD 的正弦值是32,则AB AC 的值是(A、5 2 B、5 3 C、2 5 D、3 2
4、王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地((A 350m(B 100 m(C 150m(D 3100m 5.如图,在梯形ABCD 中,︒=∠=∠90B A ,=AB 25,点E 在AB 上, ︒=∠45AED ,6=DE ,7=CE.求:AE 的长及BCE ∠sin 的值.6.如图,四边形ABCD 是平行四边形,以AB 为直径的⊙O 经过点D ,E 是⊙O 一点,且∠AED=45(1试判断CD 与⊙的位置关系,并说明理由;(2若⊙O 的半径为3cm ,AE=5cm ,求∠ADE 的正弦值。
7.如图,某堤坝的横截面是梯形ABCD ,背水坡AD 的坡度i(即tan 为1︰1.2,坝高为5米。现为了提高堤坝的防洪抗洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD 加宽1米,形成新的背水坡EF ,其坡度为1︰1.4。已知堤坝总长度为4000米。(1求完成该工程需要多少土方?(2该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成,按原计划需要20天。准备开工前接到上级通知,汛期可能提前,要求两个工程队提高工作效率。甲队工作效率提高30%,乙队工作效率提高40%,结果提前5天完成。问这两个工程队原计划每天各完成多少土方? 8.某过街天桥的截面图为梯形,如图7所示,其中天桥斜面CD 的坡度为3:1(3:1==i i 是指铅直高度DE 与水平宽
度CE 的比,CD 的长为10m ,天桥另一斜面AB 的坡角 45=∠ABC(1写出过街天桥斜面AB 的坡度;(2求DE 的长;(3若决定对该过街天桥进行改建,使AB 斜面的坡度变缓,将其45°坡角改为 30°,方便过路群众,改建后斜面为AF ,试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到0.01 α
第二篇:初三下学期锐角三角函数知识点总结解读
初三下学期锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理:直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。
2、如下图,在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角,则∠ A 的锐角三角函数为(∠ A 可换成∠ B :
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦
值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切 值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要 A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得 由 B A 对 边 邻边 C A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得 由 B A
6、正弦、余弦的增减性: 当 0°≤ α≤ 90°时, sin α随 α的增大而增大, cos α随 α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性: 当
0°<α<90°时, tan α随 α的增大而增大, cot α随 α的增大
而减小。
1.若α为锐角,则 0__sin α__1;0__cos α__1.2.已知 cosA=23 ,且∠ B=900-∠ A ,则 sinB=__ 3.计算: 2sin450-21 cos600= __ 4.计算: 2sin450-3tan600= __ 5.计算:(sin300+tan450 ·cos600= __ 6.若 0<α<900, sin α=cos600,则 tan α= __ 7.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, ∠ A=300,则 sinA+sinB=(A.1;B.23 1+;C.22 1+;D.41 8.已知 sinA=21(∠ A 为锐角 ,则∠ A=_________, cosA___, tanA=__________.9.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, AC=4, BC=3,则 sinA=(A.43;
B.34;C.53;D.54.10.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, sinA=22 ,则 cosB 的值是(A.21;B.2;C.1;D.22 11.当锐角 A>450时, sinA 的值(A.小于 22;B.大于 22;C.小于 2 D.大于 23 12.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ,圆心距为 6cm ,则这两圆 的位置关系是(A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 13.⊙ O 的半径为 5,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,则直线 l 与⊙ O 的位置关系是(A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确 定
14.在平面直角坐标系中,以点(2, 3为圆心, 2为半径的圆 必定(A.与 x 轴相离、与 y 轴相切 B.与 x 轴、y 轴都相离 C.与 x 轴相切、与 y 轴相离 D.与 x 轴、y 轴都相切 15.一条弧所对的圆心角是 90 ,半径是 R ,则这条弧的长是.16.若弧 AB 的长为所对的圆的直径长, 则弧 AB 所对的圆周角的 度数为 17.扇形的周长为 16,圆心角为 360 ,则扇形的面积是(A.16 B.32 C.64 D.16π
18.一个扇形的半径等于一个圆的半径的 2倍, 且面积相等.求 这个扇形的圆心角.19.半径为 6cm 的圆中, 60 的圆周角所对的弧的弧长为.20.半径为 9cm 的圆中, 长为 12cm π的一条弧所对的圆心角的度 数为.21.如图, A 是⊙ O 外一点, B 是⊙ O 上一点, AO• 的延长线交⊙ O 于点 C ,连结 BC ,∠ C =22.5°,∠ A=45°。求证:直线 AB 是⊙ O 的切线。
22.已知 AB 是⊙ O 的直径, BC 是⊙ O 的切线,切点为 B , OC平行于弦 AD.求证:DC 是⊙ O 的切线
第三篇:数学三角函数
1.(2010·天津高考理科·T7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2b2,sinCB,则A=()
(A)300(B)600(C)1200(D)1500
2.(2010·北京高考文科·T7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为的四个等腰三角形,及其底边构
方形所组成,该八边形的面积为()
(A)2sin2cos2;
(B)sin
3(C)3sin
1(D)2sincos1
3.(2010·湖南高考理科·T4)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120
°,c,则()
A、a>bB、a 4.(2010·北京高考理科·T10)在△ABC中,若b = 1,C则a=。 5.(2010·广东高考理科·T11)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若 则sinC=.6.(2010·山东高考理科·T15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,2,3成的正c,若ab 2,sinBcosBA的大小为. 7.(2010·江苏高考·T13)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b aatanCtanC的值是_________。6cosC,则btanAtanB 8.(2010·辽宁高考文科·T17)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小; (Ⅱ)若sinB +sinC=1,试判断△ABC的形状.9.(2010·浙江高考文科·T18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S (Ⅰ)求角C的大小; 2(ab2c2)。 4(Ⅱ)求sinAsinB的最大值。 10.(2010·辽宁高考理科·T17)在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.(Ⅰ)求A的大小; (Ⅱ)求sinBsinC的最大值.11.(2010·浙江高考理科·T18)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,1已知cos2C 4(I)求sinC的值; (Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长. 一、选择题 1.(2011·浙江高考文科·T5)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosAbsinB,则sinAcosAcos2B(A)-11(B)(C)-1(D)1 222.(2011·安徽高考理科·T14)已知ABC 的一个内角为120o,并且三边长 构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为_______________ 3.(2011·福建卷理科·T14)如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=D 在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于______.4.(2011·福建卷文科·T14)若△ABC的面积为,BC=2,C=60,则边AB的长度等于_____________.5.(2011·新课标全国高考理科·T16)在V ABC中,B60,ACAB2BC的最大值为6.(2011·新课标全国文科·T15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ ABC的面积为_________ 7.(2011·北京高考理科·T9)在ABC中,若b5,B sinA;a4,tanA2,则 8.(2011·北京高考文科·T9)在ABC中,若b5,B1,sinA,则43a9.(2011·安徽高考文科·T16)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,,12cos(BC)0,求边BC上的高 10.(2011·辽宁高考文科·T17)(本小题满分12分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,asinAsinBbcos2A2a. (I)求b;(II)若c2=b 2a2,求B. a cosA-2cosC2c-a.=cosBb11.(2011·山东高考理科·T17)(本小题满分12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 (Ⅰ)求sinC1的值;(Ⅱ)若cosB=,b=2, 求△ABC的面积S.sinA 4cosA-2cosC2c-a.=cosBb12.(2011·山东高考文科·T17)(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 sinC的值; sinA 1(Ⅱ)若cosB=,ABC的周长为5,求b的长.4(Ⅰ)求 13.(2011·湖南高考理科·T17)(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.(1)求角C的大小; (2)求sinAcos(B 4)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.14.(2011·陕西高考理科·T18)(本小题满分12分) 叙述并证明余弦定理. 【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导,这是高考考查的常规方向和考点,引导考生回归课本,重视基础知识学习和巩固. 15.(2011·天津高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)cos(2A)的值 4 16.(2011·浙江高考理科·T18)(本题满分14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.1已知sinAsinCpsinBpR,且acb2.4 5(Ⅰ)当p,b1时,求a,c的值; 4 (Ⅱ)若角B为锐角,求p的取值范围; 课 题:三角函数的诱导公式 (一)教 者:王永涛(宁县四中) 教学目标:1.知识与技能:借助单位圆,推导出诱导公式,能正确运用诱导公式 将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,掌握有关三角函数求值问 题。 2.过程与方法:经历诱导公式的探索过程,体验未知到已知、复杂到 简单的转化过程,培养化归思想。 3.情感、态度与价值观:感受数学探索的成功感,激发学习数学的热 情,培养学习数学的兴趣,增强学习数学的信心。 重 点:诱导公式二、三、四的探究,运用诱导公式进行简单三角函数式的求 值,提高对数学内部联系的认识。 难 点:发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系;诱导公式的合理运 用。 教学方法:合作探究式 教学手段:多媒体 教学过程: 一、前置检测 1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的? 2.2kπ+α(k∈Z)与α的三角函数之间的关系是什么? 3.你能求sin750°和sin930°的值吗? 二、精讲点拨 知识探究 (一):π+α的诱导公式(师生共同探究)。 思考1:210°角与30°角有何内在联系?240°角与60°角呢? 思考2:若α为锐角,则(180°,270°)范围内的角可以怎样表示? 思考3:对于任意给定的一个角α,角π+α的终边与角α的终边有什么关系? 思考4:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则角π+α的终边与单位圆的交点坐标如何? 思考5:根据三角函数定义,sin(π+α)、cos(π+α)、tan(π+α)的值分别是什么? 思考6:对比sinα,cosα,tanα的值,π+α的三角函数与α的三角函数有什么关系? 公式二 :sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα。 知识探究 (二)(三):-α,π-α的诱导公式(学生自主合作探究)。 引导学生回顾刚才探索公式二的过程,明确研究三角函数诱导公式的路线图:角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。为学生指明探索公式三、四的方向。 学生小组自主合作探究,然后让小组学生代表阐述探究的过程和结果。根据三角函数定义,得出-α的三角函数与α的三角函数的关系及π-α的三角函数与α的三角函数的关系。 公式三:sin(-α)= -sinα、公式四:sin(π-α)=sinα,cos(-α)=cosα、cos(π-α)=--cosα,tan(-α)=-tanα。 tan(π-α)=-tanα。思考1:利用π-α=π+(-α),结合公式二、三,你能得到什么结论? sin(π-α)= sin[π+(-α)] = -sin(-α)=sinα cos(π-α)= cos[π+(-α)]= -cos(-α)=-cosα tan(π-α)= tan[π+(-α)] = tan(-α)=-tanα 思考2:公式一~四都叫做诱导公式,他们分别反映了2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数与α的三角函数之间的关系,你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗? 2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。即“函数名不变,符号看象限”。 例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°; (2)sin660°; (3)tan(); (4)cos(-2040°)。3[变式训练] 将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:(1)cos_______;9 (3)sin()_______;5例2 化简 (2)sin(1)_______;(4)cos(706')_______.cos1(80)sin(360)sin(180)cos(180) [变式训练] 化简: cos190sin(210)cos(350)tan58 5三、当堂检测 1.利用公式求下列三角函数值 7(2)sin(); (1)cos(420);6 79(3)sin(330);(4)cos();6 2.化简 sin3()cos(2)tan().(1)sin(180)cos()sin(180);(2) 四、总结提升 1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意义时恒成立。 2.2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。即“函数名不变,符号看象限”。 3.利用诱导公式一~四,可以求任意角的三角函数,其基本思路是:任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~2π的角的三角函数→锐角三角函数。 五、布置作业 1书面作业:必做:课本29页习题1.3A组 1、2; 选做:课本29页习题B组1.2预习作业:《三角函数的诱导公式》 (二),试用所学推导公式(五、六)。 三角函数 1教学目标 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. ⑶: 渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯. 2学情分析 学生在具备了解直角三角形的基本性质后再对所学知识进行整合后利用才学习直角三角形边角关系来解直角三角形。所以以旧代新学生易懂能理解。 3重点难点 重点:直角三角形的解法 难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用 以实例引入,解决重难点。 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】 一、复习旧知,引入新课 一、复习旧知,引入新课 1.在三角形中共有几个元素? 2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢? 答:(1)、三边之间关系 : a2 +b2 =c2(勾股定理)(2)、锐角之间关系:∠A+∠B=90°(3)、边角之间关系 以上三点正是解的依据. 3、如果知道直角三角形2个元素,能把剩下三个元素求出来吗?经过讨论得出解直角三角形的概念。 复习直角三角形的相关知识,以问题引入新课 注重学生的参与,这个过程一定要学生自己思考回答,不能让老师总结得结论。 PPT,使学生动态的复习旧知 活动2【讲授】 二、例题分析教师点拨 例1在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=,a=,解这个直角三角形. 例2在Rt△ABC中,∠B =35o,b=20,解这个直角三角形 活动3【练习】 三、课堂练习学生展示 完成课本91页练习 1、Rt△ABC中,若sinA= ,AB=10,那么BC=_____,tanB=______. 2、在Rt△ABC中,∠C=90°,a=,c=,解这个直角三角形.3、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA= AB=15,求△ABC的周长和tanA的值 4、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=72°,c=14,解这个直角三角形(结果保留三位小数).活动4【活动】 四、课堂小结 1)、边角之间关系 2)、三边之间关系 3)、锐角之间关系∠A+∠B=90°. 4)、“已知一边一角,如何解直角三角形?” 活动5【作业】 五、作业设置 课本 第96页习题28.2复习巩固第1题、第2题.第四篇:三角函数教案及反思
第五篇:三角函数教案