反三角函数(教案)

第一篇：反三角函数(教案)

第4节 反三角函数（2课时）

第1课时

[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。

另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。

[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道

其中cosasinxbcosxa2b2sinx，aab22,sinbab22，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。

[教学过程]：

师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？

答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数ysinx在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：

ysinx,x,，这个函数是单调函数，因而有反函数。

22师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x,y）（这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得xarcsiny，互换得yarcsinx，其中x1,1,y,，这就是要求的反正弦函数。

221． 反正弦函数的图象

反正弦函数yarcsinx，x1,1与函数ysinx,x个函数图象关于直线yx对称。2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）

因此两,互为反函数，22，1，值域为①定义域为1,； 22，1上单调递增； ②yarcsinx在定义域1xarcsinx ③yarcsinx是奇函数，即对任意x1,1，有arcsin3． 反正弦函数的恒等式

①由“一一对应”的性质知：对任意值x1,1，在,上都有唯一对应的角22arcsinx，使得它的正弦值为x，即得恒等式sinarcsinxx,x1,1；

②由“一一对应”的性质知：对任意角x在1，1上都有唯一对应的值sinx，,，22,。22sinxx,x使得它的反正弦值为x，即得恒等式arcsin例题选编：

[例1]：求下列反三角函数值：（1）arcsin31 ；（2）arcsin0（3）arcsin 22解：利用恒等式1来理解题意（1）： 记arcsin33sinx3sinx，也就是在,上找xsinarcsin22222一个角x，使得sinx3；（2）（3）类似。2说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。[例2]：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x ：（1）sinx3,x,，5221,x,，422（2）sinx（3）sinx3,x0, 3解：利用恒等式2来理解题意：

sinx（1）33sinxarcsin3，arcsin而x,，故有xarcsin；

555223sinxarcsin3，而xarcsin,，故不能直接利用恒3322（3）sinx等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到,上，此时涉及讨论： 22若x0,33，则 arcsinsinxarcsinxarcsin332若x,，则x0,，故有 223sinxarcsin3xarcsin3 arcsin333sinxarcsinarcsin即xarcsin3。3[例3]：化简下列各式：

（1）arcsinsin（2）arcsinsin95sin3.49 （3）arcsin6解：此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。（1），，由恒等式2得arcsinsin； 9229955转化了； arcsinsin，这里将6666（2）arcsinsinsin3.49arcsinsin0.49 sin30.49arcsin（3）arcsinsin0.490.49。arcsin[例4]：判断下列各式是否成立：（1）arcsin3312k,kZ ；（2）arcsin；（3）arcsin22332（4）arcsinarcsin；（5）sinarcsin22

3322（6）sinarcsin1010 解：（1）对；（2）错；（3）当k0时对；（4）错，[例5]：写出下列函数的定义域和值域：

（1）y2arcsinx；（2）yarcsinxx 解：（1）

31,1；（5）错；（6）对。

2x1,1x0,1，由反正弦函数的单调性知y0,（2）xx1,1x21515,，22这是典型的复合函数求值域问题，由ux2x1,1和反正弦函数的单调性可知： 41yarcsin,

42[例6]：求下列函数的反函数：（1）ysin2x,x, 443, 22（2）y2sinx,x（3）y21arcsinx 2sin2x2x，解：（1）反解得arcsinyarcsin（恒等式2的运用，注意区间）

互换x,y即得反函数为y1arcsinx 2sinxarcsinsinxx，互换x,y即得反函（2）反解得arcsinarcsin数为yarcsin。（3）

作业：P99 练习1、2、3

[课题总结]： [试题选编]： y2x2

第二篇：三角函数教案

三角函数

1教学目标

⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形

⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

2学情分析

学生在具备了解直角三角形的基本性质后再对所学知识进行整合后利用才学习直角三角形边角关系来解直角三角形。所以以旧代新学生易懂能理解。

3重点难点

重点：直角三角形的解法

难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用 以实例引入，解决重难点。

4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】

一、复习旧知，引入新课

一、复习旧知，引入新课

1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

答：(1)、三边之间关系 ： a2 +b2 =c2(勾股定理)(2)、锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)、边角之间关系

以上三点正是解的依据．

3、如果知道直角三角形2个元素，能把剩下三个元素求出来吗？经过讨论得出解直角三角形的概念。

复习直角三角形的相关知识，以问题引入新课

注重学生的参与，这个过程一定要学生自己思考回答，不能让老师总结得结论。

PPT，使学生动态的复习旧知

活动2【讲授】

二、例题分析教师点拨

例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个直角三角形． 例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解这个直角三角形

活动3【练习】

三、课堂练习学生展示

完成课本91页练习

1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解这个直角三角形.3、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周长和tanA的值

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解这个直角三角形（结果保留三位小数）.活动4【活动】

四、课堂小结

1)、边角之间关系 2)、三边之间关系

3)、锐角之间关系∠A+∠B=90°．

4)、“已知一边一角，如何解直角三角形？”

活动5【作业】

五、作业设置

课本 第96页习题28．2复习巩固第1题、第2题．

第三篇：反函数的导数、反三角函数的导数教案1解读

反函数的导数、反三角函数的导数教案1

教学目的

1．通过复习提问使学生巩固反函数的概念；

2．使学生掌握反函数求导法则及其推导方法；

3．使学生会用反函数求导公式推导并熟练掌握四个反三角函数的求导公式．

教学重点和难点

反函数的求导法则和四个反三角函数的求导公式是本节课的重点．本节课的难点是反函数的求导．

教学过程

一、复习提问

1．什么叫函数 y＝f(x)的反函数？

(请一名学生回答．因为反函数是高中一年级所学内容，学生已经生疏，可能答得不好，可由其他学生补充或纠正，最后教师应准确地给学生讲述反函数概念．另外，上一节课应布置学生预先复习反函数概念．)

如果给定函数y＝f(x)的对应关系f是一一对应，那么f的逆对应f-1所确定的函数x＝

f-1(y)就叫做函数y＝f(x)的反函数．

强调指出：这里所说的函数关系f应是一一对应，否则就没有逆对应f-1，也就不可能有反函数x＝f-1(y)．

2．下列函数有反函数吗？若有请写出它的反函数表示式：

(1)y＝2x－3；(2)y＝xn(n为正整数)．

(请一名学生板演．)

n为偶数时，函数关系不是一一对应，故没有反函数．

二、引入新课

为求反函数的导数，自然会想到互为反函数的两个函数的导数之间有无关系，如果有，其规律是什么？为此，我们先就提问第2题的两个实例进行探讨．

(1)求y＝2x－3的导数．

yx'＝2．

(2)求函数y＝xn(n为奇数)的导数

yx'＝nxn-1．

观察：由(1)可见

那么(2)是否也有同样的规律呢？不妨试一试：

讲解新课

如果Δy≠0，上等式显然成立．

事实上，当Δx≠0时，一定有Δy≠0(为什么？请学生思考并回答)．否则不等

至此，我们可以肯定上面所提出的反函数的求导法则如下：

或记作

2．几何解释(图2－7)：

由导数的几何意义可知

yx'＝tanα，xy'＝tanβ．

3．反三角函数的导数

有了反函数的求导法则，我们就可以求得反三角函数的导数了．

由反函数的求导法则有

因此我们得到公式：

追问：在(3)处为什么要陈述这些条件？没有这些条件可以吗？

因为导数yx'应是x的函数，因此必须将y还原为x的表达式．

用类似的方法，可求得另外三个反三角函数的求导公式：

(这三个公式的证明由学生课下完成．)

追问：题目所给的条件x＞0，在解题过程中用于何处？

例4 求y＝arctan2x的导数．

四、课堂练习

求下列函数的导数：

(请两名学生分别板演1、2两题和3、4两题，其余学生做在课堂练习本上．最后教师带领全体学生订正学生所做练习题．)

五、小结

1．反函数求导法则：

2．根据反函数求导法则求得四个反三角函数的求导公式：

这里要注意两点：(1)反正弦函数和反余弦函数的导数不包括x＝－1和x＝1两个点；(2)反正弦函数的导数与反余弦函数的导数只差一个符号；反正切函数与反余切函数的导数也只差一个符号．

六、布置作业

1．试证明后三个反三角函数的求导公式．

2．求下列函数的导数：

3．求下列函数的导数：

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第四篇：高中数学反三角函数的公式小结

高中数学反三角函数的公式小结

反三角函数主要是三个：

y＝arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用蓝色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 其他公式:

三角函数其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x

当x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

第五篇：三角函数教案及反思

课

题：三角函数的诱导公式

（一）教

者：王永涛（宁县四中）

教学目标：1.知识与技能：借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式

将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问

题。

2.过程与方法：经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到

简单的转化过程，培养化归思想。

3.情感、态度与价值观：感受数学探索的成功感，激发学习数学的热

情，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的信心。

重

点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求

值，提高对数学内部联系的认识。

难

点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运

用。

教学方法：合作探究式 教学手段：多媒体 教学过程：

一、前置检测

1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？

2.2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？

3.你能求sin750°和sin930°的值吗？

二、精讲点拨

知识探究

（一）：π＋α的诱导公式（师生共同探究）。

思考1：210°角与30°角有何内在联系？240°角与60°角呢? 思考2：若α为锐角，则（180°，270°）范围内的角可以怎样表示？

思考3：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？

思考4：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？

思考5：根据三角函数定义，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分别是什么？

思考6：对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？

公式二 ：sin（π＋α）=－sinα，cos（π＋α）=－cosα，tan（π＋α）=tanα。

知识探究

（二）（三）：－α，π－α的诱导公式（学生自主合作探究）。

引导学生回顾刚才探索公式二的过程，明确研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。为学生指明探索公式三、四的方向。

学生小组自主合作探究，然后让小组学生代表阐述探究的过程和结果。根据三角函数定义，得出－α的三角函数与α的三角函数的关系及π－α的三角函数与α的三角函数的关系。

公式三：sin（－α）= －sinα、公式四：sin(π－α)=sinα，cos（－α）=cosα、cos(π－α)=-－cosα，tan（－α）=－tanα。

tan(π－α)=－tanα。思考1：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？ sin(π－α)= sin[π+（－α）] = －sin（－α）=sinα

cos(π－α)= cos[π+（－α）]= －cos（－α）=－cosα

tan(π－α)= tan[π+（－α）] = tan（－α）=－tanα

思考2：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？

2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。即“函数名不变，符号看象限”。

例1 利用公式求下列三角函数值：

（1）cos225°；

（2）sin660°；

（3）tan（）；

（4）cos（－2040°）。3[变式训练] 将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：(1)cos_______;9

(3)sin()_______;5例2 化简

(2)sin(1)_______;(4)cos(706')_______.cos1(80)sin(360)sin(180)cos(180)

[变式训练] 化简：

cos190sin(210)cos(350)tan58

5三、当堂检测

1.利用公式求下列三角函数值

7（2）sin();

（1）cos(420);6

79(3)sin(330);（4）cos();6

2.化简

sin3()cos(2)tan().（1）sin(180)cos()sin(180);（2）

四、总结提升

1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立。

2.2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。即“函数名不变，符号看象限”。

3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~2π的角的三角函数→锐角三角函数。

五、布置作业

1书面作业：必做：课本29页习题1.3A组 1、2；

选做：课本29页习题B组1.2预习作业：《三角函数的诱导公式》

（二），试用所学推导公式（五、六）。