第13讲 分解质因数

第一篇：第13讲 分解质因数

第13讲 分解质因数

【专题精华】

一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。应用分解质因数的方法，能启发我们寻找解决难题的突破口，从而顺利解题。【教材深化】

[题1] 一个两位数除1477余49，这个数可以是多少？

[敏捷思维] 一个两位数除1477余49，如果1477减去49，差一定能被这个两位数整除，然后把差进行分解，分解时必须注意这个两位数必须比余数49大。

<全解> 1477-49=1428 1428=2×2×3×7×17 这样的两位数有：3×17=51

2×2×17=68

2×2×3×7=84 答：这个数可以是51、68或84。

<拓展探究> 利用分解质因数解决此题，关键要注意所求的两位数一定要比余数大。[能力冲浪] 1、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？

2、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？

3、有四个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们年龄相乘的积是360，其中年龄最大的一个是多少岁？

[题2] 班主任舒老师带领五（1）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知舒老师与学生共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？

<敏捷思维> 312=23×3×13 若取312=3×104，104为师生总人数，则每人种树3棵，但104-1=103不是3的倍数，与题目中条件不符。

若取312=6×52，52为师生总人数，教师1人，学生51人，学生人数是3的倍数，则每人种树6棵。

若取312=8×39，39为师生总人数，教师1人，学生38人，学生人数不是3的倍数，与题目中学生按人数恰好平均分成三组不符。

<全解>

因此，这个班共有学生51人，每人种树6棵。

<拓展探究> 知道两个数的积，要求这两个数，只要把这个积分解质因数，再根据题目中的条件适当组合就可以了。[能力冲浪]

1、班主任李老师带领三

（三）班同学去种树，学生人数恰好平均分成3组，如果老师与学生每人种树一样多，共种572棵树。那么这个班共有学生多少人？每人种多少棵树？

2、有3个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们年龄之积为2184，3个小朋友的年龄各是多少？

3、张爷爷今年84岁，他告诉邻居：“我家有3个孙子，他们三个年龄的乘积才有我这么大，而且这三个孙子中，有两个孙子的年龄的和正好是另外一个孙子的年龄。”问这三个孙子各几岁？

【生活数学】

[题3] 在射箭运动中，每射一箭的环数是0（脱靶）或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少？

<敏捷思维> 1764=9×7×7×4×1

1764=7×7×4×3×3 甲射的五箭环数是7环、7环、9环、4环、1环，乙射的五箭环数是7环、7环、4环、3环、3环。

<全解> 因此甲射的总环数是28环，乙射的总环数是24环。<拓展探究> 将1764分解质因数1764=2×2×3×3×7×7，再经过试探组合成五个数的积，并且两组的和相差4，只有这两种环数是满足要求的。

[能力冲浪]

1、夏心怡是一名四年级的学生，她说：“这次考试，我的名次乘我的年龄再乘我的考试分数，结果是2910。”你能算出夏心怡的名次、年龄与她这次考试的分数吗？

2、一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米。那么，这个长方体的表面是多少平方厘米？ 3、2002年哪几天，年数、月数、日数的乘积恰好等于120120？

[题4]

饶向东用2.16元买一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。问饶向东买了多少张画片？

<敏捷思维> 由题意可知，画片的单价×张数=216分。它们乘积的质因数与216的质因数相同。我们可以先把216分解质因数，216=23×33=8×27=9×24，显然216分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张，所以饶向东买了24张画片27张，符合题意。

[全解] 饶向东买了24张画片。

<拓展探究> 解此题的关键是会把总价进行转化。要明白画片的单价乘张数等于总价，然后再根据分解的质因数适当组合就行了。

[能力冲浪]

1、一个质数加上6或者减去6得到的数仍是质数，在50以内有多少个这样的质数。

2、自然数a乘2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？

3、把750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的钱正好是得钱人数的12倍。求获奖人数和每人分得的钱数。

【感受奥赛】

[题5]

把若干自然数1、2、3、„„乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？

<敏捷思维> 因为这个乘积末尾零的个数都是由这个数质因数中2的个数及5的个数决定的，所以要使乘积值末尾有13个零，就必须要13个因数2和13个因数5，显然，在若干个连续自然数中，2的个数比5的个数多，因此，只要凑够5的个数就行了。

<全解>

在5、10、15、20中各含有一个因数5，25中含有两个因数5；30、35、40、45中各含有一个因数5，50中含有两个因数5；55含有一个因数5，即有13个5，因而最后出现的自然数最小应该是55。

<拓展探究> 积的末尾0的个数是由2和5的个数决定的。[能力冲浪]

1、如果要使连乘积“745×32×20×a”算式积的末五位数都是0，a应填入的自然数最小应是。

2、把若干个自然数1、2、3、4、„„乘在一起，如果已知这个乘积的最末十三位数恰好都是零，那么最后出来的自然数最大应该是几？ 3、1×2×3×4×5ׄ„×99×100的积的末尾连续有多少个的零？

13、分解质因数提高篇

1、扬长小学五（2）班同学在班主任饶老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生种树一样多，共种了1073棵。那么平均每人种了多少棵树？

2、一个数a与60的乘积为完全平方数，求a的最小值和这个完全平方数。

3、有1、2、3、4、5、6、7、8、9九张牌，甲、乙、丙三人各拿了三张。甲说：“我的三张牌的积是48。”乙说：“我的三张牌的和是15。”丙说：“我的三张牌的积是63。”问他们各拿了哪三张牌？

4、要使4个数的积175×72×225×□的结果的最后六位数都是零，问□中的数最小填入几？

5、有3个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且3个数的乘积是15400。试求这3个自然数。

6、已知五个数依次是13、12、15、25、20。它们每相邻的两个数相乘得到四个数，这四个数每相邻两个相乘得到三个数，这三个数每相邻两个相乘得到两个数，这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0？

7、心怡和张颖计算甲、乙两个大于1的自然数的乘积，心怡把甲数的个位数字看错了，得乘积473，张颖把甲数的十位数字看错了，得乘积407。那么甲、乙两数的乘积应是多少？

8、把111222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多1，这个长方阵每一横行有多少棋子？

9、将下面八个数分成二组，每组4个数，要求各组4个数的乘积相等：14，33，35，39，30，75，143，169。

10、武汉东湖公园用几条船分5次将150名游客渡过河去，已知每次船载的人数相等且至少载2人，每次应用多少条船？每条船载多少人？（2006年武汉某重点中学招生试题）

第二篇：分解质因数教案

分解质因数

清平镇中心小学 马维青

教学目标：

1、使学生理解质因数和分解质因数的概念。

2、初步学会用短除法分解质因数。

3、培养学生分析和推理的能力。教学过程：

一、质疑课题

同学们，知道我们今天要学什么吗？ 板书课题：分解质因数

说说你对课题的理解。（生自由发言）你感觉这节课与哪些知识有关？

学生可能会说出：与质数和因数有关，因为质因数可能是质数与因数的合称。你真聪明。这这可我们就接着上节课的内容进行学习。

二、小组合作、探究新知

1、初步感知分解质因数

今天的课我们先不忙着上，老师想和大家一起做个游戏，不知你们愿不愿意？ 出示游戏规则：

（1）把老师呈现给你的数写成两个数或几个数相乘的形式，连乘的因数越多得分越高。（2）只能用自然数。（3）不能用1。

（4）每正确写一个乘号得一分，写错一个扣一分。最后以得分高低排序。这几条规则读明白没有？ 现在以小组为单位进行比赛。

游戏开始：出示以下几个数：3=

6=

21=

48=

53=

50=

75=

97= 小组活动。

交流展示，并根据实际情况评出最优小组。

按照我们的规则，为什么有的数能写成几个数相乘的形式，有的数就不能写成几个数相乘的形式？（学生自由回答）

小结：（1）只有合数才能写成几个数相乘的形式。

（2）取胜的小组写成了几个质数相乘的形式。回到课题。你认为那种写法更符合我们的课题？ 学生会回答应该把合数写成几个质数相乘的形式。思考：为什么刚才的规则要求“不能用1”？

引导学生说出：因为1不是质数，所以也不能作为一个数的质因数。

2、用短除法分解质因数

刚才我们以游戏的方法进行了分解质因数，很麻烦，你们能不能找出一种更为简洁的方法，来分解质因数？ 小组合作，共同探究。

交流成果。（如果学生不能顺利的用短除法，可以在总结学生研究结果的基础上，引出短除法）

示范一个。如把24分解质因数。小结短除法分解质因数：

（1）把要分解的数写在短除号里。

（2）用这个数的因数中的质数去除，一般从最小的质数开始。（3）直到商是质数为止。

（4）把除数和商写成相乘的形式。

三、巩固应用

1、基本练习

用短除法把下列几个数分解质因数。18、25、28、57、60

2、拓展延伸 P111第十一题

有时间向学生介绍“哥德巴赫猜想”，激发学生学习数学的兴趣。

四、回顾总结

这节课你有什么收获？说出来与大家分享。

第三篇：分解质因数教案

《分解质因数》教学设计

教学目标：

1、在自主写算式、小组合作验证等学习活动中，经历认识质因数、分解质因数的过程。

2、知道质因数，会把一个数分解质因数。

3、在小组合作中积极与他人交流，体验合作学习的收获和乐趣。教学过程：

一、课前交流

（因为讲课之前对学生毫无了解，所以课前利用15分钟与学生交流）

1、同学们，今天这么多的老师来这里听课，我们应该有什么表示？（欢迎老师们来听课并渲染气氛）今天由我来和大家一起上一节数学课，首先，我们来互相认识一下好吗？先介绍一下你自己。（此时对学生说话提出相应的要求，目的是了解一下学生的课堂语言及表达能力）。

2、师：通过刚才和同学们的谈话，老师对大家也有了初步的认识，希望我们在这节课上能够愉快的相处。

3、老师也提出几点希望：仔细倾听、认真思考、大胆发言（12个字）能不能做到？（嘴上说不行，老师要看看实际行动）我们先试一下好不好：

看看黑板，今天老师剪了一个大大的“数”字。那么，在这一单元的学习中，我们学习了好几种数，谁来说一下都学了哪些数呢？（自然数、奇数、偶数、倍数、因数、质数、合数）

（同学们的表现真不错，准备好了吗？那么我们开始进入今天的数学世界吧！）

二、情境引入

师：我们大家先来做一个小游戏。游戏规则是：

（1）把老师呈现给你的数写成两个数或几个数相乘的形式，连乘的因数越多得分越高。（2）只能用自然数。（3）不能用1。

（4）每写一个乘号就得一分，看谁写的乘号多。课件出示：60

三、探究与体验

1．交流学生写出的算式，要给学生充分的交流不同算式的机会，教师注意板书出不同的算式。

师：把你写的算式介绍一下。学生可能出现的情况有： ●60＝2×3×10 ●60＝2×5×6 ●60＝3×4×5 ●60＝2×3×2×5；

如果学生没有写出60＝2×3×2×5这种形式，教师可作为参与者交流和介绍自己的做法。

2．讨论写出的算式。让学生先讨论三个因数相乘的算式能不能改写成4个因数相乘的算式，并进行改写。然后观察60＝2×3×2×5中的几个因数，在讨论还能不能再改写成更多因数的过程中，了解这几个因数都是质数。最后，教师介绍质因数的概念。

生：第一个算式中10可以写成2×5。生：第二个算式中6可以写成2×3。生：第三个算式中2可以写成2×2。学生说，教师板书出新的算式。

师：现在再看这四个算式，还能再改写出更多的因数相乘吗？为什么？ 使学生了解，不能了，因为这几个因数都是质数，除了1再也没有其他因数了。

师：像我们写出的60＝2×3×2×5这种算式中，几个因数2、3、5都是质数，这几个因数都叫做60的质因数。

四、分解质因数

1．教师提出：一个质数可以写成几个质数相乘的形式吗？让学生讨论，得出结论后再提出：任何一个合数是不是都可以写成几个质因数相乘的形式呢？小组合作，至少举出3个合数来验证一下。教师巡视，重点指导学生如何找出所有的质因数。

2．交流各组验证的结果。充分交流各组举出的不同例子，教师板书出来。大家对这个结论形成肯定性共识后，教师介绍分解质因数的概念。

师：刚才大家举出这么多的例子证明了这样一个结论：任何一个合数都可以写成几个质因数相乘的形式。像刚才这样“把一个数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。”

教师板书：分解质因数。

师：谁能用自己的话说一说分解质因数是什么意思？ 学生说的意思对就可以。

3．学习分解质因数的方法。先让各组汇报一下本组的方法，然后教师介绍用短除法分解质因数的方法

师：把一个合数分解质因数，也可以用短除法。现在我们一起把35和42分解质因数先用塔式分解法，再用短除法

教师边板书边讲解：

师：把一个合数分解质因数，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除这个合数。如，42的最小质因数是2，先用2去除42，得21；得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。边说边完成分解的过程，并写出分解式。

五、尝试联系

1、把 10、20、27分解质因数。

2、下面各算式哪些是分解质因数,哪些不是?为什么? ①34=2 X 17 ④36=4 X 9 ②12=2 X 2 X 3 ⑤15=3 X 5 ③18=1 X2 X 3 X 3 ⑥7 X 5=35

六、课堂小结

这节课你收获了哪些知识？

七、布置作业

课本“练一练”

1、3题。

第四篇：分解质因数 教学设计

《分解质因数》教学设计

延安实验小学 刘倩

教学内容：

新教版小学数学五年级下册第56页 教学目标：

1.认识什么是质因数，会分解质因数。2.经历认识质因数、分解质因数的过程。3.通过小组合作学习，体会学习的乐趣。教学重点：

1.质因数和分解质因数的意义。2.分解质因数的方法---短除法。教学难点：

分解质因数的方法---短除法。教学准备： 多媒体课件 教学过程：

一、谈话引入：

师：同学们，这节课老师想看看谁是最会观察和思考的，想比一比吗？（课前在黑板上写一个“数”）在黑板上你发现了什么？（一个“数”）适时表扬。

通过这一单元的学习，你知道了哪些数？（奇数，偶数，因数，倍数„）结合具体的数，找一找哪些是质数，哪些是合数？（课件出示课前铺垫）

下列各数哪些是质数？哪些是合数？ 13 19 27 58 87 83 24 97 36 92 指名学生回答。

二、探究新知

师：刚才我们知道了是一个合数，现在老师提出一个要求，把24写成几个因数相乘的形式，但不能出现1，能不能做到？

1.让学生把24写成几个因数相乘的形式。（要求：但不能出现因数1）

学生汇报主要形式：生：24=2×12 24=3×8 24=4×6 24=2×2×6 24=4×2×3 24=2×2×2×3等等

师：同学们写出的算式真不少。把24写成几个因数相乘的形式，有这么多！我们一齐来看一看这些算式：它们（指着算式后面的数）都可以说成是24的因数。从这些算式里，你能发现什么？

⑴引导学生发现：（学生自由说发现）

生1：因数有多有少；生2：有的还可以接着分解；生3：其它的通过分解之后都可以写成24=2×2×2×3的形式； 36=2×2×2×3的因数最多等等。

⑵分析24=2×2×2×3的因数的特点。总结什么叫质因数。现在我们看一下：24=2×2×2×3的因数和其他算式有什么不同呢？（适当鼓励）2.生试小结：什么是质因数。

师：2、2、2、3、都是24的因数，它们本身又都是质数。我们把2、2、2、3、叫做24的质因数。其他的能不能说是24的质因数？24可以写成几个质因数相乘的形式。而其他的数如：4、6、8、12只能说是24的因数，而不能说是24的质因数。

小试牛刀：（课件出示习题）学生试着写。

3.小组讨论：通过刚才的小练习，你知道什么样的数可以写成几个质因数相乘的形式。（四人一小组）指名汇报。师：你会不会把一个数写成几个质因数相乘的形式？

小结得出：质数不能写成几个质因数相乘的形式。

师：那么你想一想，什么样的数可以写成几个质因数相乘的形式呢？合数一定能写成几个质因数相乘的形式吗？光说不行，实践是检验真理的唯一标准。我们试一试就知道了。（前后桌4个人每人验证一个然后交流一下，看看是不是每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式。）每人选一个合数试试。

汇报结果。得出结论。任何一个合数都可以写成几个质因数相乘的形式。

结合上面的算式再次要求学生说明一个数的质因数是几。

4.介绍什么是分解质因数

⑴师结合刚才举出的例子加以说明：像24=2×2×2×3这样，把24写成几个质数相乘的形式，我们就叫把24分解质因数。把一个合数写成几个质数相乘的形式就叫做分解质因数。⑵那么如何把一个数（合数）分解质因数呢？ 小组讨论交流想法。

⑶介绍短除法。

师：其实呀，分解质因数还有一种简单还不容易错的方法，想不想学一下？那就是短除法。怎么做呢？我们以一个数为例。（选一个数）

师生交流格式与分解方法：先写上28，再画短除号。这种写法就叫短除法。我们先用这个合数的一个质因数去除，一般从最小的开始。比如，28是不是2的倍数？是，我们就用2去除，2写在哪儿，商写在哪儿。到这时，再观察如果商是合数的话，就按照刚才的方法继续除下去。一直除到得出的商是质数为止。（简化成具体的例子加以说明）。最后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。注意把合数写在前面。

三、巩固运用

1.用短除法把127、56分解质因数。

学生先独立完成，注意指导后进生，再集体交流订正。2.看看下面的分解质因数对不对。不对的说明原因并改正。（课件出示）

3.课外作业。

寻找生活中的数，看看能不能分解质因数。

四、课堂总结。

这节课你有什么收获？

第五篇：分解质因数法解题教案

分解质因数法解题

专题解析

通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。

许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。

例题精讲

例

1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？

巩固、有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？

例2、一个数的平方等于324，求这个数。

巩固：一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？

例

3、一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。

巩固、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数各是多少？

例4、把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？

（）×（）×（）＝（）×（）×（）＝（）×（）×（）

巩固，把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。（）×（）×（）×（）＝（）×（）×（）×（）

例

5、有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？

巩固1：四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？

例6、王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？

巩固1：王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？

巩固2：有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个（不等于40）。求这个幼儿园有多少名小朋友？

例

7、小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。小明买了多少张画片？

巩固：将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的数就正好是得钱人数的12倍，求获奖人数和每人分得的钱数。

例

8、在等式35×（）×81×27=7×18×（）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。

巩固、自然数a乘以4752，所得的积正好是自然数b的平方。a最小是（）。

例

9、求在625×1024×15×70的积末尾0的个数。

巩固：84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在括号里最小应填什么数？

巩固2：已知5个数依次是13、12、15、25、20，它们每相邻的两个数相乘可以得到4个数；这4个数每相邻的两个数相乘可以得到3个数；这3个数每相邻的两个数相乘可以得到2个数；这两个数相乘最后得1个数。问最后这个数从个位起左数，可以连续地数到几个“0” ？（第二届“华杯赛”决赛二试题）

例

10、一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？

巩固.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？

综合练习

1、将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？

2、1×2×3ׄ×40能否被90909整除？

3、ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？

4.在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射了五箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。甲的总环数为（），乙的总环数为（）。（第三届“华杯赛”复赛题）