柯布西耶和现代建筑五原则（推荐五篇）

第一篇：柯布西耶和现代建筑五原则

柯布西耶和现代建筑五原则

http://hi.baidu.com/arc618/blog/item/35d6422b6af04193023bf6ad.html

底层架空 屋顶花园 自由平面 水平长窗 自由立面

这是柯布西耶的新建筑五点。从我手上的资料看，柯布西耶和他的伙伴皮埃尔.让纳雷提出这些原则是在1926年，那一年柯布39岁，已是83年前的事。新建筑五点，或说现代建筑五原则，学校里背过、考过，工作后不考了，差不多忘了，十几年后有一天想起来，才忽然有一点点理解它讲的是什么意思，才知道自己一直以来做的，还算不上现代建筑，汗颜。

80多年了，现在谈的已经是信息时代的建筑，谈五原则是不是过时？是的，技术和观念已经有了极大的发展进步，但是不能否认，许许多多的发展进步都是建立在现代建筑精神的基础上的，五原则的背后正是现代建筑精神。在相对抽象的精神之外，五原则是个具体的坐标，参照它能够判别一个建筑是否从手法上摆脱了桎梏，进入现代的领域。而手法上摆脱桎梏，从反映了从精神上脱离蒙昧。也许五原则在西方已经过时了，那是因为它以渗透在几代建筑师的血液里，不言自明。但在中国，它还太超前，恐怕真正懂得它的中国建筑师还很少。若说我们现在的多数建筑甚至没有从手法上进入现代，恐怕很多人不同意。那么这里结合五原则的条目试解之：

底层架空：让实用空间远离地面的阴冷潮湿，把地面留给花园和交通空间，这是底层架空的意义。柯布的着眼点，首先是技术上的可能（钢筋混凝土结构）；其次，是实现目的带来的人性化的意义（居住摆脱阴暗潮湿，更好的享受阳光）；第三，缓解地面层通常空间紧张的矛盾；最后，才是新颖的形式。

底层架空的做法现在不具有普遍性了，因为柯布的时代是工业化社会的时代，而现在是商业化的社会，商业成了城市的血液，商业需要地面做容身之处。这是柯布没有看到的，但我们应该注意到他的出发点，实际上是针对解决问题，非常务实的。

屋顶花园：这个屋顶花园的意思，也要放在当时去看。当时的通行做法是屋顶为坡面的阁楼层，里面是储藏间和佣人的住所。柯布想说的是，首先在新的排水技术、新的结构形式下，屋顶不再有做坡形的必要性，可以是平的（从这个角度，把“屋顶花园”的说法换成“平屋面”亦未尝不可）。其次柯布认识到屋顶也是好的空间，有最好的阳光和视野，应该加以利用；此外，屋顶的绿植、覆土可以缩短钢筋混凝土的温度反差，在技术上不容易产生裂缝。所以这个屋顶花园并不是一个简单的花园，也融合了多层次的思考。正如柯布所说，技术的原因，经济的原因，舒适的原因，情感的原因，要求我们采用平顶式屋面。

底层架空和屋顶花园列于建筑五点之前两项，定义了现代建筑的形象特征。从简单的建筑逻辑看：这样处理带来的轻巧的形式感、入口的空间感，还有打破沉闷的天际线，弥补了减去装饰之后的枯燥感，都不失为很好的手法。但如今的情况发展了，它们不再具有普适性意义，但是自由平面就不同了。

自由平面：基于框架的混凝土结构体系，墙不参与承重，因此平面与古典建筑大不相同。对此，柯布自己的作品是很好的说明。自由平面的最大特点是：墙、柱脱离，分别成为独立的构件，其他如楼梯、坡道等构件亦然。结果是，首先，“房间”的概念被弱化，取而代之的是“空间”概念。抛开了结构的限制，室内空间的形状、比例、组织形式可以有无穷的变化，这是“自由”的浅层意义；其次，墙体的厚度不再重要，回归成单纯的分隔空间的线条，柱不参与空间的分割，回归成单纯的结构件，构件的属性回归了本质，回归了单纯；第三，墙体和其他构件产生了自足性，其本身成为可欣赏的对象，即：构件的材料、质地可以不再为所在的空间服务，而是单纯的表达构件本身，单纯的装饰不再是必须的，这是现代建筑审美的重要特征。柯布在设计实践中为了贯彻这些原则不惜矫枉过正：他的平面除非别无选择，决不让墙与柱发生关系，其他构件亦然。为了方便墙的布置，柯布偏爱无梁的平板体系。直至现在，西方建筑仍然尽可能弱化梁的存在以求得空间的自由干净。（而这在中国是极端非常规的。这种差异的优劣无须讨论，它直接代表审美的关注方向，是否认可这样的审美，是区分建筑观现代与否的标志。）

新建筑不是柯布的发明，柱板结构在柯布出生前早已出现，在同一时期，格罗皮乌斯、密斯等很多建筑师都在做同样的工作。而柯布在理论和实践双重角度，从美学的层次奠定了新建筑的体系，这是柯布最卓越的贡献。

水平长窗：柯布对水平条窗的推崇，还是源于他对阳光、美景的基本的热爱，在柯布的理想中，城市是充满阳光，遍植绿树的，在这样的环境里，水平长窗就是很自然的结果。看到技术上的可能，并把它实现，这之中一定也包含着喜悦。不过说到底，水平长窗只是实践自由立面的可能性之一。自由立面：没有自由平面，就没有自由立面。只有外墙脱离了最外侧的那一排柱，立面才有了自由呈现的可能，这即是自由度。自由立面的基础，就在于摆脱受力结构对表皮的限制。可能性不等于必然性，自由不代表不克制。柯布的很多建筑立面实际是非常克制的，也都遵循柱网的模数，简单而规整，但这种规整是主动追求的，与限制下的规整有本质的不同。

柯布一生所做的大都是低造价建筑，立面可用的材料十分有限。但反观现在的建筑技术与手法，从玻璃幕墙到时髦的“表皮”，都与自由立面的精神契合。了解了自由平面和自由立面的意义，就容易分辨一个建筑是否是不现代的，我们反思一下，很容易看到的一类设计是：立面花哨漂亮，但平面上柱子紧贴外皮，这些通常不是具有现代精神的设计。五条原则出现的背景是：结构技术的进步，把建筑从受力构件的包围中解放出来了，带来更广泛的可能性，于是平面可以这么做了、立面、屋顶可以那么做了，等等。我想柯布总结五原则的目的在于告诉世人，这么做不仅是可以的，而且是应该的，因为基于这样体系的建筑，这样做才是最美的。柯布通过他自己的建筑实践，雄辩的向世人证明了这一点。

我们知道真理要经得起时间的检验，我们从现在的眼界重新审视和浓缩，五原则的其他三条可以划去，剩下自由平面和自由立面，而这两条其实是同一个事物的两个侧面，这个事物就是“自由”，自由是现代建筑的精神，不仅现在仍然适用，很可能还会一直适用下去。

怎样理解“自由”？自由是一种整体和局部的关系，自由是一种状态。自由的建筑中，每一个构件都不被忽视，都发出自己的声音，墙就是墙，柱就是柱，楼梯就是楼梯，都以独立鲜明的姿态出现，不扭曲本身的性格。与此同时，每个构件的声音是得体的，和谐的空间在各个构件的关系中呈现。这个道理跟人与人的关系，跟社会的情况是一样的。

柯布提出的五原则在当时有一点激进性，但我觉得，五原则并不是要彻底颠覆既有的建筑传统，它更多的是改变了我们看建筑的眼光，通过现代建筑的精神看建筑，就不是只看整体，还要用专注的目光来看待建筑细节的独立性，就是每一个哪怕最普通的局部，都值得尊重并欣赏。这种目光是友善的，包容的，这种目光的交流，使现代建筑泛起人性的光辉。

五原则昭示的精神是自由，自由是人性最崇高的追求，是人类共同的天性。正是因为这共同的天性，柯布的毫不矫饰的作品才被理解和热爱。自由是这个时代无法回避的精神，假使没有柯布和它的五原则，我们会失去许多宝贵的遗产，现代建筑也许不会是这个样子，但自由的精神是一定会存在的。

可惜的是，我们，中国现在的大多数建筑师，做着世界上最多最大的项目，却偏偏隔离在世界的潮流之外。我们的建筑教育连现代建筑最基本的精神尚不能清晰完好的教授，实在是太可悲了。我想，作为一个建筑师，有意识的摒弃浮躁，回头仔细体会一下80年前的建筑五原则，可能是非常值得做的一件事情。

第二篇：《柯布西耶和他的建筑思想》阅读练习题

①上世纪二十年代，一位建筑师这样规划理想中的“光辉城市”：

②“一天早上，你在宽敞明亮的房间中醒来，室内温湿度宜人，这是因为配备了先进的中央空调系统。房屋的尽头是一面完整的中空玻璃墙，清澈的绿意在窗外徐徐展开。”

③今天的我们惊讶地发现，某些瑰丽的想象，比如中央空调系统、玻璃幕墙等都已成为现实，而比现实更瑰丽的想象，比如底层架空所带来的苍茫、道路从地面删除所带来的自由，这种全新的空间秩序，依然诱惑着今天城市钢筋森林里的我们。

④这位建筑师就是勒·柯布西耶。1887年10月6日，他出生于瑞士，由画家转型为建筑师。

⑤柯布西耶的“光辉城市”是20张城市规划图纸，笔笔倾注着他的心血，像一本详尽的城市使用说明书。是一本厚厚的书籍，他在书中写尽了对未来城市的狂热想象。是一种深刻的批评，针对的不是科技本身，而是科技的滥用所造成的重大社会危机；不是财富的积累，而是以财富积累为唯一目的的经济发展模式；不是人类正常的欲望和享乐，而是贪婪、惰性和懦弱，以及各种各样的挥霍。

⑥柯布西耶的建筑思想分为两个阶段：上世纪50年代以前是合理主义、功能主义和国家样式的主要领袖，以1929年的萨伏伊别墅和1945年的马赛公寓为代表，许多建筑结构承重墙被钢筋水泥取代，建筑往往腾空于地面之上；上世纪50年代以后，他转向表现主义、后现代主义，朗香教堂就是这一时期的代表作。

⑦在柯布西耶所有的经典作品中，朗香教堂是经典中的经典。

⑧朗香教堂，位于法国东部的一座小山顶上，1950开始设计建造，1955年落成，被誉为20世纪最为震撼、最具表现力的建筑之一。柯布西耶摒弃了传统教堂的模式和现代建筑的一般手法，把它当作一件混凝土雕塑作品加以创造。

⑨教堂的墙体几乎全是弯曲的，有的还倾斜着；塔楼式祈祷室的外形更像是座粮仓；沉重的屋顶向上翻卷着，与墙体之间留有一条40厘米的带形空隙；粗糙的白色墙面上开着大大小小的方形或矩形的窗洞，镶嵌着彩色玻璃；入口隐在卷曲墙面与塔楼交接的夹缝处；室内主要空间也不规则，墙面呈弧线形，光线在透过屋顶与墙面之间的缝隙进入室内之前，又被彩色玻璃所晕染，产生一种神秘的美感。

⑩教堂的独特之处还在于它有着一个非常复杂的结构。上世纪初期，柯布西耶和他的现代主义同道们与美术界的立体主义派遥相呼应，提倡建筑形象的简化、净化，在这段时期，他设计的住宅即使内部相当复杂，其外形总是处理得光净简单。萨伏伊别墅即是一例，人们很难找出一个比它更简单光溜的建筑名作了。然而，在朗香教堂这个项目上，柯布西耶走向简单的反面——复杂。小小的教堂，四个立面竟然各个不同，仅看一面，绝想象不出其他三面会是什么模样；即使看完了三面，第四面仍会给你惊叹。再看那些窗洞形式，也是不怕变化，只怕单一。再看那些墙线和由它们组成的室内空间，也都极其复杂。平面构图上既找不出一点规律，立面上也看不出所谓章法。中世纪哥特式教堂的复杂在于细部，总体布局结构倒是简单的，而朗香教堂的复杂性则相反，它是结构性的复杂，其细部，无论是墙面还是屋檐，外观还是内里，仍然相当简洁。

面对如此怪异的建筑，人们总要追问，设计灵感从何而来。在教堂建成好多年后，柯布西耶又回到那里，他同样喃喃自问：“我是从哪儿想出这一切来的呢?”他不是故弄玄虚，也不是卖关子，艺术创作至今仍是难以说清的问题。关于自己的创作方法，他曾经这样描述：“一项任务定下来，我的习惯是把它存在脑子里，几个月一笔也不画。人的大脑有独立性，那是一个匣子，尽可往里面大量存入同问题有关的资料信息，让其在里面游动、煨煮、发酵。然后，到某一天，喀哒一下，内在的自然创造过程完成。我抓过一支铅笔，一根炭条，一些色笔（颜色很关键），在纸上画来画去，想法就出来了。”针对朗香教堂，他说希望能设计成一个“视觉领域的听觉器件”、“像（人的）听觉器官一样柔软、微妙、精确和不容改变”。用建筑激发音响效果，真是一个别开生面的立意。

1、柯布西耶关于“光辉城市”的20张规划图纸是针对哪些城市发展弊端而构画的？（3分）

2、第⑩段中作者写到中世纪哥特式教堂的用意理解不正确的一项是。（2分）

A、说明朗香教堂与中世纪哥特式教堂都有复杂的特点。

B、通过对比突出朗香教堂的结构性复杂的更胜一筹。

C、通过比较说明朗香教堂是结构性复杂而细部简洁。

D、为了体现柯布西耶建筑思想的突破章法与众不同。

3、第⑾段中“视觉领域的听觉器件”的含义是。（2分）

4、文中插入“朗香教堂”的图片的作用是。（2分）

5、概括朗香教堂的独特性。（4分）

6、《板桥题画三则》中郑板桥画竹“意在笔先，趣在法外”，这一点也体现在柯布西耶的建筑创作中，请结合文意具体阐释。（4分）

第三篇：数学史话-柯西

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来在巴黎大学任教授，一直到逝世。他信仰罗马天主教，追随保皇党，终生坚守气节。他在学术上成果相当多，他的研究是多方面的。在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集26卷，仅次于欧拉，居第二位。柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往，曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大学，1816年成为那里的教授。1830年法王查理十世被逐，路易。菲利普称帝。柯西由于拒绝作效忠宣誓，被革去职位，出走国外。

1838年柯西返回法国，法兰西学院给他提供了一个要职，但是宣誓的要求仍然成为接纳他的障碍。1848年路易。菲利普君主政体被推翻，成立了法兰西第二共和国，宣誓的规定被废除，柯西终于成为理工科大学的教授。1852年发生政变，共和国又变成帝国，恢复了宣誓仪式，唯独柯西和阿拉果（Ｄ.Ａｒａｇｏ 1786－1853 法国物理学家）可以免除。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。

现今所谓的柯西定义或ε－δ方法是半个世纪后经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西时代实数的严格理论还未建立起来，因此极限理论也就不可能完成。柯西在1821年提出ε方法（后来又改成δ），即所谓极限概念的算术化，把整个极限过程用一系列不等式来刻画，使无穷的运算化成一系列不等式的推导。后来维尔斯特拉斯将ε和δ联系起来，完成了ε－δ方法。

第四篇：关于柯西不等式的证明

关于柯西不等式的证明

王念

数学与信息学院 数学与应用数学专业 07 级 指导老师：吴明忠

摘要：研究柯西不等式的多种证明方法，得到一些有用的结论，并简单介绍一些它的应用。

关键词：柯西不等式、数学归纳法、二次型正定、欧式空间向量内积、詹森不等式，二维随机变量的数学期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式，它的结构和谐对称、以及广泛的运用引起了人们的兴趣和讨论。本文运用高等代数、微积分的基本内容来证明柯西不等式。柯西不等式的内容 1.1

(a1b1a2b2....anbn)2(a12a22....an2)2(b12b22....bn2)2(aibiR,i1,2......n)

等号当且仅当a1a2.....an0或bikai时成立（k为常数，i=1,2…..n）.1.2 设a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn为任意实数则不等式(aibi)(a)(bi2)成2

i1

i1

i1

n

n

n

立，当且仅当bikai（i=1,2…..n）取等号。1,2这两种形式就是著名的柯西不

等式。柯西不等式的证明 2.1构造二次函数，证明柯西不等式。(其关键在于利用二次函数0时函数f(x)0

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2....(anxbn)2

(a12a22....an2)x22(a1b1a2b2....anbn)x (b12b22....bn2)显然f(x)0

又a12a22....ann0则利用0可得

4(a1b1a2b2.....anbn)24(a12a22....ann)(bb2.....bn)0即

n

(a1b1a2b2....anbn)2(a12a22....an2)(bb2....bn)

当且仅当aixbi0(i1,2....n)即

aa1a2

.......n是等号成立。b1b2bn

2.2 利用数学归纳法进行证明。（关键把握由特殊到一般情况的严密性）

（1）当n1时左式=a1b1右式=a1b1

显然左式=右式 当

n2

时，右式

a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2左式

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立

2kak即 a1b1a2b2akbka12a2b12b22bk2

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

a12a2....ak

设Bb12b22....bk2

Ca1b1a2b2....akbk

222222则ak1bk1bk1ak1bk1Bak1 22C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222a1a2akak1



b12

b2

k

b2

k

b

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立 综上所述原柯西不等式得证。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）进行证明（关键在于利用它 “形式”）由于xy2xy(x,y

R)，令x

y



ai22ak2

k1

n

n



bi22bk2

k1n

(i1,2.......n)

将N

不等式相加得：

ab

ii

aibi

i1n



a

i1

nk1

n

i



b

i1nk1

n

i

1

2ak22bk2

n

n

n

i1

k1

即(aibi)(ai)(bk2)

i1

原柯西不等式得证。

2.4 利用二次正定型理论进行证明（关键在于理解二次型正定的定义）正定二次型定义：R上一个n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定义在实数域上n个变量的实函数。如果对于变量x1,x2,....xn的每一组不全为零的值，函数值

q(x1,x2,....xn)都是正数，那么就称q(x1,x2,....xn)是一个正定二次型。

(aix1bix2)ai2x12bi2x222aibix1x20(i1,2,.....n)

n

n

n

有(ai)x(bi)x2(2aibi)x1x20

i1

i1

i1

设二次型 f(x1,x2)(ai)x(bi)x2(2aibi)x1x20

i1

i1

i1

nnn

故f为正定必有二次型矩阵

n2aii1

An



aibii1

n

abiii1

正定 n

2bii1

n

n

n

(ai)(bi)(aibi)20

则A0,即

i1

i1

i1

(aibi)2(ai2)(bi2)

i1

i1

i1

nnn

当

aa1a2

.......n时等号成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得证。2.5 利用欧式空间中内积的性质进行证明。

定理：在一个欧式空间里，对于任意向量,，有不等式：

,2,,;当且仅当与线性相关时，才取等号。

证 如果与线性相关，那么或者0，或者a，不论哪一种情况都有

,2,,.现在设与线性无关。那么对于任意实数t来说，t0，于是

t,t0,即 t2,2t,,,0.最后不等式左端是t的一个二次三项式。由于它对于t的任意是数值来说都是正数，所以它的判别式一定小于零，即

,2,,0或,2,,.又在Rn里，对于任意两个向量

(x1,x2,....xn),(y1,y2,....yn),规定（必须规定）,x1y1x2y2.....xnyn.容易验证，关于内积的公理被满足，因而R对于这样定义的内积来说作成一个欧式空

n

间.再由不等式,2,,;推出对于任意实数a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1....anbn)2(a12....an2)(b12....bn2).即柯西不等式得证。2.6 利用行列式进行证明

n

n

n

证 (ai)(b)(aibi)

i1

i1

i1

a

i1ni1

n

i

ab

i1n

2ii1

n

ii

abb

iin

n



i1j1

ai2aibi

ajbjbj2



1ijn



(aibjajbi)20

若令a(a1,a2,an),b(b1,b2bn)则可以得到：

(aibi)(a)(b)1i 即柯西不等式得证。

i1

i1

i1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式进行证明

考察函数(x)x2,(x0),(x)2x,(x)20,故(x)x2是(0,)上的凸函数，詹森（Jensen）不等式

n

PkXkk1n

Pkk1

n

n

2PkXkk1n(其中，P,2,n),得 k0,k1Pk

k1

n

n

(PkXk)(Pk)(PKxk2)

k1

k1

k1

nnn

ak22

上式中令Pkbk,Xk即（PkXk)(bk)(ak2)

bkk1k1k1

从而不等式成立。

2.8 利用二维随机变量的数学期望证明

表格 2

1n1n21n222

E()aibi，Eai,Ebi

ni1ni1ni1

由E()E2E2

1n1n21n22

所以有(aibi)(ai)(bi)

ni1ni1ni1

即(aibi)(ai)(bi2)

i1

i1

i1

nnn

则柯西不等式得证。

第五篇：柯西不等式的证明

柯西不等式的证明

二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

证明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

证明：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立

令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0

构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0，（请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！）移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。

向量形式的证明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a、b、c 均为正数

∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需证：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b、c互不相等，故等号成立条件无法满足

∴原不等式成立

求某些函数最值

例：求函数y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函数的定义域为[5, 9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10函数仅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44时取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例请参考有关文献。三角形式证明 :两边同时平方,展开,消去同样的项,剩余部分再平方,消去同样的项,得一完全平方式,大于或等于0,得证

代数形式

设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数，则（a1b1+a2b2+...+anbn）①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立.推广形式的证明

推广形式为

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

证明如下

记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m个不等式叠加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.（注：推广形式即为卡尔松不等式）

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，因此,不等式(*)