微积分应用论文

第一篇：微积分应用论文

上海大学2013～2014学年秋季学期课程论文

课程名称： 信息化时代的数学探索与发现 课程编号：

0100L602

论文题目: 论微积分在我们生活中的应用

作者姓名: 方舟 学 号: 13121376 成 绩:

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注:后附课程论文的正文

浅谈微积分在生活中的应用

作者姓名:方舟

学 号: 13121376 摘要:主要关于微积分在几何，经济，物理以及我们生活方面的运用。

关键词:微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导，微分方程（3-5个数学名词）(5号宋体)正文（小4号宋体，段首空两格）

前言

作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。

我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。

希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。

1．微积分在几何中的应用

微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！

1.1求平面图形的面积(1)求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线fx2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。所以该曲边梯形的面积为

f21x22313722xdx

313332(2)求旋转体的体积

(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a

ab(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c

cd(III)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)与直线x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求椭圆221所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋转ab体的体积。

分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆b2yax2(axa)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆ax2y21所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx4ab23

椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆xa2by2,(byb)，与ybx2y2轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆221所围成的图形绕y轴

ab旋转一周而成的旋转体的体积为

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb(b2y2)dy

(3)求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程 {x(t)(t)

y(t)给出其中'(t),'(t)在[,]上连续，则该曲线弧的长度为s['(t)]2['(t)]2d(x)。

(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为rr()()，其中r'()在[,]上连续，则该曲线弧的长度为sr2()[r()']2d()。

x21例如：求曲线ylnx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。

42解：y'x122x，于是弧长微元为

ds1y'2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧长为：se1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。2x22

4一、在几何中的应用

(一)微分学在几何中的应用(1)求曲线切线的斜率

由导数的几何意义可知，曲线y=(x)在点x0处的切线等于过该点切线的斜率。即f'(x0)tana，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。

例如：求曲线yx2在点(1，1)处的切线方程和法线方程。分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：

ky'x12xx12，所以，所求切线的方程为y-l=2(x一1)，化解得切线方程为2x-y-1=0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为1y1(x1)，化解得法线方程为2y+x-3=0。

2(2)求函数值增量的近似值

由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。

例如：计算sin46o的近似值。

分析：令f(x)=sin(x)，则f(x)=cosx，取x0450，x10,(10180)，则由微机分的定义可

0知sin460sin(451)sin045f(45)18022'00.7194 221802.微积分在经济学的应用

在我所查找到的关于微积分在经济学领域的应用中，我发现高等数学在经济学中运用十分基础和广泛，是学好经济学 剖析现实经济现象的基本工具。经济学与数学是密不可分息息相关的。高等数学方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说理性，将经济问题转化为数学问题，用数学方法对经济学问题进行分析，将数学中的极限，导数、微分方程知识在经济中的运用。

尤其我看到在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。这个对一个企业的发展至关重要！1关于最值问题 例

设：生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C（0）=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000 总收益函数为R(x)=500x 总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=390009（元）

在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

2关于增长率问题 例：

设变量y是时间t的函数y = f(t)，则比值为函数f(t)在时间区间上的相对改变量；如果f(t)可微，则定义极限为函数f(t)在时间点t的瞬时增长率。对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。这样，关系式（*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。

3.弹性函数

设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx→0

ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。

经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)

例 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。

η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。

除了上述三个例子之外，还有“规模报酬、货币乘数、马歇尔-勒那条件等无数的经济概念和原理是在充分运用导数、积分、全微分等各种微积分知识构建的。他们极大的丰富了经济学内涵，为政府的宏观调控提供了重要帮助

3.微积分在物理的应用

物理是我高中最喜欢的课程，在高中进行物理竞赛是学到了不少关于微积分的思想，比如在考虑物体的运动时，因为其速度在不断改变，很难求其在一点的速度，微积分中的微元的思想此刻闪现出它的光芒，把非匀速运动看成由一段一段匀速运动构成，再进行计算，省了很多的时间。

物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。

微积分在物理学中的应用相当普遍，有许多重要的物理概念，物理定律就是

dvdr直接以微积分的形式给出的，如速度v，加速度a，转动惯量Idmr2，dtdtd安培定律dFIdlB，电磁感应定律N„„

dt例：用微积分的方法解决变力做功的问题

变力作功的问题是热学和力学中的常见问题。例如，质点在恒力F的作用下，沿直线产生位移r过程中的功AFr。但对一般情况，质点沿曲线从a运动到

且质点运动过程中，作用于质点上力的大小和方向都可能不断改变，要计算Fb，力对质点所做的功，可将运动曲线分成许多微小的线段dr，计算出F在每一小段

上所做的元功，再对整个轨道上所有元功求和。由于dr 极小，所以每一小曲段都可看成直线段，而质点所受的力可视为恒力。这样质点所做的功为

dAFdr

变力所做的功就是全部元功的和，写成积分的形式就是：

b AFdr

a因此通过微积分的方法可以把物理问题中变化的量转化为不变的量，先求微元再求和的方法，从而求出变力在整个物理过程中做的总功，使看似复杂的问题简单化。

小结

数学学习是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们的学习积极性，因此，我们当代大学生学习高等数学的重要性就显而以见的了，我们要想在21世纪的社会有一个立足之地就需要全面的发展自己，而我们学习的高等数学又是这里面的重中重！我们只有认清当今社会的人才培养目标，深入的学习高等数学，使高等数学在我们的人生中其到应有的作用，为社会做到最大的效益!

参考文献(5号宋体)（格式如下）

[1] 同济大学数学教研室．高等数学（第六版）【M】.北京：高等教育出版社.2007 [2] 张丽玲.导数在微观经济学中的应用【J】.河池学院学报,2007,(27).[3]百

度

文

库http://wenku.baidu.com/search?word=%CE%A2%BB%FD%B7%D6%BC%B8%BA%CE%D3%A6%D3%C3&lm=1&od=0&fr=top_home

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第二篇：微积分在经济中的应用

?高等数学?知识在经济学中的应用举例

复利与贴现问题

复利公式

实利率与虚利率

数e的经济解释

贴现问题

增长率

级数应用举例

银行通过存款和放款“创造〞货币问题

投资费用

库存问题

〔一〕

成批到货，不允许短缺的库存模型

〔二〕

陆续到货，不允许短缺的模型

〔三〕

成批到货，允许短缺的模型

由于现代化生产开展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。

复利与贴现问题

复利公式

货币所有者〔债权人〕因贷出货币而从借款人〔债务人〕手中所得之报酬称为利息。利息以“期〞，即单位时间〔一般以一年或一月为期〕进行结算。在这一期内利息总额与贷款额〔又称本金〕之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。

如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利〞。

下面推出按福利计息方法的复利公式。

现有本金A0，年利率r=p%，假设以复利计息，t年末A0将增值到At，试计算At。

假设以年为一期计算利息：

一年末的本利和为A1=A0〔1+r〕

二年末的本利和为A2=A0〔1+r〕+A0〔1+r〕r=

A0〔1+r〕2

类推，t年末的本利和为At=

A0〔1+r〕t

〔1〕

假设把一年均分成m期计算利息，这时，每期利率可以认为是，容易推得

〔2〕

公式〔1〕和〔2〕是按离散情况——计息的“期〞是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算At的复利公式。

假设计息的“期〞的时间间隔无限缩短，从而计息次数，这时，由于

所以，假设以连续复利计算利息，其复利公式是

例1

A0＝100元，r=8%，t＝1，那么

一年计息1期

一年计息2期

一年计息4期

一年计息12期

一年计息100期

连续复利计息

实利率与虚利率

由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率为8％，一年计息1期，确实按8％计算利息；一年计息2期，实际上所得利息是按8.16％计算的结果；一年计息4期，实际上所得利息是按8.243％计算；一年计息12期，实际上是按8.3％计算；一年计息100次，实际所得利息是按8.325计算利息。

这样，对于年期以下的复利，我们称年利率8％为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。如8.16％为一年复利2期的实利率，8.3％为一年复利12期的实利率，8.329％为一年连续复利的实利率。

记r为名义年利率，rm为一年计息m期的实利率，本金A0，按名义利率一年计息m期，一年末将增值到A0〔1+〕m，按实利率计息，一年末将增值到A0〔1+rm〕。于是，有

1+rm＝〔1+〕m，即是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。

假设记rm为连续复利的实利率，由于

所以，实利率与虚利率之间的关系为。

数e的经济解释

设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为

这就是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e元。这可作为数e的经济解释。

由于，所以，这是的实利率大约为172％。

贴现问题

我们已经知道，初时本金A0，年利率r，t年末的本利和At，以年为期的复利公式是，一年均分为m期的复利公式是，连续复利公式是。

假设称A0为现在之，At为未来值，一只现在值求未来值是复利问题，与此相反，假设未来值At求现在值A0，那么称贴现问题，这时利率r称为贴现率。

由复利公式，容易推得：

离散的贴现公式为

连续的贴现公式为

例2

设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元。

这里，贴现率r=6.5％，未来值At=1200，t=16。所以，现在值

增长率

设变量y是时间t的函数y

=

f

（t），那么比值

为函数f

（t）在时间区间上的相对改变量；如果f

（t）可微，那么定义极限

为函数f

（t）在时间点t的瞬时增长率。

对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。

这样，关系式

〔*〕

就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，假设这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用〔*〕式来描述。因此，指数函数中的“r〞在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。

如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。

例3

某国现有劳动力两千万，预计在今后的50年内劳动力每年增长2%，问按预计在2056年将有多少劳动力。

由于未来值A0=2000，r=0.02，t=50，所以，50年后将有劳动力

例4

某机械设备折旧率为每年5％，问连续折旧多少年，其价值是原价值的一半。

假设原价值为A0，经t年后，价值为，这里r=-0.05。由，假设取，易算出t=13.86〔年〕，即大约经过13.86年，机械设备的价值是原价值的一半。

级数应用举例

银行通过存款和放款“创造〞货币问题

商业银行吸收存款后，必须按照法定的比率保存规定数额的法定准备金，其余局部才能用作放款。得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保存法定准备金，其余局部作为放款。如此继续下去，这就是银行通过存款和放款“创造〞货币。

设R表示最初存款，D表示存款总额〔即最初存款“创造〞的货币总额〕，r表示法定准备金占存款的比例，r<1。当n趋于无穷大时，那么有

假设记

它称为货币创造乘数。显然，假设最初存款是既定的，法定准备率r越低，银行存款和放款的总额越大。

这是一个等比级数问题。

例如

设最初存款为1000万元，法定准备率20%，求银行存款总额和贷款总额。

这里，R=1000，r=0.2，存款总额D1由级数

1000+1000（1-0.2）+1000（1-0.2）2+…

决定，其和

贷款总额D2由级数

1000（1-0.2）+1000（1-0.2）2+…

决定，显然

D2=4000〔万元〕

投资费用

这里，投资费用是指每隔一定时期重复一次的一系列效劳或购进设备所需费用的现在值。将各次费用化为现值，用以比拟间隔时间不同的效劳工程或具有不同使用寿命的设备。

设初期投资为p，年利率为r，t年重复一次投资。这样，第一次更新费用的现值为,第二次更新费用的现值为，以此类推。如此，投资费用D为以下等比级数之和：

于是

例如，建造一座钢桥的费用为380000元，每隔10年需要油漆一次，每次费用为40000元，桥的期望寿命为40年；建造一座木桥的费用为200000元，每隔2年需油漆一次，每次费用为20000元，其期望寿命为15年，假设年利率为10%，问建造哪一种桥较为经济？

钢桥费用包括两局部：建桥的系列费用和油漆的系列费用。

对建钢桥，p=380000，r=0.1，t=40，因，那么建桥费用

查表知，于是

同样，油漆钢桥费用

故建钢桥总费用的现值

类似的，建木桥费用

油漆木桥费用

故建木桥总费用的现值

由计算知，建木桥有利。

现假设价格每年以百分率i涨价，年利率为r，假设某种效劳或工程的现在费用为p0时，那么t年后的费用为

其现值为

。这说明，在通货膨胀情况下，计算总费用D的等比级数是

例如，在上述建桥问题中，假设每年物价上涨7%，试重新考虑建木桥还是建钢桥经济？

这里，r=0.1，i=0.07，r-i=0.03，此时，对钢桥，建桥费用和油漆费用分别为

建钢桥总费用的现在值

D=D1+D2=698100〔元〕

对木桥，建桥费用和油漆费用分别为

建钢桥总费用的现在值

D=D3+D4=895550〔元〕

根据以上计算，在每年通货膨胀7%的情况下，建钢桥经济。

库存问题

库存或存贮在生产系统，商业系统，乃至各个系统中都是一个重要的问题。需求可由库存的输出来供给和满足，库存也要由输入来维持和补充，库存起到调节供给与需求，生产与销售之间不协调的作用。

我们的问题是库存数量为多少时最适宜。控制存货数量的目的是把存货总费用降低到最小。这里，假设存货总费用包括如下三个方面的费用：

1.生产准备费或订购费：工厂生产产品成批投产，每次投产要支付生产准备费；商店向外订货，每次订货都要支付订购费。假设每次投产的准备费或每次的订购费与投产或订货数量无关。

2.货物的库存费用：货物存放仓库的保管费。假设在某一时间内单位产品的库存费不变。

3.缺货损失费：因不能及时满足需求而带来的损失。

另外，还假设需求是连续的，均匀的，即单位时间内的需求是常数，因而在一个方案期内需求的总量是的，简言之，需求是一致的，这是确定性库存模型。

我们讨论以下模型：

1)

成批到货，不允许短缺的库存模型

2)

陆续到货，不允许短缺的库存模型

3)

成批到货，允许短缺的库存模型

（一）成批到货，不允许短缺的库存模型

所谓成批到货，不允许短缺，就是每批产品或每次订购的货物整批存入仓库，由仓库均匀提取〔因需求是一致的〕投放市场，当前一批库存提取完后，下一批货物立即补足。在这种理想情况下，库存水平变动情况如图1所示：库存量由最高水平逐渐〔或线性〕的减少到0，此时，库存水平又立即到达最高水平，再循环前过程。这样，在一个方案期内，平均库存量可以认为是最高库存量的一半。图中的t表示一个存贮循环延续时间。

Q〔库存水平〕

每批数量

O

t

t

t

最高库存水平

平均库存水平

T〔时间〕

图1

由于在一个方案期内需求量是固定的，在这方案期内，如果每批投产或每次订购数量多，自然库存量多，自然库存量多，因而库存费多；但是，这时因投产或订购数少，因此生产准备费或订购费少。如果每批投产或每次订购量少，库存费减少，但因投产或订购次数多，自然，生产准备费或订购费增多。在这两种费用一多一少的矛盾情况下，我们的问题是，如何确定每批投产或每次订购的数量，即选择最有批量以使这两项费用之和为最小。

假设

D：一个方案期内的需求数量，即生产或订货的总量；

C1：一个方案期内每件产品所付库存费；

C2：每批生产准备费或每次订购费；

Q：每批投产或每次订货的数量，即批量；

E：一个方案期内存货总费用，即生产准备费或订购费与库存费之和。

这样，在一个方案期内，自始至终，按图1之分析，库存数量应认为是，即库存量恰是批量之半，所以库存费为；生产次数或订购次数，即批数应为，因此，生产准备费或订购费为。于是，存货总费用E与每批数量Q的函数关系为

现存的问题是：决策变量Q，使目标函数取极小值。

由极值存在的必要条件：

或

〔1〕

由上式解得

〔2〕

由极值的充分条件：

所以，当批量时，总费用最小，其值：

即

（3）

这就得到了求最优批量及最小总费用的一般表达式〔2〕和〔3〕。

表达式〔2〕在库存理论中称为“经济订购量〞或“经济批量〞公式。简称为“EOQ〞公式。

注意到〔1〕式：〔极值存在的必要条件〕可写作：

〔4〕

〔4〕式左端正式一个方案期内的库存费，而右端那么是一个方案期内的生产准备费或订购费，因此，对“一致需求，成批到货，不许短缺〞的库存模型有如下结论：

使库存费与生产准备费〔或订购费〕相等的批量，是经济批量。

这样，对上述库存问题，我们也可直接由公式〔4〕来经济批量。

例1

某厂生产摄影机，年产量1000台，每台本钱800元，每一季度每台摄影机的库存费是本钱的5％；工厂分批生产，每批生产准备费为5000元；市场对产品一致需求，不许缺货，产品整批存入仓库。试确定经济批量及一年最小存货总费用。

解

由题设知，D＝1000台，C2＝5000元，每年每台库存费

C1＝800×5%×4＝160〔元〕

存货总费用E与每批生产台数Q的函数关系：

由〔2〕式，经济批量

一年最小存货总费用

图

E

=

E1

+

E2

200

300

400

250

Q〔台〕

O

E〔万元〕

由图2可知，库存费用曲线与生产准备费用曲线：

交点的横坐标就是经济批量，其纵坐标刚好是存货总费用的一半。

（二）陆续到货，不允许短缺的模型

陆续到货，就是每批投产或每次订购的数量Q，不是整批到货，立即补足库存，而是从库存为零时起，经过时间t1才能全部到货。

在此，需补充假设

P：每单位时间内的到货量，即到货率；

u：每单位时间内的需求量，即需求率。

显然，假设P>u，每单位时间内净增加存货为P-u，到时刻t1终了库存出现一个顶点，这时，库存量为t1（P-u）。

由于经历时间t1到货总量为Q，因此，从而最大库存量为

这种库存模型的库存水平变动情况如图3所示。

T〔时间〕

图3

Q〔库存水平〕

O

t

t

t

t1（P-u）

平均库存水平

t1

t1

t1

这样，在一个方案期内，平均库存量应为最大库存量之半，因而库存费为。

本问题中，因为生产准备费或订购费与“成批到货，不许短缺〞库存模型一样，因此，存货总费用E与每批数量Q的函数关系，即目标函数是

为决策变量Q，由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量

这时，库存总费用的最小值

最优批量Q*的表达式〔6〕也可由下式得到：

例2

同例1，但产品陆续存入仓库，每月到货200台，试确定经济批量和最正确费用。

解

条件是：

由〔5〕〔6〕〔7〕可得经济批量为327.3台，这时最正确费用为30550元。

（三）成批到货，允许短缺的模型

前面讨论的两个库存模型是不允许缺货。允许缺货是指，缺货时未能满足的需求，在下一批货物到货时要予以满足，而且缺货时的需求直接输出而不经过库存。其它情况同模型一。如果缺货带来的损失很小，且不会因暂时缺货而失去销售时机，缺货现象是允许存在的。

允许缺货情况，库存水平变动情况见图4。图中的t是一个存贮循环延续时间，从前一批到货至库存量减少为0的时间为t1，从库存是0至下一批货物到达的时间为t2。

Q〔库存水平〕

批量Q

O

t2

t

t

最高库存水平

T〔时间〕

图4

t2

t1

t1

B

Q－B

这里尚需补充假设

B：库存得到补充之前的允许缺货量；

C3：在一个方案期内，缺一件产品的损失费。

需要注意的是每批投产或每次订购的数量Q包括了最大的允许缺货量B。

本库存模型中，生产准备费与订购费与前面模型相同：

库存费：因有货时间t1占一个存贮循环时间的比率为，所以，在一个时机期内，有货时间所占比率也为。有货时，最大库存量为Q-B，从而平均库存量为，由图4中

相似三角形易知

因此，在一个方案期内，库存费为

缺货费：在缺货时间t2占一个存贮循环时间的比率为，在一个方案期内，缺货总时间所占比例也为。最大缺货量为B，因此，平均缺货量为，由图4的相似三角形得知。因此，在一个方案期内，缺货量为.综上，在一个方案期内，库存总费用

或写作

这是该问题的目标函数。

现在的问题是决策两个变量Q和B，以使目标函数取极小值。

根据〔8’〕式，由二元函数极值存在的必要条件，有

解该方程组，可得

可以验证极值存在的充分条件满足：，因此，将

代入〔8〕式，可得存货总费用的最小值：

比拟〔9〕式和〔3〕式，如果缺一件产品的损失费C3为无穷大，因，那么〔9〕式就是〔3〕式，这说明：不允许缺货可视为缺货损失为无穷大的情况。此式，又因，由〔10〕式知，恰有缺货量B*=0。

例3

某厂，一年劳动日为300天，生产率〔单位时间内的产量〕固定，一年可组装机床1500台；假设组装一台机床的零部件价值14400元，而一年的保管费为其价值的22％，因缺零部件而停工，少装一台机床的损失费为零部件价值的50％；又每次订购零部件的手续费为7500元，为使一年存货总费用最小，试就以下各种情况决策最优批量和允许缺货量〔如果允许缺货的话〕并计算最正确费用：

〔1〕不管每次订购数量为多少，都可立即到货，不允许停工待料；

〔2〕假设订货后，每天可到货30台机床的零部件，不允许停工待料；

〔3〕不管每次订货多少，都可立即到货，允许停工待料，但缺料时未完成的任务，当到货后，可不占劳动日就能完成。

解

由题设知

〔1〕这是成批到货，不许缺货的情况。目标函数为：，由〔2〕式得最优批量84.27，可取Q*=84台；由目标函数可得最正确费用E*＝266985元。

〔2〕这是陆续到货，不许短缺的情况。目标函数为

由〔6〕式得最优批量92.3，取Q*=92台；最正确费用E*＝243723元。

下面，比拟成批到货和陆续到货两种情况：

成批到货

陆续到货

最优批量

最大库存水平

一年订购次数

一年总费用

Q=84

Q=84

N=18（实为17.85）

E=266985

Q=92

Q=77

N=17（实为16.3）

E=243723

显然，陆续到货总费用减少，这是因为一年订购次数减少且平均库存量减少。

〔3〕这是成批到货，允许短缺的情况。目标函数

由〔9〕式和〔10〕式可分别得到最优批量和最大缺货量：

由此知，允许停工待料的情况，取，最正确费用E＝222487元。这种情况也比第一种情况节省存货总费用。

第三篇：浅谈微积分在中学数学教学中的应用

浅谈微积分在中学数学教学中的应用 初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。

高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。

一．用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的。

在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。

例1（方程根的讨论）

求证(xa)(xab)1有两个相异实根，并且一个根大于a，令一个根小于a． 证法一（采用初等方法证明）

证明将方程(xa)(xab)1整理的22x2abxaab10

22ab4aab12

2224a4abb4a4ab4

2b40 

所以方程有两个相异的实根

2abb242abb24x1,x222

2abb24bb24x1aa22

2abb24b24x2aa22

因为 b24b2,所以b24b.因此x1a,x2a.证法二（采用微积分方法证明）

证明设fxxaxab1

则

x0fa10因为limfx，所以在区间,a和a,内分别存在和，使

f0,f0

由连续函数的介值性定理，在区间,a和a,内分别存在x1和x2，使的fx10,fx20

这表明x1和x2是方程的两个相异实根，x1a,x2a.不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论．因为fab10 所以ab同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程xaxab1的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数．于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设c0，则方程xaxabc必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间．

注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦．而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。

例2（不等式的证明）

若x0，求证：xln1xx 1x

证明设fxln1x则fx在0,x上满足拉格朗日中值定理，故存在0,x使f

即 fxf0 x01ln1x 1x

111 1x10x,

1ln1x1 1xx

xln1xx 即1x

注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧．利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式． 例 3（代数式的化简）

化简xyzxyzyzxzxy.3333

解把x看作变量，y与z看作常量．令

fxxyzxyzyzxzxy.3333

对求导得

fx3xyzxyzyzxzxy24yz 2222

上式两端取不定积分得 fx24yzdx24xyzC

xyzxyzyzxzxy24xyzC 3333

令x0得Cyzyzyzzy0 3333

故原式24xyz

注 对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。

二．微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。

例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理的证明。我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题。祖恒定理的证明

高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明。

证明 在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O，过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向，把两平行平面的距离记为h，设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x，且截两立体所得的截面面积分别为S1x与S2x，显然S1x与

设两立体的体积分别为V1和V2，由定积分定义得： S2x都是0,h上的连续函数，V1S1xdxV2S2xdx 00hh

S1xS2xx0,h

S1xdxS2xdx 00hh

V1V2

总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础。用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题。微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。

作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。

第四篇：微积分教案

§1.6 微积分基本定理的应用

课型：新授课

一．教学目标

1．.会利用微积分基本定理求函数的积分.2．通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二．温故知新：

1.微积分基本定理 2.定积分的简单性质

3.导数公式

三．探究导航

探究1 例1．计算下列定积分：（1）2021311dx；

（2）(2x2)dx。

1xx例2．求下列定积分：

（1）(3x4x)dx

（2）2sin202xdx 2分析：利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时，有时需先化简，再积分！

探究二：0sinxdx,sinxdx,sinxdx。

022由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论  计算定积分的一般步骤：

(1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差； (3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值．

四．课堂达标练习

A

组

1．(exex)dx=（）

01121（A）e+

（B）2e

（C）

（D）e-

eee2．(3x2k)dx=10，则k=____________ 023．计算定积分：（1）(42x)(4x)dx

（2）02221x22x3dx

x3（3）

41x(1x)dx

（4）(x21x)2dx

B组

1．计算定积分：

（1）edx

（2）4cos2xdx

012x6

2．设m是正整数，试证下列等式：（1）sinmxdx0

（2）

3．已知f（x）是一次函数，其图象过点（3，4）且cos2mxdx

10f(x)dx1求f（x）的解析式

五．课后作业

已知f（x）=axbxc且f（1）=2，f(0)0，f(x)dx4

121求a，b，c的值

第五篇：微积分总结

第一章知识点

1.极限的定义(ε-δ定义）：

（重在理解)2.两边夹法则

先看它是否有明显的界限，再有极限相同入手。

但要注意：夹的时候一定要保证不等关系一直成立 3.在证明不等关系时，二项式定理是一个不错的工具，尤其是涉及到n次幂的问题（P9 例题3）

4.复合函数问题中Df∩Zg≠Φ对于一个复合函数f(g(x)),那么g(x)的值域与f(x)的定义域必须要有交集（小错误）

5.有基本初等函数(反对幂指三）经过有限次变换得到的函数均为初等函数（定理：初等函数在其定义域内均连续）6.邻域均为开区间

7.用ε-ε-δ定义定义证明极限等于某个常数，其关键是找出一个符合要求的δ，并要充分利用lim=n这一条件。P30 例1 8.Limf(x)=∞时，f(x)的极限不存在，只是借用这一符号。在此处有垂直渐近线

9.左右极限存在且相等==> 函数在这一点极限存在 10.函数极限存在则必有唯一性（反证法，与定义矛盾)11.连续可推出极限存在

12.连续性的条件：1.f(x0)有意义

2.f(x0)在此处的极限存在 3.此处limf（x）=f（x0）13.换元要换限，取值范围要跟着变。

14.无穷小性质：

1.有限个无穷小之和与乘积是无穷小

2.有界函数和常数 与无穷小的乘积是无穷小

（用于简化求极限的式子）

15.利用无穷小求极限就是丢掉不影响的无穷小（高阶无穷小），再用等价无穷小替换。

16.若f(x)在x0处可微，则f(x)在处连续，其极限也必定存在 17.可微=左右微商相等

（不等即微商不存在）

18.因此求分段点出的微商的步骤是：先求左微商，再求右微商，再看其等不等。等便存在，不等便不存在

19.连续点处或左右微商：1.先求增量Δy

2.再求Δy/Δx 3.求极限（极限为无穷则称其不可微）20.切线方程，法线方程 21.求极限时注意谁是变量。

22.无穷小等价代换 乘除可换 加减不能

在对无穷小比无穷小求极限的过程中，可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换，加减时一般不能用等价无穷小替换，加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在，且极限不等于-1，则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换。

23.间断点类型：第一类间断点：1.左右极限存在且相等但不等与

f(x0)(可取间断点）

2.左右极限不等（跳跃间断点）第二类间断点：

左右极限至少有一个不存在 24.极限比值为常数且分子或分母也为0，则另一个也为0（分子分母为同阶无穷小）25.(1)limsinx1x0x1x比较limxsinx0x(2)lim(1x)x0e或lim(1x1x)ex

26.极限的性质：1.唯一性 2.局部保号性 3.两边夹法则 4.比值极限性质 27.仅个人小小理解，当作总结，若有错误还请及时与我交流，愿大家共同进步！！