微积分发展史

第一篇：微积分发展史

微积分发展史

一、微积分学的创立

微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念。

到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。

二、微积分诞生的重要意义

微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这一切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。

三、微积分理论的基本介绍

微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时ε可以取任意小，只要满足在δ区间，都小于ε，我们就说他的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功的。

五、微积分的不断发展完善

随着社会的进步，科学的发展，微积分学也在不断的发展与完善。微积分学是与科学应用紧密联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用。

第二篇：微积分教案

§1.6 微积分基本定理的应用

课型：新授课

一．教学目标

1．.会利用微积分基本定理求函数的积分.2．通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二．温故知新：

1.微积分基本定理 2.定积分的简单性质

3.导数公式

三．探究导航

探究1 例1．计算下列定积分：（1）2021311dx；

（2）(2x2)dx。

1xx例2．求下列定积分：

（1）(3x4x)dx

（2）2sin202xdx 2分析：利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时，有时需先化简，再积分！

探究二：0sinxdx,sinxdx,sinxdx。

022由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论  计算定积分的一般步骤：

(1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差； (3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值．

四．课堂达标练习

A

组

1．(exex)dx=（）

01121（A）e+

（B）2e

（C）

（D）e-

eee2．(3x2k)dx=10，则k=____________ 023．计算定积分：（1）(42x)(4x)dx

（2）02221x22x3dx

x3（3）

41x(1x)dx

（4）(x21x)2dx

B组

1．计算定积分：

（1）edx

（2）4cos2xdx

012x6

2．设m是正整数，试证下列等式：（1）sinmxdx0

（2）

3．已知f（x）是一次函数，其图象过点（3，4）且cos2mxdx

10f(x)dx1求f（x）的解析式

五．课后作业

已知f（x）=axbxc且f（1）=2，f(0)0，f(x)dx4

121求a，b，c的值

第三篇：微积分总结

第一章知识点

1.极限的定义(ε-δ定义）：

（重在理解)2.两边夹法则

先看它是否有明显的界限，再有极限相同入手。

但要注意：夹的时候一定要保证不等关系一直成立 3.在证明不等关系时，二项式定理是一个不错的工具，尤其是涉及到n次幂的问题（P9 例题3）

4.复合函数问题中Df∩Zg≠Φ对于一个复合函数f(g(x)),那么g(x)的值域与f(x)的定义域必须要有交集（小错误）

5.有基本初等函数(反对幂指三）经过有限次变换得到的函数均为初等函数（定理：初等函数在其定义域内均连续）6.邻域均为开区间

7.用ε-ε-δ定义定义证明极限等于某个常数，其关键是找出一个符合要求的δ，并要充分利用lim=n这一条件。P30 例1 8.Limf(x)=∞时，f(x)的极限不存在，只是借用这一符号。在此处有垂直渐近线

9.左右极限存在且相等==> 函数在这一点极限存在 10.函数极限存在则必有唯一性（反证法，与定义矛盾)11.连续可推出极限存在

12.连续性的条件：1.f(x0)有意义

2.f(x0)在此处的极限存在 3.此处limf（x）=f（x0）13.换元要换限，取值范围要跟着变。

14.无穷小性质：

1.有限个无穷小之和与乘积是无穷小

2.有界函数和常数 与无穷小的乘积是无穷小

（用于简化求极限的式子）

15.利用无穷小求极限就是丢掉不影响的无穷小（高阶无穷小），再用等价无穷小替换。

16.若f(x)在x0处可微，则f(x)在处连续，其极限也必定存在 17.可微=左右微商相等

（不等即微商不存在）

18.因此求分段点出的微商的步骤是：先求左微商，再求右微商，再看其等不等。等便存在，不等便不存在

19.连续点处或左右微商：1.先求增量Δy

2.再求Δy/Δx 3.求极限（极限为无穷则称其不可微）20.切线方程，法线方程 21.求极限时注意谁是变量。

22.无穷小等价代换 乘除可换 加减不能

在对无穷小比无穷小求极限的过程中，可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换，加减时一般不能用等价无穷小替换，加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在，且极限不等于-1，则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换。

23.间断点类型：第一类间断点：1.左右极限存在且相等但不等与

f(x0)(可取间断点）

2.左右极限不等（跳跃间断点）第二类间断点：

左右极限至少有一个不存在 24.极限比值为常数且分子或分母也为0，则另一个也为0（分子分母为同阶无穷小）25.(1)limsinx1x0x1x比较limxsinx0x(2)lim(1x)x0e或lim(1x1x)ex

26.极限的性质：1.唯一性 2.局部保号性 3.两边夹法则 4.比值极限性质 27.仅个人小小理解，当作总结，若有错误还请及时与我交流，愿大家共同进步！！

第四篇：微积分学习心得

既然叫心得，就先从老师的教学感受说起吧，刘老师喜欢讲课外的故事，我很喜欢这种提神的插曲还能了解专业和学校以及数学方面的知识，刘老师与高中不同之处或是说讲课目的差别，就在于讲课的实质性，不像原来我们只是学方法和题型，不需要在常规题型上问为什么，这节约了复习时间，但现在终于知道好多原来不解的原因，比如，高中定义e为计算机常数，而如今却从极限的角度来定义，还有正态分布，高中只是略过一遍，现在看来，自然界以正态分布居多和许多的统计，函数等，着实扩充了自己的知识层面，自己没有数学系中同学的天分，但在数学思想上还是喜欢学习的，技不如人也好，几个月的微积分还是有些感悟的。

从极限学起，似乎还是远来的知识，加上导函数应用，但还是不同，第一次作业中有一道题

让我不会只相信那答案了。

1.收敛数列A与发散数列B之和A+B必为发散数列，正确答案是命题正确，可是参考答案是

错，我还纠结找例子推反，最后还是错了，还有一题是

2.设F（x）在x＝a处可导，求h－0时，F（a+3h）-F（a-h）／h

本题按照分子加上再减去一项F（a）即可得到答案，可是盲目相信答案，没有坚持自己的答案，太依赖这种保守性的更正反而不如没有更正来的好些，正如曾经有个老师说的，看答

案看久了，考试只能是一片空白。

极限一节和洛必达法则应用在微积分的课程中是很重要的，比如求x㏑x在x－0时的极限，原来是做不的，但定积分时这类题很多，洛必达法则的应用就使问题迎刃而解了，稍加变化成分数形式就解出了。无穷小量的提出为尔后的微分奠定了基础，也是求极限比大小的一种手段，同时也为等价替换这一技巧留下余地，夹挤原理也解决了不能计算的一些题，如一定

物理定理的基础证明

1.x－0时sinx／x极限为1，物理学家在研究单摆原理继而引申到简谐震动时，小角或是小位移关系是大量统计的出sinx≈x的结论，从而得出公式，而单位圆法夹挤原理应用利用，x－0时cosx－1.再求解，根存在问题与零点和介值定理应用我个人也是有所收获的，根有与否可以应用图像或是构造函数求导的方法，零点定理是基础，常见的有几个根和其范围，用中点试法可以得到更精确的值，微分的引入解决了我以前求值不出啊，如求arctan1.01现在可以依靠特殊点近似求角和差量了，无穷小量的舍弃，求出主体部分，微分与导数密不可分，而积分的特殊公式也在这节提出，求切线问题，算是老题型了，但骨子里数形结合思想不变，微分中值定理在证

明题中作用很大，构造函数也很重要如

1.求证x＞1时，e的x次方大于x.e，构造F（x）＝e∧x－ex.求导即可，2.已知函数f（x）在0≦x≦1上连续，在（0，1）内可导，且f（1）＝0.求证在（0，1）内

至少有一点a使af（a）＋f（a）＝0

注意到这个式子导数于变量乘积，于是构造F（x）＝xf（x）.又∵F（1）＝F（0）＝0.则必有F＇＇（ç）＝0即求导后可证。

高阶导数的计算是个技巧，尤其在参数函数和隐函数结合上，对于一般的高阶可以结合洛必达法则，参数函数与隐函数则复杂些，这也引出了对数求导法，很好用，但也有限制他，那些复杂多因式可以很好解决，特别指出二阶求导的应用，对于函数单调性与极值和凹凸性的运用其很大作用，记得高中常有题目一阶导数是解不出函数在某个范围内的单调性的，借助二阶导数研究导数本身才能得出答案，与此不得不提的泰勒公式，给人很大的数学冲击，解决所有函数式的差量与具体让人可以想更多的统计与得出规律性结论，看懂还是不容易的，毕竟我们都远比上那个天才，最优化问题很实用，自然可以产生一定的经济效益，修路打药甚至是公司的前景应用都很重要，在最小值计算中导数有时和多项均值定理有异曲同工之效，但项数改变运用均值定理一般要比导数简单 积

分是在最近我发现大家普遍头疼的一章，不管是哪个学校的同学都发表说忙于计算积分掌握技巧包括我在内，的确是考验勤奋度与思维灵活度的一章知识，我决定必要的公式一定要记这样就不必做一道翻一下书了，

第五篇：微积分教案

微积分数学模型的应用

微分模型

一、光纤收费标准模型

某地有多家有线电视公司。有线电视公司A的光纤收费标准为14元/（月。户），目前它拥有5万个用户。某位投资顾问预测，若公司每月降低1元的光纤收费，则可以增加5000个新用户。1）请根据这一预测，为公司制定收费标准，以获得最大收益

2）如果公司每月每户降低一元的光纤收费，只增加1000个新用户，问该如何制定收费标准？

一、模型假设与符号说明

1、假设该地的用户数远远大于5万

2、假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况

3、若公司每月每户降低1元的光纤收费，可增加a个新用户，公司每月每户降低x的光纤收费，公司的月收益为P(x)。

二、模型建立

P(x)每月每户交纳的费用总用户数，即

P(x)=(14-x)(50000+ax)=700000+(14a-50000)x-ax

三、模型求解

（1）当a5000时，P(x)=700000+20000x-5000x，求导得

P'(x)=20000-10000x

令P(x)0，得驻点x2。

根据实际问题的分析知道：当公司定价为12元时，公司拥有60000用户，此时公司每月的最大收益为72万元。

（2）1）当a1000时，p(x)70000036000x1000x，求导得

2'P'(x)=-36000-2000x

令P(x)0，得驻点x18。

根据实际问题知：x0，故与实际情况不吻合

二、存贮模型

（一）不允许缺货的存贮模型 1.问题的提出 存贮问题广泛存在于工厂的原材料贮备，商店的商品贮备、水库蓄水等现实问题'中．这里的关键是存贮量的大小，存贮量过大则需付出过高的存贮费用；存贮量不足又可能导致不能满足需求从而造成损失．因此，确定一个最优的贮存策略是具有重要意义的． 2.模型的构建

下面假定需求量是确定的，并且不允许缺货现象出现，如钢厂订购废钢供炼钢就是这种情况，因为钢生产对原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料将造成巨大的损失． 在不允许缺货的情况下我们可以考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费，货物的贮存费．建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的情况下制定最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小．

模型假设：（1）每天货物需求量为r吨．

（2）每隔T天订一次货（称T为订货周期），订货量是Q吨，当贮存量降到零时新一批订货恰好到达．（3）每次订货费为C1（与订货量无关，也与货物本身的价格无关），每天每吨货物贮存费为C2． 模型建立：订货周期T、订货量Q与每天需求量r之间应满足关系 QrT ．

订货后贮存量由Q均匀地下降，设任意时刻的贮存量为q(t)，则q(t)是t的线性递减函数，其变化规律如图10－1． 考虑一个订货周期的总费用C(T)：订货费C1与贮存费．

__贮存费＝每天每吨货物的贮存费平均每天的存贮吨数天数 ＝C2Q0T 2

图10－1

＝于是得

1C2QT．

21C(T)＝C1C2QT，2__1C(T)＝C1C2rT2．

2__

（2）

显然，不能以一个周期内的费用为目标函数，这样会导致订货周期越短越省钱的错误结论，而应以每天的平均费用（记作C(T))为目标函数，于是

C(T) C(T)C11＝C2rT． TT2__

（3）

制定最优存贮策略归结为求订货周期T使C(T)最小． 3.模型求解 利用微分法，令

C1dC(T)0，得21C2r0，2dTT解得 最佳进货周期

T2C1． rC（4）

将QrT代入上式得最佳进货量

Q2C1r．

C2

（5）

式（8）就是经济理论中著名的经济订货批量公式． 4.模型应用

订货批量公式（5）表明，订货费C1越高，需求量越大，则订货批量Q应越大；贮存费C2越高，则订货批量Q应越小．这些结论都可以由常识得到，不过公式在定量上表明的平方根关系却是凭常识无法得到的．

例 1 一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为每次200元，每双鞋每储存一天的费用为0.01元，该商店多少天进一次货最好，进货量为多少？

解 本题中r=110，C1200,C20.01.于是得最佳进货量 Q最佳进货天数 2C1rC222001102098双，0.01T= Q209820天r110即20天进货2098双最好

（二）允许缺货的存贮模型.问题的提出 考察一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题．设市场对某种商品的需求是确定的和已知的，市场对某种商品的需求仍为每天r吨，但允许缺货．缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，称缺货损失费．于是这个模型的第（1）、第（3）条假设与不允许缺货时相同，而第（2）条改为(2)每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物的缺货损失费为C3．

2.模型的构建

缺货时贮存量q(t)视作负值，则q(t)的图形

如图10－2．货物在tT1时售完，但每天需求量仍为r，在T1,T这段时间内缺货，可视存贮量q(t)为负值，于

是在tT时下一次订货量Q一次到达，且QrT1．

图10－2 一个订货周期内总费用C：订货费C1，贮存费C2__T10q(t)dt，缺货损失费．

贮存费每天每吨货物的存贮费从第一天到第T1天总共存贮的货物吨数的和

＝C2T10q(t)dtC2Q(10T1t1)dtC2QT1． T12tdt(T1T)T1 缺货损失费＝C3 ＝C3＝TT1q(t)dt＝C3Q(1T1T TT1(rT1rtdt(QrT1)

1C3r(TT1)2． 2于是一个周期内的总费用为： 11CC1C2QT1C3r(TT1)2．

22__ 3 模型的求解

模型的目标函数仍为每天的平均费用C(T,Q)，将T1__Q代入上式，得 r

C(T,Q)＝

CC11C1C2Q23(rTQ)2TT2r2r，求T、Q使得C(T,Q)最小．

先求出二元函数C(T,Q)关于T、Q的偏导数

CC． ,TQ 然后令CC0,0，TQ最后解出最优值T与Q，即得 最佳进货周期 **T*2C1(C2C3)，rC2C（6）

最佳进货批量

Q* 4.模型的应用 2rC1C3

C2(C2C3)

（7）

式（6）、（7）表明，缺货损失费C3越大，订货周期应越短，订货批量越大．当C3很大（即缺货损失变得很大）时，C3，有

C2C3C121，则允许缺货的最佳周期和最佳批量与不允C3C3许缺货的最佳定货周期和最佳批量有如下关系 T*2C1(C2C3)rC2C32C1*，QrC22rC1C32rC1． C2(C2C3)C2允许缺货的情形又回到了不允许缺货的情形，显然这是符合实际的．

例2 有一酒类批发商，以每天150瓶的速度供应零售商，存储费用为每天每瓶0.05元，根据合同如缺货，每瓶每天必须向零售商赔偿0.2元。若批发商一次的费用为300元，试确定批发商的最佳批发周期、进货量。

解 因 r150,C20.05,C30.2,C1300,于是得最佳批发周期为

T最佳进货量

Q

三、生猪的出售时机 1．问题

饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。

2C1C2C3rC2C32300(0.050.2)10天，1500.050.22rC1C321503000.21200瓶，C2C2C30.05(0.050.2)2．分析

投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大建模及求解

估计r=2 g=0.1若当前出售，利润为80×8=640（元），t 天出售，生猪体重 w=80+rt 销售收入 R=pw 出售价格 p=8-gt 资金投入 C=4t 利润 Q=R-C=pw –C Q(t)(8gt)(80rt)4t

求 t 使Q(t)最大 t4r40g2=10 rgQ(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元

四、森林救火

当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大.如何确定灭火队员的人数，才能使总费用（火灾损失+救援开支）最小？

解 1．问题分析

（1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关.（2）救援开支由两部分构成：①灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；②运输费（与人数有关）.（3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延.半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比.2．模型假设

（1）火灾损失与森林被烧面积成正比

记开始失火的时刻为t0，开始灭火的时刻为tt1，火被完全扑灭的时刻为tt2.设在时刻t森林被烧面积为Bt，C1表示单位面积被烧的损失，则总损失为C1B(t2).（2）被烧面积与时间关系

dBdBdB表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m2/min),当t＝0与tt2时为零，当tt1时最dtdtdtdBdB|tt1b.由前面分析，Bt与t2成正比,故不妨设在区间[0,t1]与[t1,t2]上，大，记 都是t的dtdt线性函数.在[0,t1]上，斜率为0，称为火势蔓延速度,在[t1,t2] 上,斜率为x0,其中x为消防队员人数.为队员的平均灭火速度.（3）救援开支

设x为消防队员人数，灭火剂消耗与消防队员酬金每单位时间的费用为C2, 运输费平均每人费用为C3, 则救援开支为C3xC2x(t2t1).3．模型建立与求解

图14-3 由假设2，dBdt与t的关系如图14-3所示.利用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，大面积为

B(tt2dB2)B(tdt＝OMN面积＝bt22)B(0)0dt2 ∴总费用 C12C1bt2C2x(t2t1)C3x.此式中t2与x是变量，其余为常数.但t2与x是密切相关的，由图可知

btb1,tx, tb2t1x 2t1从而，总费用可化为一元函数：

C2Cx12C1bt11b2xC2bxxC3x dC2令 0，解得唯一驻点 x1C1b2C2bdx2C.3驻点就是最小值点.4．模型评价

森林被被烧的最 从结果看，x>，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大，这保证-x0，使1燃烧速度趋于零.而x的第一项 C1b22C2b是综合考虑了各种因素,使总费用最低.2C3积分模型

一、捕鱼成本模型 1.问题的提出

在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。

假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需花费多少成本？

2.模型的构成与求解

根据题意，当塘中鱼量为x公斤时，捕捞成本函数为 C(x)2000元。已知鱼塘中现有鱼10000公斤，问

10x2000(x0).10x假设塘中现有鱼量为A公斤，需要捕捞的鱼量为T公斤。当我们已经捕捞了x公斤鱼之后，塘中所剩的鱼量为Ax公斤，此时再捕捞x公斤鱼所需的成本为

CC(Ax)x因此，捕捞T公斤鱼所需成本为

2000x.10(Ax)CT0200010ATdx2000ln[10(Ax)]x2000ln(元)x010(Ax)10(AT)将已知数据A10000kg,T6000kg代入，可计算出总捕捞成本为 C2000ln100101829.59(元)4010顺便可以计算出每公斤鱼的平均捕捞成本 C

二、投资决策模型

某公司投资1860万元建成一条生产线．投产后，其追加成本和追加收入（分别是成本函数和收入1829.590.30元

6000函数对时间t的变化率，类似于边际函数概念）分别为G(t)52t（百万元/年），(t)17t（百万元/年）．试确定该生产线使用多长时间停产则可使公司获得最大利润？最大利润是多少？

解

容易看出，追加成本G(t)是单调增加函数而追加收入(t)是单调递减函数，这说明生产费用在逐年增加，而生产收入在逐年减少，二者之差即为生产利润随时间的变化率：

2323(t)G(t)(17t)(52t)123t．

232323与边际成本和边际收入的关系相同，生产利润最大值存在的必要条件是(t)G(t)．解方程得t8，由于生产利润对时间的导数为

(t)G(t)82t130，23所以，t8是生产利润的最大值点．这样，生产利润的最大值为

(t)G(t)dt18.6(123t008)dt18.638.418.619.8(百万元)．