微积分电子教案

第一篇：微积分电子教案

第七章

第七章

无穷级数

§7.1 无穷级数的概念 7.2 无穷级数的基本性质

主要教学内容

(1)无穷级数的概念;(2)无穷级数的基本性质.教学目的及要求: 掌握级数的基本概念及基本性质，会利用定义判别数项级数的收敛情况.重点难点及解决措施: 重点: 利用定义和性质判别典型题型的敛散性.难点: 部分和的求解.解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、引入课题

1、在初等数学里，我们学过有限项的和

例如

1+2+3+4+5+….+100=100(1001)=5050

2234n2222...21(12)12n21

n以及特殊的无穷递缩等比数列的和 例如

11111...2

124812但当一般的 1+2+3+4+5+6+…

2+4+8+16+…就不会了。

从今天开始我们就系统的介绍一些无穷项之和的理论。这就是第七章的内容-------无穷级数。什么是无穷级数呢？

二、新课设计

1．定义：设给定数列un： u1，u2，，un， 式子u1u2un

（1）

叫做无穷级数，简称为级数（1）式简记为un即：unu1u2un

n1n1

第七章

其中第n项un叫做级数的一般项或者通项。是求和号 例如：

1+2+3+4+5+6+…+n+…=

n

n1234n2222...2...2n

n1n1n121122132142...1n2...xn1nxxx...x...23n若一般项un是常数，则un是数项级数。

n1若一般项un是（与n有关的）函数，则un是函数项级数，前4节里我们讨论的一般都是数项级

n1数。2．说明

我们把一个级数的前n项的和sn称为第n次部分和，所有部分和构成数列sn：s1,s2,s3,sn,，若数列sn极限存在，即limsns，则称无穷级数un收敛，且收敛于s，nn1亦即无穷级数的和为s，记为s=un；否则称无穷级数发散，此时无穷级数的和不存在。要判断

n1一个级数有无和，亦即级数是收敛还是发散，其步骤为：

1）先求出级数un的前n项和Snu1u2unuk

n1k1n2）取极限limsn

n若极限存在且极限值为s，则级数un收敛，s为级数的和；

n1若极限不存在，则级数un发散。

n13．举例

例1 讨论几何级数（等比级数）

n1aqn1aaqaq2aq3...aqn1...(其中a≠0，q称为级数的公比。并规定q=0时，级数等于a.)的敛散性。解：当|q|≠1时，由于

第七章

nna1qaq23n1a snaaqaqaq...aq

1q1q1q 当|q|<1时，limnsna

1q，级数收敛。当|q|>1时，limsn，级数发散。

n当q=1时，snaaqaq2aq3...aqn1aaaa...ana

则limsn

n0当q=-1时，snaaqaq2aq3...aqn1aaaaa...n为偶数 1n为奇数 则limsn

n综上所述，当|q|<1时，级数收敛，其和为

当|q|≥1时，级数发散。

a。1q今后我们可以直接使用结论。比如，5n13n16n2n14n都是收敛级数

而

n1en   都是发散级数

n15这章中，除了等比级数之外，还有调和级数

p –级数1是发散的 n1n1pn1n------p1时，级数收敛

p1时，级数发散这些结论要记住。例

2、判定级数例

3、判别级数

lnn11的敛散性。nn1n1n123n1lnln...ln...的敛散性 n12n22222......的敛散性。

2n12n11335572n12n1n14．练习：(1)判定级数1(2)判定级数n的敛散性。

2n〔由于211n1,2,...

所以 2n12n12n12n

1第七章

sn222211 1111...1...12n12n13352n12n11335572n11故limsnlim11，因此所给级数收敛，其和为1。nn2n1即

21

n12n12n15．级数的基本性质

性质

1、如果级数un和vn收敛，n1n1unS1,vnS2，则(unvn)也收敛，且其和

n1n1n1为S1S2.即

(unvn)unvnS1S2

n1n1n1性质

2、如果级数un收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数c后，所得n1到的级数cun也收敛，且其和为cS.即

n1

cun cuncS.n1n1性质

3、在一个级数的前面删去或添加有限项不影响级数的敛散性.性质

4、如果一个级数收敛，加括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和。

注意：逆命题不一定成立 性质

5、如果un收敛，则limun0.n1n注意：这是级数收敛的必要条件，经常用来判别级数发散 6．举例

例

3、判别下列级数的敛散性 1）1+2+…+100+n1

22）nP

（p>0）n1n111n13）

4）n1n

nn1n16n5解：1）由于1n12n1是等比级数且公比q=1/2,则是收敛的由性质3知，原级数是收敛的。



2）limunlimnp

np发散

nnn

1第七章

1n(1)n11

3）由于n与n都是收敛的等比级数，由性质1知是收敛的

nn156nn16n15

4）

snn1n nn11 limsnlimn11limnnnn11213243...即原级数发散。

三、小结

1、级数的收敛与发散定义。

2、收敛级数的基本性质

3、等比级数，调和级数，p-级数在不同情况下的收敛与发散情况。

四、作业：P309 1

第七章

§7.3 正项级数

主要教学内容

(1)正项级数的概念;(2)比较判别法；(3)比值判别法

教学目的及要求: 掌握正项级数的概念，会用比较判别法和比值判别法判定正项级数的敛散性

重点难点及解决措施: 重点: 两个判别法的应用 难点: 比较判别法

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、正项级数的概念

1、定义：如果数项级数unu1u2...un...满足条件un0（n=1,2,..），则此级数称为n1正项级数。

二、收敛性的判别

对于正项级数来说，其s1,s2,s3,sn,为单调增加的，如果它是有界的，则必有极限。为此我们有判别正项级数特别的方法。

正项级数的敛散性判别法 1）比较判别法：

2）如果两个正项级数unu1u2...un...（1）

n1vvvn1n12...vn...（2）

满足关系式unkvn（n=1,2…k>0的常数）

则，当级数（2）收敛时，级数（1）也收敛

当级数（1）发散时，级数（2）也发散

（俗话称大收小收，小发大发）证明见P28利用此判别法可证明调和级数、P－级数的敛散性。P282 注意：上面定理中，关系式中n从1开始，其实n从任意项m开始都可以。例

1、判别下列级数的敛散性

1[1] 

[2] n0n!

1[3] n1n1n41 n1ln(n1)

第七章

解：[1]111112(n2,3,...)n!123...n122...22n12n

而n112n是q=1/2的等比级数，收敛

故原级数收敛。

111 [2]2 而2是p=2的p-级数，收敛 n1n4nn1n

故原级数收敛

y[3]令yln(x1)x 1x1 x1x1

当x1时，y0

∴函数y 是减函数

故当n>0时，ln(n+1)-n

ln(n+1)

1而是调和级数，发散，因此原级数发散。n1n11

ln(n1)n对于比较判别法，我们还有个极限形式： 对于两个正项级数

unu1u2...un...n1v.n...vnv1v2..n1若limunk不等于0，则它们有相同的敛散性。

nvn2）达朗贝尔比值判别法：如果正项级数unu1u2...un...满足条件limun1l

n1nun则（1）当l1时，级数收敛

（2）当l1时，级数发散

（3）当l1时，此方法失效 例

2、判别下列级数的敛散性

5n2221232n11......[1] 

[2] [3]

335357357...2n1n1(n1)!n1n〔4〕P285例

4例5 11u解：[1]limn1limn!lim0∴级数收敛

1nunnnnn1!

第七章

5n155n5n1[2] limlimlim51

∴级数发散 n5nunn5nn1un1n52n[3] limun1nunlim35...2n12n135..2n12n1nlim201

∴级数收敛 2n1n

三、小结

1、正项级数的概念

2、正项级数的比较审敛法

3、正项级数的比值审敛法

4、正项级数的根值审敛法

四、作业 p309 2、3、§7.4 任意项级数，绝对收敛

主要教学内容

(1)任意项级数、交错级数的概念；(2)交错级数的莱布尼兹定理；(3)绝对收敛，条件收敛

教学目的及要求: 掌握交错级数的莱布尼兹定理以及绝对收敛，条件收敛的概念

重点难点及解决措施: 重点:莱布尼兹定理

难点: 绝对收敛、条件收敛 解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、交错级数

1．交错级数的概念

第七章

交错级数的一般形式：n11n1uuuuun1234...u2k1u2k...关于交错级数敛散性有如下判别法.2．莱布尼兹定理：如果交错级数（1）满足条件

[1]unun1(n1,2,...)

[2]limun0

n则级数收敛，且和su1，余项Rn的绝对值Rnun1。

例

1、判别下列交错级数的敛散性 [1]1n1

n11n [2] n11n11n

[3]

n11n1n1n

111limunlim0且unnn解：[1]nnn1un1

原级数收敛[2]limunlimn1nn0且un1n1n1un1

由莱布尼兹定理知原级数收敛。

1[3] limunlimnnn1nlim1n1nnlimn0

n111n而unn1n1n1n1n1n2n1n2n2n1un1

n1n2故原级数收敛 注意：利用莱布尼兹收敛法不能解决所有交错级数的审敛法问题，莱布尼兹判别法只是充分条件，如果条件不满足，不能说级数发散，只能说不能判定其敛散性。

二、任意项级数的绝对收敛和条件收敛

1、绝对收敛和条件收敛的定义：如果级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，则称此级数绝对收敛，如果级数收敛，而由它的各项的绝对值组成的级数发散，则称此级数条件收敛

2、由P287的定理知，绝对收敛的级数一定收敛。

3、即不管是条件收敛还是绝对收敛级数都是收敛的。（为什么要引进绝对值，出现绝对收敛，条件收敛的问题呢？）为此我们有

定理、如果任意项级数unu1u2...un...满足条件

n1nunulimn1l

则当l1时，级数绝对收敛；当l1时，级数发散；当l1 时，级数的敛散性不能确定。证明见P289 例

4、判别下列级数的敛散性（如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛）

第七章

nsinn!5n5n1n1[1] 

[3]

[4](p1)

[2] 11n11nn1npn1nn1n5n1

1[5]

lnn1P289例〔6〕P290例4 例5 nsin解：[1]unnp511，而

npnp1是 p >1的p-级数，收敛 pnn1因此级数绝对收敛。[2] n1|1n1n!nn|n!nn

n1!(n1)n1u1limn1limlim1n!nunnnnnnne11

所以原级数绝对收敛。[3] |1n1n15nn5|5nn55n1

且

nun5 n15unlimn1limlim551n5nnn1n5故原级数发散 [4] 11 ||1n1lnn1lnn1n1 而 lnn1lnn2un1limlimlimlimn111nunnnlnn2n1lnn1n21111但发散  且发散lnn1nn0nn0lnn1可1n1n11满足莱布尼兹定理收敛，因此原级数条件收敛。lnn1

三、小结

1、任意项级数和交错级数的概念

2、交错级数的莱布尼兹判别法

3、任意项级数的条件收敛与绝对收敛

四、作业：P310 4、5

§7.5 幂级数

第七章

主要教学内容

(1)幂级数的相关概念；(2)幂级数的收敛区间及和函数；(3)幂级数的性质

教学目的及要求: 掌握幂级数的相关概念，会求收敛半径及收敛区间

重点难点及解决措施: 重点:求收敛半径和收敛区间 难点:收敛区间的求解

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、幂级数

1、幂级数的相关概念

1）、定义：形如aaxxaxx0...axx0...（1）

2n0102n的级数称为xx0的幂级数，其中a0，a1，叫做幂级数的系数 我们规定当x=x0时，（1）总收敛于a0

(1)式可简记为anxx0n

n12）当x00时

（1）式变为anxna0a1xa2x2...anxn...（2）

n1

称为x的幂级数

3）由于做变换Xxx0

（1）式可以转化为（2）式的形式，所以今后我们主要研究的是形如（2）时的级数

4）分析幂级数收敛与数项级数收敛的关系

对于幂级数来说，我们仍然关注的是它的敛散性问题。即变量x在实数范围内取哪些值时，级数（2）是收敛的

当x=0时，任何一个幂级数都收敛于

a0。

当x0时，给定一个x的值，幂级数成为一个数项级数。随着x取不同的值，幂级数就成为一族数项级数。为此，我们可以用前面介绍的判别定理来探讨幂级数的敛散性。

uu由定理6知，当limn11时级数绝对收敛，limn11时，级数发散

nunnun如果liman1nanuaxn1l则limn1limn1lx

nunnanxn

第七章

11R时，（2）发散

lllx1即xR，xR时，（2）可能收敛可能发散

l(2)绝对收敛，lx1即x当l0时，lx1即x R 时，当l0时，lx01，则级数（2）对任何x都收敛

从上面的讨论知，幂级数收敛的范围是实数轴上一个以原点为中心，从-R到R的区间，这个区间叫做幂级数的收敛区间，其中R=1/l叫做幂级数的收敛半径。在收敛区间以外，幂级数（2）发散。

在收敛区间上，对于每一个点，级数都收敛于一个确定的和s，对于不同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函数，称为和函数，记为s(x)。

2、求收敛半径、收敛区间的步骤

1）定理7 如果级数（2）的系数满足条件liman1nanl

则当0l时，R1/l，当l时，R0；当l0时，R 2)求收敛区间的步骤

首先求出收敛半径R，如果0R，再判断xR时级数(2)的敛散性，最后写出收敛区间。例

1、求下列级数的收敛区间

xnn1n

[1]

[3] x

[2] 1nn!2n1n1nxx22x33x44...xnn1n

n1n1111a解：[1]llimn1lim2lim1

则R=2

n2nannnn22n当x=2时，幂级数成为n

这是发散的

n1当x=-2时，幂级数成为1n

也发散 nn1故级数的收敛区间为（-2，2）。

1nn1!lima[2] llimn1limnann1nn!10

则R=+∞ n1n收敛区间为（-∞，+∞）

1na则R=1 [3] llimn1limn1lim1nannnn1n

第七章

当x=1时，级数变为调和级数

n，发散。

n11(1)n当x=-1时，级数变为交错级数，收敛

nn1故原级数的收敛区间为1,1 例

2、[1]求级数 2n 的收敛半径

x2n0n!2n![2]求级数n0x1n4n的收敛区间

2n1!解；[1]分析：nlimun1unlimn1!n!122n1x2n2n!2nx24x2

1时，级数发散 21当4x21时，x2即x时级数收敛，当4x21即x故级数的收敛半径R=1/2 14[2]分析 令X=x+1则n0x1n4nXna limn1nann04nn11lim4

4n14nn所以R=4,当x=4时，级数变为

1发散；当x=-4时，级数变为1发散

n1n1Xn 的收敛区间为（-4，4）故，即-4

二、幂级数的性质

性质

1、anxnbnxnanbnxn

n0n0n0性质

2、如果幂级数f(x)续函数。

性质

3、在幂级数f(x)an0nxn的收敛半径为R0，则在收敛区间(R,R)内，它的和函数为s(x)是连an0n的收敛区间(R,R)内任意一点x，有 xn

第七章

x0f(x)dx(ant)dt0n0n0xnx0atnndtxn0n1nan1

即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后级数的收敛半径也是R。性质

4、在幂级数f(x)an0nxn的收敛区间(R,R)内任意一点x，有

/nf(x)anxn0n0an/n1nnxanx

n1即幂级数在其收敛区间内可以逐项微分，并且微分后级数的收敛半径也是R。

nn1n例3 求幂级数x的收敛区间和和函数，并求级数的和。（见书P296）

n1n12n12n例

4、求幂级数的和函数并利用所得结果求级数 的值.nn1n1n3xnx解：令s(x)n1nn则s(x)(x)xn1nn1nn11xxx...=

x2

1x（|x|<1时），因此 s(x)s(x)s(0)s0x/(t)dt1dtln1x

01t12n22s()ln(1)ln3

33n1n3例5 求幂级数 f(x)xx33x55...(1)n1n1x2n12n1...的和函数，而 解：因f/(x)1xx...(1)24x2n2...x11x22x0f(t)dtf(x)f(0)，所以 f(x)f(0)dt1t00arctanxarctanx

它的收敛半径R＝1。可以验证，当x=1时，级数收敛，当x=-1时，级数也收敛，因此，所给级数的收敛域为［－１，１］

三、小结

1、幂级数的相关概念

2、幂级数收敛区间、和函数的求法

四、作业：P311 6

第七章

§7.6 泰勒公式与泰勒级数

主要教学内容

(1)泰勒公式与泰勒级数；(2)函数的幂级数展开

教学目的及要求: 理解泰勒、马克劳林级数的概念，了解函数的幂级数展开的间接法

重点难点及解决措施: 重点: 马克劳林级数 难点: 函数的幂级数展开

解决措施: 注重启发与分析.教学方法及段设计: 讲授法.课时：2课时

一、泰勒级数

1、我们已经知道，函数

n1n1231xxx...(1)x...，那么一般的函数f(x)是否也可以展1x开成幂级数的形式呢？

即f(x)anxna0a1xa2x2...anxn...（1）

n1这里a0,a1,a2,...为待定系数。

如果能，那么系数怎么确定，按照一定方法确定出的系数决定的幂级数在其收敛区间上是否收敛于f(x)? 我们先看第一个问题

设f(x)具有任意阶的连续导数，故可对（1）两边逐次求一阶到n阶导数。令x0则有

f(0)a0，f(0)a1，f(0)2!a2，，f(n)(0)n!an

f(0)2f(n)(0)nxx 于是（1）式为 f(x)f(0)f(0)x2!n!n我们称级数f0xn为函数f(x)在x0的马克劳林级数。

n0n!关于马克劳林级数是否收敛于f(x)的问题，看书P320。

第七章

另外我们还可以证明，如果函数f(x)能够表达为x的幂级数anxn，则这个幂级数与f(x)的马克劳林级

n0数是一样的。

2、因此我们通常用马克劳林级数来将一个初等函数展开成幂级数。例1 将f(x)ex展开成幂级数。解：f(n)(x)ex，即 f(n)(0)1

n所以 f(x)ex的马克劳林级数为

f0xn1xn，收敛区间为(,)。

n!n0n!n03．两个重要函数的幂级数展式

(1)ex(2)n01xn，收敛区间为n!(,)；

1xn，收敛区间为(1,1)1xn04．一般函数的幂级数展式的间接法 例

2、（1）将函数fx2 展开成x的幂级数

x（2）将lnx展开成(x2)的幂级数 解：（1）xx2(n)xn xln2，f(x)2(ln2)，f(x)2(ln2)f2/

2即f(0)ln2，f(0)(ln2)，，f(n)(0)(ln2)n

则有n0fn(0)n!xnln2n0nn!xn

ln2n1a显然limn1limnann1!ln2nn!nlimln20其收敛半径R

nn1)即收敛区间为(，n12xln201

又因为对任何x，余项 Rnxxn1 n1!n1ln2n1n12xln2n1x0（级数收敛，一般项趋于0）因此级数

而limRnxlimx 2limxnnn1!nn1!n0ln2nn!xn在(，)内收敛于2

x

第七章

ln2nxxn 即2n0n!(今后可以省略判断收敛区间和余项趋于0的步骤)（2）令f(x)lnx，则f(x)112(n1)!，f(x)2，f(x)3，，f(n)(x)(1)n

1nxxxx112(n1)!(n)n1从而在x2处，f(2)2，f(2)4，f(2)23，，f(2)(1)nn11故fx0nn1!nnnnn0n!xx01n0n!nx21n0n2x2 2即lnx展成(x2)的幂级数为1n1n0n2nx2n

二、小结

1、泰勒公式与泰勒级数

2、函数用间接法展开成幂级数

三、作业：P312 7、8、9、10

2n

第二篇：微积分教案

微积分数学模型的应用

微分模型

一、光纤收费标准模型

某地有多家有线电视公司。有线电视公司A的光纤收费标准为14元/（月。户），目前它拥有5万个用户。某位投资顾问预测，若公司每月降低1元的光纤收费，则可以增加5000个新用户。1）请根据这一预测，为公司制定收费标准，以获得最大收益

2）如果公司每月每户降低一元的光纤收费，只增加1000个新用户，问该如何制定收费标准？

一、模型假设与符号说明

1、假设该地的用户数远远大于5万

2、假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况

3、若公司每月每户降低1元的光纤收费，可增加a个新用户，公司每月每户降低x的光纤收费，公司的月收益为P(x)。

二、模型建立

P(x)每月每户交纳的费用总用户数，即

P(x)=(14-x)(50000+ax)=700000+(14a-50000)x-ax

三、模型求解

（1）当a5000时，P(x)=700000+20000x-5000x，求导得

P'(x)=20000-10000x

令P(x)0，得驻点x2。

根据实际问题的分析知道：当公司定价为12元时，公司拥有60000用户，此时公司每月的最大收益为72万元。

（2）1）当a1000时，p(x)70000036000x1000x，求导得

2'P'(x)=-36000-2000x

令P(x)0，得驻点x18。

根据实际问题知：x0，故与实际情况不吻合

二、存贮模型

（一）不允许缺货的存贮模型 1.问题的提出 存贮问题广泛存在于工厂的原材料贮备，商店的商品贮备、水库蓄水等现实问题'中．这里的关键是存贮量的大小，存贮量过大则需付出过高的存贮费用；存贮量不足又可能导致不能满足需求从而造成损失．因此，确定一个最优的贮存策略是具有重要意义的． 2.模型的构建

下面假定需求量是确定的，并且不允许缺货现象出现，如钢厂订购废钢供炼钢就是这种情况，因为钢生产对原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料将造成巨大的损失． 在不允许缺货的情况下我们可以考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费，货物的贮存费．建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的情况下制定最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小．

模型假设：（1）每天货物需求量为r吨．

（2）每隔T天订一次货（称T为订货周期），订货量是Q吨，当贮存量降到零时新一批订货恰好到达．（3）每次订货费为C1（与订货量无关，也与货物本身的价格无关），每天每吨货物贮存费为C2． 模型建立：订货周期T、订货量Q与每天需求量r之间应满足关系 QrT ．

订货后贮存量由Q均匀地下降，设任意时刻的贮存量为q(t)，则q(t)是t的线性递减函数，其变化规律如图10－1． 考虑一个订货周期的总费用C(T)：订货费C1与贮存费．

__贮存费＝每天每吨货物的贮存费平均每天的存贮吨数天数 ＝C2Q0T 2

图10－1

＝于是得

1C2QT．

21C(T)＝C1C2QT，2__1C(T)＝C1C2rT2．

2__

（2）

显然，不能以一个周期内的费用为目标函数，这样会导致订货周期越短越省钱的错误结论，而应以每天的平均费用（记作C(T))为目标函数，于是

C(T) C(T)C11＝C2rT． TT2__

（3）

制定最优存贮策略归结为求订货周期T使C(T)最小． 3.模型求解 利用微分法，令

C1dC(T)0，得21C2r0，2dTT解得 最佳进货周期

T2C1． rC（4）

将QrT代入上式得最佳进货量

Q2C1r．

C2

（5）

式（8）就是经济理论中著名的经济订货批量公式． 4.模型应用

订货批量公式（5）表明，订货费C1越高，需求量越大，则订货批量Q应越大；贮存费C2越高，则订货批量Q应越小．这些结论都可以由常识得到，不过公式在定量上表明的平方根关系却是凭常识无法得到的．

例 1 一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为每次200元，每双鞋每储存一天的费用为0.01元，该商店多少天进一次货最好，进货量为多少？

解 本题中r=110，C1200,C20.01.于是得最佳进货量 Q最佳进货天数 2C1rC222001102098双，0.01T= Q209820天r110即20天进货2098双最好

（二）允许缺货的存贮模型.问题的提出 考察一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题．设市场对某种商品的需求是确定的和已知的，市场对某种商品的需求仍为每天r吨，但允许缺货．缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，称缺货损失费．于是这个模型的第（1）、第（3）条假设与不允许缺货时相同，而第（2）条改为(2)每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物的缺货损失费为C3．

2.模型的构建

缺货时贮存量q(t)视作负值，则q(t)的图形

如图10－2．货物在tT1时售完，但每天需求量仍为r，在T1,T这段时间内缺货，可视存贮量q(t)为负值，于

是在tT时下一次订货量Q一次到达，且QrT1．

图10－2 一个订货周期内总费用C：订货费C1，贮存费C2__T10q(t)dt，缺货损失费．

贮存费每天每吨货物的存贮费从第一天到第T1天总共存贮的货物吨数的和

＝C2T10q(t)dtC2Q(10T1t1)dtC2QT1． T12tdt(T1T)T1 缺货损失费＝C3 ＝C3＝TT1q(t)dt＝C3Q(1T1T TT1(rT1rtdt(QrT1)

1C3r(TT1)2． 2于是一个周期内的总费用为： 11CC1C2QT1C3r(TT1)2．

22__ 3 模型的求解

模型的目标函数仍为每天的平均费用C(T,Q)，将T1__Q代入上式，得 r

C(T,Q)＝

CC11C1C2Q23(rTQ)2TT2r2r，求T、Q使得C(T,Q)最小．

先求出二元函数C(T,Q)关于T、Q的偏导数

CC． ,TQ 然后令CC0,0，TQ最后解出最优值T与Q，即得 最佳进货周期 **T*2C1(C2C3)，rC2C（6）

最佳进货批量

Q* 4.模型的应用 2rC1C3

C2(C2C3)

（7）

式（6）、（7）表明，缺货损失费C3越大，订货周期应越短，订货批量越大．当C3很大（即缺货损失变得很大）时，C3，有

C2C3C121，则允许缺货的最佳周期和最佳批量与不允C3C3许缺货的最佳定货周期和最佳批量有如下关系 T*2C1(C2C3)rC2C32C1*，QrC22rC1C32rC1． C2(C2C3)C2允许缺货的情形又回到了不允许缺货的情形，显然这是符合实际的．

例2 有一酒类批发商，以每天150瓶的速度供应零售商，存储费用为每天每瓶0.05元，根据合同如缺货，每瓶每天必须向零售商赔偿0.2元。若批发商一次的费用为300元，试确定批发商的最佳批发周期、进货量。

解 因 r150,C20.05,C30.2,C1300,于是得最佳批发周期为

T最佳进货量

Q

三、生猪的出售时机 1．问题

饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。

2C1C2C3rC2C32300(0.050.2)10天，1500.050.22rC1C321503000.21200瓶，C2C2C30.05(0.050.2)2．分析

投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大建模及求解

估计r=2 g=0.1若当前出售，利润为80×8=640（元），t 天出售，生猪体重 w=80+rt 销售收入 R=pw 出售价格 p=8-gt 资金投入 C=4t 利润 Q=R-C=pw –C Q(t)(8gt)(80rt)4t

求 t 使Q(t)最大 t4r40g2=10 rgQ(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元

四、森林救火

当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大.如何确定灭火队员的人数，才能使总费用（火灾损失+救援开支）最小？

解 1．问题分析

（1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关.（2）救援开支由两部分构成：①灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；②运输费（与人数有关）.（3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延.半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比.2．模型假设

（1）火灾损失与森林被烧面积成正比

记开始失火的时刻为t0，开始灭火的时刻为tt1，火被完全扑灭的时刻为tt2.设在时刻t森林被烧面积为Bt，C1表示单位面积被烧的损失，则总损失为C1B(t2).（2）被烧面积与时间关系

dBdBdB表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m2/min),当t＝0与tt2时为零，当tt1时最dtdtdtdBdB|tt1b.由前面分析，Bt与t2成正比,故不妨设在区间[0,t1]与[t1,t2]上，大，记 都是t的dtdt线性函数.在[0,t1]上，斜率为0，称为火势蔓延速度,在[t1,t2] 上,斜率为x0,其中x为消防队员人数.为队员的平均灭火速度.（3）救援开支

设x为消防队员人数，灭火剂消耗与消防队员酬金每单位时间的费用为C2, 运输费平均每人费用为C3, 则救援开支为C3xC2x(t2t1).3．模型建立与求解

图14-3 由假设2，dBdt与t的关系如图14-3所示.利用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，大面积为

B(tt2dB2)B(tdt＝OMN面积＝bt22)B(0)0dt2 ∴总费用 C12C1bt2C2x(t2t1)C3x.此式中t2与x是变量，其余为常数.但t2与x是密切相关的，由图可知

btb1,tx, tb2t1x 2t1从而，总费用可化为一元函数：

C2Cx12C1bt11b2xC2bxxC3x dC2令 0，解得唯一驻点 x1C1b2C2bdx2C.3驻点就是最小值点.4．模型评价

森林被被烧的最 从结果看，x>，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大，这保证-x0，使1燃烧速度趋于零.而x的第一项 C1b22C2b是综合考虑了各种因素,使总费用最低.2C3积分模型

一、捕鱼成本模型 1.问题的提出

在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。

假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需花费多少成本？

2.模型的构成与求解

根据题意，当塘中鱼量为x公斤时，捕捞成本函数为 C(x)2000元。已知鱼塘中现有鱼10000公斤，问

10x2000(x0).10x假设塘中现有鱼量为A公斤，需要捕捞的鱼量为T公斤。当我们已经捕捞了x公斤鱼之后，塘中所剩的鱼量为Ax公斤，此时再捕捞x公斤鱼所需的成本为

CC(Ax)x因此，捕捞T公斤鱼所需成本为

2000x.10(Ax)CT0200010ATdx2000ln[10(Ax)]x2000ln(元)x010(Ax)10(AT)将已知数据A10000kg,T6000kg代入，可计算出总捕捞成本为 C2000ln100101829.59(元)4010顺便可以计算出每公斤鱼的平均捕捞成本 C

二、投资决策模型

某公司投资1860万元建成一条生产线．投产后，其追加成本和追加收入（分别是成本函数和收入1829.590.30元

6000函数对时间t的变化率，类似于边际函数概念）分别为G(t)52t（百万元/年），(t)17t（百万元/年）．试确定该生产线使用多长时间停产则可使公司获得最大利润？最大利润是多少？

解

容易看出，追加成本G(t)是单调增加函数而追加收入(t)是单调递减函数，这说明生产费用在逐年增加，而生产收入在逐年减少，二者之差即为生产利润随时间的变化率：

2323(t)G(t)(17t)(52t)123t．

232323与边际成本和边际收入的关系相同，生产利润最大值存在的必要条件是(t)G(t)．解方程得t8，由于生产利润对时间的导数为

(t)G(t)82t130，23所以，t8是生产利润的最大值点．这样，生产利润的最大值为

(t)G(t)dt18.6(123t008)dt18.638.418.619.8(百万元)．

第三篇：微积分复习教案

第一讲 极限理论

一 基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20）二 求极限的各种方法

⑴当f(x)为连续函数时,x0Df,则有limf(x)f(x0)

xx0例1 计算极限limxarcsinx

x22 ⑵设m,n为非负整数,a00,b00则

0,当nma0xma1xm1am1xama0lim,当nm xbxnbxn1b01n1xanb0,当nm 例2 计算极限：⑴ lim973x1 ⑵ 3x22x3

limx2x44x116x⑶用两个重要极限求

①limsinx1（limsinx0，limsinf(x)1）

x0xf(x)0xxf(x)x2 结论：当x0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1cosx~。②lim(11)xe（lim(1x)xe，lim(11)f(x)e）

x0xf(x)xf(x)实质：外大内小，内外互倒

例4 计算极限：⑴ lim(12x)⑵ lim(1sinx)

x0x013x1x1 ⑷未定式的极限（000，，0，0，）0 ①罗必达法则

例5 计算极限：

x0limsinxlnx lim(sinx)x lim(x0x011)sinxx②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例6 计算极限：⑴ lim1x1 ⑵ lim3x2

x0x1xx1 ③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）例7 计算极限limsinxtanx

x0x2(1cosx)⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

例8 计算极限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x0x1x2x三 连续和间断 1.连续的定义

2.间断点的定义和分类

四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。

第二讲 微分学

一 导数概念

导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

x0xx0xxx0左导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0右导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0 实质：差商的极限。

例1 计算极限：⑴ limh0f(x0h)f(x0)f(x0)f(x0x)⑵ lim

x0hx二 各种求导法

⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）

例2设f(x)4x3xx45logaxsin2，求f(x)；

例3设f(x)1sinxarctanxcscx，求f(x)，f()；

4x ⑵复合函数的求导（P90）

例4 求下列函数的导数

①f(x)arctane2x ②f(x)etanx ⑶隐函数求导（方法：把y当作x的函数，两边对x求导）

例5 求下列隐函数的导数

①xyey0 ②2y3x5lny ⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）

例6 求下列函数的导数

① yxsinxx ②y2x1(x1)(32x)⑸由参数方程确定的函数的求导

x(t)重点：由参数方程确定的函数yf(x)的导数为dy(t)；

dx(t)y(t)xln(1t)例7 设，求dy；

dxytarctant三 高阶导数

例8 设y2arctanx，求y； 例9 设yexxn，求y(n)； 四 微分

重点：函数yf(x)的微分是dyf(x)dx

例10 设y3x2e2x，求dy； 例11设y2xey，求dy； 五 单调性和极值

重点：⑴由f(x)的符号可以判断出f(x)的单调性；

⑵求f(x)的极值方法：①求出f(x)，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近f(x)的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。

例12 求函数yxln(x1)的单调区间和极值点。

例13 证明：当0x六 最值问题

求函数f(x)在区间[a,b]上的最值之步骤：①求出f(x)，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值f(a)，f(b)；

③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

例14 求下列函数在指定区间上的最值。

⑴f(x)x42x25，[2,3] ⑵yx1，[0,4]

x1七 凹凸性和拐点

重点：

⑴凹凸性概念：设f(x)在区间(a,b)内连续，若对x1,x2(a,b)（x1x2），有

2时，恒有xsinx。

f(x1x2f(x1)f(x2)xx2f(x1)f(x2)))（f(1）

2222则称f(x)在(a,b)内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。⑵由f(x)的符号可以判断出f(x)的凹凸性。f(x)为正号则f(x)是凹函数，f(x)为负号则f(x)是凸函数。

⑵判断f(x)的拐点之方法：①求出f(x)，令其为零，得到f(x)等于0的点和f(x)不存在的点；②判断在这些点两侧附近f(x)的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。

例15 求下列函数的凹凸区间和拐点。

⑴yx2x1 ⑵y3x

例16 证明：当x1x2时，必有ax1x2243ax1ax2（a0）。

2第三讲 积分学

一 不定积分与原函数的概念与性质

⑴原函数：若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

⑵不定积分：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，即

f(x)dxF(x)c，这里F(x)f(x)

⑶不定积分的性质（P174,共2个）

特别强调：F(x)dxF(x)c；dF(x)F(x)c（切记常数c不可丢）二 定积分的概念与性质

⑴定积分概念：

nbaf(x)dxlimf(i)xi

0i1 ⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可积的必要条件：f(x)在[a,b]上有界； 充分条件：f(x)在[a,b]上连续；

⑷定积分的几何意义：设f(x)0，x[a,b]，则f(x)dx表示由xa，xb，y0ab及yf(x)围成的曲边梯形的面积。

⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。

例：⑥若对x[a,b]，有mf(x)M，则有m(ba) ⑦若f(x)在[a,b]上连续，则存在[a,b]，使得满足 另：若f(x)是奇函数，则三 由变上限积分确定的函数

⑴定义：设f(t)在[a,b]上连续，则称函数

babf(x)dxM(ba)。f(x)dxf()(ba)。

aaaf(x)dx0。

(x)f(t)dt，axb

ax 为变上限积分确定的函数。

⑵求导问题：(x)dx[f(t)dt]f(x)dxax2 例1 求下列函数的导数f(x)。

①f(x)xln4tedt ②f(x)x42t01t2dt

⑶与罗必达法则结合的综合题

例2 求下列极限： ①

tlim0x02sintdtx4sin3tdt ②lim

tedt0x0x3t0x2四 求积分的各种方法

⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）

cos2x1xx2 例3 计算积分：① ②dx dx2sinxcosxx(1x)⑵第一换元法（凑微分法）

重点：f(x)dxg[(x)](x)dxg[(x)]d(x)

令u(x)整理f(x)g(u)duG(u)cG[(x)]c

常用凑微分公式：xndx1d(xn1)，1dx2d(x)，1dxd(lnx)，sinxdxd(cosx)

n1x积分变量还原xcosxdxd(sinx)，sec2xdxd(tanx)，csc2xdxd(cotx)，secxtanxdxd(secx)，cscxcotxdxd(cscx)。

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例4 计算积分：

①tanxdx ② ⑶第二换元法

重点：20sincos2d ③2x41lnxdx ④(1xlnx)4dx x24x8f(x)dxf[(t)](t)dx dx(t)dt令x(t)g(t)duG(t)cG[1(x)]c 整理f[(t)](t)积分变量还原 常用换元方法：

①被积函数中若有naxb，令tnaxb；若有kx和lx，令xt，这里m是k，ml的最小公倍数。

②被积函数中若有a2x2，令xasint； ③被积函数中若有a2x2，令xatant； ④被积函数中若有x2a2，令xasect；

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例5 计算积分：⑴ a0axdx ⑵ 2241dx

1x例6 设f(x)是定义于实数集上的连续函数，证明 ⑴baf(x)dxbcacf(xc)dx，⑵ baf(x)dxba2bf(abx)dx

⑷分部积分法 uvdxuvuvdx

关键：适当选择u，v。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令u为易积函数，v为幂函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u为幂函数，v为不易积函数。

例7 计算积分：arctanxdx

⑸有理分式函数的积分

步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式P(x)的积分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 Q(x)b0(xa)(xb)(x2pxq)(x2rxs)

这里p24q0，……，r4s0。③把P(x)化为如下形式

Q(x)A A1A2P(x)Q(x)(xa)(xa)1(xa)2 

BB2 B1 1(xb)(xb)(xb)MxNM1xN1M2xN2 2212(xpxq)(xpxq)(xpxq) RxSR1xS1R2xS2 22u12(xrxs)(xrxs)(xrxs)这里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。

④于是对P(x)的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。

Q(x)x32x2dx

⑵ 例8 计算积分：⑴ 2x2x10五 定积分的分段积分问题

例9 计算积分：⑴4x3x25x6dx

0x3dx。⑵sin2xdx

0六 定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。

⑴由曲线yf(x)，yg(x)[f(x)g(x)]及直线xa，xb[ab]围成的图形的面积为：S[f(x)g(x)]dx。

ab⑵由曲线x(y)，x(y)[(y)(y)]及直线ya，yb[ab]围成的图形的面积为：S[(y)(y)]dy。

ab例10 求由下列曲线围成的图形的面积。⑴ylnx，y1x，y2； ⑵x0，x2，ysinx，ycosx；

七 广义积分

沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就得到两种类型的广义积分。

⑴第一类广义积分

①定义： abf(x)dxlimf(x)dx

babf(x)dxlimf(x)dx

aa0b f(x)dxf(x)dx0f(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dx

aab00b ②计算方法：先计算定积分，在取极限。

⑵第二类广义积分（暇积分）

①定义：f(x)dxlimababb0abf(x)dx（a是暇点）f(x)dx（b是暇点）

bc f(x)dxlimbcaa0a f(x)dxf(x)dxf(x)dxlimc0af(x)dxlimb0c f(x)dx（c是暇点）②计算方法：先计算定积分，在取极限。

例11 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，收敛于何值。

① 1`1dx ②5x211dx 5(x1)

第四篇：微积分基本定理(教案)

1.6微积分基本定理

一：教学目标

知识与技能目标

通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

过程与方法

通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义

情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二：教学重难点

重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点：了解微积分基本定理的含义

三：教学过程：

1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤：

2、合作探究：

⑴导数与积分的关系;

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？

下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)o），则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可用速度函数表示为达，即

T2T1v(t)dt。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)S(T2)来表T2T1v(t)dt=S(T1)S(T2)

而S(t)v(t)。

说出你的发现

⑵ 微积分基本定理

对于一般函数f(x)，设F(x)f(x)，是否也有

baf(x)dxF(b)F(？a)

若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数（即满足F(x)f(x)）的数值差F(b)F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。

设F(x)f(x)则在[a,b]上，⊿y=F(b)F(a)

将[a,b]分成n 等份，在第i个区间[xi-1,xi]上，记⊿yi=F(xi)-F(xi-1),则

⊿y=∑⊿yi 如下图，因为⊿hi=f(xi-1)⊿x 而⊿yi≈⊿hi 所以 ⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x 故

⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x= 即

baf(x)dx

baf(x)dx=F(b)F(a)

所以有微积分基本定理：

如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则

bbaf(x)dxF(b)F(a)bbaf(x)dx

（此处并不要求学生理解证明的过程）

为了方便起见，还常用F(x)|a表示F(b)F(a)，即

af(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

⑶应用举例

例1．计算下列定积分：

311（1）dx；

（2）(2x2)dx。

1x1x1解：（1）因为(lnx)'，x212所以dxlnx|1ln2ln1ln2。

1x11（2））因为(x2)'2x,()'2，xx33311所以(2x2)dx2xdx2dx

111xx131223。x2|1|1(91)(1)x332练习：计算解：由于xdx

01213x是x2的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 31131131

31x2dx=x|0=10=

03333例2．计算下列定积分：

0sinxdx,sinxdx,sinxdx。

0'22由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为(cosx)sinx，所以

sinxdx(cosx)|(cos2)(cos)2，sinxdx(cosx)|(cos2)(cos0)0.0222020sinxdx(cosx)|0(cos)(cos0)2，可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:

(l）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

图1.6 一 3(2）

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1.6 一 4)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

(3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1.6 一 5)，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v0=32公里/小时321000米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)=v0at=8.88-1.8t当汽车36008.88停住时,速度v(t)=0,故从v(t)=8.88-1.8t=0解得t=4.93秒

1.8=于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s4.930v(t)dt4.9301(8.881.8t)dt=(8.881.8t2)204.9321.90米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．

⑷课堂练习

课本p55练习⑴----⑻

四：课堂小结：

本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！

五：教学后记：

从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。

第五篇：高职微积分教案

第一节

函数

引入

1．引例

例

1圆的面积与它的半径之间存在着相依关系，这种关系由公式

AR2(0R)

给定，当半径R在区间0,内任意取定一个数值时，由上式就可以确定圆面积A的相应数值。

例2 某物体以10m/s的速度作匀速直线运动，则该物体走过的路程S和时间t有如下关系：

S10t(0t)

对变量t和S，当t在0,内每取一定值t0，S就有唯一确定的值S010t0与之对应。

抽去上面两个例子中所考虑的量的实际意义，它们都表达了两个变量之间的相依关系，这种相依关系给出了一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质。

新授：

一、函数的概念

1.函数的定义

定义

1设D为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f，使得对于数集D中的任意一个数x，按照法则f都有唯一确定的实数y与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作

yf(x)这里x称为自变量，y称为因变量或函数。f是函数符号，它表示y与x的对应规则，D叫做函数的定义域。

当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数yf(x)在点x0处的函数值，记作f(x0)。当x取遍D中的各个数值时，对应的函数值全体组成的数集

Wyyf(x),xD

称为函数的值域。

定义域D与对应法则f唯一确定函数yf(x)，故定义域与对应法则叫做函数的两要素。如果函数的两个要素相同，那么它们就是相同的函数，否则，就是不同的函数。

函数yf(x)的对应法则f也可以用,h,g,F等表示，相应的函数就记作x,hx,gx,Fx。

2．函数的定义域

通常求函数的定义域应注意以下几点：（1）当函数是多项式时，定义域为,（2）分式函数的分母不能为零

（3）偶次根式的被开方式必须大于等于零（4）对数函数的真数必须大于零

（5）反正弦函数与反余弦函数的定义域为1,1

（6）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集。例3 判断下列函数是否是相同的函数

x

（2）yx 与 yx2 xx解（1）函数y1的定义域为(,)，而函数y的定义域为(,0)(0,)，x（1）y1 与 y故不是同一函数。

（2）两个函数的定义域与对应法则都相同，故是同一函数。例

4求下列函数的定义域(1)f(x)1

(2)f(x)x3ln(x2)25x2x(3)ylg(4x3)arcsin(2x1)解

(1)在分式12中，分母不能为零，所以5x2x0，解得25x2x222x且x0。即定义域为,∪,0∪0,。

555（2）该函数的定义域应为满足不等式组

x30 x20的x值的全体，解此不等式组，得x>2，即定义域为2,。

（3）该函数的定义域应为满足不等式组

4x30 12x11的x值的全体，解此不等式组，得3.分段函数

在实际问题中，有时会遇到一个函数在定义域内的不同范围内，用不同的解析式表示的情况，这样的函数称为分段函数。

例5 设符号函数 33x1，即定义域为,1。441,x0sgnxf(x)0,x0

1,x0求f(2),f(0),f(4)及函数的定义域、值域（如图1-1）。

解

因为20,,00,4,0，所以，f(2)1,f(0)0,f(4)1，f(x)的定义域为,，值域为1,0,1。

分段函数在整个定义域上是一个函数而不是几个函数。分段函数的图形在每个区间段

图1-1 上与相应解析式函数的图形相同；求分段函数的数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算。

4．反函数

定义

2设函数yf(x)的定义域为D，值域为M。对于任意数值yM，在D中都有唯一确定的值x，使x(y)，则得到一个以y为自变量，x为因变量的新的函数，这个新的函数叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，其定义域为M，值域为D。由于人们习惯用x表示自变量，而用y表示因变量，因此我们将函数yf(x)的反函数xf1(y)用yf1(x)表示。yf(x)与yf1(x)的图像关于直线yx对称。如图1-2。

求反函数的过程可以分为两步：第一步从yf(x)解出xf母x和y。反函数一定要指明其定义域。

二、函数的几种特性

1．有界性

若存在正数M，使得在区间I上恒有f(x)M，则称f(x)在I上有界，否则称f(x)在I上无界。

例如，函数y2．单调性

1(y)；第二步交换字1在区间0,1内无界，但在区间1,2内有界。x若对于区间I内任意两点x1,x2，当x1x2时有f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调增加，区间I称为单调增区间；若f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调减少，区间I称为单调减区间。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。在单调增区间内，函数图像随着自变量x的增大而上升，在单调减区间内，函数的图像随着自变量x的增大而下降。

例如，yx2在区间0,内是单调增加的，在区间,0内是单调减少的，在区间,函数yx2不是单调函数。

3．奇偶性

设I为关于原点对称的区间，若对于任意的xI，都有f(x)f(x)，则f(x)叫做偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)叫做奇函数。奇函数的图像关于原点对称，如图1-3；偶函数的图像关于y轴对称，如图1-4。若f(x)既不是奇函数也不是偶函数，那么f(x)叫做非奇非偶函数。

例如，yx在区间,内是奇函数，yx1在区间,内是偶函数。34ysinxcosx在区间,是非奇非偶函数。

4．周期性

若存在不为零的数T，使得对于定义域I内的任意的xI，都有xTI，且f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，其中T叫做函数的周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。

例如，ysinx,ycosx都是以2为周期的周期函数。

三、基本初等函数

幂函数

yx（为常数）

指数函数

yax（a0,a1,a为常数）对数函数

ylogax（a0,a1,a为常数）

三角函数

ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx，ycscx

反三角函数

yarcsix,nyarccox,syarctax,nyarcoxt

以上五类函数统称为基本初等函数，常用的基本初等函数的定义域、值域、图像和性质见附表2。

四、复合函数

初等函数

在函数ysin2x中，我们不难看出，这个函数值不是直接由自变量x来确定的，而是通过2x来确定的，如果用u表示2x，那么函数ysin2x就可以表示成ysinu，而u2x，这也就说明了y与x的函数关系是通过变量u来确定的。

定义3

如果y是u的函数，而u又是x的函数，yf(u),u(x)，通过u将y表示成x的函数，那么y叫做x的复合函数，即

yf[(x)]

其中u叫做中间变量。

注意

函数(x)的值域应该取在函数yf(u)的定义域内。

例6

试求由函数yu,usinx构成的复合函数

33解

将usinx代入yu中，即为所求的复合函数ysinx

2注意

并非任意两个函数都能构成复合函数。例如yarcsinu与ux2便不能3复合成一个函数，因为u的值域为2,，不包含在yarcsinu的定义域1,1内，因而不能复合。

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成。例如，由函数

2y2u,usinv,vx21可以复合成函数y2sinx1，其中u和v都是中间变量。

例7

指出下列复合函数的结构：（1）y(2x1)；（2）y解（1）yu9,u2x1

（2）yu,ulogav,vcosx4

u（3）y10usinv,v9loga(cosx4)；（3）y10xsin1x；

x1 x对复合函数进行分解时，每个层次都应是基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算式；当分解到基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算时，就不再分解了。

定义4

由基本初等函数和常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的，并能用一个解析式表示的函数，叫做初等函数。例如y1x,ysinx,y等都是初等函数。初等函数是最常见的函数，它是微积分学研究的主要对象。

23loga3x小结：

1． 函数定义

2．函数性质

3．初等函数

4．复合函数

作业：P9，5 板书设计：

（一）引例

函数

（二）定义 函数定义 函数性质

（三）初等函数

初等函数 复合函数

（四）小结