2003年全国中考几何证明题之二(附解答)

第一篇：2003年全国中考几何证明题之二(附解答)

2003年全国中考几何证明题之二（附解答）

7．（2003 福建泉州市 8分）

如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F。设EF交AD于G，连结DF。

（1）求证：EF∥BC ；

10、（2003 福建三明市 12分）已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G。2（1）求证：ABAGBF（6分）（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF

AE（2）已知：DF =2，AG =3，求的值。OEBF10 题图

B C11．（2003 广州市13分）D8、（2003 福建三明市 8分）如图9，已知△ABC内接于⊙O，直线DE与⊙O相切于点A．

BD∥CA．求证：AB·DA＝BC·BD． 已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，且BC＝a，AB＝c，CD＝h，22pqhpqapcAD＝，DB＝。求证：，12.（2003 广州市16分）已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，9、（2003 福建三明市 12分）P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．题图（1）如图10，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长； l已知：如图，线段AM∥DN，直线与AM、DN分别交于点（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线

段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由． lB、C，直线绕BC的中点P旋转（点C由D点向N点方向移动）。

（1）线段BC与AD、AB、CD围成的图形，在初始

状态下，形状是△ABD，（即△ABC），请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称；（5分）

（2）任取变化过程中的两个图形，测量AB、CD长度后分别计算同一个图形的AB＋CD（精确到1cm），比较这 M 两个和是否相同，试加以证明。（7分）

参考解答 7.证明：∵⊙O切BC于D，∴∠4=∠2又∵∠1=∠3，∠1=∠

2∴∠3=∠4∴EF∥BC

（2）解：∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3又∵∠5=∠5，∴△ADF∽△FDG

D

C1 2 P

N

PM

∴ADFDFD

GD

设GD=x ,则3x22

x

解得x1=1,x2=-4,经检验x1 =1，x2=-4为所列方程的根。但x应舍去，∴GD=1由（1）已证EF∥BC，∴

AE2=-4<0EBAGGD

33

8、证明：Rt△ABC，CD⊥ABRt△ADC∽Rt△CDB

ADCD

CDqhBD

hph2pq 同理可证Rt△CDB∽Rt△ACB得a

2pc9、（1）：等腰梯形、直角梯形、平行四边形（2）：∵经测量、计算，两个图形的AB＋CD都等于4cm（精确到1cm）∴这两个和相同（对原试卷的图形而言）证明：过点P作PP∥AM交AD于点P

∴PP是梯形AB1C1D的中位线

∴AB1＋C1D＝2PP，同理AB2＋C2D＝2PP ∴这两个和是相同的。（注：还可用三角形全等证明）

A

B1l

第25题图、1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB＝∠EAG＝∠FBC∵EG∥CB∴∠G＝∠FBC∴△EAG∽△FBC

AGAE

∴

BCBF，即BCAEAGBF 又∵BC＝AE＝AB∴AB

2＝AGBF①

（2）连结EF，由（1）可知FB＝FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA＝CD ∴FA＝FD

∴EF⊥BC且EF平分BC ∴EF过圆心O 又∵EG∥CB，∴EF⊥EG

∴EG与⊙O相切

∴EG2

＝AGBG

第26题图

由（1）可知∠G

＝∠EAG，∴EG＝EA＝2

10（2设AG＝x，则2＝x(x2)，解得x＝5

1∴MB＝AB－AM＝13－5＝8． 设CD＝x，则DM＝x，DB＝12－x． 在Rt△DMB中，DB2＝DM2＋MB2． 即(12－x)2＝x 2＋82． 解之得：x.∴AG＝51，代入①中可得：BF＝51

11.证明：∵DE与⊙O相切，∴∠C＝∠1，∵BD∥CA，∴∠2＝∠3……6分 ∴△ABC∽△BDA．……9分 ∴．……12分

·

O A

∴ CQ＝2x.即当CQ.且点P运动到切点M位置时,△CPQ为直角三角形.②当＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两

E CPQ为直角三角形．

③当0＜CQ＜时，半圆D与直线AB相离,即点P在AB边上运动时,均

D

∴AB·DA＝BC·BD．12

.⑴解： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12

∴AB＝13．

∵Q是BC的中点． ∴CQ＝QB． 又∵PQ∥AC．

C Q

∴AP＝PB，即P是AB的中点．∴Rt△ABC中，CP．

在半圆D外，∠CPQ＜90°．此时△CPQ不可能为直角三角形．∴ 当≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．

B 试题

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE=β．

⑵解：当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D．

①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则

DM⊥AB，且AC＝AM＝5．

D

B

A

（1）如图1，若α=90°，求β的大小；

（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系？并对你的结论给出证明；（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明，若不成立，试找出α与β之间的新关系，并说明理由． 考点：全等三角形的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 专题：动点型；探究型． 分析：（1）先利用边角边定理证明△DAB与△EAC全等，再根据全等三角形的对应角相等得到∠ECA=∠B=45°，β的值即可求出；

（2）方法同（1）证出∠ECA=∠B，所以∠B+∠ACB=β，再根据三角形内角和定理即可得到α+β=180°；

（3）方法同（2）证出∠ECA=∠ABD，所以α+∠DCA=β+∠DCA，所以α=β． 解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°．

∵∠DAB=α-∠DAC，∠EAC=α-∠DAC，∴∠EAC=∠DAB． 又AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC． ∴∠ECA=∠B=45°． ∴β=∠ACB+ECA=90°．

（2）α+β=180°．

证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 又AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE． ∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB=β． ∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°．

（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论不能成立，此时：α=β成立．

其理由如下：

类似（2）可证∴△DAB≌△ECA，∴∠DAB=∠ECA，又由三角形外角性质有∠DBA=α+∠DCA，而∠ACE=β+∠DCA，∴α=β．

点评：本题主要考查三角形等腰三角形的性质及全等的判定和全等三角形的对应角相等，做题中，注意题中各角度之间的关系并灵活运用是解题的关键．

第二篇：中考数学几何证明题

中考数学几何证明题

在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;

(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数;

第一个问我会，求第二个问。需要过程，快呀！

连接GC、BG

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°

∴四边形ABCD为矩形

∵AF平分∠BAD

∴∠DAF=∠BAF=45°

∵∠DCB=90°，DF∥AB

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF为等腰Rt△

∵G为EF中点

∴EG=CG=FG

∵△ABE为等腰Rt△，AB=DC

∴BE=DC

∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135°

∴△BEG≌△DCG

∴BG=DG

∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90°

又∵∠DGC=∠BGE

∴∠BGE+∠DGB=90°

∴△DGB为等腰Rt△

∴∠BDG=45°

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

第三篇：中考几何证明题复习

中考复习

（二）中考复习：几何证明题

说明一：在直角三角形中，或是题中出现多个直角时，要证明两个角相等，涉及到的知识点：

同角（或等角）的余角相等。

例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90，CDAB于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂

线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC



说明二：（1）一般情形，题中有多个问题时，第二问都与第一问有直接的关系，利用第一问的结论解题。（2）判别菱形的方法：例：如图，在平行四边形ABCD中，AE

（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG

例3：如图，设在矩形ABCD中，点O为矩形对角线的交点，∠BAD的平分线AE交BC于点E，交OB于点F，已知AD=3, AB

⑴求证：△AOB为等边三角形；⑵求BF的长.A

AH

BC

A

E

于E，AF

CD

于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．

B

D，求证：四边形ABCD是菱形．

D

B

E

C

说明：在解梯形的题中，一般需要作辅助线。

例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求AB的长。

说明：证明正方形的方法：例：如图,已知:在四边形ABFC中，∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE。（1）试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;

（2）当A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形? 请回答并证明你的结论.例：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=4,点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ60保持不变．设PCx，MQy，求

y与x的函数关系式；

C

（3）在（2）中当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

A

M

D

60°

B

P

C

圆中计算与相关证明

说明：关于圆的计算，若出现直径，要联想到：直径所对的圆周角是直角；

若出现切线，要连接圆心和切点，就出现直角；

如弦长，联想到垂径定理（垂直，平分弦，构建直角三角形）

例：如图，AB是半圆O上的直径，E是 ⌒BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于

点F.已知BC=8，DE=2.⑴求⊙O的半径；⑵求CF的长；⑶求tan∠BAD 的值。

说明：证明圆的切线的办法：（1）连半径，证垂直；（2）作垂直，证半径。例：如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，ACCD，D30°，（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长．（结果保留π）

例：如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE。（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小？（2）当AB=1,BC=

2，求△DEC外接圆的半径。

A

B

O B

如图，⊙O的直径AB＝4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．

(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求DE的长．

说明：出现三角函数值，必须在直角三角形中，或作垂直或找出相等的角，该角在直角三角形中。如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求sin∠E的值．

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)求证：AB＝AC；(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60º，求DE的长．

C

F

B

第四篇：中考几何证明题集锦（精选）

几何证明题集锦

1、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．（10分）

E2、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延

长线上，且BE=DF,连接EF,G为EF的中点.求证:⑴CE=CF；

⑵DG垂直平分AC.EB3、在△ABC中，AC=BC，ACB90，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FH于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．（12分）

A

A

FC，交直线AB

F

DE

F

D

C

C

图

1E

图

2B

H4、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为分

BC

31时，求正方形的边长．（14

AD

第五篇：中考数学经典几何证明题

2011年中考数学经典几何证明题

（一）1.（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E、F分别是AD、BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N，试判断△OMN的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD中，若ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；

（3）如图3，在△ABC中，ACAB，点D在AC上，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，与BA的延长线交于点M，若FEC45，判断点M与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．B

A

ME

DB

(4)观察图

1、图

2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、ＣH这样的线

段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.3.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=在线段BC上（不与B，C重合）运动，其他条件不变时

BC；③当D

2BH

是定值；④当D在线段BC上（不与B，C重合）BD

BCEC

运动，其他条件不变时是定值；

DC

（1）其中正确的是-------------------；（2）对于（1）中的结论加以说明；

F

C

F

图 1图2图

32．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD

于点H，试证明CH=EF+EG;

图

1D

DC

(2)若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于

点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

F

H

BCD

E

4.在△ABC中，AC=BC，ACB90，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

A

A

F

D F

D

E

C B

C

图

1E

图

2H

5.如图12，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．

证明．

8.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE

上，且AQ∥PC．(1)证明：PC＝2AQ．

(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．

6.如图。，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G。

探究：线段FG的长与△ABC三边的关系，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。①可画出将△ADF沿BD折叠后的图形； ②将CE变为△ABC的内角平分线。(如图2)

附加题：探究BD、CE满足什么条件时，线段FG的长与△ABC的周长存在一定的数量关系，并给出证明。

9.两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______和位置关系为______；

（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.CH

G

A图3 图1 图

27.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．

(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予

10.已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放

在D处．

(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．

(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

2、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，若AB＝kAC，试探究BE与CF的数量关系。

3、如图，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想，若证明有困难，则可选k＝1证明之。

4、在△ABC中，O是AC上一点，P、Q分别是AB、BC上一点，∠B＝45°，∠POQ＝135°，BC＝kAB，OC＝mAO。试说明OP与OQ是数量关系，选择条件：（1）m＝1，（2）m＝k＝1。

2011年中考几何经典证明题

（二）1、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E为CB延长线上一点，且∠EAB＝∠BAD，设DC＝kBD，试探究EC与EA的数量关系。

5、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，∠CAD＝∠B，AC＝kAB，E在AD延长线上,∠CED＝∠ADB，探究AE与AD的关系。

6、如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB, AB＝kAC，探究BE与AE是数量关系。