一道几何证明题的探究

第一篇：一道几何证明题的探究

一道几何证明题的探究

在很多人眼里，数学的学习首先是识记一些知识点，其次更重要的是要做大量的题，见很多不同的题，这样才能真正把数学学好。但是在茫茫题海中很多学生却找不到了方向，这又是为什么呢？其实上面这种题海的学习方法并不完全正确，做题固然重要，但是知识点也同等重要，做题只是一个手段，是为了更好的掌握所学的知识点，更重要的是通过一道题你真正从当中学会什么知识，学会什么解题方法等等，换句话说题不一定要做多，关键是要做得“精”，每做一道题就要从当中去“挖”你所需要的东西，之后再和你所学的知识点进行联系对比学习，这样两者结合才是学好数学的最佳办法，比如我们从下面一道题来讲解。

例.如图：在ABC中，B2C.A

求证：AC2AB

分析：这道题的已知条件是给出一个三角

形和一个等式，要证明的却是一个不等

C式，从所学过的三角形知识入手，联系已B

知条件和结果的重要定理为：三角形两边

之和大于第三边，故应该把AC（或者是和AC相等的线段）和AB（或者是和AB相等的线段）放在同一个三角形里边，这道题的关键就是如何构造含AC和AB的三角形。

证法一：（割补法中“补边”的思想）

延长线段CB到点D，使得BDAB

BDBA

ADBAD

又ABCDBAD

ABC2D

又ABC2C

DBCD

ACAD

在ABD中，ADABDB2AB

AC2AB

这种证法是把AB和与AC相等的线段AD放在同一个三角形里，欲证明结论只需要证明BDBA，通过唯一的一个条件B2C可以证明到ABD为等腰三角形，再利用三角形的不等式性质可以轻松进行证明。

证法二：（割补法中“割边”的思想）A

作AD交BC于点D，使ABAD

BADB

ADBCDAC,BCDAC

B又 B2C DCC

CDACADDC又ABAD

ABADDC在ADC中，ACADDC

AC2AB

这种证明方法是通过把AC2AB中的2AB化为ADDC，与证法一类似还是通过构造等腰三角形和三角形的两边之和大于第三边来证明结论。

证法三：（割补法中“补角”的思想）

以C为顶点作BCDACB其中CD与AB的延长线角于点DABC2ACB,ACBBCDBCD为等腰三角形；故BDBC,2BCCDAA;ABCACDABC∽ACD

AB

ACCD2

AC2AB

BC

1

B

C

A

D

这种证法与证法一相对应，证法一是通过补边得到等腰三角形，这里是 通过补角构造等腰三角形来进行证明。证法四：（割补法中“割角”的思想）

A作ABC的角平分线BD交AC于点D

易证：ABD∽ACB

ABAC

BDCB

AB

ACBDBC

C

又ABC2C

B

BCD为等腰三角形BDDC

又BC2BD(三角形两边之和大于第三边）AB

ACBDBC



ACBD2BD

AC2

AC2AB

这种证明方法与证法二相对应，证法二是通过割边，这里是通过割角来构造等腰三角形，利用三角形相似来得到AC和2AB的大小关系。

证法五：作ABC的外接圆⊙o

作AC的中垂线OD交⊙o于点D则AD=DC

又 B2C

ADC=2AB

B

ABADDC

在ADC中，ADDCACAC2AB

这种证明方法是通过三角形外接圆的性质构造等腰三角形来进行证明。

证法六：由正弦定理得：则

ABsinC



ACsin2C



AC2sinCcosC

A

AB

AC2cosC

又 0cosC1





ABAC



12cosC



B

C

即AC2AB

（附：正弦定理：

ABsinC

ACsinB

BCsinA

2R，R为ABC外接圆半径）

很多人一看这道题还以为只是在讲一题多解的问题，其实并不是这样，因为当中蕴含着很多的东西。通过这道题我们可以想到一些问题：（1）一道几何题，甚至可以说是一道数学题，往往都可以一题多解。（2）通过一题多解可以培养学生不断思考的能力，有利于学生思维的培养。（3）正是由于一题多解就导致其中会涉及到很多内容，很多知识点，很多学生在做了题过后根本就不知道做题是为了什么？他有没有学到东西？其实做题只是一个手段，是为了通过题来更好地掌握知识，把所学的知识点，方法学会。这道题看似很简单，其实把每种解法看了过后，你就会发现里面几乎涉及了所有初中几何方面的知识，比如：辅助线的作法，角平分线定理，正弦定理，圆的知识等等。也就是说每做一道题我们都应该教学生如何去思考，往深处想，往广处想，看似越简单的题里面蕴含的知识，方法就越多，不要做完题就“走人”，这样是达不到学习效果的，如果长期以这种态度做题，即使你做再多的题也是没有效果的。

第二篇：从一道几何证明题谈面积法

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从一道几何证明题谈面积法

作者：李小龙

来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期

如图，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC上任一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F求证：CF=PD+PE

对于该题，一般同学会想到截长法与补短法

如图2，过点P作P⊥CF于，则四边形PFD是矩形，则PD=F易证△PC≌△CPE，则C=PE于是CF=F+C=PD+PE这种方法叫做截长法

如图3，过点C作CN⊥DP交DP的延长线于点N，则四边形NCFD是矩形，则CF=DN易证△CPN≌△CPE，则PN=PE于是CF=DN=PD+PN=PD+PE这种方法叫做补短法

无论是截长法还是补短法，都需要证明三角形全等，比较麻烦如果能够注意到已知条件中的垂直条件，联想到三角形的面积公式，于是便有如下简捷证法：

如图4，连结AP，则S△ABC=S△ABP+S△ACP

由PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，得

这样我们仅根据图形面积间的关系，利用三角形的面积公式便轻而易举地完成证明这种证明几何命题的方法叫做“面积法”巧用“面积法”证明几何命题，往往能收到出奇制胜、简捷明快之效

说明平行线具有“传递面积”的功能也就是说，如果两条直线互相平行，那么在其中一条直线上取两定点，以这两个定点和另一条直线上的任意一点构成的三角形的面积都相等

第三篇：几何证明题

几何证明题集（七年级下册）

姓名：_________班级：_______

一、互补”。

E

D

二、证明下列各题：

1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求证：DB//EC.E D

3ACB2、如图，已知AD//BC，∠1=∠B，求证：AB//DE.AD BCE3、如图，已知∠1+∠2=1800，求证：∠3=∠4.EC

A1 O

4B

D F4、如图，已知DF//AC，∠C=∠D,求证：∠AMB=∠ENF.E DF

N

M

AC B5、如图，在三角形ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点且DE//BC、EF//AB，求证：∠ADE=∠EFC.C

EF

AB D6、如图，已知EC、FD与直A线AB交于C、D两点且∠1=∠2，1求证：CE//DF.CE

FD

2B7、如图，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线，AB//CD，求证：DE//BF.FDC

A E8、如图，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.B

F

ED

AC9、如图,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求证: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：DG//AB.A

EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一点，GE⊥BC于E，GE的延长线与BA的延长线交于F，∠BAD=∠CAD，求证：∠AGF=∠F.F

A

G

BCDE12、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求证：CE//DF.F

E 4G1AD 5 2B13、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B+∠D.A

CBED14、如上图，已知∠BCD=∠B+∠D，求证：AB//CD.15、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B-∠D.BA

ED

C16、如上图，已知∠BCD=∠B-∠D，求证：AB//CD.17、如图，AB//CD，求证：∠B+∠D+∠BED=3600.BA

E

DC18、如上图，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求证：AB//CD.

第四篇：一道初中几何证明题的三种解法

证明题：

证明：AB+AC>BD+DE+EC

解法1：

解题思路：要证1.AB+AC>BD+DE+EC先证2.AB+AC>GB+GC再证3.GB+GC>BD+DE+EC由2.和3.证得1.证明：

延长BD交AC于点F，延长CE交DF于点G。∵AB+AF>BF,FC+FG>GC;……….两边之和大于第三边

C

C

∴AB+AF+FC+FG>BF+GC;……..不等式性质（如果A>B,C>D，那么A+C>B+D）∵AF+FC=AC;

∴AB+AC+FG>BF+GC;∵BF=BG+FG;

∴AB+AC+FG> BG+FG+GC;

∴AB+AC> BG+ GC;………不等式性质:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).此处为同加-FG。

∵GD+GE>DE

∴GD +GE+DB +EC> DE+DB+ EC……不等式的可加性。∵GD+DB=GB,GE+EC=GC;∴GB+GC>DE+DB+EC;

∴AB+AC>DE+DB+EC……..不等式的传递性（AB+AC> BG+ GC>DE+DB+EC）

解法2.解题思路：要证1.AB+AC>BD+DE+EC先证2.AB+AC>BF+FC再证3.BF+FC>BD+DE+EC

由2.和3.证得1.证明：延长BD、CE,交于点F,过点F作直线交AB于点G，交AC于点H.∵AG+AH>GH,GH=GF+FH;∴AG+AH>GF+FH;

∴AG+AH+GB+HC>GF+FH+GB+HC;∵AG+GB=AB,AH+HC=AC;∴AB+AC> GF+FH+GB+HC;∵GF+GB>FB,FH+HC>FC;∴GF+FH+GB+HC>FB+FC;∴AB+AC> FB+FC;

∵FD+FE>DE;

C

∴FD+FE+DB+EC>DE+BD+EC;

∵FD+DB=FB,FE+EC=FC;

∴FB+FC>DE+BD+EC;

∴AB+AC>BD+DE+EC.解法3.解题思路：要证1.AB+AC>BD+DE+EC

先证2.AB+AC>BG+GD+DE+EH+HC再证3.BG+GH+HC>BD+DE+EC由2.和3.证得1.证明：延长DE交AC于点H,延长ED交AB于点G.∵AG+AH>GH,GH=GD+DE+EH;

∴AG+AH> GD+DE+EH;

∴AG+AH+BG+HC> GD+DE+EH+BG+HC;

∵AG+GB=AB,AH+HC=AC;

∴AB+AC>GD+DE+EH+BG+HC;

∵BG+GD>BD,EH+HC>EC;

∴GD+DE+EH+BG+HC>BD+DE+EC;

∴AB+AC>BD+DE+EC.C

第五篇：几何证明题(难)

附加题：

1、已知：如图，△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ

2、已知：如图，在△ABC中，已知AB=AC，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点。求证：△ABE∽△ECM；

3、已知：如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．∠B=∠AMD=∠C 求证：AM=DM

DA

BCM

4、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，找出图中的三对相似三角形，并给予证明。

D

C

E

FG

A BP

5、已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．

证明：把△ACF绕A点旋转90°使AC和AB重合;设F旋转之后的点是G

6、已知：如图,AB∥GH∥CD,求证：

111+= ABCDGH7、已知：点F是等边三角形ABC的边AC上一动点，（1）、如图，过点F的直线DE交线段AB于点D，交BC于点E，且CE=AD，求证：FD=FE A

DG F

CBE

（2）、如图，过点F的直线DE交BA的延长线于点D，交BC于点E，且CE=AD，求证：FD=FE