第一篇：《你能证明它们吗》参考教案
第一章证明
（二）§1.1、你能证明它们吗(一)
-----孙建彬
一、学习目标：
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
二、学习重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。
学习难点：能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。
三、学习方法：观察法。
四、学习过程：
复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
新课讲解：
在《证明
（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
本套教材选用如下命题作为公理 :
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）
5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）
6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）/
3证明过程：
已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
求证：△ABC≌△DEF
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°
（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°-(∠A+∠B)
∠F=180°-(∠D+∠E)
又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F
又∵BC=EF（已知）B
C
EF
∴△ABC≌△DEF（ASA）（这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。）
议一议：
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（教师提出问题，并利用等腰三角形纸片帮议助学生回忆。学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质。）
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
（等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。）
定理：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。求证：∠B＝∠C
（引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”，重点引导学生做辅助线，将等腰三角形分成两个全等的三角形： 我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。能否通过作一条线段，得到两个全
等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？）
证明：取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应边角相等)
（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。做∠BAC的平分线，交BC边于D；过点/ 3 BC
A做AD⊥BC。学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。）
想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
（应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。）推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
随堂练习：
做教科书第4页第1，2题。（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？
（学生小结：通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。）
五、作业：
1、基础作业：P5页习题1.11、2。
2、预习作业：P5-6页议一议
六、板书设计：/ 3
第二篇：你能证明它们吗
§1.1、你能证明它们吗(一)
一、教学目标：
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
二、教学重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。
三、教学方法：观察法。
四、教学过程：
复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
新课讲解：
在《证明
（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
本套教材选用如下命题作为公理 :
1.两直线被 F
形纸片帮议助学生回忆。学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质。）
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
（等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。）
定理：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C
（引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”，重点引导学生做辅助线，将等腰三角形分成两个全等的三角形： 我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？）
证明：取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应边角相等)
（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。做∠BAC的平
B分线，交BC边于D；过点A做AD⊥BC。学生指出该定理的条件
和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。）
想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
（应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。）
推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
随堂练习：
做教科书第4页第1，2题。（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？
（学生小结：通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。）
五、作业：
1、基础作业：P5页习题1.11、2。
2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：P5-6页议一议
六、板书设计：
C
七、课后记：
§1.1、你能证明它们吗(二)
一、教学目标：
1、进一步了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。
3、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。
4、了解反证法的推理方法。
5、会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。
二、教学重点：正确叙述结论及正确写出证明过程。熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。
三、教学方法：探究式教学法 自主探究与合作探究
四、教学过程：
复习回顾：
你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?、探索——发现——猜想——证明
1、引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？
（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）
2、探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？
（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）
3、证明：（1）例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是 △ ABC的角平分线。
求证：BD＝CE（一生口述证明过程，然后写出证明过程。）
C 证明：（略）
此题还有其它的证法吗？
（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。其它证法合作交流完成。）
4、议一议1：
在上图的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC, ∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE吗？如果∠ABD＝1/4∠ABC, ∠ACE＝1/4∠ACB呢？由此你能得到一个什么结论？（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。学生分组思考、交流，在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。）
（3）如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB, 那么BD＝CE吗？如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB,呢？由此你能得到一个什么结论？
议一议2：
把“等边对等角”反过来还成立吗？你能证明？
定理证明
已知：在ΔABC中∠B=∠C
求证：AB=AC（引导学生证明定理）方法如下：
（1）C
（2）
C
C
课堂小结1：
(1)归纳判定等腰三角形判定有几种方法,(2)证明两条线段相等的方法有哪几种。（讨论、交流）随堂练习：
已知：在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC
求证：DB=DE
C（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）想一想:
小明说，在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它?
证明P8
反证法的概念 P8
课堂小结2：
通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？ B C
（学生小结：掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。等腰三角形的判定定理。了解反证法的推理方法。）
五、作业：
1、基础作业：P9页习题1.21、2、3。
2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：P10-12页做一做
六、板书设计：
七、课后记：
§1.1你能证明他们吗？
（三）一、教学目标：
1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。
2、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。
二、教学重点、难点：关于综合法在证明过程中的应用。
三、教学过程：
温故知新
1、已知：∠ABC,∠ACB的平分线相交于
F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E
(1)找出图中的等腰三角形(2)BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？
(3)证明以上的结论。
2、复习关于反证法的相关知识
练习：
证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
（笔试，进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式）
学一学
1、探索问题：①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证
明你的思路吗？（把你的思路与同伴进行交流。）
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
2、做一做：用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小
关系？能证明你的结论吗？
（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°
延长BC至D,使CD=BC,连接 AD
A ∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∵AC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)
∴△ABD是等边三角形11∴BC=BD=AB 2
2得到的结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、例题学习
等腰三角形的底角为15°，腰长为2a
已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠
度，CD是腰AB上的高
求：CD的长
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
11∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所2
2对的直角边等于斜边的一半)
4、练习：课本12页随堂练习
1四、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？
（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）
五、作业：
1、基础作业：P13页习题1.31、2、3题
2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：P15-17页读一读“勾股定理的证明”
六、板书设计：
七、课后记：
第三篇：第一节你能证明它们吗 教案
课时课题：第一章 第一节你能证明它们吗 第三课时
课型：新授课
教学目标：
1.证明和掌握等边三角形的判定定理、有一个角是30°的直角三角形的性质定理.2.进一步学习和规范综合法证明的基本步骤和书写格式.3.渗透分类讨论思想,培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立解决问题的数学模型． 重点：等边三角形的判定和有一个角是30°的直角三角形的性质的证明及应用技巧.难点：证明思路的探寻和综合法证明的书写表达.教学方法：启迪诱导—自主探索—反馈升华
教法及学法指导：
为体现学生在教学中的主体地位，促进学生知识、技能和数学素养的提高，确立本节应用“启迪诱导－自主探究—反馈升华”教学模式，引导学生思考问题、课件演示和学案探究，对设计的问题进行观察思考、小组讨论、主动探究，最后自己得出结论，亲身经历解决问题的全过程.课前准备：制作纸质三角形教具及课件，学生课前进行相关复习及预习导学案.教学过程:
一、创设情境，导入新课
师：同学们好！我们上节课共同探究解决了什么问题?你还记得什么结论?
生：略一思考,举手回答:等边对等角和反证法.师：非常清晰!我们再回忆一下,等腰三角形有哪些性质?等边三角形呢?
生答.(师展示硬纸质三角形,三角板测量一个角为60°,折叠得两边相等.)
师:你能判断出这个三角形的形状吗?
生抢答：等边三角形.二、等边三角形的判定方法探究
（一）探究一
师:同学们意见一致.这是我们本节课的第一个学习任务.我们一起来明确已知和求证.这个60°的角与两腰有位置限制吗?
(生积极思考，通过老师的点拨，认识到需要分类讨论:当这个角分别是底角和顶角的情况,学生合作完成证明.师以顶角为例写出已知和求证.)
已知：如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=60°
求证：△ABD是等边三角形.师：你是怎样推理的？
(生纸笔作答，一生板演证明过程)
证明：∵∠A=60°
∴∠B+∠C=120°
又∵AB=AC
∴∠B=∠C=60°(等边对等角)
∴∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC(等角对等边)
∴△ABD是等边三角形
(学生完成后互相交换检查，师巡查指正分类讨论和过程的书写.把证明过的结论作为定理，即等边三角形判定定理一)
生答、师板书：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推理形式: 在△ABC中,∵AB=AC,∠B=60°(已知).∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).师：观察黑板上的推理过程，有∠A=∠B=∠C.因此，这个条件也可以直接判定等边三角形, 即等边三角形判定定理二.生答、师板书：三个角都相等的三角形是等边三角形.推理形式:在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).（二）学以致用
师：同学们总结得都非常好，数学本来源于生活现象，观察下面这个小制作，你的结论是什么，依据是什么．
(师将两个大小一样的含有30°的直角三角形按如图方式拼在一起，生分组讨论，意见统一后汇报探究结果.)
生一：△ABD是等边三角形.依据是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.生二补充：
∵∠BAC=∠CAD=30°
∴∠BAD=60°
又∵AB=AD
∴△ABD是等边三角形
(看到学生再无异议，师提问：已知中的直角这个条件为什么没有用到？是多余的吗？如果没有这个条件，结论还成立吗？生再讨论发现.)
生板演画图：不一定成立了，可能是筝形或飞机形.原因是没有了直角的条件，∠BCD就不一定是180°，即点B、C、D不共线，整个图形就不是三角形了.师：非常好！你发现了问题所在.因此推理过程要加上：
∵∠BCA=∠DCA=90°
∴∠BCD=180°即点B、C、D三点共线
师：证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.(学生认真听讲，结合观察思考中发现的推理漏洞,体会推理思维的严谨性.)
三、有一个角是30°的直角三角形的性质定理的探究
（一）探究二
师：同学们学以致用，成功地判断出来△ABD是等边三角形，非常聪明！下面我们换个角度思考：等边三角形可以分成两个全等的直角三角形，这个直角三角形有什么特点？(师演示折叠纸质三角形.)
学生观察后回答：生1：三个角分别是30°、60°、90°.生2：改进：只说一个锐角是30°就可以了.生3：BC是BD的一半，从而也是AB的一半，所以这个直角三角形中短直角边是斜边的一半。
师：你的思路很正确,通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明，同学们能不能写出证明过程?
（学生证明.完成后互相交换检查，师巡查，个别指正.）
探究结论：有一个角是30°的直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推理形式: 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°
∴BC=AB(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)
（二）讲解例题
师：大家看看能否用新知识解决下面这个问题？投影例题，学生思考.例2已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长.分析：要敏锐地捕捉到15°的角和30°的角的关系以及直角三角形，从而选定推理方向，凑齐条件。
学生解答：
∵∠B=∠ACB=15°
∴∠CAD=30°
又∵CD是腰AB上的高
∴CD=AC= a
（三）学以致用
已知：一块形如△ABC的空地，AB=2a米,AC=3a米,∠A=150°，若在其中种上单价20元/平方米的草皮，需要多少钱？
点拨：求面积需要一条边上的高，由150°又能得到特殊角30°，因此解决问题的关键是构造直角三角形.（生小组讨论,寻找解题方法.(解略)）
课堂练习：在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，求BC的长.（小组合作完成，过程略.）
答案：BC=3DE=11.4cm.四、学习体会：
本节课你的收获有什么?还有什么没有得到解决的问题愿意摆出来与大家共享吗?学生主动起立回答.收获有:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.三个角都相等的三角形是等边三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.分类讨论的证明方法
由15°等角度去寻找与30°特殊角，从而构造特殊的直角三角形解题.„
五、达标检测
(A):已知，如图，在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A=30°,CD⊥AB于D.求证:
(B)腰长为2的等腰锐角三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，求底边上的高.(这两个试题，学生根据自身程度任选一题完成.)
六、作业
预习下一节的内容.板书设计
§1.1你能证明它们吗（3）
等边三角形的判定定理1.定理2.有一个角是30°的直角三角形的性质定理
例题
练习
教学反思
本节课的两个定理对大部分学生来说都是熟悉的，至少也留有印象.因此教学重点放在了等边三角形的判定和有一个角是30°的直角三角形的性质的证明及应用技巧的引领上.课堂关注分类讨论的必要性，利用小组合作学习共同在短时间内完成探究，效果不错.在有一个角是30°的直角三角形的性质的证明上，则采取延续探究一的练习题的再深入探究，利用折叠很直观地展示了两边的关系和证明思路，学生口述证明，节约了时间.在点拨了例题之后，规范板书，了解题步骤，给学生以书写指导，同时给学生消化吸收的时间，为接下来变式练习的解决搭好台阶.学生短时间内找到解决方法，攻克了难题也令他们精神大振，信心倍增.值得商榷的一点是关于三点共线证明的必要性的安排，在学生头脑中完全没有感到疑问的情况下，教师是否应该主动提出来？利弊相较，在此还需要各位老师考虑学情.
第四篇：你能证明它们吗1.1
石佛中学九年级上册 数学 学案
第1章 第1节 <<你能证明吗？>> 第2课时9月 1日
一、学习目标：
1.会证明等腰三角形中的一些“线段”相等；
2.会判断一个三角形是等腰三角形，并知道证明的另一种方法----反证法。
二、教学重点：正确叙述结论及正确写出证明过程。熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。
难点：等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。
三、自学指导：
自学指导1：
认真看教材P6—P7关于例1的有关内容，掌握本题的证明格式，在本题中用到了哪些知识点。5’分钟后，完成下面的学习检测。
(一)学习检测：（10’）
1.例1中（用到了什么性质）？
2.在例1中，如果∠ABD=
证明：
(二)思考：在例1中，如果AD=
1313∠ABC，∠ACE=13∠ACB，那么BD=CE吗？ AC，AE=1
3AB，那么BD=CE吗？你用什么方法证明的？
综合P7的（1），（2），你能得到什么结论？
(5分钟)
自学指导2：
认真看教材P7—P9页的内容，要求掌握：1.如何判断一个三角形是等腰三角形？用到了什么方法？2.了解什么是反证法。3分钟后完成下面的练习。
(一)学习检测：（10’）
1.请叙述等腰三角形的定义。
2.证明：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”
已知：在△ABC中，_______________,求证：△ABC是等腰△
方法：（1）过点A作___________________________（最关键）
（2）构造两个全等三角形
（3）由全等三角形证明AB=AC。
3.阅读P8页关于反证法的知识，总结什么是反证法？，四、本节小结：（3’）
1.本节课你掌握了哪些知识点？
2.你自查一下，还有哪些知识点没有掌握？
3.你认为最难学会的知识点是什么？
得分时间: 10 分钟
1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD//BC，且∠1=∠2，求证：AB=AC。
2.已知：如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC。分别在AB，AD的中点E，F处拉两
根彩线，EC，FC，证明：这两根彩线的长相等；
第五篇：1.1你能证明它们吗
1.1你能证明它们吗（1）
一、复习引入：
师：在八年级下学期，我们用“同位角相等，两直线平行”以及“两直线平行，同位角相等”,证明了有关平行线的判定和性质等，积累了一些证明的方法和经验，本节课开始我们将
探索与三角形有关结论的证明.让我们先来回顾三角形全等的相关知识.（教学意图：通过回顾证明
（一）中运用两个公理证明其它定理的方法，熟悉证明的一般
方法，为本节的证明和运用作铺垫.）
问题1：请同学们回顾，全等三角形的判定方法和性质有哪些？
（学生先思考，再相互交流，相互补充，师生一起归纳梳理完成.）
生1：三边对应相等的两个三角形全等（SSS公理）.生2：两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS公理）.生3：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA公理）.生4：全等三角形的对应边相等,对应角相等（公理）.生5：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).师：很好！前四个命题，本套教材直接选作公理使用，不需要证明.而最后一个命题需要证
明后才可以使用.（教学意图：设计有挑战性的问题，让学生先思考再讨论解决，互相交流补充完成；培养学
生学以致用，大胆探索的科学发现精神，激发学生的学习热情.）
问题2：试证明命题：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”.师：八年级我们已经学过了文字证明题的基本方法和步骤，请你用自己的语言说一说.生：1.分清命题中的题设和结论2.画出图形写出相应已知和求证.3.写出证明过程.师：总结得很到位.那么我们如何分析这个命题的题设和结论，画出图形，写出相应的已知
和求证.生：已知：(如图)在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.师：请同学们独立完成证明过程.生： 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°.（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E).又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）.∴∠C=∠F.又∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF.（ASA）
（设计意图：要让所有学生熟练的写出证明过程，准确的理解因为和所以之间的对应关系，有意识地培养学生严谨的思维品质，让学生“言之有据”.）
二、探究新知
师：同学们，三角形按边分类，分为哪几类？
生：等腰三角形（包括等边三角形）和不等边三角形.（学生互相交流补充，教师点拨强调.）
师：我们已经研究了一般三角形的三边之间的关系、三角形内角之间的关系及三角形的外角，本节课我们来研究特殊的三角形即等腰三角形的性质，请同学们拿出等腰三角形纸片，观察等腰三角形具有哪些性质？你会用折叠图形验证你的发现吗？
生1：等腰三角形两腰相等.生2：等腰三角形的两个底角相等.生3：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合.（等腰三角形的“三
线合一”）
（设计意图：借助折纸的方法回忆等腰三角形的性质，培养学生的动手能力，理论与实践相
B
B
B
结合，提高学生的语言表达以及归纳能力.）
问题3：你能利用已有的公理和定理证明“等腰三角形的两个底角相等”这个结论吗？ 师：请同学们分析这个命题的题设和结论，画出图形，写出相应的已知和求证.生：已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C
师：我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上，折痕将等腰三角形分成了两
个全等三角形.现在你能否添加适当的辅助线，将等腰三角形转变成全等三角形，来证明它的两个底角相等呢？
生1：（图1）证明：取BC的中点D，连接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应边角相等)
图1图2图
3生２：(图2)证明：做∠BAC的角平分线，交ＢＣ于点Ｄ.∴∠1=∠
2∵AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应边角相等)
生３：(图3)过点Ａ，做ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为D.构造两三角形全等.（HL）
（“ＨＬ”定理我们还没有证明过，因此它们暂时不能作为证明的依据.但仍要对给出 方法３的学生予以肯定和表扬.）
师：我们已用不同的方法证明了“等腰三角形的两个底角相等”，简单的叙述为“等边对等
角”，那如何用符号语言表达呢？
生：只需把“已知”改成“∵”，“求证”改成“∴”.师：很好！接着板书“∵ AB=AC.∴∠B=∠C”.师：今后这个定理可作为等腰三角形的性质来使用
.（设计意图：命题的证明是本章的重点，让学生能用所学知识进行规范证明，辅助线的添加是本节课的难点，让学生对同一个问题从不同的角度去思考.）
问题4：在上图中，还存在哪些相等的线段和相等的角？线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
生：刚才的证明过程中，无论作哪一种辅助线，都能构造三角形全等，从而得出对应边相等，对应角相等.所以这条线段的特征就更加丰富了，实际就是“三线合一”啦.师生共同总结：推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简
称“三线合一”）.师：等腰三角形的“三线合一”，你会用符号语言叙述吗？
生1：(如右图)
∵ AB=AC，BD=CD
∴∠1=∠2，AD⊥BC.生2：∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC，∠1=∠2.生3：∵AB=AC, ∠1=∠
2∴AD⊥BD,BD=DC.师：这个推论有什么作用呢？
生1：可以用来证明两角相等、两线段相等，或两线垂直.生2：在等腰三角形中，由其中一种身份，证明其它的身份存在.（先让学生回顾前面的证明过程，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现并掌握等腰三角形性质定理的推论，并能掌握性质定理.）
师：同学们总结的很精彩，请大家试着完成下面的练习.三、巩固练习
证明:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°.(教师要求学生在练习本上先画图、写出已知、求证，再写出证明过程.教师巡视,对有困难的学生进行点拨指导,并筛选优秀的结果进行展示交流.)
生:已知：（如图）在△ABC中，AB=AC=BC.求证: ∠A=∠B=∠C=60°
证明: ∵AB=AC∴∠B=∠C
∵BA=BC∴∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
又∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°
师: “等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.”这一结论今后可以直接使用，作为其它问题推理的依据.(设计意图:通过本节课的学习，让学生试着分析命题的条件和结论，试着写出证明过程.这是本章学习的重点.)
四、你言我语畅谈收获
本节课你在知识或方法上有哪些收获？试与大家一起分享.生1：通过本节课的学习,我会运用全等三角形的判定方法,会证明等腰三角形的有关性质.生2：学会了用不同方法添加辅助线.生3: 掌握了证明的基本步骤和书写格式.生4: 我也会证明等边三角形的性质.师: 你们都有不少收获!请同学们利用所学的知识来完成下面的检测.(学生归纳总结，互相交流补充完成.培养学生的语言表达和归纳概括能力.形成完整的知识体系.)
五、自我检测
1.（2013四川）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）
A.70°B.55°C.50°D.40°
2.（2013 德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）
5.（2013十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
参考答案:1.D2.B3.B4.15(此题是一道易错题,学生出现两解较多)
5.证明: ∵AB=AC∴∠B=∠C,又∵BD=CE
∴△ABD△≌△ACE(SAS)∴AD=AE
(本题主要练习学生证明的规范性,但有的学生证明较为复杂,需要规范过程.)
六、布置作业
1.必做题：习题1.1----
1、22.选做题：习题1.1----
3、4七、板书设计
本节课主要学习等腰三角形的性质定理及其证明方法，培养学生思维的严谨习惯，规范学生做证明题的格式.通过这节课的教学,比较成功的地方有：
1.学生能较好地掌握证明的基本步骤，并能依据学过的公理和定理，对简单的命题进行证明.2.本节给学生提供了广阔的探索平台以及交流空间，发散学生的思维能力，较好地体现了证法的多样性.3.学生基本掌握了对同一个命题间的三种语言相互转化，较好地注重了书写格式.4.注重了学生动口说、动脑思、动手操作，等腰三角形的性质都是通过学生感悟总结的.由于性质是学生自己推出得到的，所以较好地运用等腰三角形性质解决相关的问题.成功的同时，在课堂教学过程中也感到有些遗憾：
由于本节课等腰三角形的性质定理的证明是本节课的重点，特别是证明思路和方法是本节课的重点，但在处理命题的证明的过程中，没有留出足够的时间，处理还是仓促；再者，学生认为此部分内容在八年级已经学习过，从思想上轻视，导致课堂气氛不是很活跃，这是今后要引起注意之处.
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