用分析法证明 已知（五篇范例）

第一篇：用分析法证明 已知

用分析法证明已知

要证明(b+c-a)/a+(a+c-b)/b+(a+b-c)/c>3

即是证明(b+c)/a-1+(a+c)/b-1+(a+b)/c-1>3

b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6

因为a，b，c>0，且不全等，所以b/a+a/b≥2

a/c+c/a≥2

b/c+c/b≥2

上式相加的时候，等号不能取到，因为不全等。故b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6

命题获证

a²-b²=tan²α+2tanαsinα+sin²α-tan²α+2tanαsinα-sin²α

=4tanαsinα

左边=16tan²αsin²α

=16tan²α(1-cos²α)

=16tan²α-16tan²αcos²α

=16tan²α-16sin²α/cos²α*cos²α

=16tan²α-16sin²α

右边=16(tan²α-sin²α)

所以左边=右边

命题得证

要证|(a+b)/(1+ab)|<1

就是要证|a+b|<|1+ab|

就是要证(a+b)^2<(1+ab)^2

就是要证a^2+2ab^2+b^2<1+a^2b^2+2ab

就是要证a^2b^2-a^2-b^2+1>0

就是要证(a^2-1)(b^2-1)>0

而已知|a|<1|b|<1

所以(a^2-1)(b^2-1)>0成立

|(a+b)/(1+ab)|<1成立

左边通分整理

即证|(b-a)(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<|a-b|

把|a-b|约分

|(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<1

即证|a+b|<(a²+1)(b²+1)

显然a和b同号时|a+b|较大

所以不妨设a>0,b>0

a+ba²-a+1/4=(a-1/2)²

b²-b+1/4=(b-1/2)²

所以a²-a+b²-b+1>0

a²b²>=0

所以a>0,b>0时

a+b若都小于0，绝对值一样

把以上倒推回去即可

证明：由a>0,b>0，lnx是增函数，要证：a^ab^b>=a^bb^a,即证：alna+blnb>=alnb+blna

即证：a(lna-lnb)+b(lnb-lna)>=0

即证：(a-b)(lna-lnb)>=0.由于，lnx是增函数，因此，a-b与lna-lnb符号相同。

则(a-b)(lna-lnb)>=0成立。

于是：原不等式成立。

第二篇：用分析法证明

用分析法证明

证明：分析法

要证明1/(√2+√3)>√5-2成立

即证√3-√2>√5-

2也就是√3+2>√5+√2

(√3+2)²>(√5+√2)²

7+4√3>7+2√10

即证4√3>2√10

2√3>√10

√12>√10

由于12>10，则易知上式成立，所以1/(√2+√3)>√5-2

若|x|<1,|y|<1,试用分析法证明|(x-y)/(1-xy)|<

1证明：要证|(x-y)/(1-xy)|<1

需证|x-y|<|1-xy|

需证|x-y|^2<|1-xy|^2

需证(x-y)^2<(1-xy)^2

需证x^2-2xy+y^2<1-2xy+(xy)^2

需证x^2+y^2<1+(xy)^2

需证1+(xy)^2-(x^2+y^2)>0

需证(1-x^2)-y^2(1-x^)>0

需证(1-x^2)(1-y^2)>0

|x|<1,|y|<1得到|x|^2<1,|y|^2<1

得到x^2<1,y^2<1

1-x^2>01-y^2>0

所以(1-x^2)(1-y^2)>0

所以|(x-y)/(1-xy)|<1成立

2要使√ac-√bd>√(a-b)(c-d)

必使ac-2√acbd+bd>(a-b)(c-d)

化简得-2√acbd>-ad-bc

即ad+bc>2√acbd

又因为a>b>0,c>b>0,由均值不等式得

3a²-b²=tan²α+2tanαsinα+sin²α-tan²α+2tanαsinα-sin²α

=4tanαsinα

左边=16tan²αsin²α

=16tan²α(1-cos²α)

=16tan²α-16tan²αcos²α

=16tan²α-16sin²α/cos²α*cos²α

=16tan²α-16sin²α

右边=16(tan²α-sin²α)

所以左边=右边

命题得证

4、】

(根6+根7)平方=13+2*根42

2倍的跟2=根8

(根8+根5)平方=13+2根40

2*根42-2*根40大于0

故成立。

补充上次的题。(根3+根2)(根5-根3)不等于1就行了，不必繁琐求大于1.前提是0(1/a)+1/(1-a)>=4

1/>=4

00=0

0=0

0=0成立

其上均可逆

证毕

第三篇：不等式·用分析法证明不等式

不等式·用分析法证明不等式·教案

教学目标

通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式． 教学重点和难点

理解分析法的证题格式并能熟练应用． 教学过程设计

师：我们已经学习了综合法证明不等式．综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”． 综合法的思路如下：（从上往下看）（用投影片）

师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1还可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，„，而到达结D的只有C，于是我们便找到了A→B→C→D这条通路．当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如A→B1→C1→D等．

但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有一定困难．

这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分析法证明不等式，来解决这个问题．

（复习了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学习分析法的必要性）分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”． 分析法的思路如下：（从下往上看）（用投影片）

师：欲使结论D成立，可能有C，C1，C2三条途径，而欲使C成立，又有B这条途径，欲使C1成立，又有B1这条途径，欲使C2成立，又有B2，B3两条途径，在B，B1，B2，B3中，只有B可以从A得到，于是便找到了A→B→C→D这条解题途径．（对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系）

师：用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是：（用投影片）欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，„„

只需证命题A为真，今已知A真，故B必真．

师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径． 下面举例说明如何用分析法证明不等式．首先解决刚才提出的问题．（板书）

师：这个题目我们曾经用比较法进行过证明，请同学们考虑用分析法如何证明？（学生讨论，请一学生回答）

生：因为b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化为a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，这个式子就是已知条件，所以求证的不等式成立．

（学生理解了分析法的原理，应予以肯定，但这个回答不能作为证明过程，学生往往忽略分析法证明的格式，要及时纠正）

师：这位同学“执果索因”，逐步逆找结论成立的充分条件，直至找到明显成立的不等式为止．很明显，逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程，因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法．

但是作为证明过程，这位同学的回答不符合要求．应该如何证明呢？（请一位同学板书）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2．

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，进而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．

生乙：我是用分析法证明的．

证法2：

欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因为a＋b＞0，课堂教学设计说明

教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．因此，教师应及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题的解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．

本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断提出问题让学生解答和练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包办代替的做法．

在安排本节课教学内容时，我注意按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．

第四篇：分析法 证明辨析

分析法证明辨析

师：我们已经学习了综合法证明不等式.综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”.综合法的思路如下：(从上往下看)

(用投影片)

师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1还可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，…，而到达结D的只有C，于是我们便找到了A→B→C→D这条通路.当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如A→B1→C1→D等.但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有一定困难.这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分析法证明不等式，来解决这个问题.(复习了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学习分析法的必要性)

分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，从而找出解题途径.概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”.分析法的思路如下：(从下往上看)

(用投影片)

师：欲使结论D成立，可能有C，C1，C2三条途径，而欲使C成立，又有B这条途径，欲使C1成立，又有B1这条途径，欲使C2成立，又有B2，B3两条途径，在B，B1，B2，B3中，只有B可以从A得到，于是便找到了A→B→C→D这条解题途径.(对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系)

师：用分析法-论证“若A到B”这个命题的模式是：

(用投影片)

欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，只需证命题A为真，今已知A真，故B必真.师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径.下面举例说明如何用分析法证明不等式.首先解决刚才提出的问题.(板书)

(此题以教师讲解，板书为主，主要讲清证题格式)

师：请看投影，这个题还有一种证法.(投影片)

师：这种证法是综合法.可以看出，综合法有时正好是分析过程的逆推.证法2虽然用综合法表述，但若不先用分析法思索，显然用综合法时无从入手，有时综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此.师：若此题改为

下面的证法是否有错?

(投影片)

①

②

③

④

⑤

⑥

只需证63<64，⑦

因为63<64成立，⑧

⑨

(学生自由讨论后，请一位同学回答)

生：我认为第②步到⑦步有错，不等式①两边都是负的，不能平方.师：这位同学找到了证明过程中的错误，但错误原因叙述得不够准确.这种证法错在违背了不等式的性质.若a>b>0，则a2>b2;若a

第五篇：不等式证明三(分析法)

Xupeisen110高中数学

教材：不等式证明三（分析法）

目的：要求学生学会用分析法证明不等式。

过程：

一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

二、例

一、求证：372

5证：

5)

22xy

32∵x2y22xyxy成立 3只需证：x2y2

∴(xy)(xy)22312133

证二：（综合法）∵(x2y2)3x6y63x2y2(x2y2)x6y66x3y3

1x6y62x3y3(x3y3)2

∵x > 0，y > 0，∴(xy)(xy)22312133

例

三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0

证一：（综合法）∵a + b + c = 0∴(a + b + c)2 = 0

a2b2c2展开得：abbcca

2例

四、l，2

l周长为l的正方形边长为，截面积为 442

2ll问题只需证：>  24

l2l2

即证：2>16422

两边同乘

411，得：24l2

因此只需证：4 > （显然成立）

ll∴ > 也可用比较法（取商）证，也不困难。24

三、作业： 22P18练习1—3及习题6.3余下部分

补充作业：

1．已知0 <  < ，证明：2sin2cot 2

1cos∵0 <  < ∴sin > 0

略证：只需证：4sincossin

2． 已知a >0（成立）3． 设a, b, c4ab4S 即证：2cosC23sinC

即：3sinCcosC2

即证：sin(C)1（成立）6