第一篇：高中物理论文《温度计、熔化和凝固易错题解析》
温度计、熔化和凝固易错题解析
1、考虑问题不周全而出错
例1 体温计是一种常用的医疗器械，给体温计消毒时，可以（）。
A.用医用酒精棉球擦拭；B.在沸水中煮20min左右；C.在酒精灯火焰上烧一下；D.上述做法都可以。
错解：D 解析：若是一把金属手术器械，用A、B、C三种不同的方法都能达到杀菌、消毒的效果，但体温计有它的特殊性，它是一种测人体温度的器械，量程为35℃～42℃，这说明它所处的环境温度不能超过42℃，由于沸水的温度一般可达到100℃，酒精灯火焰的温度可达600℃，在这样高的温度下，水银受热膨胀足可以将玻璃泡胀破，故给体温计消毒只能用酒精棉球擦拭。
正解：A 点拨：同学们学习的所有知识，最终还是要跟生产、生活和科技紧密相联的，“应用”也是所有知识的最终归宿，而不是简单的记住某些内容就好了的。所以，增加社会实践以及全面、综合地考虑问题，就是重中之重了。
2、本质认识模糊而出错
例2 如图1所示，是小红利用小玻璃瓶、橡皮塞和玻璃管自制的液体温度计。该温度计是根据液体的 规律来工作的。实际使用中发现该温度计玻璃管中的液柱变化不明显（密封良好）。对此，请你提出一条改进建议：。
图1 错解：热胀冷缩
将玻璃瓶换成同样大小的塑料瓶
解析：发生错解的同学，只知道常用温度计是根据液体热胀冷缩的规律制成的，但对其构造、工作过程认识模糊，改进建议自然就答不对了。
在同样条件下由于液体热胀冷缩的程度比固体（玻璃）大得多，故当周围温度变化时，温度计中的液柱会发生升降，温度计就是通过其液柱的升降来显示温度高低的。当玻璃泡的容积增大，内盛液体增多，或玻璃泡的内径变小、液柱变细时，液柱升降的幅度就会增大。故要使液柱变化明显，方法之一是换一根细玻璃管；方法之二是换一个大玻璃瓶（塑料有较大的弹性，故不能用塑料瓶）；方法之三是采用受热易膨胀、遇冷易收缩的液体。
正解：热胀冷缩
换一根细玻璃管
点拨：观察事物、思考问题都是需要细致、缜密的，这就要求同学们在学习时，对一些现象及规律进行细化，然后进行有效地吸收，让知识在大脑中更加清晰透明，从而使我们在解决实际问题时能够抓住关键，有的放矢。
3、对熔化和凝固的条件及特点理解不清而出错
例3 如图2所示，在一个烧杯中放入一定量的冰块，把盛有碎冰块的一个大试管插入烧杯里的冰块中，用酒精灯隔着石棉网给烧杯底部缓慢加热，当烧杯中的冰块有大半熔化时，不考虑从空气中吸热，则试管中的冰块（）
A.熔化一部分；B.一点也不熔化；C.全部熔化；D.无法判断。错解：A 解析：晶体的熔化必须具备两个条件：达到熔点，继续吸热。由于酒精
图2 灯给烧杯加热，所以烧杯内的冰吸热冰熔化。题目说烧杯中的冰有大半熔化，即烧杯内是冰、水共存的状态，可知其温度为熔点0℃，试管插在烧杯内的冰块中，若试管
内冰的初温低于0℃，它可以从烧杯内的冰、水混合物中吸热，使自己的温度上升，当其温度升高到0℃时，试管内外温度一样，都是0℃，试管内的冰再也不能从烧杯内的冰、水混合物中吸热了。尽管试管内的冰的温度达到了熔点，但无法继续吸热，当然就是一点也不熔化了。
正解：B 点拨：晶体的熔化可以看作是一场接力赛，这场接力的“交接点”就是晶体的“熔点”。应该注意的是，仅仅是“靠上去”还是不够的，“继续吸热”是实现突破而使晶体开始熔化的关键，也是必要条件。
练习：
1、严冬，湖面上结了厚厚的冰，但冰下面鱼儿仍在游动。为了测出冰下水的温度，李强同学在冰上打了一个洞，拿来一只实验用的温度计，用下列四种方法测水温，其中正确的是（）
A.用线将温度计拴牢从洞口放入水里，待较长时间后从水中取出并立即读数； B.取一塑料饮水瓶，将瓶拴住从洞口放入水里，水灌满瓶后取出，再用温度计测瓶中水的温度；
C.取一塑料饮水瓶，将温度计悬吊在瓶中，再将瓶拴住从洞口放入水里，水灌满瓶后待较长时间，然后将瓶提出，立即从瓶外观察温度计的示数；
D.手拿温度计，从洞中将温度计插入水中，待较长时间后取出并立即读数。
2、海波的熔点是48℃，那么温度等于48℃的海波其状态是（）A.固态；B.液态；C.固液共存态；D.以上三种皆有可能。
参考答案：
1、C
2、D
第二篇：高中物理各章易错题归纳
第十三章 光学
一、主要内容
本章内容包括光的直线传播、棱镜、光的色散、光的反射、光的折射、法线、折射率、全反射、临界角、透镜（凸、凹）的焦点及焦距、光的干涉、光的衍射、光谱、红外线、紫外线、X射线、y射线、电磁波谱、光电子、光子、光电效应、等基本概念，以及反射定律、折射定律、透镜成像公式、放大率计算式，光的波粒二象性等基本规律，还有光本性学说的发展简史。
二、基本方法
本章涉及到的方法有：运用光路作图法理解平面镜、凸透镜、凹透镜等的成像原理，并能运用作图法解题；根据透镜成像规律，运用逻辑推理的方法判断物象变化情况。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：解题操作过程不规范导致计算错误；将几何光学与物理光学综合时概念不准确；不善于用光路图对动态过程作分析。
例1 波长为0.65μm的红光，从空气射入水中，水相对空气的折射率为1.33。求该光在水中的波长，并判断在水中该光的颜色。
【错解】
得波长0.49μm的光是蓝色。【错解原因】
上述求得光在水中的波长为0.49μm是正确的，但用光谱表查得光的颜色却错了。人眼对光的色觉决定于光的频率而不是波长。
【分析解答】
当光从一种媒质进入另一种媒质时，波长变化了，波速也相应变化了，但它的频率却不变。所以在水中该光仍是红色。
【评析】 物理规律的因果关系是有条件的，记忆规律时应该首先弄清规律成立的条件。凡是波，无论是机械波还是电磁波，只要振源的频率不变，波的频率就不变。例2 一束白光从玻璃里射入稀薄空气中，已知玻璃的折射率为1.53，求入射角为下列两种情况时，光线的折射角各为多少？
（1）入射角为50”（2）入射角为30° 【错解】
r=30°3′
r=19°4′ 【错解原因】
此解法中没有先分析判断光线是从光疏媒质进入光密媒质，还是从光密媒质进入光疏媒质，会不会发生全反射。而是死套公式，引起错误。
【分析解答】
光线由玻璃里射入空气中，是由光密媒质射入光疏媒质，其临界角为
由已知条件知，当i=50°时，i＞A，所以光线将发生全反射，不能进入空气中。当i=30°时，i＜A，光进入空气中发生折射现象。
sinr=n·sini=1.53×sin30°=0.765 r= 49°54′ 【评析】
解光的折射现象的题目时，首先应做出判断：光线是从光疏媒质进入光密媒质，还是光线是从光密媒质进入光疏媒质。如是前者则i＞r，如是后者则i＜r。其次，如果是从光密媒质进入光疏媒质中，还有可能发生全反射现象，应再判断入射角是否大于临界角，明确有无折射现象。
例3 光从玻璃射入空气里时传播方向如图13－l所示，请在图中标出入射角和折射角。
【错解】
如图 13－2所示，α为入射角，β为折射角。【错解原因】
错解原因一是受思维定势的影响，不加分析地认定玻璃与空气总是上下接触的；二是对光的折射及其规律未吃透，将题设文字条件与图形条件结合起来的分析能力差。根据光的折射规律，光从水或玻璃等透明物质射入空气里时，折射角大于入射角，题设文字条件是“从玻璃射入空气”，因此折射角大于入射角，再结合题设所给图形，可知CD为界面，AB为法线。
【分析解答】
如图 13－3所示，α′为入射角，β′折射角（CD左面为玻璃，右面为空气）。
【评析】
解光的折射现象的题目，首先应对光线是从光疏媒质进入光密媒质呢？还是光线是从光密媒质进入光疏媒质作出判断。为了保证你每次做题时，能够不忘判断，建议同学们做光的折射题时，先画出光路图，标出入射光线和出射光线的方向，在界面处标出哪一个是光密媒质，哪一个是光疏媒质。然后再解题。例4 如图13－4所示，放在空气中折射率为n的平行玻璃砖，表面M和N平行，P，Q两个面相互平行且与M，N垂直。一束光射到表面M上（光束不与M平行），则：
A．如果入射角大于临界角，光在表面M发生全反射。B．无论入射角多大，光在表面M都不会发生全反射。C．光可能在表面N发生全反射。
D．由于M与N平行，光只要通过M就不可能在表面N发生全反射。【错解】
光束从空气中射到玻璃砖表面M上，是由光疏媒质到光密媒质，不可能发生全反射，而从表面N射出空气，是由光密媒质到光疏媒质，光可能发生全反射，故选B，C。
【错解原因】 机械地记住光从光密媒质到光疏媒质，可能发生全反射，而不具体分析光通过表面M后射到N表面光线的入射角的大小是否大于临界角，而错选C。
【分析解答】
如图13-5所示，光射到表面M的入射角为i(i≠90°)折射角为r，面N，因M∥N，故其入射角i′=r＜C。即光只要通过M即不可能在表面N发生折射。
若光通过M先射到MN面再射到P面（如图13－6），同样可以证明经P面发生反射，反射光线射至N面时，由几何关系可以证明入射角i′=r，根据折射定律折射角r′=i，同样不可能发生全反射。故应选B，D。
【评析】
同一个初始条件可能有若干个不同结果。这是对考生思维能力的考查。本题中，当光线射到M上，发生折射。以A为分界点，入射点在AC之间，光线先要到达P界面，所以一定先要讨论光线在P界面上的行为。光线在P界面一定会发生反射现象，是否发生折射要看入射角是否大于临界角。由于此问题与本题无关所以可以不讨论它。如果试题提出光线在P界面的行为时，就要认真讨论。结论是：入射到M面光线的入
例5：如图13－7所示，有一长方形的玻璃砖，内有一个凸型空气泡，某学生用这个玻璃砖来做光学实验。当一平行光束通过玻璃砖时，光在空气泡中发生的现象是：
A．这一平行光束在空气泡中将不改变原来的方向。B．这一平行光束在空气泡中将发生会聚。C．这一平行光束在空气泡中将发生发散。D．无法确定。
【错解】
不少学生看里面是一个凸型气泡，认为光线经过的是凸透镜，故最终成为一束会聚光线，应选B。
【错解原因】
对透镜的作用不清楚，而是简单地由镜子的形状来判断它对光线的作用种类，认为凸型空气泡与平时用的玻璃凸透镜形状一样．便认为空气泡透镜对光线的作用与玻璃透镜的作用效果相同。
【分析解答】
设想在图13－7中，沿AB方向把玻璃砖等分为二，即成为图13－8中情形，显然该束光经过的是一凹透镜。由光学知识可知，凹透镜对光线有发散作用，则平行光束在空气泡中将发生发散，故应选C。
【评析】
更基本的方法是画一条入射光线到空气透镜的前表面，用作图法来判断光线经过透镜之后的行为。光线从玻璃进入空气，由光密媒质进入光疏媒质，折射角大于入射角，折射光线远离法线，出射光线是发散的。可见“凸透镜对光线的作用是会聚的”这个结论是有条件的。条件是透镜材料的折射率大于周围环境的折射率。
例6：如图13-9，P为发光点，MN为平面镜，那么在MN与P之间放上不透明挡板Q后，像的亮度变化情况是__________(填“变亮”或“变暗”或“不变”)。【错解】
在MN与P之间放上不透明挡板Q后，必然会使从P点发出的光被挡板挡住部分，所以像的亮度会变暗。
【错解原因】
选错的同学是将此类问题与在发光点S与透镜之间放一挡板的情况混为一谈了。若是凸透镜，如图13－10，发光点S发出并且到达凸透镜上的那部分光线，经折射后必然全部相交于实像点S1，而当如图13-11所示的凸透镜下半部分(或其上任何一部分)放上挡板B后，S发出并且到达挡板B的光线就会被反射和吸收不能透过凸透镜经折射到达实像点S2，使得相交于S2像点的光线大大减少了，显然由于放上了B，S2点变暗了，而平面镜则不同了。
【分析解答】
所不同的是，图13-12中发光点P在平面镜中所成的是虚像点P＇。眼睛之所以能看到P＇，是因为P发出的光线，在平面镜MN上发生反射并且进入人眼睛。人按照平时形成的观察习惯，逆着进入眼睛的这些反射光线看到镜后的虚像点P＇，P＇就是进入人眼睛的光线反向延长线的相交点，显然P＇像点的亮度取决于眼睛的某一位置观察时进入其中的光线多少与强弱。
如图(13-12)所示，无放挡板时，眼睛在M1N1与M1＇N1′所包围的空间区域内均可看到P′点。放上挡板后，在图中的阴影部分A或B区域内(即在M1Nl和M2N2与M1′N1′和M2′N2′所包围的区域)，进入眼睛的光线多少强弱与未放入挡板时相比保持不变。因为在没有放上挡板时，通过挡板所在位置的那部分光线经平面镜后，同样不能进入处于A，B区域内的眼睛，这样对进入A，B区域内的光线多少与强弱并不能做出贡献。也就是说，挡板放上后，对在A，B区域内眼睛，能否看到像及看像的亮度都不会产生任何影响。当然此时A，B区域外再也看不到P的像点P′了。因此，在发光点与平面镜之间放上不透明挡板后，观察到的像的亮度是不变的，变化的是像的观察范围，而且是明显变小了。
【评析】
几何光学把光理想化为光线，用几何的方法研究光在介质中的行为。总结出光的直进、反射和折射三大规律。所以用几何光学规律解决实际问题，应先画光路图再做具体分析。这不仅是按照规律办事的的起码要求，也是保证做题正确的手段。
例7 用一个放大镜观察细小的物体，若物体距镜2cm远时，将看到一个放大3倍的像，求此放大镜的焦距是多少？
【错解】
v= mu=3×2＝6(cm)
【错解原因】
对题目中给的条件分析不够，题目中“通过放大镜看到一个像”这句话属于隐蔽的已知条件，暗示了像和物在同侧．说明成虚像即像距为负值。而此解法恰好没有注意到这一点，而是不加分析地当作实像处理，简单代入公式求解，出现了问题。
【分析解答】
由于像与物在放大镜的同一侧。因此，是一个虚像，v为负值。
【评析】
胸有成竹说的是没画之前，画家的头脑里就有了一幅活生生的情境。理解题意也和画画的道理相同，看到一个物理问题，先要将文字叙述的物理情境想象出来，然后再进一步解题。本题如果先依据题意画一幅光路图就对像距的虚实一目了然。
例8 高9cm的物体在凸透镜前某一位置时，在屏上得到高3cm的像。将此物向透镜移近50cm时，则得放大率是3的正像。求此凸透镜的焦距？
【错解】
设此凸透镜焦距为f，第一次成像物距为u1，像距为vl。两次成像的放大率各为K1和K2。由成像公式
【错解原因】
上述解法不加分析地把两次成像都当作实像处理，得出了错误的结果。【分析解答】 由透镜成像公式
第一次成像为实像
第二次成像为虚像
【评析】
应用透镜成像公式时，一定要注意判断像的性质，若像距v＞0，为实像；若像距v＜0，为虚像。要想避免出现本题类似的错误。得在审题上狠下功夫。得在理解词语的物理意义上动脑筋。本题文中说：“在屏上得到高3cm的像”则这个像一定是实像。题文中又说：“将此物向透镜移近50cm时，则得放大率是3的正像”这段话中，像的前面有定语“正”字，其物理意义是“成虚像”，像距应取负值。
一般常见的描述像的性质的定语、状语有：
像的定语：实像、虚像、正像、倒像、放大的像、缩小的像、放大的倒立的像、放大的正立的像、缩小的正立像、缩小的倒立像等。
像的状语：像与物同侧、像与物异侧，成像在焦点以外、成像在焦点以内等。把这些修饰词的物理含义准确地再现出来可以正确地理解题意，避免犯一些“没看清楚题意”之类的低级错误。例9 用凸透镜成像时，当物体从极远处沿着主轴移向透镜时，像朝什么方向移动？像移动的速度比物体移动的速度怎样？
【错解】
由凸透镜成像实验知道，物体从极远处沿着镜轴移向透镜时，像从透镜向远离透镜方向移动，移动速度与物体速度相同。
【错解原因】
上述解法错在对成像过程只有表面局部认识，想当然地得出了结论。【分析解答】
凸透镜成像的讨论中，透镜焦点和二倍焦距处是转折点，应仔细观察实验结果，认真进行分析，切忌片面。像移动速度与物体移动速度的比较，决定于像移动距离和物体应移动的距离之比。
由实验知道，物体由极远处沿着镜轴移向透镜时，应分三个阶段讨论：(1)物体从极远移向凸透镜二倍焦距地方，像从透镜另一侧焦点处移向二倍焦距地方，在此区间像移动速度小于物体移动速度。
(2)物体从凸透镜二倍焦距处移动向焦点时，像从透镜另一侧二倍焦距处移向极远，在此区间像移动速度大于物体移动速度。(3)物体从凸透镜焦点处移向透镜光心时，像和物同侧，是放大虚像，像移动的速度大于物体移动速度。
例10 一焦距为f的凸透镜，主轴和水平的X轴重合，X轴上有一光点位于透镜的左侧，光点到透镜的距离大于f而小于2f，若将此透镜沿X轴向右平移2f的距离，则在此过程中，光点经透镜所成的像点将
A．一直向右运动。B．一直向左运动。
C．先向左运动，接着向右运动。D．先向右运动，接着向左运动。【错解】
由于透镜沿X轴向右平移，使物距增大，由于凸透镜是确定的，故焦距一定，而物距增大，像距必然减小，透镜向右移，可等效为镜不动而物向左移，物像应同方向移动，所以像也应向左移，所以选B。
【错解原因】
物像同方向移动的规律仅适用于镜不动而物移动或像移动的问题。此题是物不动而镜移动。再用常规解题就会出现问题。
【分析解答］
用物体间距变化的规律去分析，该题马上由难转易，根据题设条件，在透镜向右移动2f距离的过程中，物点到透镜的距离由大于f而小于2f增大到 2f，再增大到大于2f，则物像间距应先减小后增大，由于物点静止不动，像点应先向左移动，接着向右移动，得正确答案C。
【评析】
此题告诉我们，不管适用条件照搬以前做过的题的解法，“以不变应万变”是要误事的。要全面分析问题，应用物像间的变化规律去分析在透镜成实像的情况下，当物距u由∞→2f的过程中，由于m＜1，像的速度小于物体移动的速度，物像间距变小；当物距u由2f→f过程中，由于m＞1，像的速度大于物体的速度，物像间距变大；在u=2f时，v=2f，物像间距具有最小值4f。掌握上述规律不但进一步加深了对透镜成像规律的理解，而且还可以更方便地求解一些光学问题。
例11 如图13－13所示，一线状发光物体AB，其A端恰在焦距为f的薄凸透镜前主光轴上2倍焦距处，AB与主光轴成α角，AB经透镜成像，A′B′与主光轴成β角，则β，α的大小关系： A． β＞α B． β＜α C． P＝α D．无法确定。【错解】
根据凸透镜成像规律，当物距u=2f时，则像距v=2f。若物距u＞2f，则像距为f＜v＜2f，并成缩小的像，所以A发光点在2f上，则通过透镜后必过主光轴上距透镜2f的A′点，发光体的B点在2f之外，则经过透镜后，像点B′应变得离主光轴近了，并且离镜2f－f之间。像A′B′与主光轴所成的夹角β与AB与主光轴所成的夹角α由于几何关系不清，无法判断。故选D。
【错解原因】
只是将凸透镜成像的规律记住了，机械性使用。而对凸透镜成像原理不清楚所造成的，不能灵活地去分析和正确地画出成像图，这是造成错解的原因。
【分析解答】
我们利用一条特殊光线来进行巧解。众所周知，凸透镜成像，当物距u=2f时，对应的像距v=2f，因此，从凸透镜主光轴上的发光点 A(A距透镜2f)发出的一条光线AC(AC与BA在同一条直线上)，经过透镜后的光线 CC′必过主光轴上距透镜2f的A′点。显然，从发光点B发出的光线BC经透镜后的光线必为CC′，且B点对应的像点B’点在CC′上，因为CC′既过A′点，又过B′点，所以CC′与B′A′必在同一条直线上，如图13－14所示。在直角三角形COA′与直角三角形COA中，CO为公共边，OA′=OA。因此，这两个直角三角形全等。设∠OAC=θ ∴β=θ＝α。
顺便指出，本题中B，O，B′必在同一条直线上。
例12(1989年高考题)把一个点光源放在焦距为f的凸透镜的焦点上，在透镜的另一侧2倍焦距处放一个垂直于主轴的光屏，在光屏上看到一个半径为R的光亮的圆。现保持透镜和光屏不动，而在主轴上移
位置上？
【错解】
【错解原因】
亮斑，如图13－15所示。亮斑的位置和物距不满足透镜成像公式。【分析解答】
因为处在焦点的点光源发出的光线，经透镜折射后平行于主轴。所
像前(图13－15)，或者会聚成像后形成的(图13-16)，所以，由图13-15的几何关系可知 v=4f，再由透镜成像公式可求得：
【评析】
画出光路图，才能正确求解几何光学题。
例13(1993年高考题)某人透过焦距为10cm、直径为4.ocm的薄凸透镜观看方格纸，每个方格的边长均为0.30cm，它使透镜的主轴与方格纸垂直，透镜与纸面相距10cm，眼睛位于透镜主轴上离透镜5.ocm处，问他至多能看到同一行上几个完整的方格？
【错解】
不少人认为，和主轴垂直且处在焦点的方格纸，经过透镜不能成像，或者说像成在无穷远处，从而得出位于主轴上离透镜5.ocm处的人眼看不到方格纸，或者此题无解的错误答案。
【错解原因】
处在焦点的方格纸不能成像，或者说成像在无穷远的结论是正确的。但由此绝不能推出人眼看不到方格纸，或者此题无解的结论。人眼也是个光学器件。平行光通过眼睛的晶状体在视网膜上成像为一个点。比如人们戴上老花镜(即薄凸透镜)，完全能够清楚地看到处在老花镜焦点上的物体。
【分析解答】 把“人眼通过透镜能看到方格纸”这句生活语言，转化成物理语言应为“从方格纸射出的光线，经过透镜折射后能进入人眼”。根据光路可逆原理，我们再把“从方格纸射出的光线，经过透镜折射后，能进入人眼”转化成“从人眼所在处的点光源发出的光线，经过透镜折射后，能在方格纸上形成亮斑”，亮斑的大小取决于透镜的大小、像距、屏的位置，如图13－17所示，其中像距可由透镜成像公式求得，即：
由图中的几何关系可得，亮斑的直径为：
进而可求得亮斑的直径上的完整方格数为：
也就是说，人眼透过透镜至多能看到同一行的方格数为26。【评析】
理解题意比解题还重要。当年不少的考生就因为读不懂题而失分。读不懂题的原因在于没有将题目所叙述的具体问题转化为一种物理模型。
例14 如图13-18所示，在焦距为10cm的凸透镜的焦点上有点光源S。若使透镜以垂直于主光轴并过光心的直线为轴转过37°角。求此点光源到它的像之间的距离(sin37°=0.6，cos37°=0.8)。
【错解】
透镜转动后，发光点到透镜距离：
u=f·cosθ=8(cm)由透镜成像公式：
得
所以像物间距离
对透镜成像公式中的物理量，物距u、像距v、焦距f，这些概念理解不够。u，v，f应均是物垂直于透镜的距离，而不是到透镜光心的距离。
【分析解答】
在透镜成像公式中，u，v，f均是物垂直于透镜的距离，而不是到透镜光心的距离。透镜转过后，所得的像距是相对于新的透镜位置的垂直距离。由透镜成像规律知该像仍在原主光轴MN上。如图13-19所示，离光心的距离：
所以像物问距离：
L＝v′-u=40(cm)【评析】
从本题的正误比较中，我们发现基本概念必须准确。我们还发现主轴的作用。物距、像距都可以先把物点、像点投影到主轴上，投影点到光心的距离就是物距、像距。如果在转动透镜的同时也转动主轴，并将发光点投影到新的主轴上，如图所示M′N′。新的物距在一倍焦距之内，可用几何关系求出新的物距。完成了对新的物理情境的调查研究，解决问题的方法也就有了。
第三篇：数学易错题论文
中学数学易错题本的整理探究
一、建立数学错题本
错题本是对自身错误的系统汇总。其实，这也是一个关于统计的问题，现实生活中统计的效用是相当重要的。当我们把错误汇总在一起时，就会很容易看出其中的规律性。比如，我们将数学错题本上的问题总览一下，可能很容易发现，一遇到数形结合的问题，自己就很容易出错，那么，我们对这部分的基础就应加强!很多学习比较浮躁的学生满足于知道自己这道题错了，但是，认识往往不是很深。有时，即使让他重新做一遍原来的题目，可能还是拿不到满分，其关键是步骤和过程。这时，建立错题本，将错题抄录下来，并重新分步解出就显得很有检验效果了，同时具有巩固作用。
错题本不是简单地将题目和答案抄录下来，重要的是分析出现错误的原因和预防类似错误出现的方法。这是一个自身逐渐学习和修正的过程，会让自己对这一类错题的认识逐步加深。同时，对于一些题目冗长的错误，大家可以采取一些简单有效的做法。比如，由父母帮助抄录题目，但是由学生自己重新解题并总结；或将有关试卷复印，然后剪切错误的题目并粘贴在错题本上等等。
建议大家在错题本上完善几个功能，让“错”变得非常清晰。比如：标注出“概念错误”“思路错误”“理解错误”“审题马虎”等错误原因；标注出“错误知识点”：方程、函数、变换等；标注出“同类错误”：第几页、第几题等等。另外，针对自己常犯的错误，给自己出几道题目，考查自己对概念掌握、条件运用和知识结合的理解程度。
二、学生易错题的收集的方法。
1、课堂上，老师会有意识的安排一些新课新知识点中的容易搞混淆的问题，学生就要相应有意识地跟进这一步，应该让学生注意听课的方式方法；
2、习题中，让学生完成作业的时候，在做习题的时候，养成良好的学习习惯，在书写方面也应注意“写法”指导，要求学生书写格式要规范、条理要清楚．作业的书写在一定程度反映了学生的思维水平；
3、考试后，对于一些易错题，要求学生备有错题集，写出自己错误的解题思路和正确的解题过程，两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正．除此之外，还应该让学生总结相似类型的题目，收集典型错误和不会的题目。
三、整理数学错题本
每次考试中，同学们都会有不少题目做错，在这些错题的背后，往往是学习时所产生的知识漏洞。那么，如何弥补这些漏洞呢?有效整理错题本是解决这一问题的最佳措施。
常见的错题本有三种类型：一是订正型，即将所有错题的题目都抄下来，并做出订正；二是汇总型，将所有错题按课本的章节顺序进行分类整理；三是纠错型，即将错题按错误的原因进行分类整理。现在介绍一种新的错题本——活页型错题本，其整理步骤如下： 1.分类整理
将所有错题分类整理，分清错误的原因：概念模糊类、粗心大意类、顾此失彼类、图形类、技巧类、新概念类、数学思想类等等，并将各题注明属于某一章某一节，这样分类的优点在于既能按错因查找，又能按各章节易错知识点查找，同时也简化了错题本，整理时同一类型问题只记录典型问题。2.记录方法
在试卷讲评时，要注意老师对错题的分析讲解，该题的引入语、解题的切人口、突破思路的方法、解题的技巧、规范步骤及小结等等。并在该错题的一边注释，写出自己解题时的思维过程，暴露出自己思维障碍产生的原因。这种记录方法开始时，学生可能觉得较困难或写不出，但不必强行要求自己，初始阶段可先用自己的语言写出小结即可，总结多了，自然会有心得体会，渐渐认清思维的种种障碍。3.必要补充
前面的工作仅是一个开始，最重要的工作还在后面，对错题不一定订正得非常完美。对于每一个错题，必须要查找资料或课本，找出与之相同或相关的题型，并作出解答。如果还是不能解决，则对于这一问题的处理再深入一些。4.错题改编
这一工作难度较大，解题经验丰富的同学可能做起来比较顺利。因为每道试题都是由老师编写出来的，作为学生，当然要能学会如何去改，这是弥补知识漏洞的最佳方法。初始阶段，同学们只需对题目条件做一点改动。5.活页装订 将错题本按自己的风格进行编码、装订，由于每页不固定，故每次查阅时还可及时更换或补充。
在整理错题本时，一定要有恒心和毅力，不能只为完成任务，整理时不要在乎时间多少，重要的是通过整理错题本，你将学会如何学数学、如何研究数学，真正做到“吃一堑长一智”。一本好的错题本就是自己知识漏洞的题典，平时要注意及时整理与总结，在数学复习时错题本就是你最重要的复习资料，一定要多看，隔一段时间可以加长一点，这样就能够起到很好的复习效果。每位同学错题本不尽相同，但其他同学的错题本中的优点也是可以借鉴的，所以同学们平时也要注意相互之间的交流。
四、使用数学错题本 1.指导方法，训练思维
审阅错题本时，我们总要细心分析每个学生的错题特点，对症指导培养习惯。既启发学生弄清题目的要求，又指导学生学会分析错题的方法，要求学生认真分析错题，训练了学生思维的条理性，克服了思维混乱现象。
2.全面掌握，有效补救
学生做错题以后，在作业上订正，时间长了就淡忘了，换了作业本，更是无从稽查，学生心中无数，老师心中也无数，后来的复习补救就没有了依据。使用错题本以后，每个学生的错题都集中到一起，这就等于建立了台账，师生复习就有了准确的依据。平时指导学生订正分析时，将错误类型相同的放在一起，找出共因，采取相应的补救方法。单元和期中、期末复习时，指导学生将错题全面分类，这样学生就可以更好地掌握方法，减轻负担，提高效果，从而体会到错题本的优越性。
3.了解学情，有针对性
对教师而言，使用错题本还可分析出不同学生和整体教学存在问题的倾向性，便于抓住重点，发现规律，克服过去复习时盲目乱抓的现象，提高了复习补救的针对性，学生的易错处就是学生学习的难点所在。我们要求数学组的全体教师对这些题目进行教学反思，不仅据此设计复习题，舍弃题海战术，减轻学生负担，还能因此使教学思路更明确，教改步伐更坚实。学生自己也懂得了如何依据错题，重点攻关、补救、反思、进取、创新，各方面相得益彰
第四篇：高考数学高频易错题举例解析
高考数学高频易错题举例解析
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。
●
忽视等价性变形，导致错误。
Û，但
与
不等价。
【例1】已知f(x)
=
ax
+，若求的范围。
错误解法
由条件得
②×2－①
①×2－②得
+得
错误分析
采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法
由题意有,解得：
把和的范围代入得
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】
(1)
设是方程的两个实根，则的最小值是
思路分析
本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：
有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根，∴
Þ
当时，的最小值是8；
当时，的最小值是18。
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
(2)
已知(x+2)2+
=1,求x2+y2的取值范围。
错解
由已知得
y2=－4x2－16x－12，因此
x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞,]。
分析
没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
事实上，由于(x+2)2+
=1
Þ
(x+2)2=1－
≤1
Þ
－3≤x≤－1，从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴
x2+y2的取值范围是[1,]。
注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。
错解
(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析
上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
事实上，原式=
a2+b2+++4=（a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
=
(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=
得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=
(当且仅当a=b=时，等号成立)，∴(a
+)2
+
(b
+)2的最小值是。
●不进行分类讨论，导致错误
【例4】(1)已知数列的前项和，求
错误解法
错误分析
显然，当时。
错误原因：没有注意公式成立的条件是。
因此在运用时，必须检验时的情形。即：。
(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。
错误解法
将圆与抛物线
联立，消去，得
①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得，解之得
错误分析
（如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。
x
y
O
图2－2－2
x
y
O
图2－2－1
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得解之，得
因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。
思考题：实数为何值时，圆与抛物线，(1)
有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。
●以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法。
错误分析
在错解中，由，时，应有。
在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法
若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意
Þ
Þ,即因为，所以所以解得
说明
此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
错误解法
设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为
错误分析
此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法
①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。
②当所求直线斜率为零时，直线为y
=
1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k
=,∴
所求直线为
综上，满足条件的直线为：
《章节易错训练题》
1、已知集合M
=
{直线}，N
=
{圆}，则M∩N中元素个数是
A(集合元素的确定性)
(A)
0
(B)
0或1
(C)
0或2
(D)
0或1或22、已知A
=，若A∩R*
=
F，则实数t集合T
=
___。(空集)
3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)
(A)
－1≤k≤0
(B)
－1≤k<0
(C)
－1 (D) －1 （A） （B） （C） （D） 5、若不等式x2－logax<0在(0,)内恒成立，则实数的取值范围是A(等号) (A) [,1) (B) (1,+ ¥) (C) (,1) (D) (,1)∪(1,2) 6、若不等式(－1)na +对于任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是A(等号) (A) [－2，) (B) (－2，) (C) [－3，) (D) (－3，) 7、已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意的实数、都有。证明：为奇函数。(特殊与一般关系) 8、已知函数f(x) =，则函数的单调区间是_____。递减区间(－¥，－1)和(－1，+¥) （单调性、单调区间） 9、函数y =的单调递增区间是________。[－，－1）（定义域） 10、已知函数f (x)=，f (x)的反函数f －1(x)=。 （漏反函数定义域即原函数值域） 11、函数 f (x) = log (x + a x + 2) 值域为 R，则实数 a的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0) (A) (－2,2) (B) [－2,2] (C) (－¥,－2)∪(2,+¥) (D) (－¥,－2]∪[2,+¥) 12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件) （A）2 （B） （C） （D）013、函数y=的值域是________。(－∞,)∪(,1)∪(1,+∞) （定义域） 14、函数y = sin x (1 + tan x tan)的最小正周期是 C （定义域） (A) (B) p (C) 2p (D) 315、已知 f (x) 是周期为 2的奇函数，当 x Î [0,1) 时，f (x) = x，则 f (log 23) = D(对数运算) (A) (B) (C) － (D) － 16、已知函数在处取得极值。 （1）讨论和是函数的极大值还是极小值； （2）过点作曲线的切线，求此切线方程。(2004天津) （求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。） 17、已知tan (a－)= － 则tan a = ；= 。、（化齐次式） 18、若 sin 2a + sin 2b －2 sin a = 0，则cos 2a + cos 2b的最小值是 __ 。(隐含条件) 19、已知sinq + cosq =，q Î (0，p)，则cotq = _______。－(隐含条件) 20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、、，则∠B = B(隐含条件) （A） （B） （C） （D） 21、已知a>0,b>0,a+b=1，则(a +)2 + (b +)2的最小值是_______。(三相等) 22、已知x ≠ kp (k Î Z)，函数y = sin2x +的最小值是______。5（三相等） 23、求的最小值。 错解1 错解2 错误分析 在解法1中，的充要条件是 即这是自相矛盾的。 在解法2中，的充要条件是 这是不可能的。 正确解法1 其中，当 正 确 解 法2 取正常数，易得 其中“”取“＝”的充要条件是 因此，当 24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，则an = ________。2n－1(认清项数) 25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，则 b2 (a2－a1) = A(符号) (A) －8 (B) (C) － (D) 26、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？ 当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列； 当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。 （忽视公比q = －1） 27、已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，f(an)－f(an－1) = k(an－an－1)(n = 2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求。(2004天津) （等比数列中的0和1，正确分类讨论） 28、不等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件) 29、i是虚数单位，的虚部为（）C(概念不清) (A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i30、实数，使方程至少有一个实根。 错误解法 方程至少有一个实根，Þ 或 错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。 正确解法 设是方程的实数根，则 由于都是实数，,解得 31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。 (，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解) 32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。 a = (h，4h+8) (其中h Î R)(漏解) 33、已知 ||＝1，||＝，若//，求·。 ①若，共向，则 ·＝||•||＝，②若，异向，则·＝－||•||＝－。(漏解) 34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则正三棱锥A－BCD的体积为____________。a3 (隐含条件) 35、在直二面角 a－AB－b的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在a、b 两个平面内作与棱成45°的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解) (A) 45° (B) 60° (C) 120° (D) 60° 或 120° 36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津) (条件不充分(漏PA Ë 平面EDB，平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。) 37、若方程 + y = 1表示椭圆，则m的范围是_______。(0，1)∪(1，+ ¥)(漏解) 38、已知椭圆 + y = 1的离心率为，则 m的值为 ____ 。4 或 (漏解) 39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形的周长为 + 2且∠F1BF2 =，则椭圆的方程是 。+ y = 1或x + = 1(漏解) 40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程； （3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。(2004天津) (设方程时漏条件a>，误认短轴是b = 2；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。) 41、求与轴相切于右侧，并与⊙也相切的圆的圆心的轨迹方程。 错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为 设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，与⊙C相切于N点。根据已知条件得，即，化简得 错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x(x>0)和。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。 O · 图3－2－242、（如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。 错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，在内的焦点坐标是 因为二面角等于，且所以 设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，从而 所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线在内的射影的曲线方程是 错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在a 内的射影(曲线)是一条抛物线。 O · 图3－2－3 M N H 正确解法 在内，设点是曲线上任意一点 （如图3－2－3）过点作，垂足为，过作轴，垂足为连接，则轴。所以是二面角的平面角，依题意，.在又知轴（或与重合），轴（或与重合），设，则 因为点在曲线上，所以 即所求射影的方程为 数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。 二、选择题： 1．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（） A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移 错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.答案: B 2．函数的最小正周期为 （） A B C D 错误分析:将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案: B 3．曲线y=2sin(x+cos(x-)和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3……，则|P2P4|等于 （） A．p B．2p C．3p D．4p 正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(x+)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出|P2P|。 4．下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（）个 A．1 B．2 C．3 D．4 正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。 5．函数y=Asin(wx+j)(w>0,A¹0)的图象与函数y=Acos(wx+j)(w>0,A¹0)的图象在区间(x0,x0+)上（） A．至少有两个交点 B．至多有两个交点 C．至多有一个交点 D．至少有一个交点 正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。 6．在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则ÐC的大小应为（） A． B． C．或 D．或 正确答案：A 错因：学生求ÐC有两解后不代入检验。 7．已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的两根，若a，bÎ(-)，则a+b=（） A． B．或- C．-或 D．- 正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。 8．若，则对任意实数的取值为（） A.1 B.区间（0，1） C.D.不能确定 解一：设点，则此点满足 解得或 即 选A 解二：用赋值法，令 同样有 选A 说明：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D。 9．在中，则的大小为（） A.B.C.D.解：由平方相加得 若 则 又 选A 说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。 10．中,、、C对应边分别为、、.若，,且此三角形有两解,则的取值范围为 （） A.B.C.D.正确答案：A 错因：不知利用数形结合寻找突破口。 11．已知函数 y=sin(x+)与直线y＝的交点中距离最近的两点距离为，那么此函数的周期是（） A B C D 正确答案：B 错因：不会利用范围快速解题。 12．函数为增函数的区间是………………………… （） A.B.C.D.正确答案：C 错因：不注意内函数的单调性。 13．已知且，这下列各式中成立的是（） A.B.C.D.正确答案(D) 错因:难以抓住三角函数的单调性。 14．函数的图象的一条对称轴的方程是（） 正确答案A 错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。 15．ω是正实数，函数在上是增函数，那么（） A． B． C． D． 正确答案A 错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。 16．在(0，2π)内，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范围是 （） A、() B、() C、（） D、() 正确答案：C 17．设，若在上关于x的方程有两个不等的实根，则为 A、或 B、C、D、不确定 正确答案：A 18．△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（） A、B、C、或 D、答案：A 点评：易误选C。忽略对题中隐含条件的挖掘。 19．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（） A、B、C、或 D、或 答案：A 点评：易误选C，忽略A+B的范围。 20．设cos1000=k，则tan800是（） A、B、C、D、答案：B 点评：误选C，忽略三角函数符号的选择。 21．已知角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（）。 A、B、C、D、正解：D，而 所以，角的终边在第四象限，所以选D，误解：,选B 22．将函数的图像向右移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数的图像，则可以是（）。 A、B、C、D、正解：B,作关于x轴的对称变换得,然后向左平移个单位得函数 可得 误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。 23．A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（） A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 正解：A 由韦达定理得： 在中，是钝角，是钝角三角形。 24．曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）。 A、B、C、1 D、正解：D。 由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即 则∴ 误解：计算错误所致。 25．在锐角⊿ABC中，若，则的取值范围为（） A、B、C、D、错解: B.错因:只注意到而未注意也必须为正.正解: A.26．已知，（），则 （C） A、B、C、D、错解：A 错因：忽略，而不解出 正解：C 27．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （） A．y=sin(－2x+) B． y=sin(－2x－) C．y=sin(－2x+) D． y=sin(－2x－) 错解：B 错因：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度时，写成了 正解：D 28．如果，那么的取值范围是（） A．，B．，C．，D．，错解: D． 错因:只注意到定义域,而忽视解集中包含.正解: B． 29．函数的单调减区间是（） A、（） B、C、D、答案：D 错解：B 错因：没有考虑根号里的表达式非负。 30．已知的取值范围是（） A、B、C、D、答案：A设，可得sin2x sin2y=2t,由。 错解：B、C 错因：将由 选B，相减时选C，没有考虑上述两种情况均须满足。 31．在锐角ABC中，若C=2B，则的范围是（） A、（0，2） B、C、D、答案：C 错解：B 错因：没有精确角B的范围 32．函数 （） A、3 B、5 C、7 D、9 正确答案：B 错误原因：在画图时，0＜＜时，＞意识性较差。 33．在△ABC中，则∠C的大小为 （） A、30° B、150° C、30°或150° D、60°或150° 正确答案：A 错误原因：易选C，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴，∴＜＜6和题设矛盾 34．（） A、B、C、D、正确答案：C 错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得 35．（） A、B、C、D、正确答案：B 错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响。 36．已知奇函数等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（） A、f(cosα)＞ f(cosβ) B、f(sinα)＞ f(sinβ) C、f(sinα)＜f(cosβ) D、f(sinα)＞ f(cosβ) 正确答案：（C） 错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。 37．设那么ω的取值范围为（） A、B、C、D、正确答案：(B) 错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。 二填空题： 1．已知方程（a为大于1的常数）的两根为，且、，则的值是_________________.错误分析：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.正确解法：，是方程的两个负根 又 即 由===可得 答案: .2．已知,则的取值范围是_______________.错误分析:由得代入中,化为关于的二次函数在上的范围,而忽视了的隐含限制,导致错误.答案: .略解: 由得 将（1）代入得=.3．若,且,则_______________.错误分析:直接由,及求的值代入求得两解,忽略隐含限制出错.答案: .4．函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______。 解：若 则 若 则 说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。 5．若Sin cos，则α角的终边在第_____象限。 正确答案：四 错误原因：注意角的范围，从而限制α的范围。 6．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_________.正确答案： 错因：看不出是两角和的正切公式的变形。 7．函数的值域是 ． 正确答案： 8．若函数的最大值是1，最小值是，则函数的最大值是 ．正确答案：5 9．定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为 ．正确答案： 10．若，α是第二象限角，则=__________ 答案：5 点评：易忽略的范围，由得=5或。 11．设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____ 答案：0<ω≤ 点评： 12．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)=，则cosC=__________ 答案： 点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。 13．在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则①若，则在R上是增函数；②若，则ABC是；③的最小值为；④若，则A=B；⑤若，则，其中错误命题的序号是_____。 正解：错误命题③⑤。 ① ②。 ③ 显然。 ④ (舍)。 ⑤ 错误命题是③⑤。 误解：③④⑤中未考虑，④中未检验。 14．已知，且为锐角，则的值为_____。 正解：，令得代入已知，可得 误解：通过计算求得计算错误.15．给出四个命题：①存在实数，使；②存在实数，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若是第一象限角，且，则。其中所有的正确命题的序号是_____。 正解：③④ ① 不成立。 ② 不成立。 ③ 是偶函数，成立。 ④ 将代入得,是对称轴，成立。 ⑤ 若，但，不成立。 误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。 ⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是的角，从而根据做出了错误的判断。 16．函数的最小正周期是 错解： 错因：与函数的最小正周期的混淆。 正解： 17．设=tan成立，则的取值范围是_______________ 错解： 错因：由tan不考虑tan不存在的情况。 正解： 18．①函数在它的定义域内是增函数。 ②若是第一象限角，且。 ③函数一定是奇函数。 ④函数的最小正周期为。 上述四个命题中，正确的命题是 ④ 错解：①② 错因：忽视函数是一个周期函数 正解：④ 19函数f(x)=的值域为______________。 错解： 错因：令后忽视,从而 正解： 20．若2sin2α的取值范围是 错解： 错因：由其中，得错误结果；由 得或结合（1）式得正确结果。 正解：[0,] 21.关于函数有下列命题，y=f(x)图象关于直线对称 y=f(x)的表达式可改写为 y=f(x)的图象关于点对称 由必是的整数倍。其中正确命题的序号是。 答案： 错解： 错因：忽视f(x)的周期是，相邻两零点的距离为。 22．函数的单调递增区间是。 答案： 错解： 错因：忽视这是一个复合函数。 23．。 正确答案： 错误原因：两角和的正切公式使用比较呆板。 24．是。 正确答案： 错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确 三、解答题： 1．已知定义在区间[-p，] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当xÎ[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,- (1)求函数y=f(x)在[-p，]的表达式； (2)求方程f(x)=的解。 解：(1)由图象知A=1，T=4()=2p，w= 在xÎ[-，]时 将(，1)代入f(x)得 f()=sin(+j)=1 ∵- ∴j= ∴在[-，]时 f(x)=sin(x+) ∴y=f(x)关于直线x=-对称 ∴在[-p，-]时 f(x)=-sinx 综上f(x)= (2)f(x)= 在区间[-，]内 可得x1= x2= ∵y=f(x)关于x= 对称 ∴x3=- x4= ∴f(x)=的解为xÎ{-,-,-,} 2．求函数的相位和初相。 解： 原函数的相位为，初相为 说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。应将所给函数式变形为的形式（注意必须是正弦）。 3．若，求的取值范围。 解：令，则有 说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出或。原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。 4．求函数的定义域。 解：由题意有 当时，； 当时，； 当时，函数的定义域是 说明：可能会有部分同学认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数。 ．已知，求的最小值及最大值。 解： 令 则 而对称轴为 当时，； 当时，说明：此题易认为时，最大值不存在，这是忽略了条件不在正弦函数的值域之内。 6．若，求函数的最大值。 解： 当且仅当 即时，等号成立 说明：此题容易这样做：，但此时等号成立的条件是，这样的是不存在的。这是忽略了利用不等式求极值时要平均分析的原则。 7．求函数的最小正周期。 解：函数的定义域要满足两个条件； 要有意义且，且 当原函数式变为时，此时定义域为 显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的图象： 而原函数的图象与的图象大致相同 只是在上图中去掉所对应的点 从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为 说明：此题极易由的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函数的最小正周期是（）。A.B.C.D.。此题就可以由的周期为而得原函数的周期也是。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。 8．已知Sinα= Sinβ=，且α，β为锐角，求α+β的值。 正确答案：α+β= 错误原因：要挖掘特征数值来缩小角的范围 9．求函数y=Sin(—3x)的单调增区间： 正确答案：增区间[]（） 错误原因：忽视t=—3x为减函数 10．求函数y=的最小正周期 正确答案：最小正周期π 错误原因：忽略对函数定义域的讨论。 11．已知Sinx+Siny=，求Siny—cos2x的最大值。 正确答案： 错误原因：挖掘隐含条件 12．（本小题满分12分） 设,已知时有最小值-8。 (1)、求与的值。（2）求满足的的集合A。 错解：，当时，得 错因：没有注意到应是时，取最大值。 正解：，当时，得 13．求函数的值域 答案：原函数可化为设则则，当 错解： 错因：不考虑换元后新元t的范围。 14．已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范围。 解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－)2－ ∴当sinx=时，amin=，当sinx=－1时，amax=2，∴a∈[，2]为所求 （2）由1≤f(x)≤得 ∵ u1=sin2x－sinx++4≥4 u2=sin2x－sinx+1=≤3 ∴ 3≤a≤4 点评：本题的易错点是盲目运用“△”判别式。 15．已知函数≤≤是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和的值。 正解：由是偶函数，得 故 对任意x都成立，且 依题设0≤≤，由的图像关于点M对称，得 取 又，得 当时，在上是减函数。 当时，在上是减函数。 当≥2时，在上不是单调函数。 所以，综合得或。 误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后只得一解。 ②对题目条件在区间上是单调函数，不进行讨论，故对≥不能排除。 补充习题： 1．右图是某市有关部门根据对某地干部的月 收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000.请根据该图提 供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端 点，不包括右端点，如第一组表示收入在） （1）求样本中月收入在的人数； （2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ （3）试估计样本数据的中位数.解：（1）∵月收入在的频率为，且有4000人 ∴样本的容量 月收入在的频率为 月收入在的频率为 月收入在的频率为 ∴月收入在的频率为； ∴样本中月收入在的人数为： （2）∵月收入在的人数为：，∴再从人用分层抽样方法抽出人，则月收入在的这段应抽取 （人） （3）由（１）知月收入在的频率为： ∴样本数据的中位数为：（元） 2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数． （1）求点在直线上的概率； （2）求点满足的概率． 解：（1）每颗骰子出现的点数都有种情况，所以基本事件总数为个.记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：，（2）记“点满足”为事件，则事件有个基本事件: 当时，当时，； 当时，；当时，当时，；当时，． 3．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，…，第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒 认为良好，求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数； （2）设、表示该班某两位同学的百米 测试成绩，且已知.求事件“”的概率.解：（1）由频率分布直方图知，成绩在内的人数为：（人） 所以该班成绩良好的人数为27人.（2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为人，设为、、； 成绩在的人数为人，设为、、、.若时，有3种情况； 若时，有6种情况； 若分别在和内时，A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有12种情况.所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种.∴（）.4．已知点,.(1) 若,求的值; (2) 若其中为坐标原点,求的值.解：(1)，.,.化简得.（若则,上式不成立），.(2),...5.已知函数.（1）求的最小正周期； （2）用五点法画出函数在一个周期内的图象； （3）若，求函数的最大值和最小值； （4）若，求的值.解：（1）∵＝． ∴ 函数的最小正周期． （2）列表： 描点，连线，得函数在一个周期内的图象如图所示.（3）∵，∴，∴当，即时，函数有最大值2.当或，即或时，函数有最小值1． （4）由已知得，得.∵，∴.∴.∴.∴ .6．已知向量.（1）求.（2）若，且的值.解：（1），.（2）.由，得.由，得..7.在△ABC中，.(1) 求角C的大小; (2) 若△ABC最长边的长为，求△ABC最短边的长.解：（1），∴．，∴． （2）∵,∴边最长，即． ∵，∴角最小，边为最短边． 由 且，解得． 由正弦定理得，得． ∴最短边的长． 8．如图（1），是等腰直角三角形，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 解：（1）证法一：在中，是等腰直角的中位线，在四棱锥中，，平面，又平面,证法二：同证法一得，平面，又平面,（2）在直角梯形中，,． 垂直平分，． ∴ ． 三棱锥的体积为． 9．如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC． （1）证明：平面ACD平面； （2）若，，试求该简单组合体的体积V． （１）证明：∵ DC平面ABC,平面ABC ∴． ∵AB是圆O的直径 ∴且 ∴平面ADC． ∵四边形DCBE为平行四边形 ∴DE//BC ∴平面ADC ∵平面ADE ∴平面ACD平面 （2）解法１：所求简单组合体的体积： ∵，∴,∴ ∴该简单几何体的体积 解法２：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱 如图∵，∴,∴= = A B C P M 10．如图所示几何体中，平面PAC⊥平面，PA = PC,，，若该几何体左视图（侧视图）的面积为． （1）求证：PA⊥BC； （2）画出该几何体的主视图并求其面积S； （3）求出多面体的体积V． 主视方向方向 解：（1），BC=2，，∴，∵平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面=AC,∴BC⊥平面PAC ∵PA平面PAC，∴PA⊥BC.（2）该几何体的主视图如下： ∵PA = PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC，又平面PAC⊥平面，则PD⊥平面ABC，∴几何体左视图的面积===． ∴PD=，并易知是边长为1的正三角形，∴主视图的面积是上、下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积，∴S= （3）取PC的中点N，连接AN，由是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM，∴AN是四棱锥A—PCBM的高且AN=，由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，可知四边形PCBM是上、下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形，其面积． ． 11．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目，由题意知 目标函数.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线，并作平行于的一组直线，R，与可行域相交，其中一条直线经过可行域上的点，且与直线的距离最大，这里点是直线和的交点.解方程组解得 此时（万元），∴当时，取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.12.已知椭圆的两个焦点为，在椭圆上，且 .(1)求椭圆方程； (2)若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.解:(1)，，.所以椭圆.(2)设，即 又因圆的方程为,所以 (-3,1),又因关于点对称，即为的中点，，.，即.13．设为数列的前项和，对任意N，都有为常数，且.（1）求证数列为等比数列； （2）设数列的公比，数列满足 N，求数列的通项公式.解：（1）由已知 ① 得 ② ②-①得，即对任意N都成立.∵为常数，且，∴，即数列为等比数列.（2）当时，得，从而.由（1）知，∵，∴，即.∴为等差数列.∴.∴.14．已知数列是首项的等比数列，其前项和中，成等差数列，（1）求数列的通项公式； （2）设，若≤对一切N恒成立，求实数的最小值． 解：（1）若，则显然，不构成等差数列.∴，当时，由，成等差数列得 ∴，∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴＝ ＝ 由≤ 得≤ ∴≥ 又≤ ∴的最小值为 B组 15．设数列满足其中为实数，且 （1）求数列的通项公式 （2）设，,求数列的前项和； （3）若对任意成立，证明； (1) 法1：，当时，是首项为，公比为的等比数列.，即 .当时，仍满足上式.数列的通项公式为 .法2：由题设得：当时 .时，也满足上式.数列的通项公式为 .(2) 由（1）得 (3) 由（1）知 若，则 由对任意成立，知.下面证，用反证法 假设，，即 恒成立 （＊） 为常数，（＊）式对不能恒成立，导致矛盾，.16．已知数列中，为正实数，N.（1）若，求的取值范围； （2）是否存在正实数，使对任意N都成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）∵N，∴.∴.∵，∴，解得.（2）假设存在正实数，使对任意N都成立，则，对任意N都成立.∴，∴，∴，又 .即.故取，即，有，这与矛盾； 因此，不存在正实数，使对任意N都成立.17.已知椭圆两焦点分别为，是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.（Ⅰ）求点坐标； （Ⅱ）求证直线的斜率为定值； （Ⅲ）求面积的最大值.解：（1）由题可得，设 则，∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，则BP的直线方程为：.由得，设，则，同理可得，则，.所以：AB的斜率为定值.（3）设AB的直线方程：.由，得，由，得 P到AB的距离为，则 .当且仅当取等号 ∴三角形PAB面积的最大值为． 18．已知函数和．其中． （1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值； （2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，． 解：（1）设函数图像与轴的交点坐标为（，0），∵点（，0）也在函数的图像上，∴． 而，∴． （2）由题意可知．,∴,∴当时，即． 又,∴<0,∴,综上可知，． 19．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解: （1）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos= 由余弦定理得BC= 所以船的行驶速度为（海里/小时）.（2）解法1： 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin 所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d= 所以船会进入警戒水域.解法2: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.从而 在中，由正弦定理得，AQ= 由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QE·sin = 所以船会进入警戒水域.20．某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩． （1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？ （2）右图是某同学设计的解决问题（１）的程序框图，则框图中ｐ，ｑ，ｒ处应填上什么条件？ （3）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率 为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？ （精确到１立方米,） 解：（1）设植树ｎ年后可将荒山全部绿化，记第ｎ年初植树量为，依题意知数列是首项，公差的等差数列，则即 ∵ ∴ ∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化． （２）ｐ处填,ｑ处填，（或ｐ处填，ｑ处填） ｒ处填．(或) （３）2002年初木材量为，到2009年底木材量增加为,2003年初木材量为，到2009年底木材量增加为,…… 2009年初木材量为，到2009年底木材量增加为.则到2009年底木材总量 ----------① ---------② ②-①得 ∴ｍ2 答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2 小升初数学易错题及答案解析2017 一、填空题 1、一种盐水的含盐率是20%,盐与水的比是(1：5)。 2、生产同样多的零件，小张用了4小时，小李用了6小时，小张和小李工作效率的最简比是(3：2)。 【解析：将这批零件看作单位“1”，则小张的工作效率为：1÷4=1/4 小李的工作效率为：1÷6=1/6 两人的工作效率比为：1/4：1/6，化简后就是3：2】 3、从甲地到乙地，客车要行驶4时，货车要行驶5时，客车的速度与货车的速度比是(5：4)，货车的速度比客车慢(20)%。 【解析：求速度比的方法同第2题。货车的速度比客车慢((5-4)÷5=20%)】 4、100克糖溶在水里，制成的糖水的含糖率为12.5%,如果再加200克水，这时糖与糖水的比是(1：10)。 【解析：此题关键是要先算出原来的糖水是多少克：100÷12.5%=800(克)。再求加水后糖与糖水的比：100：(800+200)=100：1000=1：10】 5、若从六(1)班调全班人数的1/10到六(2)班，则两班人数相等，原来六(1)班与六(2)班的人数比是(5：4)。 【解析：用方程来解答：设六(1)人数有a人，六(2)班人数有b人。根据题意列出方程后并求解： 通过解方程得出a与b的比为10：8，即六(1)班与六(2)班的人数为10：8，化简后为5：4。】 6、把甲队人数的1/4调入乙队，这时两队人数相等，甲队与乙队原人数的比为(2：1)。 【解析：方法同第5题。】 7、六(1)班今天到校40人，请病假的5人，该班的出勤率是(88.9%)。 【解析：用到校人数就是出勤人数。出勤人数÷全班人数×100%=出勤率。40÷(40+5)×100%≈88.9%】 8、把一个半径是10cm的圆拼成接成一个近似的长方形后，长方形的周长是(62.8cm)，面积是(228cm2)。 【解析：拼成的长方形的周长就是这个半径为10cm的圆的周长：3.14×10×2=62.8cm;根据周长先算出长方形的一条长与一条宽的和：62.8÷2=31.4cm，假设一条长为20cm，则一条宽就为11.4(只要一条长与一条宽加起来等于31.4即可。)，那么面积就是：20×11.4=228平方厘米。】 9、两个数的差相当于被减数的40%，减数与差的比是(3：2)。 【解析：方法参考第5题。】 10、(12.6)米比9米多40%【9×(1+40%)=12.6】 , 9米比(20)少55%【9÷(1-55%)=20】，200千克比160千克多(25)%【(200-160)÷160=25%】;160千克比200千克少(20)% 【(200-160)÷200=20%】;16米比(6.4)米多它的60%【16×(1-60%)=6.4 注意：“它”是指16。】;()比32少30%【32×(1-30%)=22.4】。 【解析：本题主要是考查单位“1”(总量)、对应量、对应分率之间的关系。单位“1”(总量)×对应分率=对应量】 11、钟面上时针的长1dm,一昼夜时针扫过的面积是(31.4dm2)。 【解析：时针的长就是圆的半径，“一昼夜时针扫过的面积”就是指半径为1dm的圆的面积(“一昼夜”指24小时，时针走了24小时就是一周)。】 12、一根水管，第一次截去全长的1/4,第二次截去余下的2/3，两次共截去全长的(3/4)。 【解析：1/4+(1-1/4)×2/3=3/4】 13、某种皮衣价格为1650元，打八折出售可盈利10%。那么若以1650元出售，可盈利(450)元。 【解析：本题关键是要先算出进价，原题中的“10%”是针对进价的。设皮衣的进价为x元。(1+10%)x=1650*80% 解得：x=1200。以1650元出售，可盈利：1650-1200=450(元)】 14、正方形边长增加10%,它的面积增加(21)%。 【解析：{[1×(1+10%)]2-1}÷1=21%】 二、判断题 1、某商品先提价5%,后又降阶5%，这件商品的现价与原价相等。(×) 【解析：错。两个5%的单位“1”不一样。1×(1+5%)×(1-5%)=0.9975 值小于1表示现价比原价少，值大于1表示多。】 2、在含盐20%的盐水中加入同样多的盐和水后，盐水的含盐率不变。(×) 【解析：错。用假设法来验证：假设盐是20克，水是80克，则含盐就是20%。如果分别同时加入10克盐和水，那么这时含盐率就是：(20+10)÷(20+10+80+10)×100%=25%，含盐率变大了。】 3、如果甲数比乙数多25%,那么乙数就比甲数少25%。(×) 【解析：错。两个25%相对的单位1不同。应该是：甲数比乙数多25%，乙数就比甲数少20%。25%÷(1+25%)=20%】 4、半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。(×) 【解析：错。只能说在数值上相等，但是万物都有单位，周长单位是1维的，面积单位是2维的，怎么可能相等呢?简单地说，周长和面积单位不一样，也不可能互化，所以周长和面积不可能相等。】 5、直径相等的两个圆，面积不一定相等。(×) 【解析：错，是一定相等。直径相等就表示半径也会相等，而半径决定了圆的大小，只要圆的半径相等，它们的大小就会相等，即面积也一定相等。】 6、比的前项和后项都乘或除以同一个数，比值大小不变。(×) 【解析：错。0必须除外。0是不能作为除数的。】 三、选择题 1、数学小组共有20名学生，则男、女人数的比不可能是(A)。 A.5︰1 B.4︰1 C.3︰1 D.1︰1 【解析：A。20的因数有:1、2、4、5、10、20,而5+1=6,6不是20的因数;所以不可能是5:1。】 2、如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的1/6，相当于乙圆面积的1/5，那么乙与甲两个圆的面积比是(C)。 A、6︰1 B、5︰1 C、5︰6 D、6︰5 3、一杯牛奶，牛奶与水的比是1︰4，喝掉一半后，牛奶与水的比是(A)。 A、1︰4 B、1︰2 C、1︰8 D、无法确定 【解析：A。喝掉一半后,浓度不变,牛奶与水的比还是1:4。验证：(1-1×1/2)：(4-4×1/2)=1：4】 4、利息与本金相比(A) A、利息大于本金 B、利息小于本金 C、利息不一定小于本金 【解析：C。利率表示利息与本金的比率;利息可能小于本金,也可能大于本金;所以利息不一定小于本金。】 四、解决问题 1、A、B两地相距408km，客车和货车同时从A、B两地相对开出，3小时后相遇，已知客车和货车的速度比是9:8，客车每时比货车每时快多少千米? 解：设客车速度为9x，货车速度为8x，根据题意列方程： (9x+8x)×3=408 17x*3=408 x=408/51 x=8 所以客车每小时比货车快：9x-8x=x=8(千米) 2、东岗小学组织学生收集树种，五年级收集的树种占总质量的40%，六年级收集的树种占总质量的50%，五年级收集的树种比六年级少20千克。五六年级一共收集树种多少千克? 20÷(50%-40%)=200(千克) 3、一件商品按20%的利润定价，然后又按8折出售，结果亏了64元，这件商品的成本是多少元? 解：设这件商品的成本是 x 元 x64=1.2x × 0.8 x64表示现价，(1 + 20%)x表示定价，[(1 + 20%)x] ×80% 表示打8折后的售价，即现价。】 4、将一根384cm的铁丝焊成一个长、宽、高的比是3:2:1的长方体模型。这个模型的长、宽、高各是多少厘米?表面积是多少平方厘米? 先算出一条长、一条宽、一条高的和： 384÷4=96cm; 再计算长宽高各是多少： 长：96÷(3+2+1)×3=48cm 宽：96÷(3+2+1)×2=32cm 高：96÷(3+2+1)×1=16cm; 表面积： (48×36+48×16+36×16)×2=3072(cm2) 5、一块长方形土地，周长是160m，长和宽的比是5:3，这块长方形土地的面积是多少平方米? 长：160÷2÷(5+3)×5=50m 宽：160÷2÷(5+3)×3=30m 面积：50×30=1500(m2) 6、李明和张华参加赛跑，李明跑到中点时，张华跑了全程的40%,此时两人相距80米，你知道赛程多少米吗? 分析：把整个赛程看作单位“1”，那么80米对应的分率是(50%-40%)，根据分数除法的意义，用对应量除以对应的分率即可.解答： 80÷(50%-40%) =80÷10% =800(米) 答：这个赛程长800米。 点评：解答此题的关键是找单位“1”，然后用对应量除以对应的分率解决问题。第五篇：小升初数学易错题及答案解析2017
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