内蒙古赤峰二中高中数学 2.2 等 差 数 列教案 新人教B版必修5（5篇）

第一篇：内蒙古赤峰二中高中数学 2.2 等 差 数 列教案 新人教B版必修5

2.2 等 差 数 列(2)教学目标 1．明确等差中的概念．

2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式 3．培养学生的应用意识． 教学重点:等差数列的性质

教学难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教学方法:讲练相结合,分析法.一知识回顾

1.等差数列的通项公式: 广义通项公式: 2.等差数列的递推公式: 3.已知等差数列{an}中

(1)a13,a43则a6(2)a58,a1a2a35则d

(3)a2a53则a3a4

(4)a13a8735则

a24a76

4.已知{an}是公差为d的等差数列,则

{2an}是等差数列吗?

{5an}呢? 5.已知{an}是公差为d的等差数列,(1)从这个数列中抽出第1,3,5,7,9…项构成等差数列吗?(2)从这个数列中抽出第1,4,7,10,13…项构成等差数列吗?(3)从这个数列中抽出第3,6,9,12,15…项构成等差数列吗? 二新课: 1.等差数列{an}的性质:(1)m,n,p,qN*若mnpq

则:amanapaq

(2){kan}k为常数,也是等差数列.(3)下标成等差数列的项也成等差数列.(4){an},{bn}是等差数列,则{panqbn}也是等差数列.2.等差中项

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能较简单应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导.教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.教学方法: 讲授法、发现法

教学过程：

一、问题呈现: 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝

沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的 主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶 饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石

镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

二、探究发现: 学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。

为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 问题2：如何求1到n的正整数之和.问题3：如何求等差数列

三、公式推导: an的前n项和Sn.n(a1an)n(n1)Snna1d22=

公式说明: 1)Sn的特征,形象理解.2)推导思想: 倒序相加

Sn与n的关系: 2.前n项和公式

d2dn(n1)Snna1dn(a1)n2 可知: 2 2

第二篇：高中数学 2.2《等差数列》教案 新人教A数学必修5

2.2等 差 数 列(1)教学目标 1．明确等差数列的定义．

2．掌握等差数列的通项公式，解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 :启发式数学,归纳法.一.知识导入

1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.1)2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.课本41页的三个实际问题

【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。二．等差数列

1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.定义说明:1)同一个常数的含义.2)公差d的取值范围.2.等差数列的通项公式: 设数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列.由定义有:思路1: a2a1a3a2anan1d

a2a1d

a3a2da12d

a4a3da13d……………

anan1da1(n1)d,nN*

思路2: a2a1d a3a2d

a4a3d

……………

an1an2d

anan1d

两端相加:

ana1(n1)d nN故等差数列的通项公式为:

*

ana1(n1)d nN其中:

*

an为第n项,a1为首项,d为公差.(共有四个量,知三求一)利用等差数列的通项公式验证三个引例.广义通项公式: anam(nm)d

3.等差数列的递推公式: an1and,nN*

三.例题分析

1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

2.在等差数列{an}中,已知a510,a1231求首项a1与公差d

3.已知数列{an}的前n项和公式(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明

Snn2n

2{an}是等差数列.m1,m3,m9 4.已知等差数列的前三项分别为(1)求m的值.(2)求该数列的第10项.5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12a1(121)d,即时10=33+11d

解之得：d7

因此，a233740,a340747,a454,a561,a668,a775,a882,a989,a1096,a11103, 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小结 五.作业

1.已知下列等差数列,求通项公式(1)1,4,7,10…

(2)32, 26, 20, 14…(3)127, , … 35152.已知等差数列{an}中(1)a34,a716,求a1,d ,11a,d求a5(2)232(3)

an

a32,d4,an30求n

2S2n4n 3.数列{an}中,前n项和n(1)求通项公式an

(2)证明{an}是等差数列

【探究】设{an}是首项为m公差为d的等差数列，从中选取数列的第*kN（）构成一个新的数列{bn}，你能求出{bn}的通项公式吗？

4k1项，

第三篇：高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案

2.2等差数列

（二）一、教学目标

1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；

2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

二、教学重点、难点

重点：等差数列的通项公式、性质及应用．

难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．

三、教学过程

（一）、复习

1．等差数列的定义． 2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d

(anam(nm)d或 an=pn+q(p、q是常数))3．有几种方法可以计算公差d: ① d=an－an

1② d=

ana1aam

③ d=n

nmn14.{an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =()

A.667

B.668

C.669

D.670 5.在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是()

A.18

B.9

C.12

D.15

二、新课

1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq

特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap 例1.在等差数列{an}中

(1)若a5=a, a10=b, 求a15;

(2)若a3+a8=m, 求a5+a6;

(3)若a5=6, a8=15, 求a14;

(4)若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解:(1)2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;(2)∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m(3)a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33(4)66111, 77122,2a6a1a11, 2a7a2a12从而(a11a12a15)(a1a2a5)2(a6a7a10)a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.2．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法: 证明an-an-1=d(常数)例2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;

∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5

首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)

∴数列{an}成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.例3.已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看anan1（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an1（n＞1），求差得 anan1(pnq)[p{n1)q]pnq(pnpq]p

它是一个与n无关的数.所以{an}是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我们可以知道对于通项公式是形如anpnq的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。[探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，„„时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。

三、课堂小结：

1.等差数列的性质；

2.判断数列是否为等差数列常用的方法．

四、课外作业

1.阅读教材第110～114页；

2.教材第39页练习第4、5题． 作业：《习案》作业十二

第四篇：数学：2.2《等差数列》教案(新人教A版必修5)

§3.2 等差数列（2－１）

教学目标

１．理解等差数列的概念．

２．掌握等差数列的通项公式．

３．并能用等差数列通项公式解决一些简单的问题． 教学重点

等差数列的概念及等差数列的通项公式． 教学难点

等差数列“等差”的特点及通项公式的含义．

教学过程

一．新课引入

我们先看数列：（1）： 4，5，6，7，8，9，10，„„（2）： 3，0，3，6，„„

（3）： 1，2，3，4，„„（4）： an123(n1)12，9，6，3，„„ 2101010 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”．

二．新课

1．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差（常用字母d表示）．

注意：(1)从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数．(2)等差数列可用“AP”．．．．．．．．．．表示．(3)若d0 则该数列为常数列．

2．等差数列的通项公式． 已知等差数列an的首项a1，公差d，求an

等差数列的定义知：an1and

a2a1d a3a2d(a1d)da12d

a4a3d(a12d)da13d 由此归纳为ana1(n1)d．强调：当n1时 a1a1（成立）

注意: 1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP． 证明：若anAnBA(n1)AB(AB)(n1)A．它是以AB为首项，A为公差的AP． 3 公式中若 d0 则数列递增，d0 则数列递减． 4 图象： 一条直线上的一群孤立点．

3.例题：

例1：⑴求等差数列8,5,2,的第20项．

⑵-401是不是等差数列5,9,13,的项？如果是，是第几项？

例2：在等差数列an中，已知a510,a1231求首项a1与d公差．

例3：梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．

容易知道：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外），都是它前一项的等差中项．

例4：已知数列的通项公式为anpnd,其中p,q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

三．课堂练习

课本P117练习（1、2、3)

四．补充例题：

1．在等差数列an中，若a5a a10b 求a15 解：2a10a5a15 即2baa15 ∴ a152ba 2．若a3a8m 求 a5a6

解：a5a6=a3a8m

3.若 a56 a815 求a14

解：a8a5(85)d 即 1563d ∴ d3

从而 a14a5(145)d69333

4.若 a1a2a530 a6a7a1080 求a11a12a15

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 „„

∴ 2a6a1a11 2a7a2a12 „„

从而(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5)=2×8030=130 5．已知两个等差数列a1, a2, a3, a4, a5和b1, b2, b3, b4, b5, b6,其中a 1=b2,a5=b5,求是多少？提示：a5－a1=4d1, b5－b2=3d2, ∴4d1=3d2，b6b4的值a3a2b6b42d28==．

3a3a2d1

五．小结

本堂课的重难点为等差数列概念和通项公式，并能运用等差数列的通项公式求一些简单的问 题．

六．作业

课本P5习题1.1(2)

3.2等差数列

主 讲 人: 王 存 国

桐 柏 县 第 一 高 级 中 学

2008年9月

第五篇：高中数学 2.2等差数列教案(二)新人教A版必修5

2.2 等差数列

(第一课时)[讲授新课] 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d a4a3d即：a4a3da13d

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：ama1(m1)d 即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d 即等差数列的第二通项公式

anam(nm)d

∴ d[范例讲解] 例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a18,d5825

3n=20，得a208(201)(3)49 ⑵由a15,d9(5)得数列通项公式为：an54(n1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，am-an m-n即-401是这个数列的第100项

例2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

解：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：a111.2公差d1.2 当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求a11

所以：a1111.2(111)1.223.2 3.探究：等差数列与一次函数的关系

引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列是y=px+q定义在正整数集上对anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，应的点的集合。

如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

例3 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

解：当n≥2时,（取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））求差得 anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p，它是一个与n无关的数.∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为p。

注：若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… Ⅲ.课堂练习

课本P39练习1、2、3、4 [补充练习] 1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：（n－1）×4,即an=4na1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15，∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－3说明理由.1，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，2177

∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222774777令－n+=－20,解得n=

因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这22227解：由题意可知：a1=0,d=－3个数列的项.Ⅳ.课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.Ⅴ.课后作业

课本P40习题2.2[A组]的第1题



(第二课时)[讲授新课] 问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由定义得Aa=ba，即：A=反之，若A=a+b

2a+b，则Aa=ba 2a+ba，b成等差数列 由此可可得：A=2等差数列的常见性质：若数列①

an为等差数列，且公差为d，则此数列具有以下性质：

anamnmd；

dana1anamn1nm； ②

*aanapaq③若mnpq（m,n,p,qN），则m；

④2ananmanm。

ana1n1d，右边=a1m1dnmda1n1d左边

dana1aamdnn1；由anamnmd可得nm 证明： ①左边=②由ana1n1d可得③左边a1m1da1n1d2a1mn2d

右边a1p1da1q1d2a1pq2d 又因为mnpq，所以左边=右边，故得证。④左边2a1n1d

右边a1nm1da1nm1d2a12n2d2a1n1d=左边 等差数列的其它性质： ①即an为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，a1ana2an1a3an2ai1ani。

a,a,a,k,mN组成公差为md的等差②下标成等差数列且公差为m的项kkmk2m*数列。③若数列an和bn均为等差数列，则anbn,kanb（k,b为非零常数）也为等差数列。

④m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m个等差数列的公差之和。

[范例讲解] 例1 在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {an }是等差数列

∴ a1+a6=a4+a3 =9a3=9－a4=9－7=2

∴ da4－a3=7－2=5

∴ a9=a4+(9－4)d=7+5×5=32

∴

a3 =2, a9=32 例2在等差数列{an}中，已知a2a3a10a1136，则a5a8________． 解法１：根据题意，有

(a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，∴4a122d36，则2a111d18． 解法2：根据等差数列的性质，可得

a5a8a2a11a3a1036218．

答案：18 【课堂练习】

1.练习（课本P39，题5）已知数列{（1）（2）（3）

an}是等差数列

呢？为什么？ 2a5a3a7是否成立？

2a5a1a92anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？

是否成立？？你又能得到什么结论？ 2anankank(nk0)结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，amanapaq

aanapaq即

m+n=p+q m(m, n, p, q ∈N)

但通常由amanapaq 推不出①m+n=p+q，②

amanamn

【补充练习】 1.在等差数列an中，已知a12,a2a313,则a4a5a6等于

（）

A.40

B.42C.4

3D.45

a12.等差数列an中，已知13,a2a54,an33,则n为（）

A.48

B.49

C.50

D.51 3.已知等差数列an中，a7a916,a41，则a12的值为

（A．15

B．30

C．31

D．64 4.已知an是等差数列，（1）已知：a158,a6020,求a75（2）已知： a1533,a45153,求a61。

答案：1.B 2.C 3.A 4.（1）a75=24（2）a61=185 Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：

Aab2a,A,b,1．

成等差数列

2．在等差数列中，m+n=p+q amanapaq(m, n, p, q ∈N)Ⅴ.课后作业

课本P41第4、5题）