建模思想

第一篇：建模思想

专题讲座

初中数学建模思想的策略研究

一． 什么是数学建模 ？

1.1 数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称，有代表的定义如下：

（1）、普通高中数学课程标准 [4] 中认为，数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容.（2）、叶其孝在《数学建模教学活动与大学数学教育改革》一书中认为，数学建模(Mathematical Modeling)就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些 “ 规律 ” 建立起变量、参数间的确定的数学问题(也可称为一个数学模型)，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。

两种定义的区别在于课程标准对数学建模的定义没有强调建立特定的解决问题的数学模型。数学建模的过程中当然会运用数学思想、方法和知识解决实际问题，但仅仅如此很难称得上是“数学建模”。处理很多事情，比如法律和组织上的问题，常常会用到分类讨论的思想、转化的思想、类比的思想，而并没有建立数学模型，这就不能说是进行了数学建模。这里所谈（实际上，同大部分人认为的一样）的数学建模，其过程是要建立具体的数学模型的。

什么是数学模型？根据 徐利治 先生在《数学方法论选讲》一书中所谈到，所谓“数学模型”（Mathematic Model）是一个含义很广的概念，粗略的讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构。广义的说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。

本论文所谈到的数学建模，其过程一定是建立了一定的数学结构。

另外，我们所谈的数学建模主要侧重于解决非数学领域内的问题。这类问题往往来自于日常生活、经济、工程、医学等其他领域，呈现“原胚”状态，需要分析、假设、抽象等加工，才能找出其隐含的数学关系结构。

一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示：

1.2 什么是中学数学建模 ？

这里的“中学数学建模”有两重含义，一是按数学意义上的理解、在中学中做的数学建模。主要指基于中学范围内的数学知识所进行的建模活动，同其它数学建模一样，它仍以现实世界的具体问题为解决对象，但要求运用的数学知识在中学生认知水平内，专业知识不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教学价值。

二是按课程意义理解，它是本文要展开讨论的，一种要在中学中实施的特殊的课程形态。它是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程。学生要通过经历建模特有的过程，真实地解决一个实际问题，由此积累做数学、学数学、用数学的经验，提升对数学及其价值的认识。其设置目的是希望通过教师对数学建模有目标、有层次的教与学的设计和指导，影响学生的学习过程，改变传统的学习方式，实现激发学生自主思考，促进学生合作交流，提高学生学习兴趣，发展学生创新精神，培养学生应用意识和应用数学的能力，最终使学生提升适应现代社会要求的可持续发展的素养。

二．《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》有关数学建模的内容

教育部新启动的《义务教育阶段数学课程标准》的修订中，东北师大史宁中校长提议，将原来的“双基”增加到“四基”，增加了“基本数学活动经验和基本数学思想”。基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。另外，《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》在“数与代数”的内容中提出了“要初步形成模型思想”，对“综合与实践” 部分内容加以明确并提供了具体课例。上述变化正是课标对培养学生数学应用能力的应措。相比数学建模，综合与实践部分是学习数学建模的最初阶段，因此内容包含的更加基本、广泛，下面我们将分别介绍全日制义务教育数学课程标准（修改稿）提出的“模型思想”，“综合与实践” 的内容，以及内容在实验稿基础上的变化，最后在通过实例来说明综合与实践部分的学习内容。

（1）模型思想

2007 年 12 初全日制义务教育数学课程标准（修改稿）提出 在“数与代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

（2）“综合与实践”部分 与实验稿相比有如下变化：

目的和内涵进一步明确，统一了名称，给出了明确的定义：“综合与实践”，是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。针对问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解。

明确要求 “综合与实践”应当保证每学期至少一次。三个学段“综合与实践”的要求和教学目标有了差异。

（3）“综合与实践”的常用教学形式和案例

按照教学内容不同，“综合与实践”可以分为三种内容形式：体现数学知识内部联系；体现数学与生活联系；体现数学与其它学科联系。

若按照活动开展的地点不同，可以分为课堂内、课堂内外结合、课堂外三种形式。为了配合课程标准的编制和修改，我和北大附中、北达资源中学的老师们做了不少课例研究，以下就是我们试验过的，对应这三种形式的教学案例。

三．新高中数学课程标准中与数学建模相关的部分

新高中数学课程标准在研制过程中，对是否增加数学建模的要求是有争议的。一些专家认为，中学数学是打基础的阶段，核心是学好将来需要的基础知识，应用不必强调，强调了也没有用——在大跃进时期我们曾强调过“理论联系实际”，文革中我们的教学内容里加入了类似“三机一泵”，地主如何算“变天帐”一类的内容，弱化了基础理论的学习，效果是不好的。但一批数学家深刻注意到了数学的发展和变化，姜伯驹、李大潜、丁石孙、叶其孝等先生都分别撰文阐明在中学培养学生数学应用能力的重要性。我们多年开展中学数学建模竞赛和中学数学建模教学的实践也证明了，数学建模对培养中学生应用能力的良好作用。种种努力，使数学建模最终成为 新高中数学标准中规定的高中数学内容的一部分。

新高中数学标准在基本理念的第 5 条即是发展学生的数学应用意识，认为高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。由此在数学内容中特别加入了：数学探究、数学建模。这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。标准要求高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模活动。

(1)数学探究 与前面所说的探究性学习、课题学习稍有区别，标准中所提出的数学探究侧重于围绕一个数学问题展开，被看做是一种新的学习方式。数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。

(2)数学建模

这里标准中谈到的数学建模，内容即是一般意义上的数学建模。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。数学建模可以通过以下框图体现：

数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

课程标准提出的教学要求是： ．在数学建模中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面。同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。．通过数学建模，学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。．每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。．学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。．学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。．高中阶段至少应为学生安排 1 次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。标准未对数学建模的课时和内容做具体安排。学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学建模活动的内容和时间。例如，可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建模活动。

与传统应用题相比，数学建模所解决的问题往往呈现一种“混沌”状态，没有明显的数据和关系可用，所给的条件也不一定有用，得出的结论往往不唯一，建立的数学模型也要在实践中反复修改验证，由于具有这些特点，数学建模是学习“数学应用”的最佳方式之一，能让学生更好地体验数学是怎样运用于实际的过程，形成他们的数学经验。

四，初中数学建模的若干简要案例

4.1 初中数学建模学习案例 1 ：-----与自行车有关的问题（小组学习实践）

课 题：了解自行车中的数学问题，应用学过的数学知识，解决以下问题。

问题 1 ：用自己或同学的一辆自行车为观察对象，观察并解决下列问题：

（1）我观察的这辆自行车是什么牌子的？

（2）它的直径是 _______cm，轮子转动一周，在地面走过的距离是_______cm，精确到 1cm。

（3）自行车中轴的大齿轮盘的齿数是_______齿，后轴的小齿轮（飞轮）的齿数是_______，中轴的大齿轮被踏动一周时，后轴的小齿轮在链条传动下，不计算惯性将转动_______周（保留 2 位小数）。

问题 2 ：如果你有自行车，并骑车上学，你能借助于自行车，测量出从你的家到学校的路程吗？请你设计一个测量方案，并尽可能地通过实际操作测量出从你的家到学校的路程。

问题 3 ：如果你的（或你的朋友）自行车是可以变速的自行车（如山地车、多飞轮的自行车）、请你观察一下在这辆自行车上有几个（中轴上的）大轮盘，几个飞轮，它们都各有多少齿？记录这些数据。如果你骑车时每一秒脚蹬一圈，请你根据上面测量的数据计算出这辆自行车运行时最大的速度和最小的速度各是每小时多少公里？：

选做问题 4 ：你认为对问题 3 中的自行车的各个齿轮的齿数安排的合理吗？你能发现或提出什么样的问题？如果有可能请你做设计改进的话，你会做什么？

求解工作的表格省略

4.2 初中数学数学建模案例 2 ：-----线路设计问题（自学、探索、创新实践）

课题： 为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线 ,、一个合理的保安巡逻路线。

实施建议： 1: 按居住地成立 4-6 人的小组，对你们要研究的小区 , 进行观察 , 收集必要的数据和信息 ,(如平面图 , 楼的门洞的朝向 , 道路情况 , 小区的进出口位置等).发挥各自的特长，分工合作完成测量方案的设计、实测、作图、计算、论证、比较、计算机文稿录入、结果介绍等。

2: 复习必要的知识 , 如一笔画方法 , 最短邮路的画法和算法等.3: 画出小区的平面示意图 ,(最好复印一下 , 以避免后面画坏时重画), 在图上完成邮政投递路线的设计 ,(使邮递员走的路线最短).：实践环节：先不加思索按投递要求随意地走一遍 , 再按你设计的路线 , 实际走一遍 , 测算出路程看一看相差多少 ?(记录数据)

创新实践项目 : 为你们居住的小区设计一个合理的保安巡逻路线、或合理的送奶的路线。首先思考 ” 合理 ” 的含义

4.3 初中数学数学建模案例 3 ：---穿衣镜的最佳设计（个人的创意与设计）

课题：自己提出几个有关穿衣镜设计的问题，给出你们认为最合理、最佳、最有创意的设计方案或解决办法。

实施建议：

1.成立工作小组，讨论本小组的工作目标、分工、。．有可能的话到家具店、超市、（别忘了带尺子或相机）有关杂志或网站上收集一点相关资料，可以发现问题或提出你们更好的设计。．分工合作完成你们的设计，最好有一个图、或一个小的模型，可以用纸板做。．准备在全班交流，可以用实物、照片、模型、“ ppt ”，等形式表现你们的成果和创意，如果给你 3 分钟讲演、展示，怎样让班里同学为你们的成果叫好？

4.4 数学建模的可供学生选择上的假期作业

1.利用放寒假与父母逛商场的机会，认真注意收集春节商场“打折消费”“诱导消费”的各种广告信息，测算化 1000 元可以最多实际买到价值多少的商品。计算实际打折率。开动你的大脑，为消费者设计一种收益较多的购物方式；或者为商场设计一个更好的吸引消费者的、也使的商场收益较多的购物方式。

2.测量一个比较高的建筑物的高度，说明测量方案，测量过程和测量数据。看谁想出更好的方法？

3.自编 3 道方程和方程组的应用题，要求联系实际，有真实的实际背景，请写出题目、题解。看谁编的有趣。

4.到超市观察各种不同包装设计的同种商品，如同一个牌号的大、小牙膏，收集它们的价格信息，找一个表示它们的重量和价格的公式。5.到各大商场，超市观察不同的商品的外包装，提出一个与“节约”有关的问题，将问题数学化，并用学过的知识试着解决它。进而自己在提出一些新的问题，或将自己得到的结果推广以适用于更大的范围。

6.了解出租车的计价方式，（如起步每公里，每种车型多少钱；运行中每公里，每种车型多少钱；等候时每分钟，每种车型多少钱？）给出一个根据距离、等候时间计算付多少钱的方法或公式。

7.调查邮局中不同重量、寄往本市、外地、港澳、国外的平信（包括航空）的邮资表，如果限定信封上只准贴至多 3 枚邮票，请你设计邮票应该有哪些面值？

8.自己找到的用学过和还没有学过的数学知识解决的实际问题，（可以只提出问题，或仅仅提供一个解决问题的想法。）

（学生实际的学习成果从略）

五． 我们的体会和认识

5.1 开展数学建模学习不仅是学习方式的改变，而且是育人模式的变化。

人才培养模式集中而具体的体现形式是教育教学模式。改革传统的以 “ 升学 — 应试 ” 为目标的学校教育教学模式，创建以全体学生全面发展为目标的、体现素质教育方向和要求的新型教育教学模式，是当前学校实施素质教育的首要任务。而创建体现素质教育思想和要求的教育教学模式重要的着眼点就是要改变学生那种单纯地被动接受教师知识传输的学习方式，帮助和指导学生在开展有意义接受学习的同时，形成一种对知识技能进行主动探求、并重视实际问题解决的主动积极的学习方式。这就是培养学生在教师指导下，从自身的学习生活和社会生活、自然界以及人类自身的发展中选取研究专题（专题、主题），以探究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题的数学建模。这对于培养学生的创新精神和实践能力、创造能力、终身学习的能力具有十分重要的意义。而数学建模活动的实际结果告诉我们，它不仅对好学生、而且对学习有一定困难的学生都能起到培养兴趣、激发创造的目的。数学建模的成果还可以为学生建立一种更表现学生素质的评价体系。数学建模的过程可以为不同水平的学生都提供体验成功的机会，真正把筛子变成泵。

实际上，数学建模的教学过程（或者更自然地说是师生一起学和做的过程）对教师的成长和专业发展，更新教育观念，主动参与并推进素质教育，有着越来越重要的作用。

它表现在下面的几个方面：

首先，它可以帮助教师转变教学观，更有利于发挥教师的主导作用和学生的主体作用。教师的主导作用体现在创设好的问题环境 , 激发学生自主地探索解决问题的积极性和创造性上;学生的主体作用体现在问题的探索、发现、解决的深度和方式尽量由学生自主控制和完成。它体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移。课堂的主活动不应都是教师的讲授 , 而应是学生自主的自学、讨论、调查、探索、解决问题。教师要自觉适时地改变他的教育角色，平等地参与学生的探索、学习活动。教师不应只是“讲演者”、不应是“总是正确的指导者”，而应不时扮演下列角色： 模特－－他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端和“拨乱返正”的思维技能；参谋－－提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断；询问者－－故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度；仲裁者和鉴赏者－－评判学生工作及成果的价值、意义、优劣，鼓励学生的有创造性的想法和作法；在教学的组织中体现“学法”，把教和学融为一体。

其次，它可以可以帮助教师转变学习观。

过去在封闭式教育中，教师是知识的输出者。由于教育被定位为在学校这个“围墙”内，由知识的拥有者和惟一源泉——教师向知识的需求者——学生输出知识的活动，教师和学生之间的关系就是教师“单向输出”和学生“被动接受”的关系。在数学建模的实践活动中，问题环境充分敞开，教师不可能也不再是学生获取知识的惟一源泉，而且常常会无计可施，教师的指导作用更多地表现在“策略”的指导。教师把握教学目标时应立足于“做”而不是讲，立足于学生对问题的分析，对解决问题过程的理解，而不以仅仅有正确的解答为满足。要让学生在问题、困难、挑战、挫折、取胜的交替体验中；在选择、判断、协作、交流的轮换操作中;经历一个个学、用知识 , 进而发现问题 , 走向新的学、用知识的过程。从而培养能力、激发兴趣、形成学生主动学习的良性循环。

同时，它还可以改变教师自己的成材观、发展观。

事实上，数学建模对教师也很陌生 , 对许多问题教师可能都不会 , 怎么教学生 ? 在数学建模过程中表现出的问题形式与内容的多样，问题解决方法的多样性、新奇性和个性的展示，问题解决过程和结果层次的多样性，无疑是对参与者创造力的一种激发、挑战、考验和有效的锻炼。教师在陌生的问题前感到困难、失去相对于学生的优势是自然的，常常出现的。这里有两个认识需要改变，一是数学建模教学能力提高的主要途径恰恰是自己多参与，多独立的思考和实际去“做”；二是数学建模的教学过程中，教师的角色不应该总是“正确的指导者，总是正确的化身”，而应该平等地参与，适时扮演“同事、参谋、建议者、欣赏者”。教师要在自己的视野内努力寻找宜于学生使用的数学建模问题，做好每个问题解决过程的记录，学生成功的经验和自己在挫折中得到的教训对于今后的数学建模的教学设计有重要的价值，也是教师由数学建模的生手到行家的有效途径之一。

5.2 对在数学新课程中开展数学建模活动的小结：

选材：联系学生和教材的实际。

资源：你的学生、家长、同事、朋友和他们的实践，相关刊物和网站。

内容： 好入手、有趣味、可深入 设计：强调------开放思维、实践活动、小组功能、过程体验；

鼓励：（使用）计算工具、提出问题、多途求解、情感交流、共享成果；

促进：学习过程的良性循环、对学生产生积极的评价、课内知识的学习。

互动对话 话题一：数学建模在义务教育阶段数学课程标准的要求，高中标准的要求各是什么？如何做好过渡？

要点：见《初中培养数学建模思想的策略研究》课程 的第三部分（白永潇主准备）

话题二：数学建模活动如何与常规课程“整合”？

要点：回归“综合与实践”，重在学习方式的转变（鲍静宜为主准备几个案例）

话题三：数学建模没有教材、没有教参怎么开课？

要点：（1）数学建模不是一个“教”的课程，是一个导学、伴学的课程。

（2）死的资源不少，活的资源更多，关键是教师的问题意识和资源意识

（张思明准备案例，白永潇、鲍静宜讨论）

话题四：基础薄弱的学生常规课程学习都困难，还能学数学建模吗？

要点：（1）学习困难的因素分析：没兴趣、没动力、没得到过积极评价

（2）数学建模活动可以激发兴趣，改善评价，独立个性和创造

（张思明准备案例，白永潇、鲍静宜讨论）

课例《 打包问题 》评析

《 打包问题 》是 应用已学过的表面积计算、不等式比较法、分类讨论等数学知识和方法，解决一个具体的实际问题。张思明 老师采用以讨论式为主的教学方式，在师生互动、多向交流解决问题的过程中，体现学法指导，培养学生独立思考、善于合作、勇于探索的精神，提高学生发现问题、解决问题的能力，以及合理使用计算工具的习惯。

这节课教学的特点突出，主要体现在以下几个方面：

1.教学过程脉络清晰，充分展现了学生发现、提出、解决问题的过程，既培养了学生的应用意识，又有利于学生综合能力的提高。

这节课设计了一系列问题，贯串着解决打包问题的主线。首先，通过实物展示（一条烟，一包火柴，一盒磁 带……）提出本节课要研究解决的问题： 哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？进而更数学地提问：怎样打包可使表面积最小？

然后以香烟打包为例，按照实际情况，先试着摆出几种打包方案，定义一种 “ 规则打包 ” 法，让学生分组讨论 不同打包方式有多少种？ 教师提供基本数据，引导学生合作求解，并 组织学生讨论交流，教师进行 问题导学。在由计算得出结论以后，教师引导学生进一步讨论：既然对香烟来说第六种打包形式的表面积最小，可为什么外面买的香烟都不是这样打包的？这是开放性问题，有多种答案，师生共同讨论给出。接着又把问题引向深入：是不是 10 包同样尺寸的长方体型的物体打成一包，第六种打包形式一定是表面积最小呢？教师导学，学生思考交流，得到结论。

在解决了香烟的打包问题以后，教师安排 学生进行 巩固性练习：即火柴和磁带 的打包问题，由学生独立解决。然后，又提出 发展性问题(对优秀学生方采用)： 将 6 包改成 12 包或 8 包，结果怎样？有没有一个更一般的处理这类问题模型或程序？

这样的教学设计，既实现了学生积极主动学习，又充分体现了教师问题导学的作用。表现在

① 教师通过适当的规定和铺垫，保证了讨论过程中实质环节内容的把握，使学生集中精力解决实际问题。

② 时时注意“数学问题”与“实际问题”的区别与联系，既培养了学生的应用意识，又提高了解决实际问题的能力。

③ 使学生在做数学、用数学的过程中学数学，体验数学的意义和作用，体验数学建模的过程。

这样教学，使学生在问题解决的过程中，培养良好的思维品质，提高学习与应用数学的能力，体验如何思路清晰地处理实际问题，掌握分析解决问题的方式方法，这一切都有利于培养学生的创新精神，体现了素质教育的实施。

2.教师营造了宽松和谐的学习氛围，使学生在充满活力的课堂上得到良好的学习和情感 体验，有利于学生的发展。这节课的教学过程，师生之间多向互动，置疑反思，充满活力，充分体现了新课程理念下新型的师生关系。学生是学习的主人，在小组学习的过程中，既有热烈的讨论，智慧的碰撞；又有高效率的分工合作。在教师的组织和引导下，学生积极思考，充分活动，自始至终 学习兴趣浓厚，体验了解决实际问题的喜悦。

突出反映在以下几个环节：

① 在组织学生分组讨论求解方案时，教师在巡视中既了解学生的研究情况把握反馈信息，又与学生平等交流，鼓励学生提出自己的见解，并让学生弄清原因，明白道理，实现了课堂教学的高效益。

② 对巩固性练习、发展性练习，为了培养学生良好的数学直觉，先让学生凭直觉摆放出 表面积最小的打包方式，现场交流学生的结果和发现，教师及时表扬鼓励学生的主动参与，学生兴致盎然。

这节课教学资源准备充分，教学手段使用灵活，教学过程将实物展示、幻灯片演示、师生板书相结合，既注重学生的积极参与，又恰当地进行问题导学，有效地促进了学生的自主 学习。使学生在“做”、“学”、“问”的学习生活中体验发现、创造的乐趣。

思考与活动

思考题：可任选择一个问题回答

1.义务教育数学课程标准（修改稿）中对“综合与实践”是怎样定位的？您认为规定学习这些内容对初中学生的数学学习有何价值？

2.对比小学、初中和高中的综合与实践，怎样从整体上分析、把握综合与实践的内容和教学要求？

3.如何开发初中数学建模的教学资源？以您自己收集、开发的问题为例，分析什么样的问题是“数学建模”的好问题。

4.结合您以往的教学实践分析说明开展“数学建模”对学生成长的作用，分析提升您的教学经验；或分析尚不能开展“数学建模”的问题、困难、原因何在，提出您寻求突破的想法和策略。

5.您认为开展数学“综合与实践”的教学，对数学教师的专业发展有怎样的作用，谈谈您的认识、体会和困惑。

实践题：可任选一个做

6.选取初中的数学课内学习一个数学内容（片段）做一个数学建模的活动设计。说明设计的功能和创新点。

7.做一个数学课外活动的“综合与实践”的活动设计，说明设计的功能和创新点。

8.做一个“综合与实践”的评价设计，说明如何利用评价的功能，引导和鼓励学生主动学习、相互合作、激发兴趣、培养习惯、突破创新等方面的思考和做法。.设计一个以“综合与实践”或数学建模为主题的校本教研的小课题，说明课题内容、意义、研究方法、预期目标进行说明或论证。.在以下问题中选择一个，自己实际做一个全过程的数学建模，给出你的研究过程和结果报告。

初中数学建模学习的选题建议

1.圆珠笔的容量讨论，0.3、0.5、0.7mm 的笔芯都是一样的含墨量，合理吗？（上网、实测、讨论）2.煤气灶的使用技巧，进气旋纽多少度时，燃烧效率最高？不同角度（4 种）用同一个壶，烧开 一升 的水的实验，记录时间和用气量。找到一个公式，给出最佳角度。

3.暖瓶保温的最佳水位：同一个暖瓶灌入 100 度的热水，记录水位的不同，定时观察温度的变化（用温度计，注意气温计不行）。最后找到保温效果最好的水位线。

4.多大的电视机应该放在多大的屋子里？先确定最佳的视觉角度和位置，在调查各形彩电的尺寸，结合客厅和卧室的不同，给出你的结果。

5.在网上或市场上调查液晶显示器的价格变化，和估计寿命，给出你的配置或购买的策略。

6.节能灯省钱吗？普通灯泡价钱便宜，但寿命短，节能灯发光效率高，但价格贵，调查讨论市场上两种灯的瓦数和价钱，从网上或产品说明书中了解产品的使用寿命，进行比较讨论，给出你认为合理的选购策略。

7.设计一个实用的方法，利用手边有的东西，如字典、快译通、计算机上的英语软件（如金山词霸）来估计自己的词汇量。说明想法、道理、实测的结果。

8.对课本使用经济性的讨论，从课本的纸材、页数、字数、信息量、重量、使用年限等角度来分析现行课本的设计优缺点，提出你认为合理的课本设计和使用的方案。

9.对信息时代提高选择有用信息效率的思考和建议。调查你家电视可以接受多少频道，每天家里的报纸平均有多少版，其他信息有多少种，每天用于阅读信息的时间有多少，当你需要某种信息时，你检索它的方法和所化的时间，从中发现提出问题和解决办法。10.通过调查你所在的班或年级在一些方面的数据，说明一些问题：如学生手机拥有量、名牌运动鞋、名牌书包等数据说明学生消费的变化和问题；通过学生视力、请假天数、身高、体重、肺活量等数据说明学生们身体变化的问题；用数据对教室的灯光照度、桌椅的高矮、书包的大小、吃早餐的人数等对我们的生活和学习环境提出改进的建议。

参考资料

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第二篇：数学课堂教学中数学建模思想的培养

数学课堂教学中数学建模思想的培养

数学建模属于一门应用数学，学习这门课要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法去解决。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。下面，我就结合课堂教学实际谈谈怎样培养学生的数学建模思想。

一、数学建模思想培养的意义：

1、能培养学生的创新意识和创造能力

2、训练学生快速获取信息和资料的能力

3、锻炼快速了解和掌握新知识的技能

4、培养团队合作意识和团队合作精神

5、增强口头表达能力和写作技能

现代的课堂学习活动是教师与学生、学生与学生在民主平等的氛围中团结合作、共同探究、努力创新。这就需要教师具备先进的教育教学理念和扎实全面的知识技能。

以前我很少会在课堂教学中培养学生的数学建模思想，在这次培训后，我才认识到培养学生的数学建模思想是学生学好数学，真正体现“数学来源于生活、数学应用于实际生活”的基本原理。我认为培养学生的数学建模思想，最好的方法就是让学生去进行针对性地数学实践探究活动如在学习一次函数时，让学生考察家里电费的交纳、水费的交纳、电话费的交纳等。学生在实际的生活中既能掌握所学数学知识，更能培养学生数学建模思想，为今后解决更多的相关问题或进行创新打下扎实基础。

二、培养学生数学建模思想的过程分析

1、模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。

2、模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

3、模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）

4、模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。

5、模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。

6、模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。

7、模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

三、数学建模思想培养的基本原则

在课堂设计方面，数学建模教学要遵循下列教学设计原则：（1）所有的学习活动都应该与教学的任务或目标挂钩。也就是说，学习活动应带有明确的目的性，学以致用。（2）把支持学习者发掘问题作为学习活动的刺激物，使学习成为自愿的事，而不是强加给他们学习目标和以通过测试为目的。（3）设计真实的学习环境，让学生带着真实任务进行学习。所谓真实的环境并非一定要真正的生活环境，但必须使学生能够经历与实际世界中相类似的认知挑战。（4）设计的学习情境应具有与实际情境相近的复杂程度，避免降低学习者的认知要求。（5）让学习者拥有学习过程的主动权。教师的作用不是主观武断地控制学习过程，约束学习者的思维，而应该为他们提供思维上的挑战。（6）为学习者提供有援学习环境，当他们遇到问题或偏离方向时应给予有效的援助和支持。教师的作用不是提供答案，而是提供示范、辅导和咨询。（7）鼓励学习者体验多种情境和验证不同的观点。不仅可以培养学习者知识迁移的能力，而且有利于形成学习者之间共享知识的风气。通过创设情境进行教学，不仅帮助学生在真实或接近真实的情境中通过问题解决学习数学知识，同时使数学知识与其他学科知识产生互动，培养学生的文字理解能力、观察、分析、综合、比较、概括、创新等能力，以及良好的心理素质。但值得强调的是，数学知识的学习并不一定都要在具体情境中发生，可以按知识的种类而定，不同的知识类型，其掌握、保持、迁移的规律不同，教学的方式也不同。此外，数学学习仍然离不开抽象训练。

四、培养学生数学建模思想应注意的几个问题

1．选择的实际问题要有代表性

现实社会中的问题多种多样，教师在选取问题时要注意代表性，能反映一般情况，这样构建的建模才具有普遍性、广泛性。2．注重对学生实践活动的方法指导

数学活动是培养数学建模思想的重要途径，教师要加强对学生活动方案、研究方式方法的指导。教师始终是活动的组织者、引导者和合作者；学生通过交流合作，主动探究出解决实际问题方式方法。有效地改变教师的教学方法和学生的学习方式，培养学生的动手能力和合作精神，创新意识和实践能力，全面提高学生素质。

五、培养学生数学建模思想的教学难点及破解对策

（一）初中学生用数学建模解决实际应用问题的难点

1、缺乏解决实际问题的信心

数学建模问是用数学知识和数学方法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动，心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。

2、对实际问题中一些名词术语感到生疏

由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。

3、对数据处理缺乏适当的方法

许多实际问题中涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知应把哪个数据作为思维起点，从而找不到解决问题的突破口。

4、缺乏将实际问题数学转化的经验

数学模式的呈现形式是多种多样的，有的以函数显示，有的以方程显示有的以图形显示，有的以不等式显示，有的以概率显示，当然，还有其他各种形式的模型，具体到一个实际问题来讲，判断这个实际问题与哪类数学知识相关，用什么样的数学方法解决问题，是学生深感困难的一个环节。

（二）、破解数学建模难点的对策

针对学生解决实际应用问题的困难以及解实际应用问题的思路和方法，我认为在平时的应用题教学中应重视对学生进行数学应用意识的培养。如数学语言，数学阅读理解等要有计划，有针对性地训练和培养，具体地讲，应抓好以下几个方面的教学。

1、着力培养学生的自信心

一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代必备的心理素质。基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此，在平时教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学，创造数学，运用数学，并在此过程中获得足够的自信。

2、培养学生阅读理解能力，使学生逐步学会数学地阅读材料了解材料 通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力和自学能力的培养；通过数学阅读，有助于学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出“数学教学也就是数学语言的教学”，因此，从语言学习的角度讲，数学教学也必须重视数学阅读，作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处。从而在兴趣和利益的驱动下自觉主动地进行数学阅读。

3、构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力，数学实际问题最突出的特点就是数据多，变量符号（字母）多，数量关系隐蔽而且数据具有“生活实际”的本来面目，并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差，对已知所求之间的数量关系比较模糊，如果从局部入手，则头绪纷繁，不易突破，但若能从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构与本质关系，常能出奇制胜，找到解决问题的方法。具体的讲可以运用结构数据表格的整合信息，理顺数量间的关系，从而建立相应的数学结构，凸显数学“建模”。

4、加强数学语言能力的培养对学生数学语言能力的培养包括两个方面的内容：一是掌握数学语言，包括：①接受——看（听）得懂，能识别、理解解释弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达；②表达——写（讲）得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的语言标准流畅地表达出来，并且在表达中名词述语规范、准确、合乎逻辑。二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间，各种数字语言的互译、转化工作。加强对学生数学语言能力的培养。

5、优化教学设计，教学策略。传统教学中，教学过程基本上由教师控制，教学设计只关注对传授——接受过程的优化，而很少关注改变学生学习方式，学生接受的只是一些数学结论，对数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体情景中形成的，结论怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，结论的作用和意义是什么？很少关注。因而无法实现学生的数学学习由被动接受“结果”向主动积极构建“过程”的转化。一碰上实际问题，就茫然不知所措。为改变这一高耗低效的课堂，教学设计应注重创造问题情景，开发教学媒体，提供学习资源，优化学习环境。在指导学生学习策略上：一是变学生“仓库式”学习为“蜂蜜式”学习，二是变学生由知识学习为体验学习、发现学习。因此教学设计不仅要关注“基础知识”传授，更要关注如何向学生提供真实情境，模拟情境向学生展现“春天的原野”，让学生体验尝试，发现探究。让学生博采广撷，自我“酿蜜”；优化教学设计离不开研究学生的数学学习心理，摸清学生的学情，否则，教师无法有针对性地提供给学生解决数学实际问题的思想和方法。

6、开发教材潜能，创造性地用好教材

教材是教与学的依据，也是教学问题的题源。教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成，看似寻常，实则内涵丰富。有不寻常的价值和应用功能，教师要充分发挥、挖掘教材中例、习题的作用，在教与学中创造性地设置教学情景，并适时地“深挖洞”或“广积粮”形成以问题为中心展开教学，使学生真正理解掌握知识的产生、形成和发展过程。对例题，习题的教学中采取一题多解（多角度、多方位、多层次）的形式，容易的题精讲，旧题新讲，小题大讲（深入挖掘、一题多变、一题多解、一题多用）如果老师教学时在处理上述问题原形时，不引导学生进行横向扩展纵向延伸，学生在面对实际问题时是很难解决的。因此，教师要创造性地使用好教材中的例题、习题，在布置练习时要减少一些“死”的书面作业，增加一些“活”的实践性、开放性、探究性作业。对教材中的概念、公式、法则、定理不仅要求熟记，而且要弄清背景和来源，以及与其他知识的联系，注重教材中概念、公式、法则、定理的提出、知识的形成。发展过程、解题思路的探索过程，解题规律和方法的概括过程，为学生创建了解决实际问题的基石和搭建了登高望远的平台。

综上所述，培养学生解决实际问题的能力，关键是要培养学生建模能力，即把实际问题转化为纯数学问题的能力，而提高这一能力，需要教师平时对学生进行长时间的启发、引导、点拨；和不断地探究、反思、经过思维碰撞、纠错磨练。

第三篇：将数学建模思想融入高等数学教学

将数学建模思想融入高等数学教学

袁

媛

桂林电子科技大学信息科技学院 广西 桂林 541004

摘要：本文阐述了数学建模思想融入高等数学教学的必要性，探讨了将数学建模思想融入高等数学教学的途径。

关键词：数学建模思想；高等数学教学；

高等数学作为大学数学类的一门必修基础课程，对培养学生严密的逻辑推理能力和空间思维能力起着极为重要的作用，是学习后续课程的理论基础。现代教学思想的核心是培养创新思维、意识及能力，各大高校基于此思想，已经陆续开设了数学建模课程。数学建模重点培养学生应用数学知识的能力和解决实际问题的能力，激发学生对科学知识的学习兴趣，使学生深刻体会到数学不仅仅是书本上枯燥无味的死知识，而是灵活地应用于各个领域！因此将数学建模思想融入高等数学教学中，改变传统的教学思想和模式，是现代数学发展的方向。

一、数学建模思想融入高等数学教学的必要性

高等数学的教学给大多数学生的印象无非是求极限、求导数、求积分，除了理解定义定理，就是根据数学公式解答书本上的数学题，在实际生活中几乎毫无用处，从而产生了数学无用论的思想。这样的教学不仅不能达到预期的教学效果，也不能激发学生的学习兴趣和对知识的渴望。数学建模课程与传统的数学类课程相比，有很大的不同。它弥补了传统数学类课程重传授知识轻培养能力的不足，很好地培养了学生观察力、想象力、逻辑思维能力、发散思维能力、分析问题和解决问题的能力。因此改变传统的高等数学教学模式，将数学建模思想融入高等数学教学中，能够大大地促进高等数学教学。

二、数学建模思想融入高等数学教学的途径

1、数学建模思想融入数学概念教学 在高等数学教学中，许多概念的产生都有其实际背景。因此在概念教学中从实际问题中抽象出数学概念，有利于学生对其概念的深刻理解，增强学生的学习兴趣，从而提高应用数学知识的能力。比如在讲解导数定义之前，给出了两个实例，其一是变速直线运动的速度，其二是曲线的切线斜率。通过对实例的分析，建立质点在t0时刻瞬时速度的模型为vt0limsttst0sf(x0x)f(x0)，在x0处的切线斜率为klimylim。lim0t0tt0x0xx0tx对于简单函数求解模型比较容易，对于复杂的函数，计算极限很难求出[1]。于是为了求解这一类模型，我们撇开实际背景，抓住两个模型的共性，即都是函数增量与自变量增量的比值取极限，从而引出这种形式的极限就定义为导数。以此为依据就可以解决有关变化率的实际问题，这也是利用微分方程建立数学模型的基础。在此还可以补充介绍费马在 1629 年设计透镜求曲线在一点处切线的小故事,生动的事例能让学生了解前人在创立新理论时的建模过程,更能激发学生学习的兴趣。在对光学的研究中，对透镜的设计促使费马探求曲线的切线，他在1629年找到了求切线的一种方法，牛顿从中找到了灵感，他说：“我从费马的切线作法中得到了这个方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来应用于抽象的方程。”由此创立了微积分方法[2]。

再比如，为引入定积分的概念，抛出了求解曲边梯形面积的问题。首先引导学生分析问题，如果是矩形，面积公式是长乘宽，现在有一边是曲线，公式肯定不能直接用。于是这样来考虑：把区间分割成许多小区间，对应有许多小曲边梯形；在每个小区间上，以直代曲，用小区间长度乘以小区间内任意点处的函数值就是小曲边梯形面积的近似值；把所有小曲边梯形面积近似值加起来就得到所求曲边梯形面积的近似值；要得到精确值，就把分割区间无限加细，使小区间长度趋于零，这时近似值的极限就是所求的面积。这样，通过 “分割、近似、求和、取极限”四步建立了求解曲边梯形面积的模型Alimfixi。同样可建

i1n立了变速直线运动位移的模型slimviti，从而抽象出定积分的概念。实际上，在所

i1n有定积分的应用问题中，分析微元是关键，建立微元的模型就体现出了定积分的思想[3]。

在讲解数学概念时，利用实际背景引入，将其本质讲清，讲透，有利于学生对概念的理解掌握，也教会学生将分析问题的能力。

2、数学建模思想融入数学定理教学

数学定理的教学对学生来说，是比较枯燥无味的。在讲解公式定理时，可适当地介绍一些与该内容相关的实际例子进行建模示范，加深学生对定理的理解与公式的掌握。例如，在讲一元函数介值性定理时，可引入日常生活中经常碰到的“椅子能在不平的地面上放稳吗”的问题。此题看似和数学无关，其实不然，在分析问题的实际背景和实际含义后,我们确定问题的目标是“放稳”，而“放稳”可以用各椅脚离地面的距离这一数量指标来表达，通过模型假设，模型建立，模型求解这三部分，巧妙地解决了椅子放稳问题。这个建模实例不但使学生看到了如何利用抽象的介值定理来解决实际问题的方法，而且启迪了学生如何用数学语言描述似乎与数学无关的现象，用数学工具对它进行证明。

3、数学建模思想融入案例教学

数学知识的应用是数学的教学目标之一。数学建模中的很多案例就很好体现了知识的应用，因此在实际的课堂教学过程中，各章节理论知识学习完之后，教师可适当地以具体案例作为教学内容，进行建模示范，引导学生通过问题分析，进行抽象、简化、假设，建立数学模型，求解数学模型，从而解决实际问题。这样既能让学生了解数学建模的方法步骤，又使学生体会数学在实际问题中的应用，同时锻炼和培养了学生解决问题的能力，进一步加深对知识的理解与掌握。

在讲解完导数一章内容后，可引入经济学中的简单实例“最优价格”，即一个工厂在产销平衡状态下寻求使工厂利润最大的最优价格[4]。

首先对这个问题进行分析，所谓产销平衡是指产品的产量等于市场上的销售量。利润等于销售收入与生产支出之差。其次进行符号假设：每件产品售价为p，成本为q，销售量为。于是建立数学模型有：总收入Ipx，总支出Cqx，在市场竞争中销x（与产量相等）售量依赖于价格，即xf(p)，利润可表示为UpIpCp，问题最终转化为求Up的最大值。这是一元函数求最值问题，由数量经济学中

dUdI0可求出pp*，即有dpdp*ppdCdppp*。在dCdI称为边际收入，称为边际支出，上等式表明最大利润是在边际收入等

dpdp于边际支出时达到。f称为需求函数，是p的减函数，进一步根据它的具体形式可求出p*。在教学过程中，根据不同的教学内容，选择相应的数学模型进行案例教学，所选模型尽量贴近学生的实际生活，使学生感受到数学来源于生活，又经得起实践的检验。

将数学建模思想融入到高等数学的过程中，不是将数学建模的例子强塞进高等数学的内容中去，改变高等数学的原有体系，而是通过数学建模的过程来使学生进一步熟悉基本的教学内容, 培养学生的创新精神和科研意识, 提高学生应用数学解决实际问题的思想和方法。

参考文献

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第四篇：在数学教学中渗透数学建模思想

在数学教学中渗透数学建模思想，利用数型结合法解决实际问题

邹城市石墙中学 王保顺 2012年7月16日 11:06

数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。中学数学教学中建模思想的培养与应用是数学教育的重要内容，呼唤数学应用意识，提高数学应用质量，已成为广大数学教育工作者的共识。开展中学数学建模教学与应用的研究，对提高学生数学应用意识，培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力，促进中学数学教学改革，全面推进中学数学素质教育有重要意义。本文结合教学实践，谈谈初中建模教学在人才培养中的作用和体会。

我在教学14.1.3函数的图像时，例如：

小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家。下面的图象中哪一个表示父亲离家后距离与时间之间的关系？哪一个表示母亲离家后距离与时间之间的关系？

我要引导学生，把这一实际问题转换为数学模型，即函数关系，通过学生动手画函数图像，在通过图像求函数解析式，从而解决实际问题。

在课堂教学中，教师通过启发、引导、指导、辅导等方式与讲授结合起来，以提高学生的参与程度，加强学生学习的主动性，另处学生通过自主探究、发现、尝试、提问、讨论、反馈、练习等，经历数学概念形成的过程，从而加深对概念的理解，使其主体作用得到更充分的发挥，从而使教学与学法能够较好的相融相进，同时，学生在此过程中所获得的体验和经历，可以使他们在后继的学习中，逐渐理解能力，掌握教学思维方法、学会数学思维。同时在获取新知的过程中，掌握自主学习的方法，提高学习数学的能力。

第五篇：小学数学教学中的数学建模思想

小学数学教学中的数学建模思想

单赟涛

在《数学课程标准》有这样一句话——“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”,这实际上就是要求把学生学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程,并在建模过程中培养学生的数学应用意识,引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。

一、数学模型的概念

数学模型是对某种事物系统的特征或数量依存关系概括或近似表述的数学结构。数学中的各种概念、公式和理论都是由现实世界的原型抽象出来的。狭义地理解,数学模型指那些反映了特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构,是相应系统中各变量及其相互关系的数学表达。数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法。在小学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统,算法系统,关系、定律、公理系统等。

二、小学生如何形成自己的数学建模

1、创设情境，感知数学建模思想

数学来源于生活，因此，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，这样很容易激发学生的兴趣，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。如教学平均数一课，新课开始出示两个小组一分钟做题：

第一组 9 8 9 6 第二组 7 10 9 8 教师提问：哪组获胜，为什么？

这时出示，第一组请假的一位同学后来加入比赛。

第一组 9 8 9 6 8

第二组 7 10 9 8 师：根据比赛成绩我们判定一组获胜。

此时有学生提出异议：虽然第一组做对的总道数比第二组多，但是两个队的人数不同，这样比较不公平。

师：那怎么办呢？ 生：可以用平均数比较。师：什么是平均数？ 本节课平均数这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中，学生在两次评判中解读、整理数据，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数学问题的过程就是一次建模的过程。

2、参与探究，主动建构数学模型

我们在学习书本中的某些原理、定律、公式的时候，不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生对过程、材料、发现主动归纳，力求建构出人人都能理解的数学模型。

如教学圆锥的体积一课： 1）回顾、猜想：

师：我们在学习圆柱的体积推导过程中，应用了哪些数学思想？ 生：运用了转化的思想。

师：猜一猜圆锥的体积能否转化成已经学过的图形的体积？它可能与学过的哪种立体图形有关？

学生大胆进行猜想，猜能转化成圆柱、长方体、正方体。2）动手验证

师：请利用手中的学具进行操作，研究圆锥体积的计算方法。教师给学生提供多个圆柱、长方体、正方体和圆锥空盒（其中圆柱和圆锥有等底等高关系的、有不等底不等高关系的，圆锥与其他形体没有等底或等高关系）、沙子等学具，学生分小组动手实验。

3）反馈交流

生1：我们选取了一个圆锥和一个正方体进行实验，将正方体中倒满沙子，然后倒入圆锥容器中，到了四次，还剩下一些，发现圆锥体与这个圆柱体之间没有关系。

生2：我们组选取的是圆锥和圆柱，这个圆锥与这个圆柱之间也没存在关系，然后我们换了一个圆柱，这个圆柱的体积是这个圆锥体积的三倍。

4）归纳总结。

师：那么存在3倍关系的圆柱和圆锥的底面有什么关系?它们的高又有什么关系? 生3：底面积相等，高也相等。

师：圆柱的体积和同它等底等高圆锥的体积的有什么关系? 生：圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

生：圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体权的1/3。

师：是不是所有的等底等高的圆柱、圆锥都存在这样的关系？请每个组都选出这样的学具进行操作验证。

圆锥的体积等于同它等底等高的圆柱体积的1/3。

师：如果没有圆柱这一辅助工具，我们怎样计算圆锥的体积？ 生：圆锥的体积等于底面积乘高乘1/3。

在上述教学过程中，学生的问题不是一步到位的，通过不断地猜测、验证、修订实验方案，再猜测、再验证这样的过程，逐步过渡到复杂的、更一般的情景，学生在主动探索尝试过程中，进行了再创造学习，以抽象概括方式自主总结出圆锥体积计算公式。这一环节的设计，不仅发展了学生的策略性知识，同时让学生经历猜测与验证、分析与归纳、抽象与概括的数学思维过程。学习过程中学生有时独立思考，有时小组合作学习，有时是独立探索和合作学习相结合，学生在新知探索中充分体验了数学模型的形成过程。

3、解决问题，拓展应用数学模型

数学又服务于生活，用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题，让学生体会到数学模型的实际应用价值，体验实际应用带来的快

乐。通过应用真正让数学走入生活，让数学走近学生。用数学知识去解决实际问题，使学生在实际应用过程中构建自己的知识体系。

如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，出示这样的变式：

1、汽车4小时行驶了240千米，12小时可行驶多少千米？

2、火车的速度是每小时130千米，火车早上8：00出发，14：00到站，两站之间的距离是多少千米？

学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习，学生基本能正确解答，说明学生对基本数学模型已经掌握。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答。

又如学习了圆的周长后设计这样的题目：怎样利用你的自行车测量学校到家里的实际距离。

这一问题的设计既考虑与学生生活的真实情景相结合，又能引起学生的猜测、估计、操作、观察、思考等具体的学习活动，并能使学生在具体的学习活动中学会搜集资料、分析问题。因此，我们在教学过程中，应注重学生建模思想的形成与运用。

综上所述，小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。因此在数学课堂教学中，教师应逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成学生良好的思维习惯和用数学的能力。