第七章第6节二元一次方程与一次函数-教案（合集）

第一篇：第七章第6节二元一次方程与一次函数-教案

一、教学内容

二元一次方程组的应用

1、二元一次方程与一次函数的关系

初步理解二元一次方程与一次函数的关系

2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解, 体现了数形结合的数学思想.二、知识要点分析

1、二元一次方程与一次函数的联系（重点、难点）

若k、b表示常数且k≠0，则y－kx＝b为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y＝kx＋b，将x、y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数.事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图像与一次函数y＝kx＋b的图像相同.举例说明：方程x－y=6的解有无数个，以方程x－y=6的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=x－6的图象相同.2、一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2图象的交点坐标与方程组yk1xb1,的解的关系

yk2xb2一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2图象的交点的坐标，就是方程组举例说明： 方程组yk1xb1,的解.yk2xb2xy2的解就是一次函数y=－x+2与y=5x－10的交点坐标.5xy10归纳：

二元一次方程组无解一次函数的图像平行（无交点）

二元一次方程组有一个解一次函数的图像相交（有一个交点）二元一次方程组有无数个解一次函数的图像重合（有无数个交点）

3、用二元一次方程组确定一次函数解析式（这是重点、难点）用二元一次方程组确定一次函数解析式的一般步骤：（1）设一次函数为y=kx+b；

（2）将满足一次函数的两组数值分别代入y=kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组；（3）解得到的二元一次方程组，求出k，b的值；

（4）将k，b的值代入y=kx+b，即可确定一次函数的解析式.考点一：二元一次方程与一次函数

例

1、一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点是二元一次方程－2x+by=18•的一个解，•则b=___.【思路分析】一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点坐标是（0，7），将x=0，y=7代入二元一次方程－2x+by=18，得7b=18，解得b18.7规律与方法：先求出一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点坐标，然后代入二元一次方程中，即可求出b的值.例

2、方程2x+y=5的解有_____个，请写出其中的四组解____________.在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数______的图象上.x0x1x2x3【思路分析】方程2x+y=5的解有无数个，例如：，，，，y1y5y3y1等等，方程2x+y=5可以变形为y=－2x+5，所以以方程2x+y=5的解为坐标的点在一次函数y=－2x+5的图象上.解：无数；

x0x1x2x3，，，；y=－2x+5 y5y3y1y1规律与方法：以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图像与一次函数y＝kx＋b的图像相同.考点二：二元一次方程组与一次函数

例

3、如图，直线y=2x－4和直线y=－3x+1交于一点，则方程组（）

A.x=0，y=1 B.x=0，y=－2

C.x=1，y=－2

2xy4 的解是

3xy1D.x=2，y=0

【思路分析】直线y=2x－4可以变形为2x－y=4，直线y=2x－4的图象上的点的坐标是方程2x－y=4的解；同样直线y=－3x+1可以变形为3x+y=1，直线y=－3x+1的图象上的点的坐标是方程3x+y=1的解，所以直线y2x4和直线y3x1的交点坐标就是所

2xy4得到的两个方程的公共解，即是方程组的解.解：C

3xy1方法与规律：解决此类问题的关键是抓住二元一次方程组与一次函数的关系.11xy例

4、用作图象的方法解方程组22.2xy1【思路分析】先将方程组中的两个方程变形为一次函数的形式，然后在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象，两函数图象的交点坐标就是方程组的解.1111xy可得yx，由2x－y=1可得y=2x－1.在同一直角坐标系222211中作出函数l1：yx和函数l2：y=2x－1的图象，观察图象可得交点为（1，1），所22解：由

11xyx1以方程组2的解为.2y12xy1

方法与规律：解决此类问题的关键是确定两个一次函数的图象的交点坐标.考点三：用二元一次方程组确定一次函数

例

5、如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：

（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？

【思路分析】要求函数的关系式，就要结合题意读出x、y的两对值，当x=4，y=10.5和当x=7，y=15，这样就可以求出关系.解：（1）设ykxb.由图可知：当x4时，y10.5；当x7时，y15.10.54kb,把它们分别代入上式，得 ，157kb.解得k1.5，b4.5.∴ 一次函数的解析式是y1.5x4.5.（2）当x4711时，y1.5114.521.即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm.规律与方法：此类题目要求能够把图形语言转化为数学语言，进而达到求解的目的.例

6、图中两条直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组________的解.【思路分析】先根据图象确定两直线上的两个点的坐标，然后求出两个一次函数的关系式，即可确定该方程组.k10b14解：设直线l1：y=k1x+b1，由于直线l1经过（0，－4），（6，0）两点，所以，6kb011b142解得2，所以l1：yx4.3k13k20b24设直线l2：y=k2x+b2，由于直线l2经过（0，4），（2，0）两点，所以，2kb022b24解得，所以l2：y=－2x+4.k222直线yx4可以变形为2x－3y=12，直线y=－2x+4可以变形为2x+y=4，所以该3方程组为

2xy4 2x3y12规律与方法：解决此类问题的关键是确定两个直线的关系式.一、选择题

x+n与y=mx－1相交于点（1，－2），则（）.2151A.m=，n=－

B.m=，n=－1

22253C.m=－1，n=－

D.m=－3，n=－

2212112.直线y=x－6与直线y=－x－的交点坐标是（）.31231﹡1.若直线y=A.（－8，－10）

B.（0，－6）；

C.（10，－1）

D.以上答案均不对

﹡3.直线kx－3y=8，2x+5y=－4交点的纵坐标为0，则k的值为（）A.4

B.－4

C.2

D.－2

第4题图

第5题图

4.如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数yx的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（）

A.yx2 B.yx

2C.yx2

D.yx2

﹡5.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（）

A.20kg

B.25kg

C.28kg

D.30kg ﹡6.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）

A.C.xy20

3x2y10

B.

2xy10

3x2y10xy20

2xy102xy10

3x2y50D.321-1-1yP(1,1)123xO

第6题图

第7题图

﹡7.甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km.他们行进的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是（）

A.甲的速度是4km/ h

B.乙的速度是10 km/ h C.乙比甲晚出发1 h

D.甲比乙晚到B地3 h

﹡8.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的1，估计步行不能准时到达，于是他4改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）

A.20分钟

B.22分钟

C.24分钟

D.26分钟

第8题图

第9题图

第10题图

﹡9.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，则不挂物体时弹簧的长度是（）cm.A.12.5

B.20

C.10

D.15 ﹡10.某文具零售店老板到批发市场选购A、B两种文具，批发价分别是12元／件，8元／件.若该零售店的A、B两种文具的日销售量y（件）与零售价x（元／件）均成一次函数关系（如图），则y与x的函数关系式为（）.A.y=－x+20

B.y=－x－20

C.y=x+20

D.y=x－20

二、填空

11.点（2，3）在一次函数y=2x－1的________；x=2，y=3是方程2x－y=1的_______.4x,xy3,x312.已知 是方程组的解，一次函数y=3－x和y=+1的交点是_____.x2y1y523﹡13.在一次函数y=5－2x的图象上任取一点，它的坐标_____方程2x+y=5（此空填“适合”或“不一定适合”）.﹡﹡14.如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象，比赛开始_____分钟，两人第一次相遇.﹡16.某市出租车计费标准如下：行驶路程不超过3千米时，收费8元；行驶超过3千米的部分，按每千米1.60元计费.（1）写出租车收费y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式_________；（2）若某人一次乘出租车时，付了车费14.40元，则他这次乘坐了_______千米的路.﹡17.在直角坐标系中有两条直线：L1：y=是_____，方程组393x+和L2：y=－x+6，两直线的交点坐标5523x5y9,的解是_____.3x2y12.

【试题答案】

一、1.C 【思路分析】两函数的交点坐标分别是y=－2=

x+n与y=mx－1这两个方程的解，所以215+n，解得n，－2=m－1，解得m=－1.221yx622.C【思路分析】两直线的交点坐标是方程组的解，解此方程组即可.y2x1131323.B【思路分析】根据直线2x+5y=－4可求出交点的横坐标，即2x=－4，x=－2，即两直线的交点坐标是（－2，0），该交点坐标是方程kx－3y=8的解，所以－2k－0=8，解得k=－4.4.B【思路分析】根据正比例函数可以确定交点坐标是（－1，1），一次函数经过（－1，1kbk11）与（0，2）两点，可设一次函数表达式为y=kx+b，则有，解得，所

b22b以y=x+2.5.A【思路分析】根据（30，300），（50，900）这两个点可以确定一次函数解析式为y=30x－600，当y=0时，30x－600=0，解得x=20，所以旅客可携带的免费行李最大质量是20千克.6.D【思路分析】先求出两个一次函数的解析式，然后进行变形即可.7.C【思路分析】甲的速度是20÷4=5km/h，乙的速度是20km/h，乙比甲晚出发1 h，甲比乙晚到B地2 h，故本题答案是C.8.C 【思路分析】从图象可以看出，他步行10分钟走了全程的分钟；乘出租车2分钟行驶了全程的1，所以走完全程需要4041113－=，所以剩下的坐出租车需要6分钟，故2444实际用时16分钟，所以节省了40－16=24分钟.9.C【思路分析】设y=kx+b.由于一次函数经过（5，12.5），（20 20）两点，所以有12.55kb，解得k=0.5，b=10.所以一次函数解析式为y=0.5x+10，所以不挂物体时弹2020kb簧的长度为y=0.5×0+10=10.10.A 【思路分析】设y=kx+b.由于一次函数经过点（10，10），（15，5），所以有1010kbk1，解得，所以一次函数解析式为 y=－x+20.b10515kb

二、11.图象上，解【思路分析】方程2x－y=1是由函数y=2x－1变形得到的，所以此函数图象上的点的坐标都是方程2x－y=1的解.4512.(,)【思路分析】两个一次函数均是由方程组中的两个方程变形得到的，所以方程33组的解就是两个一次函数的交点坐标.13.适合【思路分析】方程是由一次函数y=5－2x变形得到的，所以一次函数上任意一点的坐标都是方程的解.14.24【思路分析】观察图象可以看出，甲行驶过程中有三个图象段，中间图象段两函数有交点，中间函数图象经过（15，5）与（33，7），可求函数关系式为y=

110x，由于交93

点处的点的纵坐标是6，所以6=

110x，解得x=24.所以两人在24分钟时相遇.9315.1500【思路分析】两函数的交点处表示两家费用相同，交点的横坐标表示行驶的路程，故答案是1500千米.16.y=8+1.60（x－3）（x≥3），7【思路分析】车费分为两部分，一部分是不超过3千米的部分，另一部分是超出3千米的部分，所以关系式为y=8+1.60（x－3）（x≥3），将y=14.40代入所求关系式即可求出相应的路程.x217.（2，3），【思路分析】方程组中的两个方程是由两个一次函数变形得到的，y3所以方程组的解就是两函数的交点坐标，可先解方程组，即可解答此题.三、18.解：（1）设关系式为y＝kx＋b，根据题意可得方程组k0b50，50kb150.k2,解这个方程组得∴y＝2x＋50.b50.（2）当x＝30时，y＝2×30＋50＝110.所以30分钟时水箱有水110升.【思路分析】先设出一次函数关系式，然后找出两对数值代入，把问题转化成方程组的问题进行求解.19.解：（1）设此一次函数解析式为ykxb.15kb25,则

解得k=1，b=40.20kb20.即一次函数解析式为yx40.（2）每日的销售量为y=－30+40=10件，所获销售利润为（3010）×10=200元.【思路分析】本题主要考查的是利用二元一次方程组确定一次函数关系式.

第二篇：一次函数与二元一次方程(组)

14.3一次函数与二元一次方程（组）

组的解？___

班级：姓名： 设计：高春梅 编号：(2)当自变量x ,函数y=与学习目标： 1理解一次函数与二元一次方程（组）的关系。2掌握用一次函数图像求方程组的解的方法。3.大胆尝试，积极展示。学习重点：利用一次函数图像解二元一次方

程组和一些简单的实际问题。

学习难点：把函数和方程（组）有机结合起

来，灵活解决问题。

学习过程：

一．自学课本127——128页内容，完成： 1.y=3x+1这是什么？

①.____________ ②.____________ 2.对于方程3x+5y =8如何用x表示y?

【想一想】 是不是任意一个二元一次方程都能转化为y=kx+b的形式呢？3.画出函数y＝2x-1的图象； 在一次函数y＝2x-1的图象 上任取一点（x，y）；则x ,y一定是方程 2x-y=1的解 吗？______为什么？_____ ______________________。

【归纳】:（1）任意一个______方程都对一个一次函数，也就是对应________。（2）一次函数图象上的点的_____都是相

应的二元一次方程的解。

4.方程组可转化为两个一次

函数，在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象。

这两条直线的交点是________，是方程组 的解吗?______。【思考】是否任意两个一次函数的交点坐标

都是它们所对应的二元一次方程

y =的值相等? 这个函数值是多少? y=______。与解方程组是同一个问题吗？_______。【归纳】从函数的观点看解二元一次方组： ①.从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的坐标。

②.从“数”的角度看：解方程组相当于考虑当为何值时,两个相等以及这个函数值是何值。二．学以致用，展示提升。

1.以二元一次方程3x-y+5=0的解为坐标的点组成的图形与下列哪一个一次函数的图象完全相同（）

A y=3x-5B y=3x+5C y=-3x-5 D y=-3x+5 2.下列哪个方程组的解是一次函数y=5-3x和y=2x-1的图象的交点坐标（）ABCD

3．如果方程组的解为

则直线y=-x+a和y=x-b的交点坐标_________。

4.求直线y=-x+5与直线y=2x-3的交点坐标。

5．课本129页第5题。6.练习册63页第4题。7.利用图象法解方程组

三．能力提升

练习册63页第7题。

第三篇：二元一次方程与一次函数说课稿

二元一次方程与一次函数说课稿

各位评委，老师大家下午好！

今天我说课的题目是二元一次方程与一次函数。（出示课件）教材分析：教材的地位和作用。

本节课选自北师大版八年级上册第五单元二元一次方程组第六节，是学生学习完一次函数，一元一次方程及一元一次不等式后，对一次函数和二元一次方程关系的探究，他强化了部分与整体，知识与知识的内在联系，将方程与函数紧密的联系在一起，使得两章内容给人浑然一体的感觉。对于初中阶段学生所学习的二元一次方程组的图像解法确非优法，但杜宇一些高次方程，无理方程，超越方程的求解，画图像的方法则更具一般性。因此，通过方程组的图像解法的学习，将方程和函数及其图像联系起来，有利于学生更为全面的认识方程组，发展学生的数形结合能力。这也为今后的线性方程组及平面解析几何的学习奠定了基础。华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”这句话形象地阐明了数形结合思想的重要意义。而二元一次方程与一次函数恰好是数与形的完美结合。二，学情分析

1.知识基础

学生在前面学习数周，勾股定理，画示意图列方程解应用题等知识，已经对数形结合的思想有了初步认识，本学期已经学习了一次函数和二元一次方程组，对一次函数的图像也有深刻的认识，但学生数形结合的主动性和操作能力还较弱。为此，在进行本课教学时，需要由教师提出即将探究的问题，引导学生进行思考。

2.能力基础

从初一就采用的小组合作学习的组织形式；经过一个多学期的训练和磨合，各学习小组内部形成了自己自学，自评，互评的方法和评价规则；而班级小组之间也形成了一系列小组间相互交流，相互评价，相互补充的机制，学生已初步

教学重点与难点

重点：二元一次方程与一次函数关系的探索；会用图像法求解二元一次方程组的近似解。

采取策略：让好学生带中等生，中等生拉学困生，我在推一把学困生，互相启发，获知提高。

难点：揭示二元一次方程与一次函数之间的对应关系，即数形结合的意识与能力。突破策略：在质疑中猜想，在猜想中探索，一步一步地寻找

《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级（上）第七章第六节内容． 本节内容共安排2个课时完成，本节课为第1课时．该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的．

第四篇：《二元一次方程与一次函数》教学设计

《二元一次方程与一次函数》教学设计

教学目标

知识要求：初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

能力要求：通过学生的自主探索的实际操作，加强新旧知识间的联系，培养学生初步的数形结合的意识和能力。

情感与价值观要求：通过学生合作交流，培养学生的合作精神；通过Z＋Z智能软件的应用，使学生更积极的参加教学活动，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：

1.二元一次方程和一次函数的关系。

2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。教学难点：

方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。教材分析：

旧教材中，二元一次方程（组）和一次函数是独立的两部分，为了加强知识间的联系，新教材加入了本节内容，研究方程和函数的关系，培养学生数形结合的意识和能力。

学生分析：

学生已经掌握二元一次方程（组）和一次函数的基础知识，在作一次函数图象时，学生已建立初步的数（代数表达式）形（图象）结合的意识，在此认知基础上，教师可在知识关节点上为学生创设合理的问题情境以调动学生的内驱力。

教学方法：

学生自主操作——合作探究的方法。教学过程：

一、引入

举例说明什么是二元一次方程？它的解个数如何？举出几组。（学生给出一个方程，如x＋y=5,且任意给出几组解）看到x＋y=5这个方程，同学们能联想到以前学过的哪些知识? 设计说明：教师不直接将其转化成一次函数表达式，而是让学生大胆去联想，留给学生较为广阔的思维空间。

学生独立思考，合作交流，能联系到一次函数y=5－x，认识到二元一次方程和一次函数有一定关系。(有困难时，教师适当提示)这节课我们就一起来讨论他们之间的关系。

二、讲授新课

表示函数的方法还有哪些？ 学生回忆表示函数的三种表达方式。下面请同学们画出一次函数的图象。学生动手操作 师给出问题：

（1）以二元一次方程的解为坐标的点在一次函数图象上吗？（2）一次函数图象上的点的坐标都适合方程吗？

（3）以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同吗？ 学生分组讨论以上几个问题（师巡回指导，听取学生不同结论，并适当提示）设计说明：让学生充分思考、实际操作、讨论，自主得到结论，切实感受一元二次方程和一次函数之间的关系。

在学生实际操作、感受、交流基础上，师在Z＋Z智能平台上演示，使学生得到的结论更直观）

学生归纳出二元一次方程与一次函数的关系。设计说明：锻炼学生语言表达能力。师纠正并操作电脑显示。

三、合作交流

师操作电脑显示（做一做）

学生以同桌为单位，一生在同一坐标系内作出两个函数图象，另一生解相应的方程组，并比较、分析结果。

得出方程组的解是相应两个函数图象交点的坐标。

设计说明：通过实际的操作和计算，培养学生的合作精神和分析问题、解决问题的能力。师在Z＋Z平台演示，验证学生结论。

这样，我们又有了解方程组的新的方法——图象法，下面我们一起看一个例题。（师操作电脑显示）

学生独立完成后，一生在Z＋Z平台演示作题过程。

设计说明：借助Z＋Z智能平台，使学生更积极参与课堂活动，培养其学习数学的兴趣。学生置疑，我的解和平台演示的不相同。（如学生认识不到，教师适当提示）学生反思，互相交流讨论，师给予适当引导提示，使学生明确用此方法求出的是二元一次方程的近似解。

四、巩固练习

师操作电脑，显示习题。学生实际操作，巩固所学知识。

五、小结和作业

师生一起回顾本节主要内容。

试一试：有一组数同时适合方程x＋y=2和x＋y=5吗？一次函数y=2－x，y=5－x的图象之间有何关系你能从中“悟”出些什么吗？

教学反思：

通过这节课的学习，我感到学生的参与意识较强，能做到自主探究，并且乐于与其他同学合作交流，不足之处在于，我设计课程时，没有深刻分析学生的最近认知基础，因此为学生设疑的难度把握不够准确，今后教学过程应多加注意。

鹿泉市上庄镇中学 李静

第五篇：§11.3.3一次函数与二元一次方程(组)

§11．3．3一次函数与二元一次方程（组）

教学目标：

认知目标：了解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组.能力与情感目标：学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思

想方法；经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的噶看待实现问题的辨证思想.教学重点：二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的了解.教学难点：对应关系的理解及实际问题的探究建模.教学过程：

一、探究新知：

我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y3838x，并且直线yx上的每个点5555的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解.由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式所以每一个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.3x5y8例：用画函数图象的方法解方程组 2xy1

分析：根据方程组和函数的观点，就是求当x取什么值时，两个一次函数的y值相等.它反映在图象上就是求直线y38x与直线y2x1的交点坐标.55

二、应用新知：

1.P46习题11.3 第6题（1）

2.求直线y3x9与直线y2x7的交点坐标.你有哪些方法？与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊.3.讲解P43例3

三、巩固练习

P45练习

四、小结

五、布置作业