14.2勾股定理的应用教案

第一篇：14.2勾股定理的应用教案

14.2 勾股定理的应用

执笔人：

审核：八年级数学组 课型：新授 时间：

1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计 算，深入对勾股定理的理解。

2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。

3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。

课前复习

1、勾股定理的内容是什么？

问：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们来看看这个定理的应用。新课过程 分析：

大家分组合作探究：

解：在RtΔABC中，由题意有：

AC＝

＝

≈2.236

∵AC大于木板的宽

∴薄木板能从门框通过。学生进行练习：

1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.①已知a=5，b=12，求c； ②已知a=20，c=29，求b（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a+b＝c，要根据本质来看问题）

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少

22厘米？

解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；

斜边＝

＝10

∴周长为：6+8+10＝24cm ②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，另一直角边＝

周长为：6+8+2

＝2＝14+2

解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中

∴AO＝

又∵下滑了0.4米

∴OC＝2.0米 在RtΔODC中 ∴OD＝∴外移BD＝0.8米 答：梯足将外移0.8米。例3 再来看一道古代名题：

这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：

=1.5（米）

＝2.4（米）

“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？

解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺 由勾股定理有： x2+52＝（x+1）2 解之得：x＝12 答：水深12尺，芦苇长13尺。

例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。在RtΔABC中 AB＝＝13 答：小鸟至少要飞13米。

三、作业：完成书P77页1，P78页2、3

四、教学反思：

第二篇：勾股定理应用教案（最终版）

18.1勾股定理（第二课时）

一、教学目标：

1、运用勾股定理进行简单的计算.2、运用勾股定理解释生活中的实际问题.3、通过从实际中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.4、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生于他人交流、合作的意识和品质.二、重点：勾股定理的运用.难点：勾股定理在实际生活中的应用.三、教学流程安排

活动一（导练————自主探究）

问题

（1）求出下列三角形中未知的边.①在解决上述问题时，每个直角三角形需要知道几个条件？

②直角三角形中那条边最长？

（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长.活动二（导疑————自主发现）

问题

（1）在长方形ABCD中，AB、BC、AC的关系？（2）一个门框的尺寸如图1所示.①若有一块长3m，宽0.8m的薄木板，怎样从门框通过？ ②若薄木板长3m，款1.5m呢？

③若薄木板长3m，款2.2m呢？为什么？

（3）如图2，一个长3m的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m.①梯子的底端B据墙角O多少米？

②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们： 猜一猜，底端也将滑动0.5m么？

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）.图1

图2 活动三（导练————自主创新）

（1）如图2，一个长5m的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时梯子的底端距墙底的

距离为3m.梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1m么？用所学知识论证你的结论.（2）一棵树原高18m，折断后数的顶部落在离树根底部6m处，这棵树断裂处离地面高为多少？

（3）如图3，分别以RtABC三边为边向外做三个正方形，其面积分别为S1,S2,S3,容易得出S1,S2,S3之间的关系为_______________.变式：教科书习题18.1第11题，如图4.活动四

（1）小节

（2）作业：教科书习题18.1第2、3、4、5、12题.图3

图4

第三篇：勾股定理的应用

1、勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c与a+b则△ABC不是直角三角形。

3、勾股数 满足c=a+b的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5；（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、三角形的三边长为abcba2)(22+=+,则这个三角形是()

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是()（A）钝角三角形

（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.54、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取 值范围是（）．

A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降 至B′，那么BB′（）．

A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后 分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少 海里

222222是否具有相等关系（3）若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2≠a2+b2

第四篇：勾股定理应用说课稿

联校教研活动《勾股定理应用》说课稿

旦马中学 沈俊山

一．教材内容分析：

本课时是人教版版八年级（下）§18《勾股定理》部分的“勾股定理”第二课时内容。本节课是应用结论解决应用问题，教材中通过2个例题安排学习内容。勾股定理作为数学学习的工具，掌握好本节课内容对其他知识内容的学习创造良好的条件。通过学生积极参与数学活动，培养学生敢于面对数学学习中的困难并有独立克服困难和运用知识解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值。

二．课例的设计思想：

教学中通过发现学生问题，用温故知新的方式解决问题。尤其是在知识点上通过设置追问，落实每个同学对知识的盲点，弥补对知识点掌握的不足，对学生合情推理、逻辑论证进行全方位思维训练。

课例的设计思路是：对于例1的教学通过情景创设将问题深入并解决。培养学生数形结合的思想。

例2是勾股定理及直角三角形判定定理的综合应用，重点在于培养学生的演绎推理能力。教学中侧重于学生的观察、分析和说理。

练习题的设计再次训练学生运用勾股定理解决实际问题的能力。

教学方法：教学中通过设置小组讨论的办法，让学生通过交流合作解决老师提出的问题，落实本课的学习目标。

三、教学过程设计

1、教学目标： 知识与能力目标：（1）股定理进行相关计算（2）能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题

2、方法与情感目标：

通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化与数形结合的思想方法。培养学生合作、交流的意识和品质，让学生感受探究的苦中之趣。

3、教学重点：运用勾股定理解决实际问题

4、教学难点： 际问题转化建模与勾股定理的灵活运用

5、教学流程：先从上节课知识复习勾股定理的相关计算，再有笑话一则引入实际问题的解决，然后设置两道探究题进行探究，最后设置习题进行练习，检查上课效果。最后结本节课知识，再次回顾本节课目标，布置作业。四．课后反思：

成功之处：

1、完成教学目标，教学任务。

2、每一位同学都能积极参与探究问题，发挥了组长带领组员学习的作用，教师只起到指导作用，基本上沿用我校“学生学、教师导、学生动”的模式。不足之处：

1、学生的积极性、激情程度不高，没有很好发挥小组的团队合作精神。

2、数字计算能力较差，在开根号时用时太多

3、学生准备不充分，计算机没带

总之，在上课的过程中有好多不足之处，希望各位领导和老师提出宝贵的意见和建议，一便在今后的教学中更加完善自己！

2012年4月13日

第五篇：勾股定理教案

勾股定理专题 第 1 讲

一、《标准》要求

1．在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念。2．在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力。

3．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能运用他们解决一些简单的实际问题。

二、教学目标：

（一）、知识与技能：

经历勾股定理及其逆定理的探索过程，了解勾股定理的各种探究法方法及其内在联系，体验数形结合的思想，解和掌握勾股定理内容及简单应用，进一步发展空间观念和推理能力。

（二）、过程与方法：

1．掌握勾股定理及其逆定理的内容；

2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

（三）、情感态度与价值观

通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值。

三、教学重点

勾股定理及其逆定理在解决数学问题中的灵活应用

四、教学难点

勾股定理及其逆定理的证明

五、教学过程

一、引入新课

据传两千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希腊著名的数学家毕达哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来，原来朋友家的地面是由许多直角三角形组成的图案，黑白相间，美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟地站了起来，大笑着跑回去了，原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。

那么黑白相间的地砖上的正方形之间存在怎样的关系呢？让我们一起来探索！

勾股定理被称为“几何学的基石”，勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

别名：商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、动手画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的长。（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长

你能观察出直角三角形的三边关系吗？看不出来的话我们先来看一下下面的活动。

4.如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面的猜想关系还成立吗？

二、新知传授

通过上面的活动，可以发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。因为我国古代把直角三角形较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此我国把上面的这个结论称为勾股定理。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么abc。22

勾股定理的一些变式：

2a2c2b2，b2c2a2，cab2ab．

2勾股定理的证明

勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想．

方法一：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

(这个方法叫加菲尔德证法。加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。)

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．

图（1）中，所以

．

这是加菲尔德证法变式 如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证 法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。

大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:

方法三：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．

图（2）中，所以

．

(这个方法是以前一个叫赵爽的人对这个图做出的描述，所以这个图又叫赵爽弦图，用现代的数学语言描述就是大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个三角形的面积。)

那么勾股定理到底可以用来干什么呢？

勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用．

类型

一、勾股定理的直接应用

例

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路点拨】利用勾股定理a2b2c2来求未知边长．

解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，a2b2c2，a＝5，b＝12，所以c2a2b25212225144169．所以c＝13．

（2）因为△ABC中，∠C＝90°，a2b2c2，c＝26，b＝24，所以a2c2b2262242676576100．所以a＝10．

练习1

△ABC，AC=6，BC=8,当AB=________时，∠C=90°

2.在△ABC中，A900，则下列式子中不成立的是（）A.BC2AB2AC

2B.AC2BC2-AB2 B.AB2BC2AC2

D.AB2AC2BC2

3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c3:5，b＝32，求a、c．

【答案】

解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ acb10664，∴ a＝8．（2）设a3k，c5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ abc．

222(3k)32(5k)即． 22222222解得k＝8．

∴ a3k3824，c5k5840．

类型

二、与勾股定理有关的证明

例

2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．

由图1可以得到（a+b）=4×222

2，整理，得a+2ab+b=2ab+c．

222所以a+b=c．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到

，整理，得

，所以

．

【答案与解析】

证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：41ab（b-a)2c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2

练习2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】连接AD构造直角三角形，得，选A．

类型

三、与勾股定理有关的线段长

例

3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：设AB＝x，则AF＝x，∵ △ABE折叠后的图形为△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x8x4，解得x6．

2类型

四、与勾股定理有关的面积计算

例

4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）

A．6

B．5

C．11

D．16 【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积． 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵ABCCDEACBDECACCE

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵ABBCAC ∴ABDEAC

∴b的面积为5+11=16，故选D．

练习4如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案。22222

24.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（）

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如图，由题意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故选B．

类型

五、利用勾股定理解决实际问题

例

5、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．

【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．

【答案与解析】

解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．

练习5

如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m,1m,0.8m的箱子能放进储藏室吗？

5.如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？

【答案】

解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴

ABBC222AC52122169 ．∴

AB13(m)．

∴

BC＋AB＝5＋13＝18(m)．

∴

旗杆折断前的高度为18m．