197-高中数学选修系列2 选修2-2《定积分的概念》教案

第一篇：197-高中数学选修系列2 选修2-2《定积分的概念》教案

精品教学网 www.xiexiebang.com.net 第五章 定积分的概念

教学目的与要求：

1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念 一． 定积分的定义

不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，记xixixi1,i1,2,......n,max{x1,x2,......,xn}在[xi1,xi]上任意取一点i，作和式：

1)f()x.......(iii1n如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[xi1,xi]怎样选取，只要0有f(i)xiI（I为一个确定的常数），则称极限I是i1nf(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做

baf(x)dx即I=f(x)dx其

ab

第-35 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net 中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。注

1． 定积分还可以用语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=

baf(x)dx和S=v(t)dt

T1T23有定义知道ba与函数f(x)以及区间[a,b]f(x)dx表示一个具体的书，有关，而与积分变量x无关，即

baf(x)dx=f(u)du=f(t)dt

aabb4定义中的0不能用n代替

n5如果Lim0f()x存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那iii1么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：f(x)1]中的有理点1,x为[0，在[0，1]上不可积。

1]中的无理点0，x为[0，可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

6几何意义

第-36 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net 当f(x)0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则0baf(x)dx表示曲边梯形面积的代数和。

[例1]计算1exdx

解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为xi取ixi作和式：

ni,i0,1,2,.....n，xi1/n，1/nnLim0i1111e[(e)n1]f(i)xiLimeLimeLime1100n0nni1i1en1nninin1n1n所以：10exdx=e-1 7．按照定义

5．2定积分的性质积分中值定理 有定积分的定义知，baf(x)dx是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定： 1． a=b时，2． a>b时，babf(x)dx=0 f(x)dx=-f(x)dx

baa 性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即

ba[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

aabb

性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）

第-37 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net bakf(x)dxkf(x)dx

ab性质3：无论a,b,c的位置如何，有

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb性质4：f(x)1则baf(x)dxba

性质5：若f(x)g(x)则性质6：baf(x)dxg(x)dx,ab

abbaf(x)dxf(x)dx

ab性质7：设在a,b，mfxM，则

bmbaafxdxMba

性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存 一点，使下式成立，例1．利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于x面积

例

2、（估计积分值）证明 2103 证： baf(x)dx(ba)f()

011x2dx

4之间0, x1, y0, y1x2dx2xx21 29912xxx在0,1 上最大值为，最小值为2

44222∴ 212xx231 第-38 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net ∴ 230112xx21 25．3定积分的计算方法 一．变上限积分函数的导数

设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为

xaf(x)dx由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为(x)变上限积分的函数。

xaf(t)dt（ab）称(x)是定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则(x)导，且导数为(x)证明省略

xaf(t)dt在[a,b]上可

dx(f(t)dt)f(x)dxa定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(t)dt是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

ax注意：

1定理说明了连续函数的原函数一定存在 2此定理指出了定积分与原函数的关系

二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式

定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

。(1)证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

第-39 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即

。(2)在上式中令x = a，得。又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1)。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b)– F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解。

例2 计算。

解。

第-40 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net 例3 计算。

解。

例4 计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。

解。

例5 求

解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

因此。

第-41 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net 例

6、limcosxx01tlntdtx4limcosxlncosxsinx 3x04x1sinxlncosx limcosxlimlim2x0x0x04xx

11sinx limx042xcosx85．4定积分的换元法

定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数x(t)在[.]上严格单调，且有连续导数，（3）t时，a(t)b 且()a,()b则有换元公式：

baf(x)dxf((t))(t)dt…….(1)注

1． 用换元法时，当用x(t)将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2． x(t)必须严格单调 3． 可以大于

4． 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。

例

1、02x22xx2dx02x21-(x1)2dx

法一

设 x-1sin t

第-42 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net π2π2π(1sin t)2322cos t dt20(1sint)dtπ cost2 设 法二 x2sin2t

π20原式

8 例2．设fsin4 t dt83！π3π 4！22x在,Fxx0上连续，且

x2tftdt, 证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。证：

Fxx0x2tftdttux2uftdtx0

x0x2tftdt

Fx

例3． 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)fx在[-a,a]连续，a0 x为偶数，则-axaTa当f当f(2)af(x)dx20f(x)dxaa

为奇函数，则

T-af(x)dx0

f(x)dx0f(x)dx，fx以T为周期

说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。

第-43 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net 例

4、-11x(1x2001)(ex-e-x)dx4 e原式 2011x(ex-e-x)dx

x-x

2xd(e-e)

0

2x(exex)10

例

5、4 eπcos xcos x2dxdx π222cosx2sinx1sinx2π200π 1dsin x2arctansinx21sinxπ20π 2 例

6、设f解： 设x为连续函数，且f(x)sinxπ0π0f(x)dx 求fx

则fxsinxA f(x)dxA

两边积分

 π0f(x)dx(sinxA)dx

0πAcosx0Ax0

Aππ2 1π

第-44 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net ∴ f(x)sinx2 1π5.5定积分的分部积分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则

bauvdxuv|bauvdx

ab证明：因为(uv)uvuv，则有uv(uv)uv，两边取定积分。有babuvdxuv|bauvdx也可以写成：udvuv|avdu

aaabbb例1．解：10xexdx

110010xxexdxxdexxex|10edxe(e1)1 e例2．解：sin(lnx)dx

1ee1esin(lnx)dxxsin(lnx)|xdsin(lnx)esin1xcos(lnx)dx1111xee1e=esin1cos(lnx)dxesin1xcos(lnx)|1xsin(lnx)dx

11xe=esin1ecos11esin(lnx)dx

1e1=[esin1ecos11] sin(lnx)dx12例

3、设 fx1xln tdt1tx0，1求fxf

x1x1ln tlnt解：fxfdt1xdt 11t1tx

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1lnx1 x2 1x11xxln例4． 设f(x)在[a,b]连

(a,b)可导，且f(x)0，F(x)x1f(t)dt证明在(a,b)内，有F(x)0 axa证：F(x)(xa)f(x)af(t)dt(xa)2x

(xa)f(x)(xa)f()(xa)2xaaxb

f(x)f()

f(x)0f(x)在(a,b)单调减，x

f()f(x)故 F(x)0

5．6定积分的近似计算 5．7广义积分 一 无穷限的广义积分

定义1 设函数f(x)在区间[a , +)上连续，取b>a，若极限

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +)上的广义积分，记作，即

(1)。

第-46 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net 这时也称广义积分分发散。

收敛；若上述极限不存在，称为广义积类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。

设函数f(x)在区间(- ,+)上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-, +)上的广义积分，记作收敛；否则就称广义积分，也称广义积分发散。

上述广义积分统称为无穷限的广义积分。

例1：计算广义积分0arctgxdx 1x2解：0barctgxarctgx122bdx=limdxlim[arctgx]|0

b01x2b21x28例2．计算广义积分sinxdx以及0sinxdx

解： 0sinxdxcosx|0(1limcosa)显然发散

a同理sinxdxsinxdxsinxdx也发散

00例3： 证明广义积分证 当p = 1时，(a>0)当p>1时收敛，当p 1时发散。

第-47 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net , 当p1时，因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为广义积分发散。

二．无界函数的广义积分

；当p1时，这现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限(a,b]上的广义积分，仍然记作收敛。

类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a

与

都收敛，则定义

存在，则称此极限为函数f(x)在，这时也称广义积分；

(2)否则，就称广义积分发散。

第-48 –页 精品教学网 www.xiexiebang.com.net 例1 证明广义积分证 当q = 1时，当q < 1时收敛，当q  1时发散。，当q 1时，因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为这广义积分发散。

；当q 1时，例2．计算广义积分4dx4x0

解：4dx4x0lim4dx4x004lim(24x)|0lim[224]400例3：广义积分可以相互转化

sin1x201xdx1sintdt

第-49 –页

第二篇：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)1

1.5.3 定积分的概念

教学目标：

1.了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2.理解定积分及几何意义.3.掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点：

1.定积分的概念及几何意义 2.定积分的基本性质及运算

教学过程：

1.定积分的定义： 2.怎样用定积分表示：

x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？ t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？

S1f(x)dx01101115xdx S2v(t)dt(t22)dt

003323.你能说说定积分的几何意义吗？例如f(x)dx的几何意义是什么?

ab定积分af(x)dx是直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边4.4.梯形的面积b根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？

y

Ayf1(x)B

Dyf(x)C 2 abxO

思考：试用定积分的几何意义说明 1.204x2dx的大小

由直线x=0，x=2，y=0及y4x2所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的21面积的，4x2dx.042.x3dx0

115.例：利用定积分的定义，计算x3dx0的值.016.由定积分的定义可得到哪些性质？

第三篇：选修2教案

第3课 法国资产阶级共和制度的最终确教案 2012．4

一、教学目标：

1、理解法国共个制的最终确立是一个曲折复杂的过程

2、通过学习法国大革命额内容掌握法国作为一个工业发达的国家，在两次工业革命期间，也是以牺牲环境为代价，对学生进行环保教育

3、对1875年宪法进行深刻的评价

二、重点难点 重点：1875年宪法

难点：对共和制最终确立的评价。

三、教材分析

本节课主要讲述的是法国资产阶级共和制的最终确立。教师要引导学生梳理法国资产阶级共和制最终确立的过程，提炼过程的特点，形成自己的认识。需要让学生掌握的主要概念有法兰西第二帝国、1875年宪法。

本节内容历史名词较多，而且容易混淆。建议教师在教学过程中，对这些名词进行专门讲解。

四、教学方法

自主探究 合作学习

五、教学用具

多媒体课件

六、课时安排：1课时

七、教学过程： 导入新课

从1789年法国大革命开始到1848年，法国围绕共和制与君主制，政权发生了哪些变化？

学生回顾思考回答：

法兰西第一共和国（1792年9月至1804年）法兰西第一帝国（1804年至1814年）波旁王朝复辟（1815年至1830年）七月王朝（1830年至1848年）

法兰西第二共和国（1848年至1852年）

教师指出：虽然历经磨难，在1848年法国再次成立了共和国，但是这样的磨难并没有结束，路易·波拿巴继承了拿破仑的衣钵，使这样的历史继续着。今天我们来了解这一段历史。【讲授新课】

一、法兰西第二帝国的建立

思考：路易∙波拿巴为什么能够成为总统并最终成为皇帝？法兰西第二帝国是怎样建立？

学生阅读教材，归纳总结回答。教师指出：

1、原因：

1）.人们怀念拿破仑，波拿巴利用了其伯父的威望,得到广大农民的支持； 2）.社会动荡不安,人们渴望秩序恢复;3）.新成立的共和国不得人心;4）.波拿巴通过种种手段打击政敌:利用政党,发动政变,把民主作为工具等；

2、法兰西第二帝国建立的过程

(1)第一步：路易.波拿巴当选为总统。（标志资产阶级保守派取代共和派执政）(2)第二步：利用秩序党排挤共和派。（标志着保守派组阁控制议会）(3)第三步：发动政变，打击秩序党。（标志着开始个人军事独裁）

他上台后，组织了“秩序党”内阁，并解散了共和派的制宪议会。1849年，秩序党在立法议会选举中大获全胜，资产阶级保守派主宰了议会。但保守派内部斗争异常激烈，路易·波拿巴一心想恢复帝制，自己当皇帝。他首先支持秩序党排挤小资产阶级民主共和派；接着在1851年底发动政变，解散立法议会，逮捕秩序党和共和派的领袖人物并镇压共和派的反抗。波拿巴由此开始了个人独裁统治。

(4)第四步：颁布新宪法，总统独揽大权。（标志着总统独揽一切大权）1852年初，路·波拿巴颁布了一部新宪法。根据新宪法，总统作为国家元首任期十年，独揽一切权力，普选产生的议会只是个装饰品。

(5)第五步：1852年强迫人民投票恢复帝制。（标志着拿破仑第二帝国的建立）1852年11月，波拿巴强迫人民投票赞成恢复帝制的决议。不久，他登基称帝，号称拿破仑三世。法兰西第二帝国的统治正式建立，昙花一现的第二共和国寿终正寝。【探究延伸】拿破仑及其侄子波拿巴都做了皇帝。这是历史的倒退吗？请谈谈你的认识。

从历史的演变来看，两者恢复帝制都是历史的倒退。但历史是否倒退还要看它实行统治的结果和作用。两位皇帝都适应了资产阶级和广大群众的需要，实现了政局稳定；同时颁布了一系列有利于资本主义发展的法律与措施，如《拿破仑法典》，从这一点看他们是顺应历史潮流的。从作用上看，两者都不同程度地推动了资本主义的发展，就在法兰西第二帝国时代，法国完成了工业革命。从作用看两者也是进步的。

总而言之．政体上的倒退是明显的，但对社会进步的推动作用更为巨大。我们应该全面评价拿破仑与波拿巴的统治。

二、法兰西第三共和国的建立

【问题探究】法兰西第三共和国是在怎样的背景下如何建立起来的？ 1.背景：法兰西第二帝国的灭亡

灭亡原因：

①拿破仑三世的独裁统治和战争政策，激化阶级矛盾。②普法战争失败，人民发动起义。2.建立

1870年9月．资产阶级宣布废除帝制，恢复共和国，史称法兰西第三共和国。

三、法国共和制的最终确立 法国共和制度是如何确立的？ 1.背景

第二帝国覆灭后，在法国到底实行君主制还是共和制的问题上，在新选出的国民议会内展开了激烈斗争。无产阶级的巴黎公社被镇压后，保卫共和制的力量遭到削弱。君主派乘机把复辟活动推向高潮。但是，在共和派的努力下，法国政局很快发生不利于君主派的变化，共和派力量不断加强，君主派因内江力量削弱。2.过程

(1）1875年初，国民议会通过宪法修正案，确认实行共和制。

(2)1875年通过的宪法修正案和后来通过的一系列法律合称1875年宪法，又称第三共和国宪法。

(3)1879年初，共和派赢得法国总统选举。

3.意义

共和制度的确立，标志着法国人民反封建斗争任务的完成，为法国资本主义的发展创造了有利条件。

【问题探究】1875年宪法的内容和意义是什么？

宪法规定法国为议会制共和国；议会实行两院制，下议院由公民直接选举产生，上议院实行间接选举；总统由两院联席会议共同选出，拥有统率军队、任命文武官员、宣布特赦等大权；内阁对议会负责，内阁总理由总统任命在议会两院获得多数支持的政党领袖担任，由总理组织内阁。

这部宪法虽然是共和派与君主派妥协的产物，但它毕竟为共和国的存在提供了法律依据，限制了此后君主派的复辟活动。

4、法国帝制与共和制斗争的实质

帝制与共和制的斗争反映了传统力量与民主力量的斗争，但不能认为是封建力量与资本主义力量的斗争。无论是共和制还是帝制都是代表资产阶级利益的，其斗争也是资产阶级内部就何种政体的斗争。【探究延伸阅读下列材料：

直到1877年，君主派依然不甘心，对共和派进行反扑，共和派遭到重大打击。君主派的一家报纸得意地叫嚣：“我们要把共和国和共和派搞成连狗都不吃的烂泥桨。”

请回答：材料反映了什么问题？结果如何？

答：材料直接体现了帝制与共和制斗争的激烈，共和制的确立经历了艰难的历程。结果经过坚持不懈的斗争，共和制得以巩固。【课堂小结】法国共和政体是怎样确立的？ 帝制与共和制历经反复斗争，最终共和制确立： 1791年建立君主立宪政体，1792年建立法兰西第一共和国。1804年拿破仑建立法兰西第一帝国。1848年二月革命建立法兰西第二共和国。1852年波拿巴建立法兰西第二帝国。1870年成立法兰西第三共和国。

1875年颁布法兰西第三共和国宪法，共和制由此确立。

八、教学反思：本课的教学主要难点在于理清思绪，因此在教学备课中应该更加的细致，通过对法国大革命帝制与共和制的反复较量过程，理解一种新的制度代替旧的制度是一个曲折反复的过程。

第四篇：高中数学定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用教案新课标人教A版选修2

一、例题

例1计算下列定积分

1．例2．计算由两条抛物线yx和yx所围成的图形的面积.例

3、求

二、练习： 1.4.计算由曲线yx6x和yx所围成的图形的面积

3250(2x4)dx 2.211dx；

3.x31(2x1)dx。2x22212(e)dxxx204x2dx

94x(1x)dx

2.e1(x12)dx

3.x212(ex)dxx 三．课后练习：

1.计算下列定积分的值。

（1）1(4xx)dx

2（3）0(xsinx)dx 32

（2）1(x1)dx

252cos2xdx

（4）

2 已知自由落体运动的速率vgt，则落体运动从t0到tt0所走的路程为（）

222gt0gt0gt02gt0

A.3B.C.D.6

3ycosx,x[0,]2与坐标所围成的面积（）3.曲线

5A.4

B.2

C.2

D.3 1xx(ee)dx（）04.211ee e

B.2e

C.e

D.A.325.求曲线yxx2x与x轴所围成的图形的面积。e

6.设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2。（1）求yf(x)的表达式；

（2）求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；

（3）若直线xt（0t1把yf(x)）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值。

1． 解：1.50(2x4)dx945

2112，所以dxlnx|1ln2ln1ln2。

1xx33311113.因为(x2)'2x,()'2，所以(2x2)dx2xdx2dx

111xxxx131223。x2|1|1(91)(1)x332.因为(lnx)'2．【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

yxx0及x1，所以两曲线的交点为解：2yx（0，0）、（1，1），面积S=1210xdxx2dx，所以

011yx23x312S=(x-x)dxx=3

0303【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

C yxO D A

2B

第五篇：定积分概念教案(修改)

四川工商学院

授 课 计 划（教 案）

课程名称：高等数学

章节名称：第六章 第一节 定积分的概念 使用教材：赵树媛主编，《微积分》（第四版），北京：中国人民大学出版社，2016.8 教学目的：掌握定积分的概念，培养学生建立数学模型、从具体到一般的抽象思维方式；从已知到未知的研究问题的方法，提高学生的应用能力和创新思维。

教学重点：定积分的概念

教学难点：定积分概念建立、分割的思想方法及应用

教学方法：教学采用启发式、数形结合，用多媒体辅助教学。适用层次：应用型本科。教学时间：45分钟。

教学内容与教学设计

引言

介绍牛顿和莱布尼兹两位数学家和物理学家以及在微积分方面的研究成果，重点展示在积分方面的成果。（简单提及积分产生背景）

（PPT展示肖像，简历和成就。2分钟）

一、引例

已经会用公式求长方形、梯形、三角形面积。但对一些不规则平面图形的面积计算，需要寻求其他方法计算。

（PPT展示封闭的图形及分块，特别强调曲边梯形。2分钟）

（一）求曲边梯形的面积（板书）

由xa,xb,y0与yfx0围成平面图形，求面积A=?（如图）（PPT展示）

1.分析问题

（1）用小曲边梯形的面积相加就是A；（PPT展示）

（2）用小矩形代替小曲边梯形有误差，但有计算表达式（PPT放大图形）

（3）分的越细，其和精度越高（PPT）（4）最好是都很细，或最大的都很小（PPT）

（PPT展示，4分钟）

2.分割

（1）在a,b内任意插入n1个分点：

ax0x1x2xi1xixnb

这样，把a,b分成了n个小区间x0,x1,,xi1,xi,,xn1,xn，并记小区间的长度为xixixi1,i1,2,n（PPT演示，重点说明其目的是准备用小矩形代替小曲边梯形，以便提高精度。2分钟）

（2）过每一个分点作平行于y轴的直线，这样一来，大的曲边梯形被分成n个小曲边梯形Ai（小范围）。

3.近似代替

f(在第i 个小曲边梯形上任取i[xi-1,xi]，作以 [ x i, x

为底， i)为高的小矩形, 1i]并用此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积 

A i , 得

Aif(i)xixixixi1，i1,2,....,n

（PPT演示，重点说明乘积的量表示什么。2分钟）

（1）求和

把n个小曲边梯形相加，就得到大曲边梯形面积的近似值

AAifixi（板书）

i1i1nn（PPT演示，重点说明，两个量的区别，让学生记住后一个表达式，这是将来应用的核心部

分。3分钟）

（2）取极限

当分点的个数无限增加，且小区间长度的最大值，即趋近于零时，上述和式极限就是梯形面积的精确值。

nn

AlimAi=limfixi即 max{xi},（板书）001ini1i1

（PPT演示，重点说明三个符号构成一个新的记号，重点。3分钟）

（二）变速直线运动的路程（板书）

求物体在这段时间内所经过的路程s。

n设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔T1，T2上t的连续函数，且 v(t)0,S=limviti（板书）

0i1（PPT展示上述结论，与

（一）对比，只是将符号变更，另一方面乘积的量发生了变化。

3分钟）

二、定积分的定义

定义：设函数fx在a,b上有定义，任意取分点

ax0x1x2xi1xixnb

把a,b分成n个小区间，xi-1，xi称为子区间，其长度记为xixixi1,i1,2,n。在每个子区间xi-1，xi上，任取一点ixi-1，xi，得函数值fnf()x。i，作乘积

ii

f(i)xi。把所有的乘积加起来，得和式 i1当n无限增大，且子区间长度的最大长度趋近于零时，如果上述和式的极限存在，则称fx在子区间a,b上可积，并将此极限值称为函数fx在a,b上的定积分。记作：

fxdx

ab即

fx

（板书）fxdxlima0iii1bn

（PPT展示定义，重点说明：记号和等号，左边是新的符号，右边是其表达式，即如果可以建立右边表达式，就立即将其用左边符号表示，换言之，看见左边符号，立即联想到右边的表达式。4分钟）

（板书）fxdx，变速直线运动的路程可以表示为：S=vtdt（板书）曲边梯形的面积可以表示为：AabT2T1定理

1设fx在a,b上连续，则fx在a,b上可积。

定理2 设fx在a,b上有界，且只有有限个间断点，则fx在a,b上可积。

（PPT展示定理。解释：只要满足条件，lim0fx 就可以与定积分符号划等号。

iii1n2分钟）

三、例题

利用定义计算定积分

10x2dx

（PPT展示全部计算过程及答案，说明几何意义。特别强调，以后用牛-莱公式计算，即简单又快捷，但要用到不定积分的知识，提醒学生复习已学过的相关知识。下次课介绍牛-莱公式。2分钟）

四、总结（板书）

（PPT展示定义-符号、定理，提示复习不定积分，核心表达式板书。1分钟）

五、作业（板书）

板书设计框架

第五章 第一节 定积分的概念

一、引例

（一）求曲边梯形的面积

（二）变速直线运动的路程

二、定积分定义

fx fxdxlima0iii1bn

三、例题

10x2dx=

四、总结

五、习题与提示