数学高考复习名师精品教案：第67课时：第八章 圆锥曲线方程-轨迹问题

第一篇：数学高考复习名师精品教案：第67课时：第八章 圆锥曲线方程-轨迹问题

数学高考复习名师精品教案

第67课时：第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题（2）

课题：轨迹问题（2）一．复习目标：

1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）； 2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法． 二．知识要点：

1．相关点法（代入法）：对于两个动点P(x0,y0),Q(x,y)，点P在已知曲线上运动导致点Q运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关x0f(x,y)系并化为然后将其代入已知曲线的方程即得到点Qyg(x,y)0的轨迹方程．

2．参数法（交规法）：当动点P的坐标x,y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点P的坐标x,y，从而动点轨迹的参数方程xf(t)消去参数t，便可得到动点Pyg(t)的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t的范围确定出x,y的范围． 三．课前预习： 1．已知椭圆Q分FP x225y2161的右焦点为F，Q、P分别为椭圆上和椭圆外一点，且点的比为1:2，则点P的轨迹方程为（C）

(A)(x6)752y2481(B)(x6)752y2481(C)(x6)2252y21441(D)(2x3)22524y21441

2．设动点P在直线x10上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是（B）

(A)(B)两条平行直线(C)抛物线(D)双曲线

3．已知点P(x,y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(xy,xy)的轨迹是（B）

(B)

抛物线

(C)椭圆

(D)双曲线(A)圆

4．双曲线x24y231关于直线xy20对称的曲线方程是

(y2)42(x2)321

5．倾斜角为的直线交椭圆4x24y21于A,B两点，则线段AB中点的轨迹方程是x4y0(|x|455)

四．例题分析： 例1．动圆C:(x1)2y21，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．

解：

（一）直接法：设OQ为过O的任一条弦P(x,y)是其中点，则CPOQ，则1212CPOQ0 ∴(x1,y)(x,y)0，即(x)y(0x1)

4（二）定义法：∵OPC90120，动点P在以M(2212,0)为圆心，OC为直径的圆上，∴所求点的轨迹方程为(x)y14(0x1)

ykx

（三）参数法：设动弦PQ的方程为ykx，由 得： 22(x1)y1(1k)x2x0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)22，PQ的中点为(x,y)，则：

12)y22xx1x2211k2，ykxk1k2 消去k得(x114(0x1)

例2．求过点A(1,2)，离心率为，且以x轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．

2解：设椭圆下方的焦点F(x0,y0)，椭圆的下方的顶点为

由定义又x0|AF|23212y，∴|AF|1，即点F的轨迹方程是(x，∴点的P轨迹方程为(x1)2201)(y02)1，22x,y0(32y2)1.2例3．设椭圆方程为x坐标原点，点求： y241，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是

N的坐标为(11,)221P满足OP(OAOB)，点

2，当l绕点M旋转时，（1）动点P的轨迹方程；

（2）|NP|的最小值与最大值.（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为ykx1.记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组

① ykx12 的解.2y1② x4将①代入②并化简得，(4k2)x22kxx,1224k于是 8yy.1224k2kx30，所以

OP12(OAOB)(x1x22,y1y22)(k4k2,44k2).设点P的坐标为(x,y),则

kx,24k消去参数4y.24kk得4x2yy0 ③

2当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2yy0.2解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上，所以

21xy1421, ④ x22212y2421.⑤

④—⑤得xx21414(y1y2)0，所以 22(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.当x1x2时，有x1x214(y1y2)y1y2x1x20.⑥

x1x2x,2y1y2并且 ⑦ y,2y1y2y1.x1x2x将⑦代入⑥并整理得 4x2当x10）x2时，点

yy0.⑧

2A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

x2(y1412)21161.五．课后作业： 1．抛物线y2(A)y24x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）

2x1(B)y2(x1)(C)y2x12(D)y22x1

2．已知椭圆x29y241的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（）

(A)x29y241(B)y29x241(C)x29y241(D)y29x241

3．已知抛物线yx2mx1(mR)的顶点为A，那么当m变化时，此抛物线焦点F的轨迹方程是___________________________． 4．自椭圆Mx220y241上的任意一点P向x轴引垂线，垂足为Q，则线段PQ的中点的轨迹方程为

x25．已知椭圆9y251的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点M的轨迹方程为 ．

6．如图，7．设x,yRi,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向的轨迹C的方程． 量a(x5)iyj b(x5)iyj，|a||b|8，求点M(x,y)7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s；相关各点均在同一平面上）8．设双曲线C:xa22yb22右准线l1(a0,b0)的离心率为e，与两条渐近线交于P,Q两点，右焦点为F，且PQF为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线yaxb截得的弦长为bea22，求双曲线C的方程；（3）设双曲线C经过点(1,0)，以F为左焦点，l为左准线的椭圆，其短轴的端点为B，求BF中点的轨迹方程．

第二篇：求轨迹方程教案

求轨迹的方程

娄底一中 刘瑞华

教学目标：

1、掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法.2、培养思维的灵活性和严密性.3、进一步渗透“数形结合”的思想 教学重点和难点：

重点：落实轨迹方程的几种常规求法。

难点：教会学生如何审题，选用适当的方法求轨迹的方程。教学方法：

讨论法、类比法． 教具准备： 多媒体投影． 教学设计：

求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因而也是历届高考考查的重要内容之一。

一、知识回顾

求曲线轨迹方程的基本步骤

在求曲线的轨迹方程时，要经历审题、寻找和确定求解途径、分清解答步骤、逐步推演、综合陈述、完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节，其基本步骤是：

（1）建系设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标M(x,y)；

（2）列式：写出适合条件的点的集合PMP(M)，关键是根据条件列出适合条件的等式；

（3）代换：用坐标代换几何等式，列出方程f(x,y)0；（4）化简：把方程f(x,y)0化成最简形式；

（5）证明：以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

二、基础训练



1、已知向量OP与OQ是关于y轴对称，且2OPOQ1则点Px,y的轨迹方程是____________

2.△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－则动点A的轨迹方程为_________.aa1,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,222x2y21上的动点，则F1F2P重心的轨迹方程为

3、点P是以F1,F2为焦点的椭圆

259___________________.4、已知点Px,y满足xy4，则点Qx,yx22的y轨迹方程为_____________________ 解答与分析：

1、yx221 方法为：直译法即是如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量2关系,则只需直接把这些关系“翻译”成x，y的等式，由此得到曲线的方程．

x2y21 方法为：定义法就是若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹（如：圆，椭2、43圆，双曲线，抛物线）的定义，则可以根据定义直接写出动点的轨迹方程．

9x2y21y0方法为：代入法就是若动点P(x,y)依赖于已知方程的曲线上另一个动3、25点C（x0，y0）运动时，找出点P与点C之间的坐标关系式，用（x，y）表示（x0，y0）再将x0，y0代入已知曲线方程，即可得到点P的轨迹方程。

4、y22x42x2方法为：所谓参数法就是在求曲线方程时，如果动点坐标x，y关系不易表达，可根据具体题设条件引进一个（或多个）中间变量来分别表示动点坐标x，y，间接地把x，y的关系找出来，然后消去参数即可得到动点的轨迹方程．

小结：

一、由以上几个题目可以看出求动点的轨迹方程常用的方法有： 1.直译法;2.定义法

3.相关点法（代入法）;4.参数法

二、求动点的轨迹方程中的注意点：

1.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。2.注意平面几何知识的运用。3.注意要求是求轨迹方程还是轨迹

三、例题讲解

22例1.已知定点A（2，0），点Q是圆x＋y＝1的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程。的性质，知 分析1：由三角形的内角平分线|AM|2，|MQ||AM||OA|

|MQ||OQ| 而|OA|2，|OQ|1，故 即点M分AQ成比为2，若设出M（x，y），则由分点坐标公式，可表示出点Q的坐标，因Q、M为相关点，（Q点运动导致点M运动），可采用相关点法求点M的轨迹方程。

解法1：设M（x，y），由三角形内角平分线性质定理，得 ∵M在AQ上，∴点M分AQ成比为2，|AM||AO|2，|MQ||OQ|22·x0x120)若设点Q的坐标为(x0，y0)，则 又A(2，02·y0y123x2x02 y3y0222而点Q(x0，y0)在圆x2y21上

3x223y24)()21，化简，得(x)2y2 22392242 点M的轨迹方程为(x)y。

x0y01，即(性质，知 分析2：由三角形的内角平分线|AM||AO|2，|QM||QO| 若过M作MN∥OQ交OA于N，则|AN||AM|2，|ON||QM|0)，而 从而N(，|MN| 23|MN||AM|2，|OQ|1，|OQ||AQ|3222|OQ|为定值，可见动点M到定点N的距离为定值。3332 因此M的轨迹是以N为圆心，半径为的圆，32242 其方程为(x)y，39 而当∠AOQ＝180°时，其角分线为y轴，它与AQ交点为原点O，显然，该点也满足上述轨迹方程。

注：此种解法为定义法。例

2、设过点A1,0的直线与抛物线x24y交于不同的两点P,Q，求线段PQ中点M的轨迹方程。

解：法一：设Mx,y,Px1,y1,Qx2,y2，又由已知可设直线PQ的方程y为：ykx1，则由

ykx1消去x24yy得： x24kx4k0

x1x24k,x1x24k

x222y1x2x1x22x1x21y2444k22k

xx1x22k2消去k得：y1x2x

yy1y2222k22k又直线PQ与抛物线有两个交点

16k216k0即k1或k0

x2或x0点M的轨迹方程为：y12x2x,x2或x0

法二：设Mx,y,Px1,y1,Qx2,y2，由P,Q在抛物线上得

x214y1两式相减得：x2x221x24y1y2 24y2变形得x1x1y224yxx4kPQ

122x4kyPQ又kPQx1，消去k12PQ得y2xx。又由y12x2x得其交点坐标为0,0,2,1 x24yQPoAx因为中点必须在抛物线内，由图可知x2或x0

点M的轨迹方程为：y

四、小结

略。

五、作业

12xx,x2或x0 

21、过抛物线x24y的焦点的弦PQ的中点的轨迹方程？

2、过点A1,0的直线与圆xy221交于不同的两点P,Q则PQ的中点的轨迹方程？ 4

第三篇：高考数学难点归纳22 轨迹方程的求法教案

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难点22 轨迹方程的求法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场

(★★★★)已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究

［例1］如图所示，已知P(4，0)是圆x+y=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=(x4)2y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x+y－4x－10=0,得

(x42)(22

2x42,y1y02, 22y2)42x42－10=0 整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系.解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有

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2y14px12y4px22y1y21 xx21yyy121xx1x2yyyy112xx1x1x2① ② ③ ④ ⑤

①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)若x1≠x2,则有2y1y2x1x2

22

4py1y2

⑥

①³②,得y1²y2=16px1x2

③代入上式有y1y2=－16p2

⑥代入④，得4py1y24py1y2

⑦ ⑧

xy

⑥代入⑤，得yy1xx1yy1xy12

4p所以4py1y24p(yy1)4pxy12

即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2

⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b

由OM⊥AB，得k=－

xy

由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0 所以x1x2=bk22,消x,得ky2－4py+4pb=0

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http://www.xiexiebang.com 所以y1y2=4pkk4pbk，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2

22所以=－bk,b=－4kp

xy2故y=kx+b=k(x－4p),用k=－

2代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x+y－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5 ∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

16(x2514)22y32=1

①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x－12)2+43y2=1

②

3912912,),Q(,)，∴r=14141414267由①、②可解得P((914)(21214)237

故所求圆柱的直径为●锦囊妙计

cm.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法

直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法

若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法

根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法

若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.京翰教育http://www.xiexiebang.com/

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http://www.xiexiebang.com 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A.圆

C.双曲线的一支

x2B.椭圆 D.抛物线

9y

2.(★★★★)设A1、A2是椭圆

4=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（）A.C.xx292yy2421 1

B.D.yy292xx2421 1

949

4二、填空题

3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－－sinB=12a2,0),C（a2,0)，且满足条件sinCsinA,则动点A的轨迹方程为_________.4.(★★★★)高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题

5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线

xa22yb22=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线

xm22yn22=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；

(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.京翰教育http://www.xiexiebang.com/

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http://www.xiexiebang.com 8.(★★★★★)已知椭圆

xa22yb22=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.参考答案

难点磁场

解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0).设M(x,y）是轨迹上任意一点.则由题设，得|MA||MB|=λ,坐标代入，得

(xa)y(xa)y2222=λ,化简得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x+y+22

22a(1)122x+a2=0.点M的轨迹是以

(－a(1)12，0）为圆心，2a|1|2为半径的圆.歼灭难点训练

一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A 2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴

yy0xx0yy0xx0yx3yx3

∵A2、P2、P共线，∴



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22解得x0=,y0x93yx,代入得x09y041,即x29y241

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=

12sinA,得c－b=

a212a，2∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为

16xa216y3a221(xa4).答案：16xa2216y3a221(xa4)

4.解析：设P(x,y），依题意有4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0

5(x5)y223(x5)y22,化简得P点轨迹方程为

三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为x281y272=1(y≠0)6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).x由条件xx0x(x0a)ax0a22 得xay0yy01yax0ayy01而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b(－x)－a(222xay22)2=a2b2

化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0), 则A1P的方程为：y=

y1x1my1x1m22(xm)

①

A2Q的方程为：y=－(xm)

②

①³②得：y=－

2y12x1m(xm)

③

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http://www.xiexiebang.com 又因点P在双曲线上，故

x1m22y1n221,即y12nm22(x1m).22代入③并整理得xm22yn22=1.此即为M的轨迹方程.(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±mn,0)，准线方程为x=±

m22m22n2,离心率e=mnm22；

22(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±mn),准线方程为y=±

22n2,离心率

nme=nmn22.8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.x1cx02又

yy102得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x+y=a(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=

122

|OA|²|OB|²sinAOB=

12a22sinAOB

当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为|2ak|1k2a.2此时弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，|OC||OA||2ak|2cos4522,k33.a1k

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第四篇：546教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程

教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程

冰儿

求曲线的轨迹方程时，要仔细审题，寻找和确定求解途径，分清解题步骤，逐步推演，综合陈述完整作答，但求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是代数方法研究几何问题的基础，也是高考的一个热点问题。这类问题题把基础知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。有关弦中点问题，主要有以下三种类型：过定点的弦中点轨迹；平行弦的中点轨迹；过定点且被定点平分的弦。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法等，现具体介绍以上几种弦中点轨迹方程的求法。

一、求圆锥曲线过定点的动弦的轨迹方程。其求法：

（1）用直线的点斜式，当斜率存在时，设它的方程为y=k(x-x0)+y0代入F(x,y)=0中。由韦达定理得x1+x2=f(k)。设中点M(x,y)，则xyy01f(k),将k代入上式得G(x,y)=0。2xx0当P在圆锥曲线外部时，再由直线与圆锥曲线相交的条件△>0。求中点M的坐标x,y的取值范围。最后检验斜率不存在时x=x0与圆锥曲线的弦AB中点M的坐标是否满足G(x,y)=0(2)代点相减法也称“点差法”；

x2y21的左焦点作弦。求弦中点的轨迹方程。例1，过椭圆54精析：由已知能得到什么，与弦中点的轨迹方程如何转化，画出草图进行分析，寻求解答。

方法一：巧解：设过左焦点F（-1，0）的弦与椭圆相交于A、B两点。设A（x1,y1），B（x2,y2）,xyxy弦中点为M（x,y）,则111 ① 221 ②

54542222由①-②整理得 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0 又因为x1+x2=2x.y1+y2=2y 所以 8x(x1-x2)+10(y1-y2)=0 当x1≠x2时 kABy1y28x4x ③

x1x210y5y由题意知 kABy1y2y ④ x1x2x11由③、④整理得 4(x)25y21

2当x1=x2时M(-1,0)满足上式。

方法二：椭圆的左焦点为F（-1，0），设焦点弦所在的直线方程为

y=k(x+1)代入椭圆方程并整理得(45k2)x210k2x5k2200 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),则 x1x210k 245k

所以 xx1x25k4x2 将代入y=k(x+1)得； k25(1x)45k24y2k2(x1)2x(x1)

5当k不存在时，弦中点为（-1，0）满足上述方程

1即 4(x)25y21为所求的轨迹方程

2二、求圆锥曲线中斜率为定值的平行弦中点的轨迹方程；

①利用直线的斜截式方程：设平行弦所在的方程为y=kx+m(m为参数)代入F(x,y)=0中。

f(k,m)利用韦达定理得x1+x2=f(k,m)，设中点M(x,y),则x,y =kx+m,从中消去M，可得G

2（x,y）=0,再由直线与圆锥曲线相交的条件△>0.得M的坐标x，y的取值范围。

②代点相减法；

例

2、求y22px(p0)的斜率为k的平行弦中点M的轨迹方程。

解：设平行弦所在的直线方程为y=kx+m（m为参数）代入y22px，整理得 k2x22(kmp)xm20 当2(kmp)4k2m20 ① 2 即2km

设两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)，弦中点M(x,y)

xx2kmpppx12yx则 消去m，得 又由①式及x的代数式得 2k2k2kykxm故动点的轨迹方程为ypp(x2)k2k方法二：设动弦与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，弦中点M(x,y)

2则 y122px1 ① y22px2 ②

由①－②，整理得 y1y2p

x1x2yp 22k又点M(x,y)在抛物线内部，所以y22px 即x所以所求轨迹方程为ypp(x2)k2k注意：在使用代点相减法时，应该注意中点在圆锥曲线内部的条件，否则会增解。

三、长为定值的圆锥曲线动弦中点的轨迹方程

求长为定值的弦中点的轨迹方程的方法为：设中点坐标M(x0,y0),弦与圆锥曲线的两个交点为A（x1,y1）,B(x2,y2)，利用代点相减法用x0,y0表示kAB。写出直线AB的点斜式方程，代入圆锥曲线方程，用弦长公式求解。

例

3、定长为2l(l1)的线段AB。其两端点在抛物线x2y上移动。求线段中点M的轨2迹方程。

解：设中点M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则

2y2 ② x12y1 ① x2由①－②得 y1-y2=(x1+x2)(x1-x2)由题意得x1≠x2。∴y1y22x0

x1x22∴直线AB的方程为y-y0=2x0(x-x0)代入yx2得 ；x22x0x2x0y00

由弦长公式及韦达定理得 AB1k2x1x2 x1+x2=2x0 x1x2=2x02-y0

2(x1x2)24x1x2 又∵∣AB∣=2l ∴2l14x02即(y0x0)2(14x0)l2

∴AB中点的轨迹方程为(yx2)(14x2)l2

四、变式训练: x2y21，求满足条件的轨迹方程；

1、已知2（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（2）过点A（2，1）的直线与椭圆相交，求直线l被截得弦的中点轨迹方程；

11（3）求过点p(,)且被P平分的弦所在直线方程；

22x2y21 整理得：9x2+8bx+2b2-2=0 解：（1）设斜率为2的直线方程为y=2x+b代入2设平行弦的端点坐标为(x1,y1)，（x2,y2）,则

△ =b2-4ac=(8b)2-4×9(2b2-2)＞0 得-3＜b＜3 则 x1x2xx28b94444b ∴bx,(b)x19439329 yy1y244b(x1x2)b ∴x4y0,(x)

3329（2）设l与椭圆的焦点为（x1,y1）(x2,y2),弦中点为（x,y）

2x12x222y11 ① y21 ② 则 22由①-②整理得（x1+x2）(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③ 又∵ x1x22x,y1y22y

∴x2yy1y20 ④

x1x2y1y2y1 ⑤ x1x2x2由题意知

y10 即x22y22x2y0 x2(3)由（2）得 x1+x2=1 y1+y2=1 代入①得 代入④整理得x2y y1y21

x1x22故所求的直线方程为2x+4y-3=0 通过以上几例要注意一些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，同时注明x,y的取值范围。若轨迹有不同情况，应分类讨论,以保证它的完整性。

第五篇：圆锥曲线教案 对称问题教案

圆锥曲线教案 对称问题教案

教学目标

1．引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法． 2．通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

3．通过对称问题的探讨，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的思想来处理问题．

教学重点与难点

两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点．把数学问题转化为对称问题，即用对称观点解决实际问题是难点．

教学过程

师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质．今天这节课继续讨论有关对称的问题．大家想一想：点P(x，y)、P′(x′，y′)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？

师：P(x，y)，P′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？ 生：P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′． 师：若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？ 生：x=x′且y=-y′．

师：若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？ 生：y=y′且x=-x′．

师：若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？ 生：y=x′且x=y′．

生：它们关于直线y=x对称．

师：若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？ 生：P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧． 师：还有补充吗？

生：PP′的连线一定与直线Ax+By+C=0垂直．

师：P与P′在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？ 生：还需要保证P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等． 师：P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？

生：就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0．

师：下面谁来总结一下，两点P(x，y)、P′(x′，y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？

生：应满足两个条件． 生：方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P(x，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′(x′，y′)的坐标．

师：今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题．

例1 已知直线l1和l关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

2(选题目的：熟悉对称直线方程)师：哪位同学有思路请谈谈．

生：先求出已知两直线的交点，设l2的斜率为k，由两条直线的夹角公式可求出k，再用点斜式求得l2的方程．

(让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正．)

由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0． 师：还有别的解法吗？

生：在直线l1上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出l的直线方程。(让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正．)解 由方程组：

师：还有别的解法吗？

生：在l2上任取一点P(x，y)，则P点关于2x-2y+1=0对称的点P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程组，解出x′，y′，代入l1问题就解决了．

师：请你到黑板上把解题过程写出来． 解 设P(x，y)为l上的任意一点，2则P点关于直线2x-2y+1=0对称，点P′(x′，y′)在l1上(如图2-75)，

又因为P′(x′，y′)在直线l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0．

即l2的方程为：4x-6y+3=0．

师：很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法．那么，如果把l1改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？

引申：已知：曲线C：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程．(选题目的：进一步熟悉对称曲线方程的一般方法．)师：例1中的几种解法还都适用吗？ 生：

(让学生把他的解法写出来．)解 设P0(x0，y0)是曲线C：y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为P′(x1，y1)，因此，连结P0(x0，y0)和P′(x1，y1)两点的直线方程为y-y0=-(x-x0)．

师：还有不同的方法吗？

生：用两点关于直线对称的方法也能解决． 师：把你的解法写在黑板上．

生：解：设M(x，y)为所求的曲线上任一点，M0(x0，y0)是M关于直线x-y-2=0对称的点，所以M0定在曲线C：y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 师：大家再看一个例子．

点出发射到x轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．(如图2-77)

师：解这题的关键是什么？ 生：关键是找到x轴的交点． 师：有办法找到交点吗？ 生：没人回答．

师：交点不好找，那么我们先假设M就是交点，利用交点M对解决这个问题有什么帮助吗？

生：既然AM是入射光线，MD为反射光线，D为切点，这样入射角就等于反射角，从而能推出∠AMO=∠DMx．

师：我们要求|AM|+|MD|能解决吗？

生：可以先找A关于x轴的对称点A′(0，-2)，由对称的特征知：|AM|=|A′M|，这样把求|AM|+|MD|就可以转化为|A′M|+|MD|即|A′D|．

师：|A′D|怎么求呢？

生：|A′D|实际上是过A′点到圆切线的长，要求切线长，只需先连结半径CD，再连结A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如图2-77)(让这位学生把解答写在黑板上．)解 已知点A关于x轴的对称点为A′(0，-2)，所求的路程即为

师：巧用对称性，化简了计算，很好．哪位同学能把这个题适当改一下，变成另一个题目．

生：若已知A(0，2)，D(4，1)两定点，在x轴上，求一点P，使得|AP|+|PD|为最短．

师：谁能解答这个问题？

生：先过A(0，2)关于x轴的对称点A′(0，-2)，连结A′D与x轴相交于点P，P为所求(如图2-78)．

师：你能保证|AP|+|PD|最短吗？

生：因为A，A′关于x轴对称，所以|AP|=|A′P|，这时|AP|+|PD|=|A′D|为线段，当P点在x轴其他位置上时，如在P′处，那么，连结AP′、A′P′和P′D．这时|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形两边之和大于 生：先作A点关于x轴的对称点A′(0，-2)，连结A′和圆心C，A′C交x轴于M点，交圆于P点，这时|AM|+|MP|最小(如图2-79)．

师：你怎样想到先找A点关于x轴的对称点A′的呢？

生：由前题的结论可知，把AM线段搬到x轴下方，尽可能使它们成为直线，这样|A′M|+|MP|最小．

师：很好，大家一起动笔算一算(同时让这位学生上前面书写)． 生：解A点关于x轴的对称点为A′(0，-2)，连A′C交x轴于M，交圆C于P点，因为A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|=

师：我们一起看下面的问题．

例3 若抛物线y=a·x2-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．

师：这题的思路是什么？

生：如图2-80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-

师：很好，谁还有不同的解法吗？

生：曲线y=ax2-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方

师：今天我们讨论了有关点，直线，曲线关于定点，定直线，对称的问题．解决这些问题的关键所在就是牢固掌握灵活运用两点关于定直线对称的思想方法，结合图象利用数形结合思想解决问题．

作业：

1．一个以原点为圆心的圆与圆：x2+y2+8x-4y=0关于直线l对称，求直线l的方程．

(2x-y+5=0)2．ABCD是平行四边形，已知点A(-1，3)和C(-3，2)，点D在直线x-3y-1=0上移动，则点B的轨迹方程是

______．

(x-3y+20=0)

3．若光线从点A(-3，5)射到直线3x-4y+4=0之后，反射到点B(3，9)，则此光线所经过的路程的长是______．

(12)4．已知曲线C：y=-x2+x+2关于点(a，2a)对称的曲线是C′，若C与C′有两个不同的公共点，求a的取值范围．(-2＜a＜1)

设计说明

1．这节课是一节专题习题课，也可以认为是复习题，通过讨论对称问题把有关的知识进行复习，最重要的是充分突出以学生为主体．让学生讨论和发言，就是让学生参加到数学教学中来，使学生兴趣盎然，思维活跃，同时对自己也充满了信心．这样，才有利于发挥学生的主动性，有利于培养学生的独立思考的习惯，发展学生的创造性和思维能力．因此，在数学教学中要有一定的时间让学生充分地发表自己的见解，从而来提高他们的兴趣，发展他们的能力．

2．这节课自始至终贯穿数形结合的数学思想，让学生在脑海里留下一个深刻的印象，就是对称问题，归根结底都可以化成点关于直线的对称问题，即可用方程组去解决．反过来，一直线与一曲线的方程组消元后得到一元二次方程，若这二次方程的判别式大于零，也可得直线与曲线有两个交点，这种从形到数，再由数到形的转化为我们处理解析几何问题带来了便利．在解题时，只有站在一定的高度上去处理问题，思路才能开阔，方法才能灵活，学生的能力才能真正的得到培养，同时水平才能提高得较快．

3．习题课的一个中心就是解题，怎样才能让学生做尽可能少的题，从而让学生掌握通理通法，这是一个值得研究和探讨的问题．本节课采取了让学生把题目进行一题多变，一题多解，从中使学生悟出一些解题办法和规律，从而达到尽可能做少量的题，而达到获取尽可能多的知识、方法和规律的目的，真正提高学生的分析问题、提出问题、解决问题的能力．解决当前学生课业负担过重的问题，根除题海战术给学生带来的危害．

4．本课的例题选择可根据自己所教学生的实际情况，下面几个备用题可供参考．

题目1过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求点M在直线l上移动时，△MAQ垂心的轨迹方程．

(选题目的：熟练用代入法求动点的轨迹方程，活用平几简化计算．)

解 如图2-81所示．P为△AMQ的垂心，连OQ，则四边形AOQP为菱形，所以|PQ|=|OA|=2，设P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且

题目2若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m的取值范围．

解(如图2-82)设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线

(选题目的：结合对称问题，训练反证法的应用．)此题证法很多．下面给一种证法供参考．

证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(a，b)、5．本教案作业4，5题的参考解答：

4题．解设P(x，y)是曲线y=-x2+x+2上任一点，它关于点(a，2a)的对称点是P′(x0，y0)，则x=2a-x0，y=4a-y0，代入抛物线C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．联立曲线C与C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1．

5题略解：如图2-84，F1(-5，2)，F2(-1，2)，F1关于直线x-y=1的对称点为F1(3，-6)，直线F1F2的方程为2x+y=0，代入x-y=1解得，