高考数学复习点拨 判断方程表示的图形（最终定稿）

第一篇：高考数学复习点拨 判断方程表示的图形

如何判断方程表示的图形

在实际解题中，有时判断给出方程的图形，如果是二元二次方程，虽然有点类似圆的一般式方程，实质上不为圆的方程，要想准确把握方程表示的图形，需进一步加深理解定义与概念。本文揭示圆与二元二次方程的关系。进一步明确方程与图形之间的关系。一、二元二次方程表示圆的方程的特点

在二元二次方程x2y2DxEyF0中，D、E、F为常数，通过配方法得

D2E2D2E24F(x)(y)

224（1）当DE4F0时，方程表示以(径的圆；

（2）当DE4F0时，方程表示点(2222DE1,)为圆心，D2E24F为半 22222DE,)； 22（3）当DE4F0时，方程无实数解，不表示任何图形。

可见，若所给二元二次方程表示圆必须满足：

（1）x2,y2项的系数相等且不为零；（2）没有xy项；（3）DE4F0.二、结论应用

例

1、方程2x22y24x6y1表示的几何图形是（）

A、圆 B、直线 C、点 D、不表示任何图形

22解：将方程2x2y4x6y1化为xy2x3y222210，则 211D2,E3,F，计算得D2E24F22324()150，所以方程表22示圆，选A.例

2、讨论方程xy4x2my80所表示的曲线。

分析：从方程形式看它是一个圆的方程（A＝C，B＝0），但还不一定就是圆。解：将xy4x2my80配方得(x2)(ym)m4.（1）当m40，即m<－2或m>2时，原方程表示以（－2，－m）为圆心，22222222m24为半径的圆。

（2）当m40，即m2时，原方程表示点（－2，－2）或（－2，2）（3）当m40，即2m2时，原方程不表示任何曲线。

点评：遇到字母时要对其值进行讨论：主要讨论圆心坐标和坐标公式，要掌握通过配

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专心 22方求圆心和半径的方法，注意二元二次方程表示圆的必要条件。

例

3、如果方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490表示一个圆，求：（1）t的取值范围；（2）该圆半径r的取值范围。

解：（1）方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490表示一个圆需有：

D2E24F4(t3)24(14t2)24(16t49)0，即7t26t10，所以1t1.72D2E24F（2）该圆的半径r满足：r(t3)2(14t2)2(16t49)7t6t17(t)23721616472，所以r(0,]，所以r(0,].77722点评：含有参数的二元二次方程，并不一定表示圆，只有当DE4F0时才表示圆，即可通过不等式DE4F0求出参数的范围，此题中利用了函数方程的思想求半径r的取值范围。

例

4、已知曲线C：x2y24mx2my200，证明：当m2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上。

证明：因为D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，所以

22D2E24F16m24m280m8020(m2)2，又因为m2，2所以(m2)0，所以DE4F0，曲线C是一个圆，设圆心坐标为（x，y），22则由x2m，消去m得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上。

ym点评：利用结论求得方程表示的曲线需要满足的条件，再利用参数法求得轨迹方程。

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第二篇：高考数学复习点拨 约会型几何概型问题

谈“约会型”概率问题的求解

由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。请看以下几例：

例

1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？

解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|xy|15，如图

由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会 面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A

6024527因此，两人见面的概率P(A) 16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|xy|15，于是，结论也就顺其自然的产生了。

例

2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；

解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间

两列火车必须等待，则|xy|10，如图

由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能 等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A

60250211因此，这两列火车必须等待的概率是P(A) 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y表示，结论很快产生。

例

3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？

解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心

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专心 6x7所以，由6.5y7.5

yx160230272得P(A)，86027即小强能见到小明的概率是。

8点评：与前两例很相似，但又有很大不同；两人的出发时间不同，如何将“相见”转化为数学式子？深入分析会发现6x7是小强到的时间，6.5y7.5是小明离家时间，要相见必须yx，于是产生了一个不等式组，结合图形，分析面积产生结论。

例

4、水池的容积是20m，向水池注水的水龙头A和水龙头B水的流速都是1m/小时，它们在一昼夜内随机开0~24小时，求水池不溢出水的概率。

解：设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，当然，33x0,y0，水池不溢出水，则xy20

记“水池不溢出水”为事件A，则A所占区域面积为

12020200，整个区域的面积为2424576 22000.35 由几何概型的概率公式，得P(A)576即水池不溢出水的概率约为0.91。

点评：由两个龙头引出两个变量x、y，再抓住“流速相等且都在一昼夜内随机开0~24小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解。

例

5、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率。

解：设横轴表示23路车的到站时间，纵轴表示 8路车的到站时间，记“8分钟内乘坐8路车或23 路车”为事件A，则A所占区域面积为81078136

整个区域的面积为1015150

1360.91 150即这位同学等车不超过8分钟的概率约为0.91。那么，等车不超过8分钟的概率P(A)点评：本题两路公共汽车的到站时间恰好是两个变量，再抓住两车的的到站时间间隔，即可以转化为“约会型”概率，再仿照“约会型”概率进行求解。

例

6、在一条长为2的线段上，（1）任取两点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；（2）任取三点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；

解：（1）设线段上两点到线段中点的距离分别为|x|,|y|，记“它们到中点距离平方和

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专心 小于1”为事件A，则事件A：(x,y)|x2y21，由于|x|1,|y|1

12因此P(A)，即到中点距离平方和小于1的概率为 2442（2）设线段上三点到线段中点的距离分别为|x|,|y|,|z|，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件B，则事件B：(x,y,z)|x2y2z21，由于|x|1,|y|1,|z|1

4313因此，P(B)，即到中点距离平方和小于1的概率为 3662点评：第一小问涉及的问题有一定的难度，首先引入两个变量，再将两个变量“横、纵”化有一定的技巧，当“横、纵”化以后，“约会型”的样子就见到了。当然也就可以借助于“约会型”概率问题进行求解。第二小问是第一问类比产生的，有了第一小问的求解，第二小问也就很自然了。

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第三篇：2012年广东数学高考考点点拨

2012年广东数学高考考点点拨

树格教育——郑瑞格

一、选择填空：

1）集合——交集、并集、补集、韦恩图，多数跟二次函数不等式一起考；

2）复数——共轭复数、i的平方是-

1、分母如何去掉i ；

3）向量——共线向量、平行或垂直、长度模、向量积与夹角或余弦值；

4）数列——等差等比的中项公式、通项公式、求和公式、（一般化为最本质的首项和公差或公比，就能解题）；

5）三视图——柱、锥、台、球的组合体，及其表面积、侧面积和体积；

6）命题、充分必要条件——一般为向量和立体几何类型或函数单调性和最大/小值；

7）三角函数——性质和图像的单调性、求值，左移右移上下移等图像变化；

8）概率、频率分布图——简单概率和频率计算；

9）流程图——看清“是、否”程序输出求值、填入条件语言；

10）线性规划——求最大值、最小值或值域、区域面积；

11）导数——单调性、最值、极值；

12）解析几何——直线之间关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、求方程或最大、最小距离；

选做填空：

13）圆的性质——一般求面积、角度、边长、比值等；

14）极坐标与参数方程——较上题会简单，互化平面直角坐标与极坐标，普通方程与参数方程的互化。

二、解答题：(顺序部分在高考题中会有颠倒)

1）三角函数和解三角形——图像与性质：单调性、集合、最大值最小值、最小正周期、诱导公式运用；正弦定理、余弦定理求边长、求角度；

2）统计与概率——随机抽样、分层抽样、系统抽样；古典概型、几何概型、频率分布图、树状图法、列举法等；概率加法减法；

3）几何证明——一般分2到3问，证明线面平行或垂直；面面平行或垂直；线面角，面面角，做法都是找垂线，最后转化为线线关系求角；通常最后一问，求多面体的体积，意在求高，也是垂线的证明；求距离的，一般是点对点来求；

4）圆锥曲线与函数——求曲线方程或判定曲线的形状；；利用曲线的点，求三角形的面积或判定点的存在；直线与圆、椭圆等的最大距离或最小距离；

5）数列——利用等比等差数列的性质思路来求一般数列的通项公式，求和公式；数列和的取值范围；

6）导数与曲线、函数——利用导数求曲线的切线方程、求函数的单调性和极值；求不等式和函数导数之间的取值范围；求函数中未知数的值、判定未知数的取值范围。

第四篇：高考数学复习点拨 选修(2-3)二项分布及其应用教材解读

高中新课标选修（2-3）2.2二项分布及其应用教材解读

一、条件概率

1．事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为“事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率”，记为P(B|A)；

2．由古典概型可得：P(B|A)n(AB)P(AB)；一般情况，P(B|A)； n(A)P(A)

3．条件概率具有概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；

4．如果Ｂ，Ｃ是两个互斥事件，那么P(BC|A)P(B|A)P(C|A)；如：在一副扑克牌的13张红心中，当先抽出红心A后，再抽一张恰是红心2或3的概率是多少？此题中A表示抽到的是红心A的事件，B表示抽到的是红心2的事件，C表示抽到的是红心3的事

11件，显然事件B与事件C互斥．而P(B|A)，P(C|A)，那么

1212111； P(B|C)A(P|B)A(|PC)A12126

二、事件的相互独立性

1．概念：

（1）若事件A的发生对事件B是否发生没有影响，事件B的发生对事件A是否发生也没有影响，则称事件A与事件B相互独立．如：抛骰子两次，第一次出现3点记为事件A，第二次出现5点记为事件B，显然，事件A与事件B相互独立．

（2）若事件Ａ与事件Ｂ满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件Ａ与事件Ｂ相互独立．如：某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0．9，问他连续射击两次都命中的概率是多少？本题中，可把第一次命中目标记为事件A、第二次命中目标记为事件B，则两次都命中就是)P(B)0.90.90.81． 事件AB，由于事件A与事件B相互独立，所以P(AB)P(A·

2．相互独立事件的性质：

（1）事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念．两事件“互斥”是指两事件不可能同时发生，两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．

A与B也都相互独立．

（2）若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，（3）P(AB)P(A)P(B)使用的前提是A，B为相互独立事件．也就是说，只有两个相互独立事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．一般地，如果事件A1，A2，，An相互独立，则这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)．同样，只有当A1，A2，，An相互独立时，这n个事件同

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专心 时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．

（4）1P(A)P(B)表示两个相互独立事件A，B至少有一个不发生的概率．

三、独立重复试验与二项分布

1．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；

2．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概kknk率为P(Xk)C(k，0，1，2，n．此时称随机变量)X服从二项分布，记作np(1p)，X~B(n，p)，并称p为成功概率．

四、注意事项

1．求解条件概率时，必须认真分析题意，对照条件概率模式，有时的转化是隐含的、巧妙的．

2．对事件的独立性，要结合以前学习的互斥事件、对立事件，加以理解独立事件的概念．注意应用独立事件的概念，证明两个事件的独立性．

3．在求事件的概率时，有时遇到求“至少„”或“至多„”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少„”、“至多„”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，进而求得原来事件的概率．

4．二项分布指的是随机变量的概率，两点分布指的是随机变量的分布列为两点分布列，这是它们的区别．

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第五篇：高考复习专题人教版数学限时训练—参数方程几何证明

坐标系及参数方程（基础训练7）

1．若直线的参数方程为x12t

y23t

2(t为参数)，则直线的斜率为__3x2y7__-3/2__ x2sin2．将参数方程(为参数)化为普通方程为__yx2,(2x3)___2ysin

3．点M的直角坐标是(，则点M的极坐标为___(2,tt232k)_____ 22xyxee1______。(t为参数)的普通方程为____4．参数方程tt416y2(ee)

5．已知直线l1:x13t

y24t(t为参数)与直线l2:2x4y5相交于点B，又点A(1,2)，5x4x3y105则AB__________。222x4y5y0

1x2t222(t为参数)被圆xy4截得的弦长为__________。6．直线

y11t

27．直线xcosysin0的极坐标方程为____

2________________。

2yx2t为参数)的普通方程为___x1,(0x1)_。8

．与参数方程为4y9．在极坐标系中，圆心在(1，)且过极点的圆的方程为___2cos______.x4cos10．

曲线(为参数)上一点P到点A2,0、B2,0距离之和为___8___yin

x2cos111．已知F是曲线则|MF|的值是(R)的焦点，M(,0)，2y1cos22212．极坐标系内，点(2,

2)关于直线cos1的对称点的极坐标为（2第1页 2,4)。

13．在极坐标系中，圆2上的点到直线cos

3sin

6的距离的最小值是1 ．

第2页

几何证明选讲（基础训练8）

1.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PB

C，已知PA，PC4，圆心O到B

CO的半径为__2___.2.两条弦AD和BC相交于点P,P为AD的中点, BP2,PC6, 则弦AD的长度为

3.3.如图所示，等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC的面积是__3_____．B第2题 第3题 1题4.如图2，P是圆O的弦AB上一点，PCOP，PC交圆O于C。已知PA9，POPB4。则PCO的半径r



5.如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF12,PD则EFD的度数为30． 6．如图，圆O的直径AB

6，C

为圆周上一点，BC

33，过C作圆的切线l，过A作l的A

O

B

垂线AD，垂足为D，则线段CD的长为

．

l

4题

第5题

第6题

7.如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE:AC=3:5,DE=6，则

BF=_____4__.8.如图所示，在四边形ABCD中，EF//BC,FG//AD,则

EFBC

FGAD

______.19.如右图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别

是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M,则

第3页

DMMB

____2

D

第7题

第8题