10.20 分数指数幂教案及练习

第一篇：10.20 分数指数幂教案及练习

分数指数幂

复习引入：

1．整数指数幂的运算性质：

aman(ab)n2．根式的运算性质：

(m,nZ)(nZ)

(am)n

(m,nZ)

n①当n为任意正整数时，(na)=.a(a0)nnnaa②当n为奇数时，=

；当n为偶数时，=|a|=.a(a0)n用语言叙述上面三个公式：

⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.3．引例：当a＞0时

①a35101235(a)aa ②a 252323323105③a2(a)a ④a

上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.一．建构数学：

1.正数的正分数指数幂的意义

anam(a＞0,m,n∈N,且n＞1)

要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： mn*(1)amn1amn(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)；

(2)0的正分数指数幂等于0；(3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.第1页

3.有理指数幂的运算性质:(1).....amanamn(m,nQ)(2)....(am)namn(m,nQ)(3)....(ab)nanbn(nQ)说明：若a＞0，P是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.二．应用数学：

1316例1求值：8，，，100，，,()，，，()4.48123123解：8 23100121()3 43164()81例2 用分数指数幂的形式表示下列各式：

a22a，，,a33a2，，，212212aa(式中a＞0)解：aaaaaa

52a33a2aa

例3计算下列各式（式中字母都是正数）：

(1)(2ab)(6ab)(3ab);(2)(mn).***56

第2页

211115(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)2113[2(6)(3)]a31216b21536(2)(m4n8)8

4ab04a例4计算下列各式：

(1)a2a3a2(a0);

(2)(325125)45解： a2(2)(325125)45(1)a3a2

三．理解数学：（课本练习）

131.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)： a5,a4,a35,a23．

1解：a55a；

3a4 a355a315a3

2a32.用分数指数幂表示下列各式：

(1)3x2 ；（２）4(ab)3（ａ＋ｂ＞０）；（３）3(mn)2；

（４）(mn)4（ｍ＞ｎ）；(5)

p6q5（ｐ＞０）；(6)

m3m．

23解：(1)3x2x3；(2)4(ab)3(ab)4；

2(3)3(mn)2(mn)3；

第3页

【课后提升】

21．计算：(279)0.50.12(21027)3303748．

12解：原式(259)21643370.12(27)348

5931001633748100． 312123a2，求

a322．已知：aa11．

a2a2

3．化简s(12132)(12116)(1218)(12114)(122)

4．若x＞0，y＞0且x(xy)3y(x5y)，求2x2xy3yxxyy值.115．已知：x12(5n5n),nN，求(x1x2)n的值．

第4页

第二篇：分数指数幂教案

武陟三中导学案

分数指数幂

编写人 王大毛 审核 数学组 上课时间 月 日 寄语：谁要游戏人生，他就一事无成，谁不能主宰自己，永远是一个奴隶

一、教学目标：

1、知识与技能（1）在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．（2）能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．

2、过程与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．

3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．

二、教学重点、: 分数指数幂的运算性质．教学难点：分数指数的运算与化简．

三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。

四、教学过程

（一）、新课导入

前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂．有许多问题都不是整数指数．例如327,若已知a27,你能表示出a吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为a273．

（二）新知探究（Ⅰ）分数指数幂 133311．a的n次幂:一般地,给定正实数a,对于给定的正整数n,存在唯一的正实数b,使得111n3ba,我们把b叫做a的n次幂,记作ban．例如：a29,则a293；b536,则b36．

由于48,我们也可以记作84

2．正分数指数幂:一般地,给定正实数a,对于任意给定的正整数m，n,存在唯一的正实数b,321523mm32nmn使得ba,我们把b叫做a的n次幂,记作ba,它就是正分数指数幂．例如：b7,则b7；x3,则x3等．

nmaa(a0),例如：说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式,即

mn23533525255；2732729

第三篇：分数指数幂的教案

教学目标：

1． 理解正数的分数指数幂的含义，了解正数的实数指数幂的意义；

2． 掌握有理数指数幂的运算性质，会进行根式与分数指数幂的相互转化，灵活运用乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．

教学重点：

分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．

教学难点：

分数指数幂含义的理解；有理数指数幂的运算和化简．

教学过程：

一、情景设置

1．复习回顾：说出下列各式的意义，并说出其结果

（1）（2）

（3）（4）

2．情境问题：将 25，24推广到一般情况有：

（1）当为偶数时，；（2）当为n的倍数时，．

如果将 表示成2s的形式，s的最合适的数值是多少呢？

二、数学建构

1．正数的正分数指数幂的意义：（）

2．正数的负分数指数幂的意义：（）

3．有理数指数幂的运算法则：，三、数学应用

（一）例题：

1．求值：（1）；（2）；（3）（4）

2．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中a＞0）

（1）；（2）；

（3）（4）

小结：有理数指数幂的运算性质．

3．化简： ；

4．化简：（1）

（2）．

5．已知 求 的值．

（二）练习：化简下列各式：

1． ；

2． ；

3．(a＞0，b＞0)

4．当 时，求 的值

四、小结：

1．分数指数幂的意义；

2．有理数指数幂的运算性质；

3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用；

4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂，同样可以推广到实数指数幂．

五、作业：

课本P63习题3.1（1）2，4，5．

第四篇：整数指数幂教案

上饶县中小学教师备课单

上饶县教育体育局监制

学校

汪村学校

姓名

备课时间

年级

八年级

班级

学

科

数学

课题

整数指数幂

课型

新授

课时

上课时间

16．2．3整数指数幂

一、教学目的：

1．知道负整数指数幂an=

1（a≠0，n是正整数）.na2．掌握整数指数幂的运算性质.3．会用科学计数法表示小于1的数.二、重点、难点

1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.三、教学方法

1． P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.2． P24观察是为了引出同底数的幂的乘法：amanamn，这条性质适用于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.3． P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.4． P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数.用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识.用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数.四、问题导入

1．回忆正整数指数幂的运算性质：

（1）同底数的幂的乘法：amanamn(m,n是正整数)；（2）幂的乘方：(am)namn(m,n是正整数)；（3）积的乘方：(ab)nanbn(n是正整数)；

（4）同底数的幂的除法：amanamn(a≠0，m,n是正整数，m＞n)；

anan（5）商的乘方：()n(n是正整数)；

bb2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a01.3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=

351米吗？ 1091a3a34．计算当a≠0时，aa=5=32=2，再假设正整数指数幂的运算

aaaa性质amanamn(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么a3a5=a35=a2.于是得到a2=

1（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：2a当n是正整数时，an=

五、互动合作

（P24）例9.计算

1（a≠0）.na[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数 指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.（P25）例10.判断下列等式是否正确？

[分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断下列等式是否正确.（P26）例11.[分析] 是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.六、展示交流 1.填空

（1）-22=（2）(-2)2=（3）(-2)0=（4）20=(5）2-3=(6）(-2)-3= 2.计算

(1)(x3y-2)2（2）x2y-2 ·(x-2y)3(3)(3x2y-2)2 ÷(x-2y)3

七、巩固拓展

1.用科学计数法表示下列各数：

0．000 04，-0.034, 0.000 000 45, 0.003 009 2.计算

(1)(3×10-8)×(4×103)(2)(2×10-3)2÷(10-3)3

八、答案：

六、1.（1）-4（2）4（3）1（4）1（5）18 2.（1）x6y9x10y4（2）x4（3）y7

七、1.(1)4×10-5(2)3.4×10-

2（3）4.5×10-7

2.（1）1.2×10-

5（2）4×103

九、布置作业

十、板书设计

6）18

4）3.009×10-3（（

第五篇：幂的乘方教案

14.1.2 幂的乘方

【学习目标】

1．经历探索幂的乘方的运算性质的过程，发展推理能力和数学语言的表述能力，体会从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法；

2．理解幂的乘方的运算性质、幂的乘方与同底数幂的乘法的区别与联系，能运用性质进行简单的计算．

一、复习：

1．回顾同底数幂的乘法:aman=am+n(m,n都是正整数)2．计算：(1)a4·a4·a4；(2)x3·x3·x3·x3。

3．你会计算(a4)3与(x3)5吗?(第3题引入课题。对于第3题应让学生讨论。)

二、新授。1．x3表示什么意义? 2．如果把x换成a4，那么(a4)3表示什么意义? 3．怎样把a2·a2·a2·a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式? 5．根据同底数幂的乘法填空。(1)(23)2＝23×23＝2()；

(2)(32)3＝()×()×()＝3()；

(3)(a3)5＝a3×()×()×()×()＝a()。

6．用同样的方法计算：(a3)4；(a11)9；(b3)n(n为正整数)。(23)2＝23×2＝26；(32)3＝32×3＝36；(a11)9＝a11×9＝a99(b3)n＝b3×n＝b3n

(现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，想一想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)即(am)n＝am·n(m、n是正整数)。法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

三、知识应用。

1.例1 计算：(1)(103)5(2)(a4)4(3)(bm)4(4)--(x3)5； 2．练习。课本第97页练习3．下列计算过程是否正确?(1)x2·x6·x3＋x5·x4·x＝xll＋x10＝x2l。(2)(x4)2＋(x5)3＝x8＋x15＝x23

(3)a2·a·a5＋a3·a2·a3＝a8＋a8＝2a8。(4)(a2)3＋a3·a3＝a6＋a6＝2a6。

说明:(1)要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式 用错。

(2)进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系。

补充练习：（幂的乘方法则的逆用）：

1、填空。

(1)a12＝(a3)()＝(a2)()＝a3 ·a()＝(a())2；(2)93＝3()；

n(3)32×9n＝32×3()＝3()。(4)若（x2）=x8，则m=_____________.(5)若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。

2、求值

（1）若xm·x2m=2，求x9m的值。（2）若a2n=3，求（a3n）4的值。

（3）已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.(此题要求学生会逆用幂的乘方和同底数幂的乘法公式，灵活、简捷地解题。)

四、课堂小结。

1．(am)n＝am·n(m、n是正整数)，这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数。

2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、要理解它们的联系与区别。在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆(如：am·an＝amn(am)n＝am＋n)。并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯。