高二数学抛物线的弦、最值（推荐）

第一篇：高二数学抛物线的弦、最值（推荐）

有关抛物线的弦、最值

教学要求：能熟练运用抛物线的定义和几何性质，掌握抛物线有关弦、最值问题的解法。

教学重点：解法分析。

教学过程：

一、复习准备：

1.过抛物线y2＝－6x焦点作倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|。

y26x 解法分析：设直线y＝tg60°x＋b，联立方程组得，消y得关于x的一元二

y3xb次方程，再用公式|AB|＝1k2|x1－x2|＝… 2.知识回顾：弦长公式。

二、讲授新课： 1.教学有关弦的问题：

①出示例：已知抛物线y2＝2px，过焦点F的弦的倾斜角是θ(θ≠0)，且与抛物线交于A、B两点，求证：|AB|＝

2psin2

p)代入y2＝2px整理成 2②解法分析一：当θ≠90°时，设直线y＝tgθ(x－4tg2θx2－4p(2＋tg2θ)x＋p2tg2θ＝0,再由弦长公式而得|AB|＝1k2|x1－x2|＝…;当θ＝90°时，|AB|＝2p＝…

③解法分析二：将|FA|、|FB|转化为|FM|、|FN|（点到准线距离），则|AB|＝x1＋p＝……（再由韦达定理而得）2p＋x＋2④小结：本例结论为抛物线的焦点弦长公式。2.教学有关最值问题：

①出示例：已知抛物线y2＝2px于直线L：y＝x＋上求一点P，试四边形MFNP的面积最大。

②解法分析：设直线L’：y＝x＋b代入y2＝2x而得x2＋2(b－1)x＋b2＝0

1交于M、N两点，F为焦点，试在弧MN4 △＝…＝0 ∴ b＝

三、巩固练习：

11，……… P(，1)221.a为何值时，抛物线y2＝

x与圆x2＋y2－2ax＋a2－1=0 2 ①有四个交点； ②只有三个交点；

③只有两个交点； ④只有一个交点； ⑤无交点。

2.过抛物线y2＝4x的焦点作一条倾斜角为α的弦，弦长不超过8,弦所在的直线与椭圆3x2＋2y2＝2有两个公共点，求α的范围。3.课堂作业：书P133 2、6题。

第二篇：探究性学习抛物线焦点弦教学设计

探究性学习抛物线焦点弦

探究性学习是一种以发展探究思维为目标，以学科的核心知识为内容，以探究发现为主的学习方式。在中学数学教学中，引导学生开展探究性学习，对我们每一个数学教师来说，是一个谁也不可回避的新课题。本节以现行高中新教材P.61的“例3：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于A、B，求线段AB的长”的教学过程设计为例，谈一谈如何在例题教学中引导学生开展探究性学习，现将教学过程的设计介绍如下： 分步推进，引导学生探究多解

本节课一开始，教师就让学生认真阅读例3，并思考如何解决以下3个问题：

①求出直线AB的方程。②求出交点A、B的坐标。

③如何求线段AB的长？计算AB长是否一定要具体计算A、B的坐标？

由于创设了一题多解的情境，对于问题③，学生中出现了3种解题思路：

思路1 ：先求交点坐标，然后直接运用两点间的距离公式求线段AB的长。

思路2 ：根据抛物线定义，把线段AF与BF转化为线段AA/和BB/（图见教材P61上的图，也是下文提到的“题图”）。

思路3： 利用圆锥曲线的弦长公式。

那么，哪种解法最好呢？教师请学生用三种解法分别解之，并加以比较。经过演算，大家一致认为，思路1虽然想起来很顺，但运算量较大；思路2从焦点弦的特殊性入手，是数形结合思想的典型应用，是解本题的最佳解法；思路3利用两根之和与两根之积的整体关系进行处理，避免了求交点坐标，也不失为一种好方法。

以上过程通过创设问题情境，激发了学生的探究欲望，使他们主动地参与到课堂教学中，做学习的主人，并自主整和了知识结构，对3种解题方法有了一定的认识。2

辨析深化，探究解法的选择标准

在完成了上述任务的基础上，教师接着提出了下列问题：

问题1 ： 斜率为1的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线相交于A、B两点，且线段AB=8，求p的值.问题1是例3的逆向问题，由于有了例3的解题体验，学生们不约而同地选择了思路2的解法，得p=2。3

改编原题，探究焦点弦的内涵

完成了问题1与问题2，教师让学生探究：如果例3中直线的斜率情况未知，抛物线方程的参数p也未知，设A、B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），那么y1y2的值与参数p有何关系？

由例3解法1中 y1与y2的具体数值知，y1y2=－4，而例3中的参数p为2，于是有的学生猜想y1y2=－2p，也有学生猜想y1y2=－p2，还有学生猜想y1y2=－pp，学生中便出现了以下3个命题：

命题1 ：如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－2p.命题2： 如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－p2.命题3： 如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－pp.究竟谁对谁错，还需理论上严格证明。于是教师要求每位学生对自己的猜想进行证明。经过几分钟的论证，持命题2观点的学生获得了成功，他们证明如下：

证：当斜率存在时，设过焦点的直线为y=k（x－p/2）(k≠0), 即 x=1/ky+p/2

将上式代入y2=2px，得

y2=2p（1/ky+p/2）

去分母后整理得

k y2－2p y－k p2=0 设这个方程的两根为y1、y2，则有 y1 y2=－k p2/ k=－p2 当斜率不存在时，y1= p，y2=-p，仍有y1 y2=－p2.故命题2成立。

俗话说，“吃一堑，长一智”。在上述证明中学生摆脱了“陷阱”，注意到了当直线斜率不存在时的情况的讨论，同时证明中再次渗透了分类讨论的数学思想。

经过学生们的自行探究，焦点弦的一个内涵，即y1 y2=－p2被“挖”了出来，由学生作业改为课堂探究，学生对焦点弦的这一性质有了一个更深刻的认识，与此同时也进一步培养了他们思维的严密性。

着眼题图，激励学生编题创新

我们知道，例3的题图极具典型性，图中蕴涵了许多重要结论，有待于学生去发现。为了培养学生的直觉思维，教师请学生仔细观察例3的题图，并回答下列问题：

①如果连结FA/和FB/，那么它们的位置关系如何？

②设弦AB的中点为M，点M在准线上的射影为M/，那么线段AM/与BM/的位置关系又如何？

③A、O、B/三点有何特殊的位置关系？A/、O、B三点呢？ 由于创设了探究情境，他们很快发现了图中各种特殊的位置关系。接着教师要求学生根据自己的观察结果编题，并在课堂上交流。

编题可不是一件容易的事，要求学生根据题设与结论字字斟酌，句句推敲，但他们还是编得相当成功。

对照问题①，学生们编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，A/、B/是A、B两点在准线上的射影，求证∠A/FB/=90°”.对照问题②，学生们编出的题目是“A/、B/、M/分别是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两个及其中点M在抛物线准线上的射影，求证A M/⊥B M/。”也有学生提出了这样一

个命题：“以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。”

对照问题③，有些学生编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，A/、B/是A、B两点在准线上的射影，求证A、O、B/三点共线。”有些学生编出的题目是“过抛物线焦点的一条直线与它交于A、B，经过点A和抛物线顶点的直线交准线于B/，求证直线BB/平行于抛物线的对称轴。”还有些学生编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，点B/在抛物线准线上，且BB/∥x轴，求证直线AB/经过点O。”

紧接着，教师对他们编的题逐一加以点评，并指出：同学们根据问题①编的题就是唐山本的例题；根据问题②得到的命题是抛物线焦点弦的又一大特性；而根据问题③编的题就是2001年的全国高考题，或者说是高考题的“翻版”。原来高考题并不神秘，就在我们的探求之中，学生们兴趣盎然，他们深深感受到了出题的乐趣，与此同时，也激发了他们学习的主动性与积极性，在探究中培养了他们的创新能力。

最后，教师趁热打铁布置作业，就请同学们课后完成自己编的题目，要求一题多解，允许相互探讨。至此，借助于例3的探究性学习，一类抛物线焦点弦问题得到了圆满的解决。

第三篇：初一数学 最值问题

专题19

最值问题

阅读与思考

在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：

1、通过枚举选取.2、利用完全平方式性质.3、运用不等式（组）逼近求解.4、借用几何中的不等量性质、定理等.解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.例题与求解

【例1】

若c为正整数，且，，则（）（）（）（）的最小值是

.（北京市竞赛试题）

解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代数式表示.【例2】

已知实数a，b满足，则的最小值是（）

A.B.0

C.1

D.（全国初中数学竞赛试题)

解题思路：对进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.【例3】

如果正整数满足=，求的最大值.解题思路：不妨设，由题中条件可知=1.结合题意进行分析.【例4】

已知都为非负数，满足，记，求的最大值与最小值.（四川省竞赛试题）

解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示.【例5】

某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.（湖北省竞赛试题）

解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.【例6】

直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为，，求++的最大值和最小值，并求当++取最大值和最小值时，P点的位置.（“创新杯”邀请赛试题）

解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.能力训练

A

级

1.社a，b，c满足，那么代数式的最大值是

.（全国初中数学联赛试题）

2.在满足的条件下，能达到的最大值是

.（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，则的最大值是

.（全国初中数学联赛试题）

4.已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范围是

.（数学夏令营竞赛试题）

5.在式子中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（）.A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a，b，c，d是整数，b是正整数，且满足，，那么的最大值是（）.A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全国初中数学联赛试题)

7.已知则代数式的最小值是（）.A.75

B.80

C.100

D.105

(江苏省竞赛试题)

8.已知，均为非负数，且满足=30，又设，则M的最小值与最大值分别为（）.A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非负实数，满足，记.求的最大值和最小值

（“希望杯”邀请赛试题）

10.某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L，M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？

（江西省无锡市中考试题）

第四篇：高二数学教案：抛物线及其标准方程

一．课题：抛物线及其标准方程（1）

二．教学目标：

1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

三．教学重、难点：

1.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．

2.难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)

四、教学过程

(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形． 引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义

1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结． 3．定义：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(三)抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：

方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：

用心

爱心

专心

p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y=2pxp(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为： p={M||MF|=|MD|}．

22化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y=2px(p＞0)．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？ 引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)： 2

用心

爱心

专心

由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用

例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程．

方程是x=8y．

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是F(3，0)；

答案是：(1)y2=12x；

(2)y2=x；

(3)焦点到准线的距离是2．

(3)y2=4x，y2=4x，x2=4y，x2=4y．

由三名学生演板，教师予以订正．

这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结：

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．

五、作业：

2到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？

22222．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x=2y；(2)4x+3y=0；(3)2y+5x=0；(4)y6x=0． 3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(6，3)． 4．求焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程． 作业答案：

3．(1)y=24x，y=2x，(2)x=12y(图略)2224．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x=12y或

用心

爱心

专心

用心

爱心专心y2=16x.

第五篇：最值证明不等式

最值证明不等式

ln x(2)证明：f(x)＝>x－1(x>0，x≠1)x

18．证：令g(x)＝x－1－f(x)，原不等式等价于 g(x)>0(x>0，x≠1)．

g(x)满足g(1)＝0，且

x－1＋ln xg′(x)＝1x当0

2当x>1时，x－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．

所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．

ln x所以f(x)＝－1(x>0，x≠1)x