复数的基本概念及其运算教案1

第一篇：复数的基本概念及其运算教案1

复数的基本概念及其运算

一、目标要求：

(1)复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。(2)掌握复数的表示方法。

（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法与除法）

二、思想方法

(1)化归思想—将复数问题实数化。

(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

三、教学进程

1。引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根吗？

2．复数的有关概念和性质：

(1)i称为虚数单位，规定i1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)

(3)复数的相等设复数z1a1b1i,z2a2b2i(a1,b1,a2,b2R)，那么z1z2的充要条件是：a1b1且a2b2．

(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．

复数z=a+bia,bR．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．

(6)复数与实数不同处: ①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．

3．复数的代数运算

（1）i4n=1，i4n1=i，i4n2=1，i4n3=i；

（2）in· in1· in2·in3=1，in＋in1＋in2＋in3=0；

；

5z1abi，z2cdia，b，c，dR，z1z2acbdi； z1z2acbdbcadi；特别，若zabia，bR，则

zzza2b2；z1abiabicdiacbdbcad22iz2022z2cdicdicdicdcd

四、典型例题分析 2

①实数？②虚数？③纯虚数？ ④在复平面上对应的点第三象限?

①复数z是实数的充要条件是：

∴当m＝2时复数z为实数． ②复数z是虚数的充要条件：

∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数 ③复数z是纯虚数的充要条件是：

∴ 当m＝1时复数z为纯虚数．

【说明】 要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．

要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．

例2(1).若xR，x3iR，则x__________ 27i

(2).复数a+bi与c+di（a，b，c，dR）的积是纯虚数的充要条件是（）A． acbd0 Ｂ．adbc0

Ｃ．acbd0且adbc0

Ｄ．acbd0且adbc0

（3）已知zm333i，其中mC，且 求m的对应点的轨迹.21i（31i），若z2azb1i,求实数a，b的值.例3.设复数zm3为纯虚数 m32i

例4:计算: 23i123i2i1521i 299922(2)1+i+3i+…+1000i

【说明】 计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，(2)法 1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i 法2：设 S＝1+2i+3i+…+1000i∴(1i)S＝1+i+i+…+i29992999，则iS＝i+2i+3i+…+999i23999+1000i1000，1000i1000

【说明】 充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法． 例5（2004上海市普通高校春季高考数学试卷18）已知实数p满足不等式明.x10【解】由2，解得2x1，2p1.方程z22z5p20的判别式4(p24).2x222x10，试判断方程z22z5p20有无实根，并给出证x2p24，0，由此得方程z22z5p20无实根.2p1，142

课后训练

1、下列说法正确的是()A．0i是纯虚数 B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点 C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D．i是虚数

2、下列命题中，假命题是()A．两个复数不可以比较大小 B．两个实数可以比较大小

C．两个虚数不可以比较大小 D．一虚数和一实数不可以比较大小

3、复数1+i+i+…+i等于()A．i B．I C．2i D．2i

4、下列命题中:(1)两个复数不能比较大小;(2)若z=a+bi, 则当且仅当a＝0且b≠0时,z为纯虚数;22(3)(z1-z2)+(z2-z3)=0 则z1=z2=z3;(4)x+yi=1+ixy1 2210

第二篇：复数代数形式的乘除运算教案

复数代数形式的乘除运算教案

教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不 易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教学重点：复数代数形式的除法运算。教学难点：对复数除法法则的运用。课型:新知课 教具准备：多媒体 教学过程： 复习提问：

已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：

一 ．复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究: 复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? 二.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，2b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=

［

(a1+b1i)(a2+b2i)

］

(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=

［

(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3

］

+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)

=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.复数的乘法与多项式的乘法是类似的我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.例2计算：

（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i).解：（1）(3+4i)(3-4i)=3-（4i）=9-(-16)=25;(2)（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.练习课后第2题

三.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 2

2通常记复数z的共轭复数为z。

思考:若z1, z2是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?(2)z1z2是怎样的一个数? 探究: 类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则.四:除法运算规则：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者

abicdi

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.cxdya,由复数相等定义可知

dxcyb.acbdx,22cd解这个方程组，得 ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2 i.222cdcd2②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将

abi的分母有理化得： cdi5 原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i 22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i.2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2i.222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c+d2

2是正实数.所以可以分母“实数”化.把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)解：(12i)(34i)12i 34i(12i)(34i)386i4i510i12i 22(34i)(34i)3425551 先写成分式形式 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)3 化简成代数形式就得结果 练习:课后第3题(1)(3)小结: 作业:

教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是：

abiacbdbcadi(c+di≠0).cdic2d2c2d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.

第三篇：复数代数形式的乘除运算教案

《复数代数形式的乘除运算》教学设计

穆棱市第二中学

孔丹

【教学目标】

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。【教学重点】

复数代数形式的除法运算。【教学难点】

对复数除法法则的运用。【课型】

新知课。【教具准备】

多媒体 【教学过程】

一、复习提问：

已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).二、讲解新课：

（一）复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.2其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.（二）乘法运算律 师生探究: 师：复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? 生：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3..（4）zzz mnmn.（5）zmnzmn.nnn（6）z1z2z1z2.（三）例题讲解 例1.计算（1）（2+i）i(2)(1-2i)(3+i).解：（1）原式2ii212i

23i6i255i 3i6i2i（2）原式例2.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.注：复数的乘法与多项式的乘法是类似的.例3计算：

2（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i).22解：（1）(3+4i)(3-4i)=3-（4i）=9-(-16)=25;22(2)（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.（四）共轭复数：

1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

2.表达形式：通常记复数z的共轭复数为z。3.师生探究：

思考:若z1, z2是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?(2)z1z2是怎样的一个数?（3）zz、z2与z2有何关系？

生：（1）关于实轴对称（2）zza2b2zzz2即：乘积的结果是一个实数.（3）z2.（五）除法运算规则

满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者abi.cdi1.(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad i.（分母实数化）

c2d2c2d2222.利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将

abi的分母有理化得：

cdi2 原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i 22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i.2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i.222cdcd师：1是常规方法，2是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而22(c+di)·(c－di)=c+d是正实数.所以可以分母“实数”化.把这种方法叫做分母实数化法

3.变式训练：计算(12i)(34i)解：(12i)(34i)12i 34i(12i)(34i)386i4i510i12i 22(34i)(34i)3425554.方法总结：

① 先写成分式形式

②然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)③化简成代数形式就得结果

三、考点突破

1.计算(1)(32i)32i

1i2i(2)i.3+i等于（）2.（2017全国二卷）1i.3.（2013年高考福建卷）已知复数z的共轭复数

z12i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

z4.（2017渭南市一模）已知复数

1i1iC.，则

z等于（）.A.2iB.i2iD.i

5.（2013年高考安徽卷）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若zzi22z，.则z等于（），则z的模为.A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 6.（2017年厦门市一模）设复数z满足7.计算i＋i2＋i3＋…＋i2018.四、知识拓展提升

z1i2i 3 探究：i=，i=，i=，i=，i=，i=，i=，i=.虚数单位i的周期性：（1）i（2）4n112345678i，i4n21，i4n3i，i4n41nN.inin1in2in30nN.五、课堂小结

1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？

2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数之间有什么性质？

3、复数除法的运算法则是什么？

六、作业

1.教材P112——习题3.2 2.教材P116——复习参考题 【教学反思】

一、知识点反思

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是：abiacbdbcadi(c+di≠0).cdic2d2c2d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.二、课堂反思

1.学生在计算时不注意变号；

2.复数的标准表达式是a+bi，当a<0,b>0时，学生习惯把“正”放前面，把“负”放后面，这种习惯不利于学生学习本章知识.4

第四篇：..复数代数形式的乘除运算教案

3.2.2复数代数形式的乘除运算

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.教学重点：复数代数形式的除法运算.教学难点：对复数除法法则的运用.教具准备：多媒体、实物投影仪.教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程：

学生探究过程：

1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 i21;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2.与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－

3.的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

3.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7.复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i./ 5 10.复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.例2计算：

（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i)(3-4i)=32-（4i）2=9-(-16)=25;(2)（1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z./ 5 4.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者

abi cdi5.除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知cxdya，dxcyb.acbdx,22cd 解这个方程组，得ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2 i.222cdcdabi的分母有理化得：

cdi②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i.c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi.c2d2c2d2点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)解：(12i)(34i)12i 34i(12i)(34i)386i4i510i12i 22(34i)(34i)3425553 / 5 例4计算(14i)(1i)24i

34i解：(14i)(1i)24i143i24i7i(7i)(34i) 2234i34i3434i2143i28i2525i1i.2525例5已知z是虚数，且z+

1z1是实数，求证：是纯虚数.zz1证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是 z+11abiaba(b)i.=a+bi+=a+bi+222222zababababi1b∈R，∴b－2=0.2zab∵z+∵b≠0，∴a2+b2=1.∴z1(a1)bi[(a1)bi][(a1)bi] 22z1(a1)bi(a1)ba21b2[(a1)b(a1)b]i02bibi.22ab2a112a1a1∵b≠0，a、b∈R，∴巩固练习：

1.设z=3+i,则

bi是纯虚数 a11等于 zB.3－i

C.A.3+i

2.31i

1010D.31i 1010abiabi的值是 baibai B.i

C.－i

D.1 A.0

3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数A.1 4.设

iz2的虚部为 z15

D.－i B.－1

C.i x3y(x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________.1i2i1i4 / 5 答案：1.D 2.A 3.A

4.39 , －

55课后作业：课本第112页

习题3.2

A组4，5，6

B组1，2 教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是：

abiacbdbcadi(c+di≠0).cdic2d2c2d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简/ 5

第五篇：3.2.2_复数代数形式的乘除运算_教案6

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

主备人：石志雄

审核人：付红波

编号：15 日期：2011.3.9

教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点：乘除运算 教学过程：

一、复习准备：

1.复数的加减法的几何意义是什么？ 2.计算（1）(14i)+(72i)

（2）(52i)+(14i)(23i)（3）(32i)-[(43i)(5i)]

3.计算：（1）(13)(23)

（2）(ab)(cd)（类比多项式的乘法引入复数的乘法）

二、讲授新课：

1.复数代数形式的乘法运算

①.复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i。例1．计算（1）(14i)(72i)

（2）(72i)(14i)（3）[(32i)(43i)](5i)（4）(32i)[(43i)(5i)]

探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．

1、计算（1）(14i)(14i)

（2）(14i)(72i)(14i)（3）(32i)2

2、已知复数Z，若，试求Z的值。变：若(23i)Z8，试求Z的值。②共轭复数：两复数abi与abi叫做互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。

课堂练习：说出下列复数的共轭复数32i,43i,5i,52i,7,2i。

③类比1223(1(22)(23)(23)3)，试写出复数的除法法则。

abicdi(abi)(cdi)(cdi)(cdi)acbdcd222．复数的除法法则：(abi)(cdi)其中cdi叫做实数化因子

bcadcd22i

例3．计算(32i)(23i)，(12i)(32i)（师生共同板演一道，再学生练习）练习：计算32i(12i)2，3i(1i)12

2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。

三、巩固练习： 1．计算（1）1i2ii3

（2）ii2i3i4i5（3）2i13 2iz1z2z1z22．若z1a2i,z234i，且求a。

为纯虚数，求实数a的取值。变：在复平面的下方，