解析几何教学漫谈（小编推荐）

第一篇：解析几何教学漫谈（小编推荐）

解析几何教学漫谈（1）

学生在解决有关解析几何的问题时，最大的问题是没有掌握解析几何的思维方法，误以为用代数方法解决几何问题就是算.我们常常看到的学生的情况是：只要有方程，如直线方程和圆锥曲线方程，就是联立，代入消元，转化为关于一个变量的一元二次方程，判别式、根与系数的关系等，一直做到做不下去为止.在一些老师的复习中，给学生传授的秘籍也是能联立你就联立，能算到哪里就算到哪里，总可以得一些分数.如果我们的解析几何的教学最终沦落到能够得几分为目标，实在让人感到悲哀！

作为教师，一定要交给学生研究数学问题的思维方法！让学生会想，会思考，才是我们的教学目的！

解决解析几何问题首先要做的就是要将几何问题代数化.如何代数化？很多老师在教学中，并没有好好思考这个问题.实际上，要将几何问题转化为代数的问题，不是简简单单的联立方程组就可以解决的，如是这样，那解析几何也太好学了！

我的教学体会是：要交给学生审题的思维过程，要引导学生归纳概括出思考解析几何问题的思维方法.当我们面临解决一个几何问题的时候，要分析几何对象的几何特征！从哪里分析呢？主要从两个方面：一个方面是从几何的背景、几何的图形中得到几何的性质.如果一个点在某条线段的垂直平分线上，那么它必然到线段的两个端点的距离相等；如果一个点是三角形的一边上的中点，那么就可以考虑在另外的一边上取中点，用三角形的中位线的性质；如果是有关三角形的内切圆的图形，那就要分析出线段相等，角相等的有关性质,等等.举一个非常典型的例子！已知一条直线y=kx-1和圆（已知方程，含参数k,m）相交与M,N两点，（学生读到这里就会情不自禁地将这两个方程联立了）并且M,N点关于直线x+y=0对称，求k+m的值.我们可以问学生：直线和圆交于两点这个已知条件的几何含义是什么呢？结合画出的图象，让学生看到，此时得到圆的弦MN；第二个条件即点M,N关于直线x+y=0对称的几何含义又是什么呢？要让学生说出直线x+y=0垂直平分弦MN.学生如果能够分析到这里，下面一句话他就自然会脱口而出：直线x+y=0过圆心！这正是我们需要的几何的性质.我们只需要把圆心的坐标如（-k,-m）代入，就可以得到m+k=0了.学生如果不会这么想，责任在我们.是我们没有这样教给学生去思考问题；没有在我们的习题教学中帮助学生如何去分析问题.还有一个方面就是没有训练学生如何从方程、数据等代数的结论中得到几何的性质.学生缺乏从代数结果中分析几何性质的意识和能力.如直线ax+by+b-a=0，这是什么样的直线？可以问问学生.让学生思考，为什么这么多的直线可以用一个方程来表示？在这个问题上，很多教师介绍了许多的证明直线过定点的方法.其实这些方法的确很重要，但更为重要的是要让学生能够意识到这些直线之所以能够用同一个代数的形式表达出来，一定是有共同的几何特征！也就是要交给学生提出问题、思考问题的方法.解析几何教学漫谈（2）

在解析几何的习题教学中，如何分析题目，让学生学会理解问题是最为重要的.分析的思维方法要符合解析几何的思维特点，即：对于题目中的几何元素要会分析它的几何特征并进行有效的代数化；对于题目中的代数的结论如方程或数值要学会分析它的几何含义.例1：直线l:ax+y+2=0与过A(-2,3)与B（3,2）的线段相交，求a的取值范围.这道题目学生都是从斜率的角度进行计算，这也是老师们教给学生的典型方法.这个方法是没有学线性规划时的方法，学生掌握起来并不是很容易.但从几何特征的角度看，A,B两点与直线的位置关系是分析的要点.即A,B两点在直线l的两侧.而这个特征的代数化就非常的简单！只要把两点坐标带入到直线l方程的左侧所得到的两个数值乘积小于等于零即可！

例2：如何理解直线l:x/a+y/b=1过点M(cos&,sin&)呢？

对于这个问题的理解，一般思维层次的学生只是把M点的坐标带入到直线l方程中去再进行相关的运算！除了点的坐标满足直线l方程和解析几何有关系之外，后面的计算都是三角变换的内容了，其难度无形中增大.而我们的解析几何教学的目的是要学生能够从代数的结果或形式中发现（挖掘）几何的特征，这应该是我们教师在本段教学或复习的追求.我们可以启发学生：点M是一个点吗？点M是什么样的点？实际上点M是动点，其代数特征是横纵坐标的平方和为一，对应的几何特征是单位圆.只有看到了这一层含义，才叫真正的理解了本题，而随后要进行的代数化就非常的简单！因为直线l与单位圆相切或相交，圆心（0,0）到

直线l:x/a+y/b=1的距离小于等于1，得解.高考的时候如果我们的学生能够按后一种思维的方式理解问题才是我们解析几何教学的成功！现在特别是临近高考的最后阶段，很多教师对解析几何的复习表现出很无奈，我认为其原因是失去了复习的目标和方向！不是我们已经把该讲的都讲完了！我们可以反思一下，学生是不是真正会用解析几何的思维方法解决问题？你的复习是不是在不断地渗透解析几何的思维特征和方法？

解析几何教学漫谈（3）

在解析几何的复习中，学生遇到了许多的困难，老师也很感到困惑甚至是无奈;由于每次考试学生都无法在这部分的考题中拿到理想的分数.一些教师甚至放弃了这部分内容特别是解析几何解答题的复习，大有黔驴技穷的态势.怎样在最后的两个多月的时间里，有效地提高解析几何的复习效率呢？

我认为，最为关键的一点是，要让学生真正地理解解析几何这门学科的思维特点，要教给学生如何思考、理解一个解析几何的问题.和数学的其它单元的知识的复习一样，要能够充分的认识你所面临的是什么问题.我们的学生存在的最大的问题是不会思考问题，把解析几何的所有问题都归结为算，一算了之！看似是在用代数的方法解决几何问题，实际上只是了解个皮毛而已.例如：直线l:y=4x+m和椭圆C（方程略去），如果椭圆C上有两个点A,B关于直线l对称，求m的取值范围.部分学生见到此题几乎不假思索就把直线l的方程和椭圆C的方程联立，消y之后，得到关于x的一元二次方程，利用判别式大于零得出m的取值范围.这是学生最为熟悉的套路，可惜套错了.我们的老师为了学生能够掌握所谓的方法，总结出了许多的题型套路，但效果奇差！原因就是套路等等是违背了数学思维的特点，是僵化的思维.这样的教学最终是让学生放弃了思考问题的意识，丧失了思考问题的能力.本题学生理解题目的关键是：椭圆C上有两个点A,B关于直线l对称的真正含义.实际上，直线l和椭圆相交，在椭圆上未必一定有两个点关于直线l对称.但斜率为-1/4的直线AB与椭圆C相交得到的弦AB一定有斜率为4的中垂线，即直线l.因此可以利用直线AB与椭圆相交，得出直线AB的纵截距的范围，再通过AB弦的中点在直线l上，找到直线AB的纵截距与m的关系，最终得m的取值范围.代数化的具体方法经过这么长的时间的复习，学生已经非常熟练！但如何使代数化等价、有效，确是今后复习的难点，也是提高学生解析几何复习效率的突破口！

第二篇：解析几何

清华大学校长毕业致辞

字号: 小 中 大 发布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 评分(6 / 0)/ 我要评论(3)个人分类: 心意小语

清华校长送给毕业生5句话——未来的世界：方向比努力重要，能力比知识重要，健康比成绩重要，生活比文凭重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

现在是讲究绩效的时代，公司、企业、政府，需要的是有能力且能与企业方向共同发展的人，而不是一味努力但却南辕北辙的人。自己适合哪些行业，哪些职业，有很多东西是先天决定的，只有充分地发掘自己的潜力，而不是总与自己的弱点对抗，一个人才能出人头地，就像现在很多企业招聘的时候，他们相信通过培训和教育可以让火鸡学会爬树，但是还是觉得选只松鼠方便一些。方向不对，再努力、再辛苦，你也很难成为你想成为的那种人。

能力比知识重要

知识在一个人的构架里只是表象的东西，就相当于有些人可以在答卷上回答如何管理企业、如何解决棘手的问题、如何当好市长等等，但是在现实面前，他们却显得毫无头绪、不知所措，他们总是在问为什么会是这种情况，应该是哪种情况等等。他们的知识只是知识，而不能演化为能力，更不能通过能力来发掘他们的潜力。现在很多企业都在研究能力模型，从能力的角度来观察应聘者能否胜任岗位。当然，高能力不能和高绩效直接挂钩，能力的发挥也是在一定的机制、环境、工作内容与职责之内的，没有这些平台和环境，再高的能力也只能被尘封。

健康比成绩重要

成绩只能代表过去，这是很多人已经认同的一句话。对于毕业后走入工作岗位的毕业生，学生阶段的成绩将成为永久的奖状贴在墙上，进入一个工作单位，就预示着新的竞赛，新的起跑线。没有健康的身心，如何应对变幻莫测的市场环境和人生变革，如何应对工作压力和个人成就欲的矛盾？而且在现代社会，拥有强健的身体已经不是最重要的，健康的心理越来越被提上日程，处理复杂的人际关系、承受挫折与痛苦、缓解压力与抑郁，这些都将成为工薪族乃至学生们常常面对的问题。为了防止英年早逝、过劳死，还是多注意一下身体和心理的健康投资吧。

生活比文凭重要

曾经有一个故事，说有个记者问放羊的小孩，为什么放羊？答：为了挣钱，挣钱干啥？答：盖房子，盖房子干啥？答：娶媳妇，娶媳妇干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

记得去年在人大听一个教授讲管理学基础课，他说你们虽然都是研究生，但很多人本质上还是农民！大家惊愕，窃窃私语。他说你们为什么读研究生，很多人是不是想找个好工作，找好工作为了什么，为了找个好老婆，吃喝住行都不错，然后生孩子，为了孩子的前途更光明，这些不就是农民的朴素想法吗？哪个农民父母不希望自己的子女比自己更好？说说你们很多人是不是农民思想，什么时候，你能突破这种思维模式，你就超脱了。当这个社会看重文凭的时候，假文凭就成为一种产业，即使是很有能力的人，也不得不弄个文凭，给自己脸上贴点金。比起生活，文凭还重要吗？很多人找女朋友或者男朋友，把学历当作指标之一，既希望对方能够给他/她伴侣的温暖与浪漫，又希望他/她知识丰富、学历相当或更高，在事业上能蒸蒸日上；我想说，你找的是伴侣，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，这个人适合你，即使你是博士他/她斗大字不识一个，那也无所谓，适合就会和谐融洽，人比文凭更重要。很多成功的人在回头的时候都说自己太关注工作和事业了，最遗憾的是没有好好陪陪父母、爱人、孩子，往往还伤心落泪，何必呢，早意识到这些，多给生活一些空间和时间就可以了。我们没有必要活得那么累。

情商比智商重要

这个就很有意思了。大家忽然一下子对情商重视了起来，因为在新的世纪，情商将成为成功领导中最重要的因素之一。比如在许多员工和自己的亲人因恐怖袭击丧生的时刻，某公司CEO Mark Loehr让自己镇定下来，把遭受痛苦的员工们召集到一起，说：我们今天不用上班，就在这里一起缅怀我们的亲人，并一一慰问他们和亲属。在那一个充满阴云的星期，他用自己的实际行动帮助了自己和他的员工，让他们承受了悲痛，并把悲痛转化为努力工作的热情，在许多企业经营亏损的情况下，他们公司的营业额却成倍上涨，这就是情商领导的力量，是融合了自我情绪控制、高度忍耐、高度人际责任感的艺术。曾经有个记者刁难一位企业家：听说您大学时某门课重考了很多次还没有通过。这位企业家平静地回答：我羡慕聪明的人，那些聪明的人可以成为科学家、工程师、律师等等，而我们这些愚笨的可怜虫只能管理他们。要成为卓越的成功者，不一定智商高才可以获得成功的机会，如果你情商高，懂得如何去发掘自己身边的资源，甚至利用有限的资源拓展新的天地，滚雪球似得积累自己的资源，那你也将走向卓越。在世界上出人头地的人，都能够主动寻找他们要的时势；若找不到，他们就自己创造出来！

TAG: 清华大学 校长 致辞

推荐到圈子 推荐给好友上一篇下一篇

相关阅读: 我记住了你——献给网友的新年致辞(黄作敏, 2009-1-02) 忆老师（7）校长、教导主任——胡老师、陈老师(瞌睡书虫, 2009-1-17) 一个人的叙事史：读刘道玉《一个大学校长的自白》(july99, 2009-3-01)

       彭艳：美女校长演绎的精彩（原创）（未经许可，请勿转载）(gong7266, 2009-3-03)转载：清华大学孙立平教授的《对中国最大的威胁不是社会动荡而是社会溃败（更新中）》(马津龙, 2009-3-06)校长的喟叹(谷园春草, 2009-3-16)又见老校长(lhuihui, 2009-3-18)[转发]校长校长，是谁束缚了你的翅膀(李玲珑, 2009-4-01)关于中国普通高等学校的校长问题(大庆商江, 2009-4-03)高二学生被清华大学“预定”(hubert888, 2009-4-06)

第三篇：解析几何初步教学反思

直线与方程教学反思总结

学习解析几何知识，“解析法”思想始终贯穿在全章的每个知识点，同时“转化、讨论”思想也相映其中，无形中增添了数学的魅力以及优化了知识结构，解析几何初步教学反思。在学习直线与方程时，重点是学习直线方程的五种形式，以直线作为研究对象，通过引进坐标系，借助“数形结合”思想，从方程的角度来研究直线，包括位置关系及度量关系。大多数学生普遍反映：相对立体几何而言，平面解析几何的学习是轻松的、容易的，但是，也存在“运算量大，解题过程繁琐，结果容易出错”等致命的弱点等，无疑也影响了解题的质量及效率。

在进行直线与方程的教学中，要重视过程教仅要重视公式的应用，教师更要充分展示公式的背景，与学生一道经历公式的形成过程，同时在应用中巩固公式，教学反思《解析几何初步教学反思》。在推导公式的过程中，要让学生充分体验推导中所体现的数学思想、方法，从中学会学习，乐于学习。应该说，自己在教学过程中也是遵循上述思路开展教学的，而且也取得了一定的效果。下面谈一下对直线与方程的教学反思：

（1）教学目标与要求的反思：

基本上达到了预定教学的目标，由于个别学生基础较差，没有达到教学目标与要求，课后要对他们进行个别辅导。

（2）教学过程的反思：

通过问题引入，从简单到复杂，由特殊到一般思维方法，让学生参与到教学中去，学生的积极性很高，但师生互动与沟通缺少一点默契，尤其基础较差的学生，有待以后不断改进。

（3）教学结果的反思：

基本上达到了预定教学的效果，通过数形结合思想方法，培养学生能提出问题和解决问题的思维方式，学会反思，从而提高学生综合解题的能力。

第四篇：《解析几何》教案

《解析几何》教案

第一章 向量与坐标

本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础.本章教学重点：（1）向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。（2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示.本章教学难点：（1）向量及其运算与空间坐标系的联系；（2）向量的数量积与向量积的区别与联系；（3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用.本章教学内容：

§1.1 向量的基本概念

一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等.二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）.始点为A，终点为B的向量，记作，其模记做.注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体字母a、b、c„„标记向量，而用希腊字母λ、μ、ν„„标记数量.三、两种特殊向量：

1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量.特别地，与非0向量同向的单位向量称为的单位向量，记作.四、向量间的几种特殊关系：

1、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作a∥b，规定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b.注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量，记作-a，显然，零向量的反向量还是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见，任两个向量总是共面的，三向量中若有两向量共线，则三向量一定共面，零向量与任何共面向量组共面.注意：应把向量与数量严格区别开来：

①向量不能比较大小，如

没有意义； ②向量没有运算，如类似的式子没有意义.§1.2 向量的加法

一 向量的加法： 定义1 设、为，以与

与

为邻边作一平行四边形，取对角线向量，记，如图1-1，称之和，并记作（图1-1）

这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则.如果向量若与与向量在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量： 的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和.若与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差的绝对值，其方向与模值大的向量方向一致.由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量： 定义2 作，以的终点为起点作，联接

（图1-2）得

（1-2）

该方法称作向量加法的三角形法则.（图1-2）向量加法的三角形法则的实质是：

将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量.据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律： 定理1 向量的加法满足下面的运算律：

1、交换律 ,（1.2-2）

2、结合律.（1.2-3）证 交换律的证明从向量的加法定义即可得证.下证结合律.自空间任一点O开始依次作

所以

由定理1知，对三向量.二 向量的减法 定义3 若，则我们把叫做与的差，记为，.，只要把与、长度相同而方向相反的向量，以

与

加到向量上去.由平行，则

.相加，不论其先后顺序和结合顺序如何，结果总是相同的，可以简单的写作

，则有

显然，特别地，由三角形法则可看出：要从减去四边形法可如下作出向量对角线向量..设

为邻边作一平行四边形例1 设互不共线的三向量、与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量.证 必要性 设三向量、、可以构成三角形

（图1-3），（图1-3），那么, 即 充分性 设

.，作

那么，所以，从而，所以、、可以构成三角形.例2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证 设四边形因此从图可看出：所以，∥，且，即四边形的对角线、交于

点且互相平分（图1-4），为平行四边形.（图1-4）

定义1.3.1 设是一个数量，向量与

§1.3 数量乘向量 的乘积是一向量，记作时，向量的方向与，其模等于的方向相同；当的倍，即时，向量

是.；且方向规定如下：当零向量，当时，向量的方向与的方向相反.特别地，取，则向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知： 据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律： 定理1.3.1.数量与向量的乘法满足下面的运算律： 1)1²2)结合律 3)分配律 =,(1.3-1),(1.3-2)

4)证 1)据定义显然成立.2)显然，向量且 = 或、=、=

.(1.3-3)的方向是一致，.3）分配律 如果反之 ⅰ)若 ,中至少有一个为0，等式显然成立；

显然同向，且

所以ⅱ）若若所以不妨设则有

由ⅰ)可得，对的情形可类似证明.一个常用的结论： 定理3.若行且设由于即，则是非零向量，用与(为数量)，则向量(是数量).同方向的单位向量.与

亦同方向，而且，与向量

平行，记作

；反之，若向量

与向量

平表示与同方向，从而.我们规定：若，.于是.这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成.例1 设AM是三角形ABC的中线，求证

.改写成形式.（图1-5）

证 如图1-5，因为，所以

但 因而，即.例2 用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证 设△ABC两边AB,AC中点分别为M，N，则所以，且.§1.4 向量的线性关系与向量的分解

定义1.4.1 由向量

与数量

所组成的向量

线性表示,或称可以分解成向量

叫做向量的的线性组合,或称可以用向量线性组合.定理1.4.1 如果向量使得 并且系数证 若存在实数再证，那么向量与向量共线的充要条件是可用向量线性表示，即存在实数，(1.4-1)被，唯一确定.成立，那么由定义1.3.1知向量与向量共线.反之，如果向量与向量共线，那么一定使得（见1.3节中1.3.5的证明）.，那么不共线，那么向量与，而，所以，.线性表示，即 的唯一性：如果定理1.4.2 如果向量 并且系数证： 被

共面的充要条件是可用向量，(1.4-2)，唯一确定.（图1-6）因与不共线，由定义1.1.4知，其中，并设

.设与都不共线，中之一共线，那么由定理1.4.1有中有一个为零；如果与，于，把它们归结共同的始点别作设反之，设如果共面.最后证，那么，那么经过的终点分，由定理 1.4.1，可.的平行线依次交直线（图1-6），因，即，那么

与，所以由平行四边形法则得，如果

中有一个为零，如

共线，因此与共面.，从向量加法的平行四边形法则知与

=，，将有，这与假设矛盾，所以

都共面，因此与的唯一性.因为那么 如果，那么，这就证明了唯一性.定理1.4.3 如果向量数

.同理

不共面，那么空间任意向量可以由向量线性表示，即存在一组实使得，(1.4-3)

并且系数x,y,z被，唯一确定.证明方法与定理1.4.2类似.定义1.4.2 对于个向量，若存在不全为零的实数，(1.4-4)

则称向量线性相关.线性无关：.定理1.4.4 在组合.证 设向量时，向量

线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性，使得

不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量线性相关，则存在不全为零的实数，且

使得，中至少有一个不等于0，不妨设则 反过来，设向量 即 中有一个向量，不妨设为

；，它是其余向量的线性组合，即，.因为数，-1不全为0，所以向量线性相关.定理1.4.5 如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.证 设使得中有一部分，不妨设前r个向量线性相关，即存在不全为零的实数

.则有，因为，不全为零，所以线性相关.推论 如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关 类似地可证明下面的定理： 定理1.4.6 两向量与共线

线性相关.定理1.4.7 三向量与共面线性相关.定理1.4.8 空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的.例1 试证明：点，其中在线段

上的充要条件是：存在非负实数，使得，且是任意取定的一点.在线段.，证（先证必要性）设所以 任取一点所以，取，所以，上，则与同向，且，.，则，，使得

.，且，（充分性）若对任一点则 所以 有非负实数

与共线，即在直线上.又，所以在线段上.例2设证 为两不共线向量，证明共线,线性相关，使，共线的充要条件是.即存在不全为0的实数即，(1.4-5)

.又因为不共线 即线性无关，故方程有非零解

.§1.5 标架与坐标

一 空间点的直角坐标:

平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究.为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现.1、空间直角坐标系

过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们以为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)，且统称为坐标轴.通常把轴，轴配置在水平面上，而

轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：

(图1-7)右手握住轴，当右手的四个指头从三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点

角度转向轴与

轴正向时，大拇指的指向就是轴正向.左右.当然，它们的实

轴的正向以

叫做坐标原点.轴间的夹角画成注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把际夹角还是.2、坐标面与卦限

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面.由轴与轴所决定的坐标面称为面，另外还有面与三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限.面.(图1-8)

3、空间点的直角坐标

取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系.7 设为空间的一已知点，过点分别作垂直于

点的坐标.轴、轴、轴的三个平面，它们与轴、轴、轴的交点依次为了一个有序数组依次称，，这三点在轴、，这组数叫为点

轴、轴的坐标依次为

.的点，于是：空间点就唯一地确定的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为，我们可以在、、轴上取坐标为

轴、反过来，若已知一有序数组在轴取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，然后过分别作轴、轴的垂直平面，这三个平面的交点就是以有序数组为坐标的空间点.和有序数组

之间的一一对应关系..这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点定义1 我们把上面有序数组

二 空间两点间的距离公式 定理1 设、叫点

在此坐标系下的坐标，记为

为空间的两点，则两点间的距离为

(1.5-1)

证 过、体，如图所示 各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方

(图1-9)

是直角三角形，故因为是直角三角形，故

；，，故 特别地，点与坐标原点的距离为.三 空间向量的坐标

.，从而 而

定义2 设使得标，记为定理

2设向量是与坐标轴，同向的单位向量，对空间任意向量都存在唯一的一组实数，，那么我们把这组有序的实数或

.、叫做向量在此坐标系下的坐的始终点坐标分别为，那么向量

.(1.5-2)的坐标为

证 由点及向量坐标的定义知所以

=由定义知

定理3 两向量和的分量等于两向量对应的分量的和.证 设，==所以

类似地可证下面的两定理： 定理

4设定理5 设，则，则+，.(1.5-3)，那么

..，.共线的充要条件是

定理6

三非零向量，.(1.5-4)，共面的充要条件是 证 因为.(1.5-5)

不共面，所以存在不全为0的实数

使得，由此可得

因为不全为0，所以.§1.6 向量在轴上的射影

一、空间点在轴上的投影：

设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，则平面

与轴的交点叫做点

在轴

上的投影.(图1-10)

二、向量在轴上的投影： 定义1 设向量叫做向量的始点在轴与终点

在轴的投影分别为、，那么轴称为投影轴.上的有向线段的值上的投影，记作，轴(图1-11)这里，(1)的值是这样的一个数： 即，数的绝对值等于向量

；当的模.的方向与

(2)当的方向与轴的正向一致时，三、空间两向量的夹角：

轴的正向相反时，.设有两向量、交于点(若、不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角，记作

.(图1-12)

若、平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为.类似地，可规定向量与数轴间的夹角.将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转，使向量的正方向与数轴的正方向重合，这样得到的旋转角度四 投影定理： 定理1.6.1 向量在轴上的投影等于向量的模

称为向量与数轴的夹角.乘以轴与向量的夹角的余弦.即 ,(1.6-1)

(图1-13)证 过向量等于轴的始点引轴，且轴

与轴

平行且具有相同的正方向，那未轴

与向量的夹角与向量的夹角，而且有

故 由上式可知：向量当非零向量在轴

上的投影是一个数值，而不是向量.成锐角时，向量

都有，设，.分别是的投影为正..(1.6-2)

在轴上的投影，那么显然与投影轴定理1.6.2 对于任何向量证 取有 因为 所以 即 类似地可证下面的定理：，那么定理1.6.3 对于任何向量与任何实数

有.(1.6-3)

§1.7 两向量的数性积

定义1.7.1 对于两个向量a和b把它们的模|a|,|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量和的数量积记作ab,即 ab=|a||b|cos.由此定义和投影的关系可得ab|b|Prjb a=|a|Prjab.数量积的性质

2(1)a²a=|a|,记a²aa，则a|a|.(2)对于两个非零向量 a、b如果 a²b=0则 ab 反之如果ab则a²b0.定理1.7.1 如果认为零向量与任何向量都垂直则aba²b0.定理1.7.2 数量积满足下面运算律：(1)交换律 a²b= b²a(2)分配律(ab)cacbc

((3)a)²b a²(b)(a²b)(a)²(b)(a²b)

证（1）由定义知显然.(2)的证明

因为当c0时 上式显然成立

当c0时 有

(ab)c|c|Prjc(ab)|c|(PrjcaPrjcb)|c|Prjca|c|Prjcb acbc

（3）可类似地证明.例1 试用向量证明三角形的余弦定理

证 设在ΔABC中∠BCA c 记2|c| 2

2||=a ||=b |

|=c 要证

a 2+b 22 a b cos ab=c则有 cc

c(ab)(ab)a2-2 2 2

ab 从而

2ab+b|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)

即 ca+b2 a b cos 

数量积的坐标表示:

定理1.7.3 设a{ax ay az }b{bx by bz } 则

a²baxbxaybyazbz

证 a²b(ax i ay j az k)²(bx i by j bz k)ax bx i²i ax by i²j ax bz i²k

ay bx j ²i ay by j ²j ay bz j²k

az bx k²i az by k²j az bz k²k ax bx ay by az bz 

定理1.7.4 设a={ |a|=证 由定理1.7.2知

|a|=a=2

},则向量a的模

.，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量与坐标轴所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 设a={

}，则a的方向余弦为

cos =, cos，cos且 其中

；，分别是向量a与x轴，y轴,z轴的夹角.证 因为 ai=|a|cos

且ai==，所以 |a|cos从而 cos=.同理可证 cos

cos且显然

两向量夹角的余弦的坐标表示

定理1.7.6

设(a ^ b)则当a

0、b0时有

.证 因为 a²b|a||b|cos

，所以

.例2 已知三点M(111)、A(221)和B(212)求AMB 

解 从M到A的向量记为a 从M到B的向量记为b 则AMB 就是向量a与b的夹角.a{110}b{101}

因为

ab1110011

所以 从而. 



§1.8 两向量的向量积

定义1.8.1 两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向与a和b垂直并且按a,b, ab确定这个顺序构成右手标架｛O;a,b,ab｝.从定义知向量积有下列性质：(1)aa0

(2)对于两个非零向量a，b如果ab0则a//b；反之如果a//b则ab 0.定理1.8.1 两不共线向量a与b 的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积.定理1.8.2 两向量a与b共线的充要条件是ab0.证 当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a||b| sin(a、b)=0，从而ab0；反之，当ab0时，由定义知，a =0，或b =0，或a//b，因零向可看成与任向量都共线，所以总有a//b，即a与b共线.定理1.8.3 向量积满足下面的运算律

(1)反交换律 abba，(2)分配律(ab)cacbc，(3)数因子的结合律(a)ba(b)(ab)().证（略）.推论: c(ab)c a c b

定理1.8.4 设a ax i ay j az kb bx i by j bz k，则 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

证 由向量积的运算律可得

ab(ax iay jaz k)(bx iby j bz k)axbx iiaxby ij axbz ik

aybx jiayby jjaybz jkazbx kiazby k azbz kk

由于 iijjkk0ijkjkikij 所以 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k.为了帮助记忆利用三阶行列式符号上式可写成

aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi

(ay bz az by)i(az bx ax bz)j(ax by ay bx)k

例1 设a(2 1 1)b(11 2)计算ab

解 =2ij2kk4ji i5j 3k

例2 已知三角形ABC的顶点分别是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面积

解 根据向量积的定义可知三角形ABC的面积

由于(222)(124)因此

4i6j2k

于是

例3 设刚体以等角速度 绕l 轴旋转计算刚体上一点M的线速度

解 刚体绕l 轴旋转时我们可以用在l 轴上的一个向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它即以右手握住l 轴当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是n的方向

设点M到旋转轴l的距离为a 再在l轴上任取一点O作向量r并以 表示n与r的夹角那么

a|r| sin

设线速度为v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v的大小为

|v||n|a |n||r| sin

v的方向垂直于通过M点与l轴的平面即v垂直于n与r又v的指向是使n、r、v符合右手规则因此有

vnr

§1.9 三向量的混合积

定义1.9.1 给定空间的三个向量或.定理1.9.1 三个不共面向量且当右手系时构成右手系时混合积为正；当,当构成左手系时的混合积的绝对值等于以

为棱的平行六面体的体积

=

当，并构成，我们把

叫做三向量的混合积，记做

构成左手系时混合积为负,也就是.可构成以证 由于向量的底面是以不共面，所以把它们归结到共同的试始点，它的高为，为棱的平行六面体，它

.为边的平行四边形，面积为，体积是根据数性积的定义其中是当与的夹角.构成右手系时，.，.共面的充要条件是共面，由定理1.9.1知，因而可得

当构成左手系时，因而可得

定理1.9.2 三向量证 若三向量.反过来，如果，即

.，所以，从而，那么根据定理1.7.1有，另一方面，有向性积的定义知，所以共面.定理1.9.3轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即

.证 当共面时，定理显然成立；当

不共面时，混合积的绝对值等于以

为棱的平行六面体的体积，又因轮换的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时，将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号.推论: 定理1.9.4设

.，，那么

证 由向量的向性积的计算知

.再根据向量的数性积得，==

=推论: 三向量

.共面的充要条件是

例1 设三向量证明：由

且所以例2 已知四面体，求它的体积。，即

满足

.，证明：

两边与做数量积，得：，共面。

共面。，，的顶点坐标解：

，，所以，§1.10三向量的双重外积

定义1.10.1 给定空间三向量，先做其中两个的向量积，再把所得的向量与第三个向量做向量积，那么，最后的结果仍然是一个向量，叫做三个向量的双重向量积。

就是三向量也垂直，所以定理1.10.1 证 若中有一个是零向量，或定理显然成立。

现设都为非零向量，且的一个双重向量积。且和

共面。

（1.10.1）

共线，或与

都垂直，则（1.10.1）两边都是零向量，与

都垂直，与

不共线，为了证明（1.10.1）成立，先证

（1）

由于（2）式两边分别与，解得，即（1）式成立。共面，而

不共线，故可设，（2）

作数量积可得

下证（1.10.1）成立。由于则有利用（1）式可得例1.试证: 证明：

三式相加得例2． 证明： 证明：设，则

不共面，对任意，可设。

。，小 结

知识点回顾：

解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究几何问题，为了把代数运算引到几何中来，最根本的做法就是把空间的几何结构有系统地代数化，数量化。因此在本章中主要引入了向量及它的运算，并通过向量了坐标系，从而使得空间中的点都和三元有序数组建立了一一对应的关系，为空间的几何结构代数化打好了基础。

通过本章的学习，应掌握向量及其各种运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，如利用两向量的数量积为零来判断各种垂直关系，两向量的向量积为零向量来判断各种平行问题，三向量的混合积为零来判断共面问题，以及在空间直角坐标系下，利用向量积的模求面积，混合积来求体积等问题。

1.向量加法的运算规律：

（1）

（2）（3）

（4）

2.数乘的运算规律：

（1）1²（2）

（3）（4），.=，.3.两向量的数量积

（1）ab=|a||b|cos.（2）aba²b0.（3）在空间直角坐标系下，设a a²b 4．两向量的向量积

{ax ay az }baxbxaybyazbz

{bx by bz } 则

（1）两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向与a和b垂直并且按a,b, ab确定这个顺序构成右手标架｛O;a,b,ab｝

（2）两向量a与b共线的充要条件是ab0..（3）在空间直角坐标系下设a ax i ay j az kb bx i by j bz k，则 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

（4）两不共线向量a与b 的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积

5.三向量的混合积

（1）三个不共面向量并且当也就是

.（2）三向量

共面的充要条件是，.，的混合积的绝对值等于以构成右手系时混合积为正；当=

当

构成右手系时

为棱的平行六面体的体积，构成左手系时混合积为负，当

构成左手系时（3）在空间直角坐标系下设那么

.典型习题

1.已知四面体ＡＢＣＤ的顶点坐标Ａ（４，３，０），Ｂ（６，０，６），Ｃ（０，０，０），Ｄ。

求（１）△ＢＣＤ的面积。

（２）四面体ＡＢＣＤ的体积。（３）Ｃ到△ＢＣＤ的距离。解：（1）

所以 △BCD的面积，-------2分

（2）四面体ABCD的体积为

（3）设C到BCD平面的距离为h,则

从而有。

．，即

2.用向量法证明：P是ΔABC重心的充要条件为证明：设P为△ABC的重心，D为BC边中点，则 又因为PD为△PBC的中线，所以 所以有 设D为BC边中点，则，即。

又因为，与共线，即P在BC边的中线上，同理可得P也在AB，AC边的中线上，从而有P为△ABC的重心。

3.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一点Pi，使＝3, 从而设Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则

＝，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(P1(同理得P24.在四面体，,)

P3P

4,).P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.是的重心（三中线之交点），求矢量

对于矢量 中，设点的分解式。

解：是的重心。连接并延长与BC交于P 同理

（1）

由（1）（2）（3）得

（2）

（3）

即

第二章 轨迹与方程

本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程.本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义.本章教学难点：（1）空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面曲线方程的区别；（2）空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示.本章教学内容：

§2.1平面曲线的方程

在平面上或空间取定了坐标系之后，平面上或空间的点就与有序数组(坐标):或建立了一一对应的关系.曲线、曲面(轨迹)就与 方程

或建立一一对应的关系.1.平面上的曲线: 具有某种特征性质的点的集合(轨迹).曲线的方程:1 曲线上的点都具有这些性质.2具有这些性质的点都在曲线上.2.曲线的方程, 方程的图形

定义2.1.1 当平面上取定了坐标系之后,如果一个方程与一条曲线有着关系:1满足方程的线上某一点的坐标;2曲线上任何一点的坐标这条曲线叫做这个方程的图形.例1.求圆心在原点,半径为R的圆的方程.必是曲

满足这个方程,那么这个方程叫做这条曲线的方程,而解: 任意点类似地, 圆心在 例2.已知两点解: 动点在圆上,半径为R的圆的方程为和在轨迹上,求满足条件

..的动点的轨迹方程.即

平方整理得

再平方整理得

.为所求轨迹方程.注: 在求曲线的方程时,化简过程中可能造成范围 的变化,得到的方程所代表曲线上的点与条件并不

完全相符,必须补上或除去.3.曲线的参数方程 变向量: 随的变化而变化的向量.:对每一个

都唯一确定的一个.（）叫做曲线的向量式 向量函数= 定义2.1.2 在坐标系上,向量函数==参数方程.曲线的坐标式参数方程: 曲线的普通方程:.21

例3.一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上一点的轨迹.(图2-3)

解:取直角坐标系,设半径为的圆在轴上滚动,开始时点P恰好在原点O(图2-3),经过一段时间的滚动,圆与直线轴的切点移到A点,圆心移到C点,这时有

.设为到的有向角,则到的角为,则

.又

, ,这即是P点轨迹的向量式参数方程.其坐标式参数方程为:取时,消去参数,得其在的一段的普通方程: 这种曲线叫做旋轮线或称为摆线.例4.已知大圆半径为,小圆半径为,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,动圆周上某一点P的轨迹叫做内旋轮线(或称内摆线),求内旋轮线的方程.解:

设运动开始时动点P与大圆周上的A点重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴，过O与OA垂直的直线为y轴建立坐标系，经过某一过程后，小圆与大圆的接触点为B，小圆中心为C，则C一定在OB上，且有，设为到则有又由弧AB等于弧BP可得所以

.的有向角，为

到的有向角，从而有到的有向角为，23 即为P点的向量式参数方程，其坐标式参数方程为

（-∞﹤<+∞）

例5 把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，求线头的轨迹.解 设圆的半径为是圆周上的点，如右图，建立坐标系，那么 设 且矢量 所以 =从而得，，那么，对轴所成的有向角为，线头的最初位置

，这就是所求点轨迹的矢量式参数方程.由上式可得该轨迹的坐标式参数方程为

该曲线叫渐伸线或切展线.一、曲面的方程：

§2.2 曲面的方程

定义2.2.1 设Σ为一曲面，F（x，y，z）=0或以后，若Σ上任一点P（x,y,z）的坐标都满足F（x，y，z）=0或都在曲面Σ上，则称F（x，y，z）=0或

为一三元方程，空间中建立了坐标系，而且凡坐标满足方程的点

为曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或的图形.不难看出，一点在曲面Σ上〈═〉该点的坐标满足Σ的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的 ∴Σ的方程的代数性质必能反映出Σ的几何性质.三元方程的表示的几种特殊图形：

空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况

1° 若F（x，y，z）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F1（x，y，z）与F2（x，y，z）的乘积，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），则

F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此时 F（x，y，z）=0表示两叶曲面与，它们分别以F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0为其方程，此时称F（x，y，z）=0表示的图形为变态曲面.如

即为三坐标面.2方程 仅表示坐标原点和点（1，2，3）3°方程可能表示若干条曲线，如

0

即表示z轴和x轴 4°方程 不表示任何实图形，如，此时，称所表示的图形为虚曲面 3 求法：

例1：求平行于坐标面的平面的方程.解：设平行于 面的平面为π，π与z轴的交点为∈π〈═〉

共面，则

=0 即

同理，平行于其他两坐标面的平面的方程为

例2：求作两定点A（1，-2，1），B（0，1，3）等距离的点的轨迹.解：

（图2.1）

设所求轨迹为Σ，则

=

〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10

〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0

即所求轨迹为x-3y-2z+2=0

例3：求半径为R的球面的方程

解：建立直角坐标系{O；i,j,k}，并设球心 P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣

（a,b,c），则

∣=R〈═〉

特别地，若M.（a,b,c）为坐标原点，则球面Σ的方程为 x²+y²+z²=R²

综合上述条例，可归纳出求曲面方程的一般步骤如下： 1°建立适当的坐标系；（方程易求且求出的方程简单）

2°设动点Σ坐标为P（x,y,z），并根据已知条件，推出曲面上的点的坐标应满足的方程； 3°对方程作同解化简.二、曲面的参数方程：

定义2.2.2 设DR²为有序数对集，若对任意（u，v）∈D，按照某对应规则，有唯一确定的向量r与之对应，称这种对应关系为D上的一个二元向量函数，记作

r=r（u，v），（u，v）∈D

定义2.2.3 设Σ为一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D为一二元向量函数，在空间坐标系下，若对任意（u，v）∈D，径向

=r（u，v）的终点P总在曲面Σ上，而且对任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使=r

（u，v），则 称r=r（u，v）为Σ的向量式参数方程，记作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.若令 r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，则 称

（u，v）∈D

为Σ的坐标式参数方程，记作Σ：（u，v）∈D

(图2.2)(图2.3)例：建立球面的参数方程：

解：为简单起见，设坐标原点位于球心，球面半径为R，如图

对任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P为M 在x.y面上投影，并令=∠（r= =，），则

∣cos

i+∣

∣sin

j+∣∣sin sinj +Rcos

∣cos

j+∣

∣cos =∣ =∣∣sin cos i+ ∣ =Rsin cos i+Rsin sin ∴球面的参数方程 为： 0π 0<2π

三、球坐标系与柱坐标系

定义2.2.4 空间中建立了直角坐标系之后，对空间中任一点M（x,y,z），设∣OM∣=ρ 则M在以O为中心，以ρ为半径的球面上，从而存在φ，θ，使

（*）

反之，对任意ρ（ρ≣0），φ（0π），θ（0<2π），通过（*）也能确定空间中一点M（x,y,z），我们称有序三数组ρ，φ，θ为M点 的球坐标（空间极坐标），记作M（ρ，φ，θ）

注：1°空间中的点与其球坐标间并非一一对应.2°已知M点的球坐标，通过（*）可求其直角坐标，而若已知M的直角坐 标，则

（**）

便可求其球坐标.定义2.2.5 空间中建立了直角坐标系之后，对

M（x,y,z），设其到z轴的距离为ρ，则 M落在以z轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而θ，u，使

（*）

反之，对给的ρ（ρ≣0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依据（*）式

也可确定空间中一点M（x,y,z），称有序三数组ρ，θ，u为M点的柱坐标，记作M（ρ，θ，u）.注：1°空间中的点与其柱坐标并非一一对应.2°由柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱坐标,则需按下式进行.例：在直角坐标系下，圆柱面的图形如下：，双曲柱面，平面

和抛物柱面 27

(图2.4)

(图2.5)

(图2.6)(图2.7)

§2.3 空间曲线的方程

一、空间曲线的一般方程

1.定义2.3.1 设L为空间曲线,为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,则称

为曲线L的一般方程,又称普通方程,记作L:

28(图2.8)

注: 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组;

2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线（如图2.8）;3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如

与 均表示z轴

2.用曲线的射影柱面的方程来表达曲线

以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面的方程为

(x,y)=0，(y,z)=0，(z,x)=0,则

，便是L的用射影柱面表达的方程

若已知曲线L:的方程(y,z)=0, ,只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面(z,x)=0，(x,y)=0

例:设有曲线L: ,试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达曲线.解:从L的方程中分别消去x,y,z得到 z²-4y=4z,x²+z²=4z,x²+4z=0 它们即为L的射影柱面,而

(1),便均是L的用射影柱面表达的方程

注:利用方程(2)即可作出L的草图 二、空间曲线的参数方程:

(2),(3)

1.定义2.3.2 设L为一空间曲线，r=r(t),t∈A为一元向函数,在空间坐标系下，若对P∈L，t∈A，使 =r（t），而且对t∈A，必有P∈L，使r（t）=，则称r=r（t），t∈A为曲线L的向量式参数方程，记作L=r=r（t），t∈A，t ——参数

若点r（t）={x（t），y（t），z（t）}

则称 t∈A

为L的坐标式参数方程

注：空间曲线的参数方程中，仅有一个参数，而曲面的参数方程中，有两个参数，所以习惯上，称曲线是单参数的，而曲面是双参数的。

2.求法： 例：一质点，在半径=a的圆柱面上，一方面绕圆柱面的轴作匀速转动，一方面沿圆柱面的母线方向作匀速直线运动，求质点的运动轨迹。

解：以圆柱面的轴作为z轴，建立直角坐标系{O；i，j，k}，如图，不妨设质点的起始点在x轴上，质点的角速率与线速率分别为ω。，ν。，质点的轨迹为L，则对∈L，在x。y面上的投影为′，(图2.9)r= = +，=acos=b，则

i+asin

j+

k

若令 r=acos i+asin j+b k ————L的向量式参数方程

而

小结

知识点回顾：

在平面上或空间取定了坐标系后，平面上或空间的点就与有序实数组（x,y）或(x,y,z)建立了一一对应的关系，在此基础上，把平面上的曲线或空间的曲面都看成具有某种特征性质的点的集合，而其特征性质在坐标系中反映为它的坐标之间的某种特定关系，把这种关系找出来，就是它的方程，而图形的方程和图形间有一一对应的关系，这样就把研究曲线与曲面的几何问题转化为了代数问题。如曲面的方程为F（x，y，z）=0，要研究空间中三曲面是否有公共点的问题就可归结为求三曲面方程的公共解，也就是解三元联立方程组的问题。例如方程组

如果有实数解，则三曲面点的坐标。若方程组无实数解，三曲面就没有公共点。

平面曲线的普通方程为

就有公共点，方程组的解就是公共，参数，参数方程为单参数的；曲面的普通方程为方程为双参数的；空间曲线的普通方程为，参数方程为单参数的。

参数方程若能消去参数可得到普通方程，普通方程化为参数方程时形式却是不唯一的，但一定要保证与原方程等价。典型习题：

1.有一长度为段中点的轨迹。解：设 ＞0）的线段，它的两端点分别在轴正半轴与，为两端点，为此线段的中点。

.在中有

轴的正半轴上移动，是求此线

:.则即.∴此线段中点的轨迹为.2.有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的运动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，试建立圆锥螺线的方程.解：取圆锥面的顶点为坐标原点，圆锥的轴为z轴建立直角坐标系，并设圆锥顶角为，旋转角速度为，直线运动速度为V，动点的初始位置在原点，而且动点所在直母线的初始位置在xoz面上，t秒后质点到达P点，P点在xoy面上的射影为N，N在x轴上的射影为M，则有

而

所以，圆锥螺旋线的向量式参数方程为

坐标式参数方程为

（﹣∞

本章教学目的： 通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，掌握确定平面与直线的条件，熟练掌握点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件及其几何直观概念.本章教学重点：（1）空间坐标系下平面方程的点位式和点法式、直线方程点向式与标准式；（2）点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；（3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式.本章教学难点：（1）异面直线的公垂线方程；（2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程.本章教学内容：

§3.1平面的方程

1．平面的点位式方程

在空间给定了一点M0与两个不共线的向量a，b后，通过点M0且与a，b平行的平面 就惟一被确定.向量a，b叫平面 的方位向量.任意两个与平行的不共线的向量都可作为平面 的方位向量.取标架==，设点M0的向径，平面 上任意一点M的向 = {x，y，z}（如图）.点M在径为r =平面上的充要条件为向量与向量a，b共面.由于a，b不共线，这个共面的条件可以写成

= ua＋vb

而= r －r0，所以上式可写成

r = r0＋ua＋vb(3.1－1)

此方程叫做平面 的点位式向量参数方程，其中u，v为参数.31 若令a = {，}，b = {，}，则由(3.1－1)可得

(3.1－2)

此方程叫做平面 的点位式坐标参数方程，其中u，v为参数.(3.1－1)式两边与a³b作内积，消去参数u，v得

(r －r0，a，b)=

0(3.1-3)

此即

=0(3.1－4)

这是 的点位式普通方程.例1：已知平面上三非共线点

（i = 1，2，3）.求通过

={，（i = 1，2，3）的平面方程。}，i = 1，2，3.对动点M，设r =

={x，解： 建立坐标系{O；e1, e2, e3}，设ri = y，z}，取次为 和为方位向量，M1为定点，则平面的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依r = ＋u(－)＋v(－r1)(3.1－5)

(3.1－6)

= 0(3.1－7)

(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程.特别地，若是 与三坐标轴的交点，即≠0，则平面 的方程就是

(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，其中abc=0(3.1－8)

即

(3.1－9)

此方程叫平面的截距式方程，其中a，b，c称为 在三坐标轴上的截距.2．平面的一般方程

在空间，任一平面都可用其上一点M0(x0，y0，z0)和两个方位向量a = {，}，b = {，}确定，因而任一平面都可用方程(3.1－4)表示.将(3.1－4)展开就可写成

Ax＋By＋Cz＋D =

0(3.1－10)其中 A =，B =，C =

由于a = {，}与b = {，}不共线，所以A，B，C不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a，b，c的一三元一次方程来表示.32 反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A≠0，则(3.1－10)可改写成

即

它显然表示由点M0(－D / A，0，0)和两个不共线的向量{B，－A，0}和{C，0，－A }所决定的平面.于是有

定理3.1.1 空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x，y，z的三元一次方程；反过来，任一关于变数x，y，z的三元一次方程都表示一个平面.方程(3.1－10)称为平面 的一般方程.现在先来讨论几种特殊的平面方程（平面对于坐标系来讲具有某种特殊位置）： 1.D=0的平面都通过原点。

2.A、B、C中有一个为0，例如C=0，则平面通过Z轴。

3.A、B、C中有两个为0，若D，B=C=0，平面平行于yoz坐标面。.其余情况同学们自己讨论。

3．平面的法式方程。

若给定一点M0和一个非零向量n，则过M0且与n垂直的平面也被惟一地确定.称n为的法向量.在空间坐标系{O；i，j，k}下，设={x，y，z}，则因总有

=

={x0，y0，z0}，n = {A，B，C}，且平面上任一点M的向径r =⊥n，有

n(r－r0)=

0(3.1－11)也就是 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.1－12)

方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面 的点法式方程.(3.1－12)中的系数A，B，C有简明的几何意义，它们就是平面 的一个法向量的分量.特别地，取M0为自O向 所作垂线的垂足，而n为单位向量.当平面不过原点时，取n为与00的单位向量n，当平面过原点时取n的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.设|| = p，则0n(r－p n0)= 0 = p n，由点P和n确定的平面的方程为，上式可写成 n0r－p =

0(3.1－13)

0

0

同向式中r是平面的动向径.由于此方程叫平面的向量式法式方程.0若设r = {x，y，z}，n = {cos，cos，cos}，则由(3.1－13)得

x cos＋y cos＋z cos－p = 0(3.1－14)

此为平面的坐标法式方程，简称法式方程.平面的坐标法式方程有如下特征：

1°一次项系数是单位向量的分量，其平方和等于1； 2°常数项－p≢0（意味着p ≣ 0）.3°p是原点到平面的距离.例3: 求通过点

且平行于z轴的平面方程。，所以有2A 解：设平行于z轴的平面方程为Ax＋By＋D = 0，因为它又要通过－B＋D = 0，3A－2B＋D = 0，由上两式得A:B:C= 所以所求平面方程为x＋y－1= 0

4．化一般方程为法式方程

在直角坐标系下，若已知的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D = 0，则n = {A，B，C}是的法向量，Ax＋By＋Cz＋D = 0可写为

nr＋D =

0(3.1－15)

与(3.1－13)比较可知，只要以

去乘(3.1－15)就可得法式方程

Ax＋By＋Cz＋D = 0(3.1－16)

其中正负号的选取，当D≠0时应使(3.1－16)的常数项为负，D＝0时可任意选.以上过程称为平面方程的法式化，而将例2：已知两点解： 中点坐标为：

化为法式方程，并求出原点指向平面的单位法向量。，，求线段

叫做法化因子.垂直平分面的方程。

平面的点法式方程为： 整理后得：例3：把平面 解： ：所以

法式方程为：

§3.2平面与点的相关位置

平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上.前者的条件是点的坐标满足平面方程.点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在平面的哪一侧.1．点到平面的距离 定义3.2.1 自点M0向平面 引垂线，垂足为Q.向量面之间的离差，记作

 = 射影

n0

在平面的单位法向量n0上的射影叫做M0与平

(3.2－1)

显然  = 射影n0当0.0

= ²n =∣

0

0

∣cos∠(，n)=±∣

0

∣

与n同向时，离差 > 0；当与n反向时，离差 < 0.当且仅当M0在平面上时，离差 =

显然，离差的绝对值就是点M0到平面 的距离.定理3.2.1 点M0与平面（3.1－13）之间的离差为  = n0r0－p(3.2－2)证：根据定义3.2.2和上图得 = 射影n0 其中q== n（0

0

-）= n（r0－q）= nr0－n q

0

000，而Q在平面（3.1-13）上，因此n q= p，所以 = nr0－p。，则

与间的离差 推论1 若平面 的法式方程为

3)

推论2 点与平面Ax＋By＋Cz＋D = 0间的距离为

(3.2－

(3.2－4)

2．平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义 设平面的一般方程为

Ax＋By＋Cz＋D = 0 则空间中任一点M（x，y，z）与间的离差为

= (Ax＋By＋Cz＋D)式中为平面的法化因子，由此有

Ax＋By＋Cz＋D

=(3.2－5)

对于平面同侧的点， 的符号相同；对于在平面的异侧的点， 有不同的符号，而一经取定，符号就是固定的.因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D = 0把空间划分为两部分，对于某一部分的点M(x，y，z)Ax＋By＋Cz＋D > 0；而对于另一部分的点，则有Ax＋By＋Cz＋D < 0，在平面上的点有Ax＋By＋Cz＋D = 0.§3.3 两平面的相关位置

空间两平面的相关位置有3种情形，即相交、平行和重合.设两平面1与2的方程分别是

1：(1)

2：(2)

则两平面1与2相交、平行或是重合，就决定于由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解，或无数个解，从而我们可得下面的定理.定理3.3.1两平面（1）与（2）相交的充要条件是

(3.3－1)

平行的充要条件是

(3.3－2)

重合的充要条件是

(3.3－3)

由于两平面1与2的法向量分别为，当且仅当n1不平行于n2时1与2相交，当且仅当n1∥n2时1与2平行或重合，由此我们同样能得到上面3个条件.下面定义两平面间的夹角.设两平面的法向量间的夹角为，称1与2的二面角∠(1，2)= 或－为两平面间的夹角.显然有

=±cos =±定理3.3.2两平面（1）与（2）垂直的充要条件是

(3.3－5)

例 一平面过两点 和且垂直于平面x＋y＋z = 0，求它的方程.解 设所求平面的法向量为n = {A，B，C}，(3.3－4)

由于在所求平面上，有，即.又n垂直于平面x＋y＋z = 0的法线向量{1，1，1}，故有A＋B＋C = 0 解方程组 得

所求平面的方程为，约去非零因子C得，即 2x－y－z =0，§3.4 空间直线的方程

1．直线的点向式方程 在空间给定了一点与一个非零向量v = {X，Y，Z}，则过点M0且平行于向量v的直线l就惟一地被确定.向量v叫直线l的方向向量.显然，任一与直线l上平行的飞零向量均可作为直线l的方向向量.下面建立直线l的方程.如图，设M(x，y，z)是直线l上任意一点，其对应的向径是r = { x，y，z }，而对应的向径是r0，则因有 //v，有t∈R，= t v.即r－r0= t v

所以得直线l的点向式向量参数方程

r = r0＋t v(3.4－1)

以诸相关向量的分量代入上式，得

根据向量加法的性质就得直线l的点向式坐标参数方程为

－∞ < t < ＋∞(3.4－2)

消去参数t，就得直线l的点向式对称方程为

(3.4－3)

此方程也叫直线l的标准方程.今后如无特别说明，在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对称式.例1 设直线L通过空间两点M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，则取M1为定点，就得到直线的两点式方程为

(3.4－4)

根据前面的分析和直线的方程(3.4－1)，可得到

为方位向量，这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4－1)或(3.4－2)中参数的几何意义：参数t的绝对值等于定点M0到动点M之间的距离与方向向量的模的比值，表明线段M0M的长度是方向向量v的长度的 |t| 倍.0特别地，若取方向向量为单位向量v = {cos，cos，cos} 则(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次变为

0 r = r0＋t v(3.4－5)

－∞ < t < ＋∞(3.4－6)

和

(3.4－7)

此时因 |v| = 1，t的绝对值恰好等于l上两点M0与M之间的距离.直线l的方向向量的方向角，， cos，cos，cos 分别叫做直线l的方向角和方向余弦.由于任意一个与v平行的非零向量v'都可作为直线l的方向向量，而二者的分量是成比例的，我们一般称X ：Y ：Z为直线l的方向数，用来表示直线l的方向.2．直线的一般方程

空间直线l可看成两平面1和2的交线.事实上，若两个相交的平面1和2的方程分别为

1：

那么空间直线l上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组 2：

(3.4－8)

反过来，如果点不在直线l上，那么它不可能同时在平面1和2上，所以它的坐标不满足方程组(3.4－8).因此，l可用方程组(3.4－8)表示，方程组(3.4－8)叫做空间直线的一般方程.一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就可得到空间直线的方程.直线的标准方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式.将标准方程化为一般式，得到的是直线的射影式方程.将直线的一般方程化为标准式，只需在直线上任取一点，然后取构成直线的两个平面的两个法向量的向量积为直线的方向向量即可.例 将直线的一般方程

化为对称式和参数方程.解 令y = 0，得这直线上的一点（1，0，－2）.两平面的法向量为

a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}

因a³b = {4，－1，－3}，取为直线的法向量，即得直线的对称式方程为

令，则得所求的参数方程为

§3.5 直线与平面的相关位置

直线与平面的相关位置有直线与平面相交，直线与平面平行和直线在平面上3种情形.设直线l与平面 的方程分别为

l：(1）

 ：Ax＋By＋Cz＋D = 0(2)

（1）也就是

.将（2）代入（1），整理可得

(AX＋BY＋CZ)t = －(Ax0＋By0＋Cz0＋D)(3)

当且仅当AX＋BY＋CZ≠0时，（3）有惟一解

这时直线l与平面 有惟一公共点；当且仅当AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0时，（3）无解，直线l与平面 没有公共点；当且仅当AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0时，（3）有无数多解，直线l在平面 上.于是有

定理3.5.1 关于直线（1）与平面（2）的相互位置，有下面的充要条件： 1）相交： AX＋BY＋CZ≠0

2）平行： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0 3）直线在平面上： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0

以上条件的几何解释：就是直线l的方向向量v与平面 的法向量n之间关系.1）表示v与n不垂直；

2）表示v与n垂直且直线l上的点（x0，y0，z0）不在平面 上； 3）表示v与n垂直且直线l上的点（x0，y0，z0）在平面 上.当直线l与平面 相交时，可求它们的交角.当直线不与平面垂直时，直线与平面的交角 是指直线和它在平面上的射影所构成的锐角；垂直时规定是直角.设v = {X，Y，Z}是直线l的方向向量，n = {A，B，C}是平面 的法向量，则

令 ∠(l，)=，∠(v，n)= ，就有 = 或= －（ 为锐角）

(3.5－1)因而,sin =∣cos∣==从这个公式也可直接得到定理3.5.1中的条件.§3.6 空间直线与点的相关位置

任给一条直线l的方程和一点M0，则l和M0的位置关系只有两种：点在直线上和点不在直线上。从代数上，这两种情况对应点的坐标满足方程和点的坐标不满足方程.当点不在直线上时，可求此点到直线的距离.设空间中有一点M0(x0，y0，z0)，和一条直线l：

l：

此处M1(x1，y1，z1)是l上的一点，v = {X，Y，Z}是l的方向向量.以v和

为邻边作一平行四变形，则其面积为 | v³|，点M0到直线l的距离d就是此平行四变形的对应于底 | v | 的高，所以

=(3.7－1)

在实际计算中，记忆上式的第二个等号后面的部分是没有实际意义的.只需根据公式的前半部分计算即可.§3.7空间两直线的相关位置 1．空间两直线的位置关系：

空间两直线的相关位置有异面与共面，共面时又有相交、平行和重合3种情形.设二直线的方程为

：

i = 1，2

此处直线l1是由点和方向向量v1 = {X1，Y1，Z1}决定的，而直线l2是由点和方向向量v2 = {X2，Y2，Z2}决定的.由图容易看出，两直线的相关位置决定于三向量，v1，v2的相互关系.当且仅当这三个向量异面时，两直线异面；当且仅当这三个向量共面时，两直线共面.共面时，若v1，v2不平行，则l1和l2相交，若v1∥v2但不与平行，则l1和l2平行，v1∥v2∥则l1和l2重合.因此有

定理3.6.1 空间两直线l1和l2的相关位置有下面的充要条件 1）异面：

(3.6－1)

2）相交：(3.6－2)3）平行：(3.6－3)4）重合：(3.6－4)2．空间两直线的夹角

平行于空间两直线的两向量间的夹角，叫空间两直线的夹角.显然，若两直线间的夹角是，则也可认为它们之间的夹角是－.定理3.6.2 空间两直线l1和l2的夹角的余弦为

(3.6－5)，推论 两直线l1与l2垂直的充要条件是

X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2 =

0(3.6－6)

3．二异面直线间的距离与公垂线的方程

空间两直线的点之间的最短距离叫这两条直线之间的距离.两相交或两重合直线间的距离为零；两平行直线间的距离等于其中一直线上的任意一点到另一直线的距离.与两条异面直线都垂直相交的直线叫两异面直线的公垂线.两异面直线间的距离就等于它们的公垂线夹在两异面直线间的线段的长.39 设两异面直线l1和l2的方程如前，l1和l2与它们的公垂线的交点分别为N1和N2，则l1和l2之间的距离

也就是

(3.6－6)

现在求两异面直线l1和l2的公垂线的方程.如上图，公垂线l0的方向向量可取作= {X，Y，Z}，而公垂线l0可看作两个平面的交线，这两个平面一个通过点M1，以v1和

和为方向向量，另一个平面通过点M2，以v2和

和为方向向量.因此公垂线l0的一般方程可写为(3.6－7).例1求通过点方程。

解：设直线方程为：由条件可得： 而与平面平行，且与直线相交的直线的即

从而，且所以，直线方程为：例2 已知两直线：

与

⑴ 证明它们为异面直线；

⑵ 求它们公垂线的方程

解： ⑴ ⑵ 公垂线方向为：，所以，两直线异面。

公垂线方程为：，化简得： 即：

§3.8平面束

1．平面束

定义3.8.1 空间中过同一直线l的所有平面的集合称为有轴平面束，l称为这平面束的轴.定义3.8.2 空间中平行于一定平面的所有平面的集合称为平行平面束.有轴和平行平面束统称为平面束.定理3.8.1 如果两个平面

1：x＋y＋z＋= 0（1）

2：x＋y＋z＋= 0（2）

交于一条直线L，那么以直线L为轴的有轴平面束的方程是

(x＋y＋z＋)＋(x＋y＋其中 和  是不全为零的任意实数.证 先证(3.8－1)表示过L的平面.z＋)= 0(3.8－1)

(3.8－1)即为(+)x＋(+)y＋(+ 上式中x，y，z的系数必不全为零，若不然，则有

－： =

：

=

：)z＋=

：

＋ = 0

这与与相交矛盾.故表示(3.8－1)一平面，显然通过与的交线L.再证明对于过L的任一平面，必存在不全为零的实数，，使的方程为(3.8－1).首先，若是一般地，若≠件是，取 = 1， = 0；若是，取 = 0， =1即可.，i = 1，2，取上一点A(a，b，c)L，则由于(3.8－1)表示的平面要通过L的条(a+b+c+)＋(a+b+

b+c+

c+)= 0

即 ： =－(a+)：(a+b+c+)

不妨取  =－(a+b+c+)， =a+b+c+

则由于A不在L上， 和  不全为零，因而过L且过A的平面 的方程必可写成(3.8－1)的形式.例 求过二平面4x－y＋3z－1 = 0与x＋5y－z＋2 = 0的交线，且过原点的平面的方程.解 略（讲解时实推）.定理3.8.2 如果两个平面

1：x＋y＋z＋= 0（1）

2：x＋y＋z＋= 0（2）

为平行平面，那么方程

41)＋(x＋y＋z＋)= 0(3.8－1)

为平行平面束，平面束中任一平面都和1或2平行.式中 和  是不全为零的任意实数，且

－ ：≠A1 ：A2 = B1 ：B2 = C1 ：C2

定理3.8.3平行于平面：Ax＋By＋Cz＋D = 0的所有平面的方程可表为

Ax＋By＋Cz＋ = 0(3.8－2)

例 求与平面3x＋y－z＋4 = 0平行，且在z轴的截距等于－6的平面的方程.解 设所求的平面是3x＋y－z＋t = 0，则由于点(0，0，－6)在平面上，有

t＋6 = 0, t =－6

所求的平面方程为 3x＋y－z－6 = 0

2．平面把

定义3.8.3 空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把，称为把心.(x＋y＋z＋定理3.8.4 过定点(，)的所有平面的方程为

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－3)

其中A，B，C是任意不全为零的实数.更一般地，我们有

定义3.8.3 空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把，称为把心.定理3.8.5 过定点(，)的所有平面的方程为

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－4)

其中A，B，C是任意不全为零的实数.定理3.8.6 对任意不全为0的 , ，，方程

(3.8－5)

表示过三平面

：的（惟一）交点(，，使 的方程为(3.8－4).)的一个平面；反之，对任意过, 3 的平面，必存在不全为零的 , ，小结

知识点回顾：

通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，掌握确定平面与直线的条件，熟练掌握点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件及其几何直观概念.（1）空间坐标系下平面方程的点位式和点法式.在空间取仿射坐标系则平面设点的向量式参数方程为的坐标分别为，并设点的向径其中，那么，平面

为参数。

；并设

上任意一点的向径为

则平面的坐标式参数方程为，为参数。

平面的点位式方程为

空间中任一平面的方程都可以表示成一个关于变量 x,y,z 的一次方程；反过来，每一个关于变量 x,y,z 的一次方程都表示一个平面，Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程 取空间直角坐标系，设点的向径为

，平面上的任意一点的向径为，则平面的点法式方程.（2）空间直线的各种方程.42 在空间取仿射坐标系则其向量式参数方程为，已知直线上一点。，动点，方向向量.坐标式参数方程为：对称式方程或标准方程为：

.。

设有两个平面的方程为中的系数行列式

（＊）如果，即方程组（＊）

不全为零，那么相交，它们的交线设为，因为 上的任意一点同在这两平面上，所以它的坐标必满足方程组（＊）；反过来，坐标满足方程组（＊）的点同在两平面上，因而一定在这两平面的交线即直线 上，因此方程组（＊）表示直线的方程，把它叫做直线的一般方程（3）点的离差和点到平面的距离； 如果自点与平面到平面引垂线，其垂足为，那么向量

在平面的单位法向量

上的射影叫做点之间的离差，记做点到平面距离公式：（4）点到直线的的距离：.（5）异面直线的公垂线方程

两异面直线 典型习题：

1、一平面过两点 和，求它的方程.解 设所求平面的法线向量为 显然，故 即 又垂直于平面故有

；

且垂直于平面，在所求平面上，，.的法线向量，43

解方程组

得 据点法式方程有，约去非零因子

得，故所求方程为

2、用对称式方程及其参数方程硎局毕?/span>

解 先找出这直线上的一点，如：取

代入方程组得

解此二元一次方程组得 于是，得到直线上的一点 再找该直线的一个方向向量都垂直，可取

.，由于两平面的交线与两平面的法线向量，因此，所给直线的对称式方程为

；

直线的参数方程为

3分别在下列条件下确定（1）使（2）使与的值：

和

表示二平行平面；

表示同一平面；

（3）使与表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：

即：

从而：。

（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：

所以：。

所以：

：

。（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：4.试验证直线：解：

直线与平面相交。

与平面

相交，并求出它的交点和交角。

又直线的坐标式参数方程为： 设交点处对应的参数为，从而交点为（1，0，-1）。又设直线与平面的交角为，则：，5.给定两异面直线：解：因为公垂线方程为：，与，试求它们的公垂线方程。

即，亦即

第四章 柱面、锥面、旋转曲面及常见二次曲面

本章教学目的： 使学生掌握柱面、锥面和旋转曲面的定义、方程求法和方程特征；熟练掌握五种常见二次曲面的定义、标准方程及几何特征，了解它们的性质，会画它们的草图.本章教学重点：（1）常见二次曲面的定义、标准方程及图形的特征；（2）坐标面上的曲线绕坐标轴旋转时所产生旋转曲面方程的求法.（3）通过求柱面、锥面和旋转曲面的方程，理解动曲线产生曲面的思想方法.本章教学难点 ：（1）柱面及锥面方程的求法中消去参数的几何意义的理解；（2）双曲抛物面的几何性质的分析；（3）二次曲面直纹性的证明.本章教学内容：

§4.1 柱面

一 柱面

定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面.其中定方向叫柱面的方向，定曲呓兄条都叫柱面的母线.注：1°一个柱面的准线不惟一（举例）.2°平面和直线也是柱面.以下建立柱面的方程.设在给定的坐标系下，柱面S的准线为

(1)

母线的方向数为X，Y，Z.若M1(x1，y1，z1)为准线上任一点，则过M1的母线方程为

(2)

且有(3)

从（2）、（3）4个等式中消去参数x1，y1，z1，最后得一个三元方程

F(x，y，z)= 0

就是以（1）为准线，以{X，Y，Z}为方向的柱面的方程.这里需要特别强调的是，消去参数的几何意义，就是让点M1遍历准线上的所有位置，就是让动直线（1）“扫”出符合要求的柱面.例1 已知一个柱面的准线方程为，其母线的方向数是－1，0，1，求该柱面的方程.解 设M1(x1，y1，z1)是准线上的点，过M1(x1，y1，z1)的母线为

(1)

且有

(2)(3)

由(1)得

将(4)代入(2)和(3)得

(4)

(5)

(6)

由（5）和（6）得

(7)

将（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程为即.例2 已知圆柱面的轴为，点M1(1，－2，1)在此柱面上，求这个圆柱面的方程.解法一 记所求的圆柱面为S.因S的母线平行于其轴，母线的方向数为1，－2，－2，若能求得圆柱面的准线圆，则用例1的方法即可解题.空间的圆总可看成某一球面与某一平面的交线，故圆柱面的准线圆可看成以轴上的点.M0(0，1，－1)为中心，为半径的球面的交线，即准线圆 是

设为 上的任意点，则

（1）（2）

与过已知点M1(1，－2，1)且垂直于轴的平面S的过的母线为

（3）

由（1）、（2）、（3）消去参数x1，y1，z1，得S的方程为.将圆柱面看成动点到轴线等距离点的轨迹，这里的距离就是圆柱面的半径，那么例2就有下面的第二种解法.解法二 因轴的方向向量为v = {1，－2，－2}，轴上的定点为M0(0，1，－1)，M1(1，－2，1)是S上的定点，点M1到l的距离

.设M(x，y，z)是圆柱面上任意一点，则M到轴l的距离为，即

化简整理就得S的方程为

二、柱面的判定定理 定理4.1.1

在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。

在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 xoy坐标面的交线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面.三、空间曲线的射影柱面

空间曲线L:(15),如果我们从（15）中依次消去一个元，可得，任取其中两个方程组，比如（16）那么方成这样（16）和（15）是两个等价的 方程组，也就是（16）表示的曲线和（15）是同一条，从而曲面都通过已知曲线(15)；同理方程知，曲面

表示的曲面也通过已知曲线(15)。有定理4.1.1表示一个母线平行于z轴的柱面，在直角坐标系下，起母线垂直于xoy坐标面，我们把曲面叫做空间曲线（15）对xoy坐标面射影的射影柱面，而曲线曲线（15）在xoy坐标面上的射影曲线。同理，与

叫做空间

分别叫做曲线（15）对xoz坐标面与yoz坐标面射影的射影柱面，而曲线和叫做空间曲线（15）在xoz坐标面与yoz坐标面上的射影曲线。

§4.2 锥面

定义4.2.1 在空间，通过一定点且与一条定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.这里定点叫做锥面的顶点，定曲线叫锥面的准线，直线族中的每一条都叫锥面的母线.注：1°一个锥面的准线不惟一（举例）.2°平面既是柱面也是锥面.3°一条直线也是锥面.4°若将柱面的母线看成在无穷远处相交的话，则柱面是一个顶点在无穷远点的锥面.以下建立锥面的方程.设锥面S的准线为

(1)

顶点为A(x0，y0，z0).若M1(x1，y1，z1)为准线上任一点，则过M1的锥面的母线方程为

(2)

且有(3)

从（2）、（3）4个等式中消去参数x1，y1，z1，最后得一个三元方程F(x，y，z)= 0 就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面的方程.这里消去参数的几何意义与柱面的情形类似，就是让点M1跑遍准线上的所有点，从而让动直线（2）“扫”出符合要求的锥面.下面的定理给出了锥面方程的特征.先介绍齐次函数的概念.设为实数，对于函数，若

此处t的取值应使有确定的意义，则称为n元次齐次函数，对应的方程= 0为次齐次方程.22例 u = xy＋2yz＋xyz为三次齐次函数.定理4.2.1 一个关于x，y，z的齐次方程总表示一个顶点在原点的锥面.48 证： 由齐次方程的定义有当设直线的方程为 时有，故曲面S：为S上非原点的任意点，则

.过原点.满足，即有

.而

代入= 0，得，即直线

上的所有点的坐标满足曲面S的方程.因此直线在曲面S：上，故曲面S：是由这种通过坐标原点的直线组成，因而是以原点为顶点的锥面.推论 一个关于x－x0，y－y0，z－z0的齐次方程总表示一个顶点在(x0，y0，z0)的锥面.证 设有x－x0，y－y0，z－z0的齐次方程

F(x－x0，y－y0，z－z0)=0(*)

作坐标变换(**)为齐次方程，故表示顶点在点的锥面.的齐次方程可能只表示原点.例如

.这样的曲面，表示以，则(*)化为(**)

为顶点的锥面.从而

注 在特殊情况下，一个关于一般称为有实顶点的虚锥面.例1 锥面的顶点为原点，准线为解 设，求锥面的方程.为准线上任意一点，则过M1的母线为：

(4)

且有(5)

(6)

将(6)代入(4)得(7)

将(7)代入(3)得(4.2－1)这就是所求的锥面，称为为二次锥面.二次锥面的方程(4.2－1)所表示的图形，当a = b时就是我们熟悉的圆锥面.例2 已知一圆锥面的顶点为A(1，2，3)，轴l垂直于平面30°的角，试求该圆锥面的方程.解 设，母线与轴l组成为所求曲面S的任一母线上的任一点，则过M的母线的方向向量为

n = {2，2，－1}.由题，圆锥的轴线的方向向量即为平面根据题意v和n的夹角是30°或150°，故有

即 化简整理得圆锥面的方程是

这是一个关于x－1，y－2，z－3的二次齐次方程.此结果也是对定理4.2.1的推论的一个直接验证.因圆锥面是一种特殊的锥面，上面的解法是一种适合于圆锥面的特殊方法.我们当然可以先求出圆锥面的准线，再利用顶点与准线求出该圆锥面的方程.§4.3 旋转曲面

1．一般的旋转曲面方程 定义4.3.1 在空间，一条曲线 绕一定直线l旋转一周所产生的曲面S叫做旋转曲面（或回转曲面）.叫做S的母线，l称为S的的旋转轴，简称为轴.设为旋转曲面S的母线上的任一点，在 绕轴l旋转时，也绕l旋转而形成一个圆，称其为S的纬圆、纬线或平行圆.以l为边界的半平面与S的交线称为S的经线.S的纬圆实际上是过母线 上的点且垂直于轴l的平面与S的交线.S的所有纬圆构成整个S.S的所有经线的形状相同，且都可以作为S的母线，而母线不一定是经线.这里因为母线不一定为平面曲线，而经线为平面曲线.在直角坐标系下，设旋转曲面S的母线为

：旋转轴为

(1)

l这里为l上一点，X，Y，Z为l的方向数.(2)

设M1(x1，y1，z1)为母线 上的任意点，过M1的纬圆总可看成过中心，(3)

为半径的球面的交线.故过M1的纬圆的方程为

且垂直于轴l的平面与以P0为

(4)

当M1跑遍整个母线时，就得出旋转曲面的所有纬圆，所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的.由于M1(x1，y1，z1)在母线 上，有

(5)

从（3）、（4）、（5）4个等式消去参数x1，y1，z1得一个方程

F(x，y，z)= 0

即为S的方程.例1 求直线 ：绕直线旋转所得的旋转曲面S的方程.解 设M1(x1，y1，z1)为母线 上的任一点，因旋转轴过原点，过M1的纬圆方程为

(7)

第五篇：平面解析几何

 《“平面解析几何”复习教学的目标与设计》的学习心得体会

本人学习了《“平面解析几何”复习教学的目标与设计》的视频，感触很深。授课老师能深入浅出的分析函数与导数高三复习的方法及注意点，并对相关知识的专题内容进行分析，并对体系进行很好整理。在培养学生函数意识、掌握函数的思维方法、学会运用函数思想解决问题方面提出见解。对函数与导数专题蕴含的核心观点、思想和方法进行剖析。通过学习，我认为在今后的数学教学中，要努力做好如下几方面的工作。

 

一、《解析几何》的教育价值

随着时代的发展，人们对数学和数学教育本质的认识在不断地发展、变化与更新，数学已经从单纯的工具演变提升为所有公民所必备的一种精神、一种文化、一种观念、一种思维方式，因此数学教育纯粹向学生传授知识和解题方法的单一化目标正在被包含“文理融合，德智兼顾，完善人格，提高素养”在内的多元化、立体化目标所取代.《解析几何》正是在这些方面显示出非凡的教育价值. 美国应用数学家M·克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中指出：“数学是一种精神，一种理性的精神.正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵.”

 《普通高中数学课程标准(实验)》[1]在开头也明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分”，“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用.”

 提到数学的理性精神，不能不说说爱因斯坦震撼人心的论述：“为什么数学比其它一切科学更受到特殊的重视？一个理由是，它的命题是绝对可靠和无可争议的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中.”《解析几何》的所有命题就具有“连上帝”都认为“绝对可靠”与“无可争议”的理性特征. 世界文明全方位的进步越来越离不开数学理论、数学技术与数学思维.不仅自然科学与技术依靠着数学，就是社会人文科学也大量应用着数学的理念、方法与思维方式.正如日本著名学者、数学教育家米山国藏所说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，通常是出校门不到

一、两年就很快忘掉了.然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们终生受益.”精辟深邃的见解在《解析几何》中得到淋漓尽致的体现. 文[2]说：“数学在人类文明史中一直是一种主要的文化力量.„人类历史上每一个重大事件的背后都有数学的身影：哥白尼的日心说，牛顿的万有引力定律，无线电波的发现，三权分立的政治结构，„等都与数学思想有密切的联系.”  十六、七世纪，许多数学家在思考，能否找到一种可以解决所有数学问题的统一方法.虽然许多数学家没有获得成功，但在长期思索、探寻的过程中孕育着一项超越前人的，数学发展史，乃至科学发展史上划时代、里程碑式的伟大成果，这就是法国数学家笛卡儿创立的《解析几何》. 笛卡儿长期思考用代数方法来研究几何问题.1619年11月10日傍晚，他在朦胧中观察蜘蛛在墙角结网，那纵横交错的蛛丝网络引发了他的灵感，那不正是“用代数方法来研究几何问题”的绝佳工具吗？基于此种构想，平面直角坐标系以及解决几何图形问题的坐标法、解析法应运而生，“数”和“形”神奇地结合了起来，函数、方程实现了视觉化、形象化；曲线与几何图形实现了数量化.点、线和曲线的运动与数量变化融为一体，并达到完美的境界，“动”与“静”的辨证关系被刻画得惟妙惟肖.对此，恩格斯给予了极高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分立刻成为必要的了.”[3]

 有了平面直角坐标系，在函数的研究中可充分发挥其图像的优势，在方程的研究中又可发挥对应图形的优势，真是数形结合，优势互补，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐标系，可以将复数a+bi(a，b∈R)表示在平面内，构建出复平面，使复数的研究逐步提升能到一个前所未有的高度.有了平面直角坐标系，随着函数研究的逐步深入，发明了导数，于是推动现代化科学技术发展的微、积分诞生了.有了平面直角坐标系，人们又将平面向量表示成坐标(x，y)，那么平面向量的所有运算都可以实现坐标化，使有关问题的解决变得更加简捷流畅，这是向量研究的重大突破.平面直角坐标系又发展到空间直角坐标系，于是诞生了空间向量、空间解析几何.完全可以说，对大到宇宙天体中各种星球的运行，小到物质的分子原子的结构以及电子运动的研究，都可以归结为对函数及其图像、曲线及其方程的研究，都是以坐标系为重要工具，都与《解析几何》结下了不解之缘.下面的框图以浓缩的方式揭示的就是源于坐标系而发展成的“一棵参天大树”.   

 进入高中的学生，随着知识、技能、思想和阅历的逐渐丰富，思维水平的长足提升，审美意识的开始树立，辨证唯物主义世界观的逐步形成，将实现从幼稚蒙昧的少年“破茧化蛹成蝶”的巨变，在学生整个人生发展的这个非常关键的时期，《解析几何》的教学正是促进学生这种巨变的重要推动力. 数学思维是人的综合素质中最重要的组成部分，广阔性、深刻性、敏捷性、缜密性、创造性、批判性等数学思维的各种特性在《解析几何》中都有极为丰富的背景内容.从《解析几何》中提炼出的各种数学思想可在极大的程度上丰富学生的大脑.从《解析几何》中反映出的数学美是随处可见的，问题是要能去发现、揭示和欣赏，并用这种美激发兴趣，引发思维的创造.数学中充满辨证法，对立统一的法则、矛盾的普遍性与特殊性、偶然性与必然性、矛盾双方在一定条件可以互相转化、量变到质变等哲学基本原理，在《解析几何》中都可以找到大量生动鲜活的实例.教师高瞻远瞩、纵横捭阖，巧妙地将这些内容编织进课堂教学之中，学生在感到赏心悦目、情趣盎然的同时，更会觉得自己的“思维得以运用到最完善的程度”，这是思维与各种能力趋于成熟的标志. 

二、《解析几何》的教学建议

对《解析几何》教育、教学价值的深刻理解，可使教师形成一种高屋建瓴的磅礴气势，能高瞻远瞩地洞悉整个教材的体系，以便将《解析几何》当作一部“长篇巨著”，然后再将它创编为一集集既相互独立，又有内在联系的“电视连续剧”，设计并实施科学性与艺术性双具的一节节教学精品，以取得最大限度的教育、教学效益.为此，提出《解析几何》教学的一些建议.  1 突出主线 副线交叉 和谐统一

《解析几何》的灵魂是“解析”，即用代数方法研究几何图形的坐标法，这是贯穿于《解析几何》教学的一条主线.但这条主线又与多条副线交叉组合，构成了和谐统一的有机系统.(1)认识并处理好函数及其图像与曲线及其方程的联系与区别.虽然这两者都是以坐标系为纽带，但函数y=f(x)与二元方程F(x，y)=0有着本质的区别.直线x=a与函数y=f(x)的图像最多只能有一个公共点，而直线x=a与方程F(x，y)=0的曲线的公共点却可以超过一个.在一定条件下，曲线方程可以转化为函数.如由方程x2+y2=R2可解得，但这却不能称为函数，只有

与

 才能称为函数.在这里，函数与方程、函数的图像与方程的曲线实现了沟通.在解决有关弦长、图形的面积、直线的斜率、离心率的问题中，常转化为对目标函数的求解与研究.可见函数与《解析几何》结下了不解之缘，函数堪称《解析几何》中的一号副线.(2)一般方程堪称《解析几何》中的二号副线.在研究曲线位置关系的问题中，常转化为对一元二次方程的讨论，判别式△的几种情况、根与系数的关系就成了解决《解析几何》中的“常客”.(3)不等式堪称《解析几何》中的三号副线.不等式的性质、不等式的求解、不等式的证明、均值不等式的应用与《解析几何》的综合问题常处于各级各类考试试卷的把关位置.(4)三角函数堪称《解析几何》中的四号副线.直线倾斜角、直线方程中x、y的系数中常含三角函数、圆的方程x2+y2=R2与椭圆方程 

a＞b＞0)的参数形式 等

都与三角函数有着密切的亲缘关系.(5)平几知识的频繁介入.求动点的轨迹、解决有关图形的问题，常与平几图形联袂，“小小的”平几知识常成为解决大问题的杠杆.直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、线段的中点常在《解析几何》问题中扮演着重要“角色”.(6)《解析几何》的问题常与平面向量的运算、平行、垂直、夹角等携手组成绚丽多姿的综合题.(7)《立体几何》与《解析几何》的综合.近年来发现一些与《立体几何》有关的轨迹问题，是“立体”与“解析”两大几何的联手，值得关注.在高中数学的选修部分，更进一步揭示了圆锥曲线与圆锥的渊源关系，是拓宽学生数学视野、丰富数学手段、发展思维的良机.

 (8)数列知识的介入.虽然这类问题不是太多，但也应值得重视.2 重研究对象，更重数学方法

 从对象看，《解析几何》研究的无非是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，但在研究它们的各种性质与解决有关问题的过程更要重

     视数学方法的构建与应用.最重要的、处于核心位置的 数学方法当属坐标法，如右面的 框图所示.以直角坐标系为工具，实现几何条件的代数化，得到曲线(动点的轨迹)的方程，又在直角坐标系中结合方程研究曲线的性质，深入理解这个方法的精髓，所有研究对象的性质将成为显然的几何事实，记忆、掌握与运用就变得十分自然、顺畅. 以坐标法为枢纽，还要辅以若干重要的支线，总结一些另外的典型方法也是十分必要的.(1)设直线l：y=kx+b与曲线 C：F(x，y)=0，常消去y，得到一个关于x的一元二次方程，那么研究直线l与曲线C的位置关系就转化为对这个方程的解的研究.当△＞0时，直线l与曲线C有不同的两个交点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|=

.特别地，当k=1时，|AB|=， =图形中出现了等腰直角三角形. 这就是著名的弦长公式，给长度、面积、最值，特别是求范围等问题的解决提供了方便.但思维不可僵化，有时直线l的方程也可设为x=my+a，则可巧妙地避免对直线的斜率是否存在的繁琐讨论，当然这时的弦长公式就变为|AB|=

.

 类似的结论固然须牢固掌握，但更重要的是要带领学生一起来追寻它们形成的“历史足迹”，重视与突出其推导过程.(2)增强应用圆锥曲线定义的意识.现以椭圆为例.在坐标系xOy中，设定点F1(-c，0)、F2(c，0)，若动点M(x，y)满足|MF|+|MF|=2a(a＞c＞0)①  

 经代数化，得 ②

 则可化得椭圆的标准方程.  椭圆的标准方程又可变形为在将②式化为标准方程的过程中，有一个过度式

③，

  进而可化为 ④

结合图1，那么①②两式以不同的形式展示了椭圆的第一定义，④  式展示的是椭圆的第二定义，③式即，展示的是椭圆

 的另一定义，不妨称之为椭圆的第三定义.由④式还可得|MF2|=a-ex，其中

 的就是椭圆的离心率.这样就将椭圆的三个定义与椭圆的准线、离心

 率、椭圆的焦半径公式融为一体，组成一个完整的知识体系.不过，在③式中，由于x≠±a，所以必须增补点(a，0)与(-a，0)，才能得到一个完整的椭圆.(3)“将几何条件代数化”当然是求动点轨迹的最重要的基本方法，但此外还要总结另外一些典型的方法，如定义法、参数法、反代法.现仅以反代法为例，阐述其基本形式. 设已知曲线C：F(x，y)=0上的一动点P(x0，y0)，Q(x，y)是与P相关的动点，则求点Q的轨迹方程按以下步骤进行：

 1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①

o

求相关

条件方程组：由P与Q的相关条件得





 3o求反代式：由上述方程组解得用x、y表示x0、y0的反代式 

 4o反代置换：将反代式代入①式，即得Q点的轨迹方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0.(4)曲线的切线越来越受到重视.圆的切线自不必说，其他曲线的切线，一方面可用上面(1)所说的△=0来解决，但更值得关注的是有关抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的切线的问题，常用导数方法来解决.(5)一个典型奇特的方法，即同构式的应用.限于篇幅，这里仅举一例. A、B是抛物线y=x2的上的两个动的动点，O是原点，若OA⊥OB，过O作OH⊥AB于H，求H点的轨迹方程.     设A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①

.②

③ 以OA为直径的圆的方程是化为

同理，由以OB为直径的圆的方程，得②③两式中，只是t的下标数字不同，其余的结构完全相同，两式一“碰撞”，下标消失，得

 

④

则t1、t2是关于t的方程④的两根，所以t1t2=-(x2+y2)，结合①式，立即得x2+y2=1(x≠0).这就是欲求的H点的轨迹方程.②③两式叫做同构式，从初中到高中，无数问题的解答都可以仰仗同构式的奇特功能.这里展示的是同构式的最单纯的形式，当然还有许多变化，但再复杂的相关问题其基本原理与之是一致的. 

  3 体现学生的“四个主体”

“四个主体”指的是树立学生的主体精神，强化学生的主体意识，确立学生的主体地位，发挥学生的主体作用.弘扬学生的“四个主体”，但决不意味着削弱教师的主导作用，反而对教师的主导作用提出了更高层次的要求.仅举一个课例：《直线的倾斜角和斜率》. 在讲授选择倾斜角的什么三角函数值为直线的斜率时，学生会质疑，为什么不选正弦或余弦，而偏要选正切？教师不可用“这是规定”来搪塞，而要发动学生进行深入的讨论、争辩，教师以平等的身份参与其中，用诙谐幽默的语言进行点拨、启发、诱导和评析. 直线倾斜角的取值范围是，现在分别画出y=sinx、y=cosx、y=tanx在区间上的图像(如图2、3、4)，让它们来个“公开、公平、公正、透明的竞聘”，看到底哪个函数能“胜出”.  y=sinx在区间上的值都是非负的，且对于不同的角，可能有相同的函数值，它失去了“当选”的资格；y=cosx在区间上的值域为-1，1]，且=0，而当倾斜角为时，直线垂直于x轴，此时说“直线的斜率为0”，不合情理，它也不具备“胜出”的条件；可是y=tan在与上分别是增函数，对应于直线斜率从负无穷逐渐增大到0；从0逐渐增大到正无穷，而当垂直于x轴，tan情合理地认定tan 

时，直线

不存在，即直线的斜率不存在，直线就一点也不倾斜了，多么自为直线的斜率.然与和谐！学生哈哈大笑，在笑声中领悟了多方面知识的实质，并达成了共识，合4 优化思维品质是教学的核心内容

数学是思维的科学，数学教学的根本任务就是优化学生的思维品质，所有知识、技能、思想的理解、接受、掌握与运用都有着思维活动的深刻与丰富的背景，所以在《解析几何》教学的始终都要将这个重要目标放在首位. 前文中的所有框图虽然不必向学生讲述，但只有当教师深刻理解后才能做到“底气足”、理直气壮.选择倾斜角的正切函数作为直线的斜率涉及覆盖了众多的知识与技能.体现的是思维广阔性. 关于椭圆的三个定义的讨论，将原本似乎彼此无关的内容纳入到一个体系之中，反映的是思维的深刻性.在不同的问情境中迅速识别、判断与检索，如应用反代法、同构式，是思维敏捷性的体现.在求动点轨迹方程时，需要去掉那些点，补上哪些点，以保证轨迹与方程的完备性与纯粹性，反映的是思维的缜密性.直线方程设为x=my+a、由方程②③判断t1、t2是关于t的方程④的两根，不拘一格、别出心裁，显示的是思维的创造性.检验轨迹和方程是否保证完备性与纯粹性、抛物线等圆锥曲线的定义中的“定点”必须在“定直线外”、椭圆定义中的“定长”必须“大于|F1F1|”等，显示的都是思维的批判性.







  5 用数学的人文精神关怀学生的人文发展

数学虽然是理科，但其中饱含的人文精神对于学生综合素养的提高起着举足轻重的作用.关键是要做到有机结合、潜移默化、润物无声.前文谈到笛卡儿创立了《解析几何》，竟将时间精确到年、月、日与“傍晚”时刻，使这个故事更具震撼力与穿透力.教师还可“借题发挥”：笛卡儿的创造看似偶然， 但必然性包含在偶然性之中，偶然的创造发明是长期殚精竭虑、思索探寻的必然结果.请问笛卡儿是在多大岁数时作出了这项创造？学生会回应：23岁！那么“有志不在年高，无志空长百岁”的箴言则跃然纸上. 恩格斯说：“数学中充满辨证法.”又说：“数学：辨证的辅助工具和表现形式.”[4]，所以文[1]规定了高中数学教育的一项重要目标，那就是树立学生的“辩证唯物主义的世界观.”

 “学生听不懂所讲解的辩证法”，这种担心是多余的，只要你理解透彻了，结合具体鲜活形象的事例，运用通俗浅显的语言，学生是能领会的.如直线l：y=kx+b，若k是变量，b是常量，则直线l就在平面内围绕点(0，1)作旋转运动；若b是变量，k是常量，则直线l就在平面内作斜率为定值的平行移动.这种“动中寓静，变中求定”的特征就是对立统一法则的生动体现. 再如“量变到质变”的基本原理，在《解析几何》中可找到无数生动的事例.点与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、曲线与曲

  线的位置关系，都能深入浅出地揭示这一原理.再如图5，设平面内的一 条定直线l以及l外的一个定点F，平面内的动点P、Q、R到直线l的距

 离分别为PN、QN、RN，若，则P点的轨迹是椭圆；若1，  则Q点的轨迹是抛物线；若，则R点的轨迹是双曲线.量的不断

积累，超越一定的界值，就会发生质的变化，或说飞跃，浅显之中反映的是深刻的道理，且能引发诸多联想.另外，数学美对于情操的熏陶、数学美对于创造思维的诱发、优良的意志品质在解决问题过程的巨大作用、对科学真理不懈的追求与舍命的坚持、为全球人类造福的献身精神，都可以巧妙地融入《解析几何》的教学之中.

 行文至此，深深地感到，通过《解析几何》的教学，可实现师生的互惠双赢。